Aufgaben zur Bestimmung des Tangentenwinkels von Spiralen

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1 Aufgabenblatt-Spialen Tangentenwinkel.doc 1 Aufgaben zu Bestimmung des Tangentenwinkels von Spialen Gegeben ist die Spiale mit de Gleichung = 0,5 φ, φ im Bogenmaß. (a) Geben Sie die Gleichung fü Winkel im Gadmaß an. (b) Um welchen Wet nimmt de Radius zu, wenn de Winkel um 30, 90, 180, 360 zunimmt? (c) Welchen Wet hat de Radius fü den Winkel φ = π/2 ( 3π/2, 10π, 30π)? (d) Jetzt soll de Winkel β bestimmt weden, unte dem eine Spiale Zentalstahlen schneidet (s. Zeichnung). Eben so gut kann man auch den Winkel α bestimmen, unte dem eine Spiale in einem Punkt B den Keis duch diesen Punkt mit dem Pol als Zentum schneidet. De Winkel α gibt an, wie stak die Spiale von einem Keis abweicht. Da Winkel nu zwischen Geaden ode Stecken definiet sind, muss man die Spiale und die Keise duch ihe Tangenten im Schnittpunkt annähen. De Schnittwinkel zwischen diesen Tangenten wid als Schnittwinkel zwischen den Linien definiet. Beechnen Sie näheungsweise den Winkel α, den die Spiale fü φ = π/3 (10π, 30π) mit dem Keis (mit Zentum P) duch den entspechenden Kuvenpunkt einschließt, indem Sie den Winkel um einen seh kleinen Wet wachsen lassen; die Spialen- und Keisstücke sind dafü dann fast geade Linien und können näheungsweise wie Stecken behandelt weden. Zentalstahl Vegößeung (+ ) b fast ein echtwinkliges Deieck mit dem Winkel α Vegößeung b (e) Scheiben Sie die Beechnung fü tan(α) allgemein mit Symbolen auf und übelegen Sie, welche einfache Fomel zu Beechnung von tan(α) sich daaus egibt, wenn man gegen Null gehen lässt. Haben Sie bei de Heleitung de Fomel benutzt, dass eine achimedische Spiale voliegt? Was sagt die Fomel übe den Winkel α bei eine achimedischen Spiale aus, wenn man den Winkel imme göße weden lässt?

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5 Aufgabenblatt-Spialen Tangentenwinkel.doc 5 Tangentenwinkel Es soll untesucht weden, welchen Winkel die Tangente an eine Spiale im Beühpunkt mit den Radialstahlen einschließt und wie diese Winkel beechnet weden kann. Statt den Winkel β zwischen den Radialstahlen und de Tangente zu beechnen kann man auch dessen Egänzungswinkel α zu 90 beechnen. α ist de Winkel im Beühpunkt, um den die Spiale von einem Keis abweicht. Fü einen Keis ist α Null. Es gilt fü jede Sekante: tan( α ) = = b 1 0 ' Sekante Fü den Winkel α mit de Tangente ehält man so 1 tan( α ) = ' b α β Tangente Logaithmische Spiale k k Aus de Gleichung = e egibt sich ' = k e = k, und daaus sofot Das bedeutet 0 1 tan( α) = k = k Fü logaithmische Spialen ist de Winkel, den die (Tangente de) Spiale mit den Radialstahlen einschließt, konstant. Die Gleichung de logaithmischen Spiale lautet = 0 e 0 tan( α) De Tangens des konstanten Tangentenwinkels ist aus de Gleichung de logaithmischen Spiale unmittelba ablesba. Die Konstanz des Tangentenwinkels folgt alledings auch schon ohne Rechnung unmittelba aus de Selbstähnlichkeit de logaithmischen Spiale unte geeigneten Dehsteckungen um den Spial-Pol: Wenn imme man eine logaithmische Spiale um ihen Pol deht und sie dann mit einem geeigneten Fakto steckt, geht die Spiale in sich selbst übe. Das folgt schon aus Gleichung 0 = q und den Potenzgesetzen, wenn man beachtet ( +δ) δ δ + δ) = q = q q = s ( ) mit Steckfakto s = q, ( 0 0 d.h. wenn man die Spiale um den Winkel δ deht ehält man die Spiale, die aus de uspünglichen duch Steckung mit dem Fakto s entsteht.

6 Aufgabenblatt-Spialen Tangentenwinkel.doc 6 Achimedische Spiale Aus de Gleichung = k egibt sich ' = k, und daaus sofot k tan( α) = Das bedeutet Fü achimedische Spialen ist de Tangens des Winkels, um den die Spiale vom Keis abweicht, umgekeht popotional zu Entfenung vom Pol. Fü goße Entfenungen veläuft die achimedische Spiale fast wie ein Keisbogen. Fü den Winkel α n nach n Umläufen gilt k k 1 tan( α n ) = = =. k n 2π 2nπ Es egeben sich folgende Wete fü die esten Umläufe: α , α , α , α , α ,..., α , α

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