Differentialgleichungen sind überall!
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- Berndt Stieber
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1 Differentialgleichungen sind überall! Helmut Abels Fakultät für Mathematik Universität Regensburg Folien und Co.: Schnupperstudium Mathematik Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
2 Wiederholung/Kurzeinführung: Differentialrechnung Für f : (a, b) R ist f (t) = lim h 0 f (t + h) f (t) h die Ableitung von f in t (a, b), wobei lim h 0 den Grenzwert für h 0 bezeichnet. (Genauer: in Analysis I -Vorlesung) f (t) ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f in (t, f (t)): Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
3 Wiederholung/Kurzeinführung: Differentialrechnung Für f : (a, b) R ist f (t) = lim h 0 f (t + h) f (t) h die Ableitung von f in t (a, b), wobei lim h 0 den Grenzwert für h 0 bezeichnet. (Genauer: in Analysis I -Vorlesung) f (t) ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f in (t, f (t)): f (t) ist die Ableitung der Funktion f in t. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
4 Differentialrechnung: Beispiele 1 Ist f (t) = t k, so ist f (t) = kt k 1 für alle t R mit t 0, falls k < 0. Insbesondere ist (1) = 0, (t) = 1,, (t 2 ) = 2t, ( 1 t ) = 1 t 2. 2 Ist f (t) = e t, wobei e = 2, die Eulersche Zahl ist, so gilt für alle t R. f (t) = lim h 0 e t+h e t h = e t e h 1 lim h 0 h }{{} = e t =1 (Wahl von e ) Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
5 Differentialrechnung: Rechenregeln Es seien f, g : (a, b) R, c R. Dann gilt für alle t (a, b): (cf ) (t) = cf (t) (Linearität) (f + g) (t) = f (t) + g (t) (Linearität) (fg) (t) = f (t)g(t) + f (t)g (t) (Produktregel) Außerdem folgt aus f (t) = g (t) für alle t (a, b), dass es ein c R gibt mit f (t) = g(t) + c für alle t (a, b). Schließlich gilt für f : (a, b) (α, β), g : (α, β) R und alle t (a, b) (g(f (t))) = g (f (t))f (t) (Kettenregel) Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
6 Was beschreiben Differentialgleichungen? (I) Die Funktion y beschreibe eine Größe wie: den Ort eines Gegenstandes (Auto, Flugzeug, Stein,...) die Temperatur, die Konzentration oder die Radioaktivität eines Stoffes die Größe einer Population (Einwohner, Kaninchen,...) den Wert einer Aktie, Währung,... Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
7 Was beschreiben Differentialgleichungen? (I) Die Funktion y beschreibe eine Größe wie: den Ort eines Gegenstandes (Auto, Flugzeug, Stein,...) die Temperatur, die Konzentration oder die Radioaktivität eines Stoffes die Größe einer Population (Einwohner, Kaninchen,...) den Wert einer Aktie, Währung,... Dann beschreibt y die Änderungsrate dieser Größe, d.h.: die Geschwindigkeit des Gegenstandes die Zunahme/Abnahme der Temperatur,... das Wachstum der Population die Wertsteigerung der Aktie bzw. Währung y beschreibt die Änderungsrate der Geschwindigkeit (Beschleunigung), des Wachstums,... Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
8 Was beschreiben Differentialgleichungen? (II) Also: Eine Differentialgleichung setzt eine Größe, beschrieben durch die Funktion y, mit deren Änderungsraten (y, y,...) in Beziehung. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
9 Was beschreiben Differentialgleichungen? (II) Also: Eine Differentialgleichung setzt eine Größe, beschrieben durch die Funktion y, mit deren Änderungsraten (y, y,...) in Beziehung. Beispiel: y(t) beschreibe die Menge an Bakterien zur Zeit t Wachstum der Bakterienzahl Zahl der Bakterien y (t) = ay(t) für ein a R Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
