Kennzeichnung stochastischer Prozesse

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1 . Kennzeichnung sochasischer Prozesse Der Plaz der sochasischen Prozesse in der Regelungsechnik Beschreibung sochasischer Prozesse im Zeibereich Die Auokorrelaionsfunkion (AKF) Die Kreuzkorrelaionsfunkion (KKF) Zusammensellung der wichigsen Eigenschafen von Korrelaionsfunkionen Eigenschafen der AKF Eigenschafen der Kreuzkorrelaionsfunkion Zusammenhang zwischen Korrelaion und Falung: Beschreibung sochasischer Prozesse im Frequenzbereich Die spekrale Leisungsdiche sochasischer und periodischer Prozesse Die spekrale Energiediche aperiodischer Funkionen...1 Prof. Dr.-Ing. Tajana Lange Kennzeichnung sochasischer Prozesse.doc 0

2 . Kennzeichnung sochasischer Prozesse.0. Der Plaz der sochasischen Prozesse in der Regelungsechnik Was sind sochasische Prozesse? Von sochasischen Prozessen oder Zufallsprozessen sprich man, wenn besimme physikalische Größen in Abhängigkei von der Zei zufällige Were annehmen können. Hier enseh sofor die Nowendigkei, das Wor "Zufall" zu definieren. Lau [Biomerix] sprich man beim Zusammenreffen von Ereignissen immer dann vom Zufall, wenn zwischen ihrem Einreen kein oder nur ein unwesenlicher innerer Zusammenhang beseh. Ein Ereignis häng vom Zufall ab, wenn sein Einreen weder sicher noch unmöglich is, sondern mi einer gewissen Wahrscheinlichkei erfolg. Würde man die Realisierung eines Zufallsprozesses, sprich eine Momenaufnahme dieses Prozesses, in einem Koordinaensysem darsellen, so könne diese z.b. wie folg aussehen: u () s Abb..0.1.: Realisierung eines Zufallsprozesses Wo können nun solche Zufallsprozesse aufreen? Sochasische Prozesse riff man im äglichen Leben sändig und überall, z.b. bei den zufälligen äglichen Temperarurschwankungen. Werfen wir den Blick auf die Technik, so finden wir z.b. zufällige Ferigungsungenauigkeien hermisches Rauschen in elekronischen Baugruppen das Einwirken zufälliger magneischer Felder auf Überragungssrecken. Berachen wir die Ökologie, so finden wir z.b. solche Zufallsprozesse wie Lufzirkulaion Wasserbewegungen Aus dieser Konfronaion heraus ensehen Aufgaben wie Prof. Dr.-Ing. Tajana Lange Kennzeichnung sochasischer Prozesse.doc 1

3 die Vorhersage der Enwicklung von Zufallsprozessen die Bewerung der Einwirkung von Zufallsprozessen auf Syseme echnischer und nichechnischer Naur die Eliminierung von Zufallsprozessen bzw. die Trennung von nüzlichen Prozessen und Sörungen, wobei zumindes die lezeren meis Zufallsprozesse sind. Zufallsprozesse sind aber nich nur und nich immer sörend. In vielen Fällen ha man sich Zufallsprozesse zu nuzen gemach, z.b. bei derinformaionsüberagung, in der Meßechnik, in der Musererkennung. Auch die Erkundung der Möglichkeien, Zufallsprozesse nuzbringend anzuwenden, gehör zu den Aufgaben, die zu berachen sind. Wie können Zufallsprozesse beschrieben werden? Ensprechend der Definiion von Zufallsprozessen kann der Verlauf dieser Prozesse über der Zei nich durch eindeuige mahemaische Ausdrücke direk beschrieben werden. Sa dessen muß man auf mielbare Beschreibungsmöglichkeien zurückgreifen. Solche Möglichkeien bieen die Wahrscheinlichkeisheorie und die mahemaische Saisik mi relaive Häufigkeien und Wahrscheinlichkeien, Vereilungsfunkionen und Dichefunkionen, empirische Momenen und mahemaische Momenen. Diese Beschreibungsmiel, die im Sinne eines kleinen Kompendium in Anlage??? dargesell werden, bilden die Basis für die im Teil II dargesellen Schäzverfahren und Srukursuchealgorihmen für die Sysemidenifikaion zu Prognose- und Seuerzwecken. Sind aber wenig geeigne zur Analyse der Einwirkung von sochasischen Prozessen auf Syseme. Mi Hinblick auf die in Teil I behandelen sochasische Prozesse in linearen und nichlinearen Sysemen und die Sysemidenifikaion miels Korrelaionsechnik is es also nowendig, auch die in der Sysemheorie bzw. Prozeßanalyse gebräuchlichen Beschreibungsmiel für sochasische Prozesse wie Korrelaionsfunkionen und spekrale Leisungsdichen einzugehen. Diesem Anliegen sind die Abschnie.1. und.. gewidme. Prof. Dr.-Ing. Tajana Lange Kennzeichnung sochasischer Prozesse.doc

