Zahlensystem und Grundrechnen Gleichungen und Formeln umstellen

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1 Seite 1 M 1.11 Das Gleichheitszeichen wird in der nicht nur benutzt, um ein Ergebnis auszudrücken. Mathematische Ausdrücke mit einem Gleichheitszeichen nennt man auch Gleichung. Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind Veranschaulichen kann man eine Gleichung durch das Bild einer Waage. Auf beiden Seiten muss gleich viel liegen, damit die Waage ausgeglichen ist. Lösen von Gleichungen Beispiel1 : Drücke das Gewicht eines Würfels durch das Gewicht der aus a) b) 1 W + 6 K 9 K wenn wir auf beiden Seiten 6 weg nehmen, ist die Waage noch im Gleichgewicht. 1 W + 6 K - 6 K 9 K - 6 K 1 W 3 K das Gewicht von 3 W + 3 K 15 K W + 3 K - 3 K 15 K - 3 K W 1 K W : 1 K : 1 W 6 K das Gewicht von 6 Beispiel Auf beiden Seiten sollen gleich viele Streichhölzer liegen. Wie viele Streichhölzer müssen in jedem Kasten liegen, damit dies eine Gleichung ist? Dabei muss in jedem Kasten die gleiche Menge an Stäben liegen Lösung: K + 5 S 3 K +3 S -3 S K + 5 S -3 S 3 K + 3 S - 3 S -3 S K + S 3 K - K K - K + S 3 K - K - K S 1 K

2 SZ4 Förderkonzept Seite Aufgaben Gleichungen 1) Wie viele hat ein Würfel a) d) b) e) c) f) 6

3 Seite 3 ) Streichholzgleichungen. Auf beiden Seiten sollen gleich viele Streichhölzer liegen. Wie viele Streichhölzer müssen in jede Streichholzschachtel hineingelegt werden, damit die Gleichung aufgeht? In jedem Kasten muss die gleiche Menge an Streichhölzern liegen. Material: Streichholzschachtel und Streichhölzer a) c) Lösung: X X 3 b) d) 3) Welche Anordnung gehört zu welcher Gleichung? 3 a) 1) b) ) c) 3) d) 4) e) 5) Schreibe in die leeren Kästchen den passenden Buchstaben! Auswertung Erreichte Punkte Bearbeite Ergänzende Materialien

4 Merke: Um eine Gleichung zu lösen, muss man sie so umformen, dass die Variable auf einer Seite alleine steht. Für die Umformungen stehen die im Kasten unten dargestellten 4 Rechenoperationen zur Verfügung. Damit beide Seiten der Gleichung in der Waage bleiben ist es wichtig, dass die Umformung immer auf beiden Seiten der Gleichung vorgenommen wird. Dafür nimmt man die jeweilige Umkehroperation (für Plus nimmt man Minus, für Mal nimmt man Geteilt usw.). Aufgaben Gleichungen Seite 4 Addition 5 4 addiere Subtraktion subtrahiere Multiplikation 3 4 Multipliziere mit Division 5 15 dividiere durch ) Löse die Gleichungen! a) b) - 6 d) c) 4 + e) ) Die zweite Gleichung soll zur ersten gleichwertig (äquivalent) sein Beispiel: 5-3 b) 6 a) c) 4 6) Löse die Gleichungen! a) d) 6 3 b) e) - 7 c)

5 Seite 5 Beispiel 3 Gegeben ist ein Rechteck. Von diesem ist nur eine Seitenlänge (a 4 cm) und der Umfang (U 1 cm) bekannt. Es soll die fehlende Seitenlänge b ausgerechnet werden! Die Formel für den Umfang heißt: U a + b Wenn ich also nun b ausrechnen möchte, muss ich die Formel so umstellen, dass b auf einer Seite alleine steht. U a + b l a Auf der rechten Seite stören uns die a. Wenn wir nun a auf beide Seiten abziehen, bleibt die Gleichung eine Gleichung und auf der U a a a + b rechten Seiten verschwinden die a. U a b l : jetzt stört uns nur noch die vor dem b. Wenn wir nun beide U a b U a b Seiten der Gleichung durch teilen, steht b rechts alleine. Auf der rechten Seite können wir die im Zählen mit der im Nenner wegkürzen und es bleibt: Nachdem die Formel nach b umgestellt wurde, können die bekannten Werte für U und a eingesetzt werden. 1cm ( 4cm) b 1cm 8cm 4cm cm b? A 4 7) Berechnen die fehlenden Seitenlängen. Der Umfang beträgt bei allen Figuren 1 cm a) 4 cm 4 4 cm b) 3 cm 3 cm c) cm cm d) 3 cm cm Auswertung Erreichte Punkte Bearbeite Ergänzende Materialien