4 .1. Beschreibung sochasischer Prozesse im Zeibereich In den Kapieln 4 und 5 soll das Zusammenspiel zwischen sochasischen Prozessen und Sysemen berache werden. Dabei geh es ensprechend der in Abb dargesellen klassischen Aufgabensellung z.b. um folgende Fragen: Ermilung von Aussagen über den sochasischen Prozeß xs () am Ausgang des Sysems bei gegebener Sysembeschreibung und gegebenen Aussagen über den sochasischen Prozeß us () am Eingang des Sysems oder Ermilung von Aussagen über den sochasischen Prozeß us () am Eingang des Sysems bei gegebener Sysembeschreibung und gegebenen Aussagen über den sochasischen Prozeß xs () am Ausgang des Sysems u () s Sysem x () s Abb..1.1: Wirkung eines sochasischen Prozesses auf ein Sysem Für diese Aufgabensellung sind die bisher beracheen Momene als Beschreibungsmiel sochasischer Prozesse nich ausreichend. So lassen sich z.b. nur aus der Kennnis der Momene des am Sysemeingang wirkenden Prozesses und der Sysembeschreibung nich die Momene des Prozesses am Sysemausgang besimmen. Zur Lösung dieser Aufgabe is es erforderlich, die beracheen sochasischen Prozesse durch eine geeignee Funkion, z.b. eine Zeifunkion zu beschreiben. Eine solche Funkion is mi der Korrelaionsfunkion gegeben Die Auokorrelaionsfunkion (AKF) Die Auokorrelaionsfunkion is definier als R ( ) = () ( + ) lim 1 T u u d s s T T Maßeinhei: falls us () : [ V ] dann R ( ): [ V ] (.1.1.) Die (experimenell) aus dem sochasischen Signal u () s besimmbare Auokorrelaionsfunkion R ( ) is ein Maß der (linearen) saisischen Abhängigkei zweier Momenanwere des Zufallssignals us (), die sich im zeilichen Absand voneinander befinden. Prof. Dr.-Ing. Tajana Lange Kennzeichnung sochasischer Prozesse.doc 3

5 Die mahemaische Vorschrif (.1.1.) zur Ermilung der AKF sochasischer Signale oder Prozesse kann formal auch auf deerminiere periodische und aperiodische Signale angewand werden, was sich bei der Lösung prakischer Aufgaben of als nüzlich erweis: AKF periodischer Zeifunkionen: R pp 1 n ( ) = p () p( + ) p n p u u d Maßeinhei: falls u () [ ] AKF aperiodischer Zeifunkionen: ( ) = ( ) ( + ) R u u d Maßeinhei: falls () [ ] p : V dann R pp ( ): [ V ] u: V dann R( ): [ V s] (.1..) (.1.3.).1.. Die Kreuzkorrelaionsfunkion (KKF) Die Kreuzkorrelaionsfunkion is definier als R ux ( ) = () ( + ) lim 1 T u x d s s T T (.1.4.) Die Kreuzkorrelaionsfunkion is das Maß für die saisische Abhängigkei zweier Zufallsprozesse us () und xs (), die um die Zeidauer voneinande versez sind. Auch hier is die formale Anwendung der mahemaischen Vorschrif (.1.4.) auf deerminiere periodische und aperiodische Prozesse möglich: KKF periodischer Zeifunkionen: R 1 n ( ) = p () p ( + ) u u d pp 1 1 p n p (.1.5.) Voraussezung: Beide Funkionen up 1 () und up () müssen die gleiche Periodendauer p haben oder die Periode der einen Funkion muß ein ganzahliges Vielfaches der periode der anderen Funkion sein, z.b. = = m p p p 1. KKF aperiodischer Zeifunkionen: ( ) = ( ) ( + ) R u u d 1 1 (.1.6.) Prof. Dr.-Ing. Tajana Lange Kennzeichnung sochasischer Prozesse.doc 4