6 Fahrplan zur Lösung von Gleichungen Beispiel Aufgaben Gleichungen Seite 6 1) 14 ( -3) ) Klammern auflösen und Vorzeichen dabei beachten ) auf jeder Seite zusammenfassen ) ) 6 5 3) - Glieder und Glieder ohne ordnen 4) 4) umformen, bis alleine steht 8) Löse die Gleichungen! a) d) ( 3) b) e) c) f) 15a² b² 10 ab 6

7 Seite 7 Gleichungen mit Potenzen und Wurzeln Für Gleichungen mit Potenzen und Wurzeln stehen zusätzliche Umkehroperationen zur Verfügung Potenzieren 5 Potenziere mit ( )² ( )² 5² 5 9) Löse die Gleichungen a) ² 6²+8² Radizieren X² 3² + 4² Radiziere mit 3 ² + 4² ² ² ² 5 5 oder -5 e) Das Kantengerüst eines Quaders ist insgesamt 100 cm lang. Die Höhe ist 1 cm kürzer als die Breite. Die Länge ist 6 cm länger als die Höhe. Welche Maße hat der Quader? b) f) Der Umfang des Kreises beträgt 9,4 cm. Wie groß ist der Radius? Stelle die Formel U r nach r um. r 6 c) 1² ² - 16² d) Auswertung Erreichte Punkte Bearbeite Ni mehr,) Ergänzende Materialien

8 Seite 8 berufsbezogene Aufgaben Metallberufe Beispiel 1 Ein Gabelschlüssel, r 00 mm wird mit einer Kraft F bewegt, wobei das Drehmoment 1 NM betragen soll. Wie groß ist die Kraft F? Gegeben: r 0 0mm M 1 NM Gesucht: F Formel: Drehmoment Kraft mal Radius M F r Die Formel wird so umgestellt, dass F alleine steht. M F r M F r r r Lösung: beide Seiten durch r dividieren, dann recht die r kürzen, damit F rechts alleine steht. Beispiel : 1Nm M F r 0.m 60 N Am Kipphebel wirkt die Kraft F N. Wie groß ist die Kraft F? F 1 l 1 l Gegeben: F N, l mm, l 195 mm Gesucht: F Formel: F 1 l 1 F l Lösung: F 1 l 1 F l F freistellen, in dem ich beide Seiten durch l teile l l F F 1 l 1 l 1435 N 185 mm 195 mm F F 05 N F Aufgaben 1) Hebel F 1 l 1 l ) Durchmesserberechnung Ein Zylinder hat einen Umfang von 9 cm. Berechne den Durchmesser Umfang Durchmesser mal Π U d Π Am Kipphebel wirkt die Kraft F 1435 N. Wie groß ist die Kraft F 1? Gegeben: F 1300 N, l 1 00mm, l 400 mm Gesucht: F 1 F

9 Seite 9 3) Berechnung einer Gefäßhöhe Ein Gefäß hat ein Volumen von dm³. Die Grundfläche beträgt 10 cm mal 5 cm. Wie hoch ist das Gefäß? 5) Berechne eine Stützstrebe! Pythagoras: a²+b²c² 300 mm mm 400 mm 4) Anstellhöhe einer Leiter Eine 10 m lange Leiter kann,5m von der Wand entfernt angestellt werden. Wie hoch reicht die Leiter h?,5 m berufsbezogene Aufgaben Elektroniker 1) Stromstärkeberechnung Die Abbildung zeigt einen verzweigten Stromkreis. Berechnen Sie die Stromstärke I3. I 5 A I 1 A I 0,5 A I 3? ) Stromstärkeberechnung Die Abbildung zeigt einen verzweigten Stromkreis. Die Stromstärke I 1 soll doppelt so groß sein wie I. Berechnen Sie die Stromstärken I 1 und I. I 6 A I 1? I? 3) Widerstandsberechnung Welchen Innenwiderstand besitzt eine Lampe mit der Aufschrift 3V/500mA? zur Erinnerung: 1000 ma 1 A

10 Seite 10 berufsbezogene Aufgaben KFZ Mechatroniker Beispiel 1: Wie viel Zeit braucht man, wenn man 500 Kilometer mit 15 km/h Durchschnittsgeschwindigkeit fährt? s km m gegebene Formel: Geschwindigkeit Strecke/Zeit v. Die Einheit hierfür ist oder t h s gegeben sind: v 15 km/h und s 500 km gesucht ist: t (Zeit) Zuerst muss man die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe (t Zeit) alleine auf einer Seite der Gleichung steht. Dies erfolgt in Schritten mit der Multiplikation von t und der Division von v. v t s 1 Schritt: beide Seiten mit t multiplizieren, damit t auch über dem Bruchstrich v t s t t steht und auf der rechten Seite aus dem Nenner weggekürzt werden kann auf der rechten Seite können jetzt die t weggekürzt werden, dann bleibt v t s. Schritt: beide Seiten durch v dividieren, damit t links alleine stehen kann v t v t s v s v auf der linken Seite können jetzt die v weggekürzt werden, dann bleibt 500km 15km / h 4 h 4 Stunden Beispiel In ein rechteckiges Gefäß sollen 1,m³ Wasser eingefüllt werden. die Grundfläche des Gefäßes beträgt 1,0 m mal 0,6 m. Wie hoch muss das Gefäß sein, damit 1,m³ hineinpassen? gegebene Formel: Volumen Länge mal Breite mal Höhe V l b h gesucht: Höhe Die Formel wird so umgestellt, dass h alleine steht. V l b h V l b h 1. Schritt: beide Seiten durch l b dividieren, dann auf rechter Seite kürzen l b l b V 1,m ³ h h m l b 1m 0,6m Beispiel 3 Ein Gabelschlüssel, r 00 mm wird mit einer Kraft F bewegt, wobei das Drehmoment 1 NM betragen soll. Wie groß ist die Kraft F? gegebene Formel: Drehmoment Kraft mal Radius M F r gesucht: F Die Formel wird so umgestellt, dass F alleine steht. M F r M F r 1. Schritt: beide Seiten durch r dividieren, dann recht die r kürzen r r M 1Nm F 60 N r 0.m

11 Seite 11 Aufgaben 1) Heckscheibe Bei einer kalten Heckscheibenheizung wird ein Widerstand von Ω gemessen. Die Spannung beträgt 1 V. Die Formel für die Spannung lautet: U R I Stelle die Formel um und berechne die Stromstärke in der Heizung! 4) Armaturenbeleuchtung In einer Armaturenbeleuchtung sind Glühlampen ( W) parallel geschaltet. Der Widerstand bei jeder Lampe beträgt 60 Ω Die Spannung beträgt 1V. Stelle die Formel U R I um und berechne: a) Wie groß ist der Teilstrom bei jeder Lampe? Gesucht ist I 1 und I I 1 ) Hebel F 1 l 1 l b) Wie groß ist der Gesamtstrom? Am Kipphebel wirkt die Kraft F 1435 N. Wie groß ist die Kraft F 1? Gegeben: F 1300 N, l 1 00mm, l 400 mm Gesucht: F 1 F c) Wie groß ist der Gesamtwiderstand der beiden Lampen? 3) Berechnung einer Gefäßhöhe Ein rundes Gefäß hat ein Volumen von 39,7 cm³. Der Durchmesser beträgt 50 mm. Wie hoch ist das Gefäß? 5) Zylinderberechnung Der Hubraum eines Zylinders beträgt 496 cm³, der Kolbenhub beträgt 8 mm. Berechne die Zylinderbohrung.