6 .1.3. Zusammensellung der wichigsen Eigenschafen von Korrelaionsfunkionen Eigenschafen der AKF (a) Die AKF is immer eine gerade Funkion, d.h. es gil R = R. ( ) ( ) R ( ) (b) Der Wer der AKF bei =0 is gleich dem quadraischen Mielwer m (Momen. Ordnung) bzw. zahlenmäßig gleich der mileren Gesamleisung *) des sochsischen Prozesses: R( = ) = m 0 *) Anmerkung: milere Gesamleisung am Widersand 1Ω: u () s 1 Ω (c) Der Wer der AKF bei is gleich dem Quadra des linearen Mielweres m 1 des sochasischen Prozesses, also R ( ) = m1 bzw. zahlenmäßig gleich der Gleichleisung des "sochasischen" Prozesses am Widersand 1Ω R ( ) Dami ergib sich folgende Beziehung für das zenriere Momen. Ordnung: µ = m m1 m µ m 1 (d) Für die AKF aperiodischer Signale is der Funkionswer R( =0 ) bzw. ( 0) = ( ) R u d als Energie des Signals zu inerpreieren. Prof. Dr.-Ing. Tajana Lange Kennzeichnung sochasischer Prozesse.doc 5

7 Anmerkung: Sreng genommen is der Gleichaneil kein Besandeil des Zufallsprozesses (da dieser Gleichaneil deerminier is), sondern eine Überlagerung des sochasischen Prozesses: u () s R ( ) a()=a 0 v () s A 0 R ( ) aa R ( ) vv A 0 (formal) A 0 A 0 v () = u () + A 0 ( ) ( ) R = R + A 0 vv (e) Der Wer der AKF bei =0 is immer gleich dem Maximum der AKF: R = 0 > R 0 ( ) ( ) Prof. Dr.-Ing. Tajana Lange Kennzeichnung sochasischer Prozesse.doc 6

8 (f) Die AKF einer periodischen Funkion up () mi der Periode p is ebenfalls eine periodische Funkion mi der gleichen Periode p. u () p i pp R ( ) U 0 p i p (g) Für die addiive Überlagerung eines periodischen Prozesses mi einem unabhängigen sochasischen Prozeß (ohen Gleichaneil 1 ) ergib sich die AKF zu ( ) = ( ) + ( ) R R R vv xx pp u () p R ( ) pp R ( ) xx x () s v () s R ( ) vv 1 Der Gleichaneil is dem deerminieren Signal zuzuordnen. Prof. Dr.-Ing. Tajana Lange Kennzeichnung sochasischer Prozesse.doc 7

9 Eigenschafen der Kreuzkorrelaionsfunkion Die KKF zweier sochasischer Pozesse us () und xs () (oder zweier deerminierer aperiodischer Funkionen u () und x ()) is eine aperiodische, nich nowendig gerade Funkion. Es gil: (a) R ( ) = R ( ) ux xu R ux( ) R xu( ) R (- ) ux (b) R ux ( ± ) = 0, wenn wenigsen ein Prozeß zenrier (ohne Gleichaneil is) (c) R ( 0) + R ( 0) > R ( ) xx ux (d) Unabhängigkei und Orhogonaliä: Zwei (ergodische) sochasische Prozesse us () und xs () heißen R ux 0. orhogonal, wenn ihre KKF idenisch gleich Null is: ( ) Für die Orhogonaliä zweier sochasischer Prozesse is es hinreichend, daß sie unabhängig sind und daß mindes ein Prozeß zenrier is. Für die Summe v () u () x () u () s und xs () gil: = + der orhogonalen Prozesse s s s ( ) = ( ) + ( ) R R R vv xx (e) Die KKF periodischer Prozesse mi der Periode p is selbs eine periodische Funkion mi der Periode p. Prof. Dr.-Ing. Tajana Lange Kennzeichnung sochasischer Prozesse.doc 8

10 Zusammenhang zwischen Korrelaion und Falung: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R1 = u1 u + d= u1 u d= u1 u """" """"! """""" """"""! ( ) ( ) KKF der Funkionen u und u Falung der Funkionen u und u 1 1 (.1.7) KKF aperiodischer Funkionen: Falung zweier aperiodischer Funkionen: ( ) = ( ) ( + ) R u u d 1 1 Algorihmus zur punkweisen Berechnung der KKF: u () u ( ) um 1 verschieben + 1 mi u1 () muliplizieren und Fläche uner dem Produk u1() u( + 1) besimmen (= Wer der KKF für 1 ) u () um verschieben erneu Fläche uner dem Produk u1() u( + ) besimmen (=Wer der KKF für ) usw. u () 1 ( ) ( ) = ( ) ( ) u u u u d 1 1 Algorihmus zur punkweisen Berechnung der Falung: µ = µ () ( ) up Cu δ f µ f 0 µ = durch Spiegelung von ( ) ( ) Sux f jπf = Rux e d an der Ordinae bilden u ( ) um 1 verschieben u( + 1) mi u1( ) muliplizieren und Fläche uner dem Produk u1( ) u( + 1) besimmen (= Wer der Falung für 1 ) u ( ) um verschieben erneu Fläche uner dem Produk u1( ) u( + ) besimmen (=Wer der Falung für ) usw. u (-) 1 Fk. mi posiivem Argumen wird bei >0 nach u ( + ) links verschoben. u () u ( -) u (-) u () Fk. mi neg. Argumen wird bei >0 nach rechs verschoben. u () 1. u ( + ) u (-) 1. u ( -) gleiche Flächen! Prof. Dr.-Ing. Tajana Lange Kennzeichnung sochasischer Prozesse.doc 9

11 .. Beschreibung sochasischer Prozesse im Frequenzbereich..1. Die spekrale Leisungsdiche sochasischer und periodischer Prozesse Die AKF und die KKF sind gemiele Funkionen im Zeibereich. Als Zeifunkionen können sie im allgemeinen mi der Fourierransformaion (..1) jπf jπ f U f u e df u U f e df ( ) = () () = ( ) auch im Bild-/oder Frequenzbereich abgebilde werden. Zur Darsellung des Zusammenhangs (..1) zwischen der Originalfunkion u () im Zeibereich und deren Fourierransformieren U( f ) im Frequenz- bzw. Bildbereich wird nachfolgend folgende Symbolik verwende: () U( f) u Die spekrale Leisungsdiche eines sochasischen Prozesses us () (oder periodischen Prozesses) läß sich folglich aus dessen AKF gewinnen: Kurzbezeichnung: ( ) = ( ) jπf S f R e d ( ) ( ) S f R (..) Die spekrale Leisungsdiche des sochasischen Prozesses us () zeig die Vereilung der Leisung dieses Prozesses auf die unerschiedlichen Frequenzbänder: u () s Ampliude R ( ) [V] m Gesamleisung [V ] S ( f ) Leisung pro Hz [V /Hz ] f Eine Kurzdarsellung grundlegender Beziehungen der Fourierransformaion is im Anhang enhalen. Für Leser, die noch keine Bekannschaf mi der Fourier- Transformaion machen konnen, muß auf ensprechende Basislieraur, z.b. auf [Kress] verwiesen werden. Prof. Dr.-Ing. Tajana Lange Kennzeichnung sochasischer Prozesse.doc 10

12 Eigenschafen der spekralen Leisungsdiche: (a) = ( ) = ( ) m R S f df 0 Die milere Gesamleisung des sochasischen Prozesses us () (am Widersand von 1Ω) is gleich der Gesamfläche uner ser spekralen S f Lerisungsdiche ( ). (..3) (b) S ( f ) 0 Die spekrale Leisungsdiche kann keine negaiven Were annehmen. (c) S ( f ) S ( f ) = Die spekrale Leisungsdiche is immer eine relle gerade Funkion. (..4) (..5) Prof. Dr.-Ing. Tajana Lange Kennzeichnung sochasischer Prozesse.doc 11

13 ... Die spekrale Energiediche aperiodischer Funkionen Zunächs sei daran erinnern, daß mi Gl. (.1.7) folgender Zusammenhang zwischen der AKF aperiodische Funkionen und der Falung gil: ( ) = ( ) ( + ) = ( ) ( ) R u u d u u (..6) + ( ) Mi u( ) U( f ) U( f ) e j ϕ = f ( ) und u( ) U ( f ) = U( f ) e j ϕ f dem Falungssaz (..10) folgende Beziehung für die spekrale Energiediche S( f ): Beispiel: ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) * ergib sich dann aus R u u U * f U f U f S f (..7) Originalsignal im Zeibereich Spekrale Ampliudendiche [V] u() U 0 U(f) [V/Hz] U 0 T U 0 T si( πtf) T 1/T f Auokorrelaionsfunkion (AKF) Spekrale Energiediche R( ) T S(f)= U(f) U 0 T [V s] [V s/hz] U 0 T U 0 T U 0 T si ( πtf) 1/T f Prof. Dr.-Ing. Tajana Lange Kennzeichnung sochasischer Prozesse.doc 1