10 Beispiel 1 Die Lösungen von y (t) = g mit y(0) = y 0 > 0 und y (0) = v 0 sind gegeben durch y(t) = g t2 2 + c 1t + c 2 für alle t R. Falls y 0 = 0, v 0 = 1, g = 1: Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
11 Beispiel 2 Die Lösungen von y (t) = ay(t) (1) mit y(0) = y 0 > 0 sind gegeben durch y(t) = y 0 e at für alle t R. Falls a = 1 > 0: Falls a = 1 < 0: Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
12 Wofür werden Differentialgleichungen verwendet? Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
13 Wofür werden Differentialgleichungen verwendet? Mit Differentialgleichungen können (natur-) wissenschaftliche Gesetze mathematisch formuliert werden. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
14 Wofür werden Differentialgleichungen verwendet? Mit Differentialgleichungen können (natur-) wissenschaftliche Gesetze mathematisch formuliert werden. Dabei werden die Gesetze im Rahmen vereinfachender Annahmen (Modell) aufgestellt. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
15 Wofür werden Differentialgleichungen verwendet? Mit Differentialgleichungen können (natur-) wissenschaftliche Gesetze mathematisch formuliert werden. Dabei werden die Gesetze im Rahmen vereinfachender Annahmen (Modell) aufgestellt. Das Lösen von Differentialgleichungen ermöglicht Vorhersagen über die Entwicklung der Größen im betrachten System. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
16 Wofür werden Differentialgleichungen verwendet? Mit Differentialgleichungen können (natur-) wissenschaftliche Gesetze mathematisch formuliert werden. Dabei werden die Gesetze im Rahmen vereinfachender Annahmen (Modell) aufgestellt. Das Lösen von Differentialgleichungen ermöglicht Vorhersagen über die Entwicklung der Größen im betrachten System. Realität Situation Vorhersage Modellierung Interpretation Mathematik Differentialgleichung Lösung Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
17 Beispiel 3 Die Lösungen von y (t) = y(t) 2 mit y(0) = y 0 > 0 sind gegeben durch Falls y 0 = 1 : y(t) = 1 1 y 0 t für alle t (, 1 y 0 ). Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
18 Berechnung der Lösung im Allgemeinen Nicht immer lässt sich die Lösung der Differentialgleichung explizit berechnen. (Sie muss noch nicht einmal existieren oder eindeutig sein.) Dies gilt vor allem für nichtlineare Differentialgleichungen. Beispiel: Mathematisches Pendel mϕ (t) = mg sin(ϕ(t)), ϕ(0) = a, ϕ (0) = b. phi l=1 F= mgsin Die Lösungen lassen sich nicht mehr exakt, sondern nur noch näherungsweise (z.b. mit Computer) berechnen. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
19 Ausblick: Partielle Differentialgleichungen (I) Alle Größen/ Funktionen hingen bis jetzt nur von einer Variablen ab. Die zugehörigen Differentialgleichungen heißen auch gewöhnliche Differentialgleichungen. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
20 Ausblick: Partielle Differentialgleichungen (I) Alle Größen/ Funktionen hingen bis jetzt nur von einer Variablen ab. Die zugehörigen Differentialgleichungen heißen auch gewöhnliche Differentialgleichungen. Hängt die Funktion z.b. vom Ort x und Zeit t, so müssen partielle Ableitungen betrachtet werden: x u(x, t) t u(x, t) Steigung, wenn x variert und t fixiert ist. Steigung, wenn t variert und x fixiert ist. f(x,t) t (x,y) x 01 Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
21 Ausblick: Partielle Differentialgleichungen (II) Beispiel: t u(x, t) = c x u(x, t) (Transportgleichung) u(x, t) beschreibt z.b. die Konzentration eines Stoffes am Ort x zur Zeit t. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
22 Ausblick: Partielle Differentialgleichungen (II) Beispiel: t u(x, t) = c x u(x, t) (Transportgleichung) u(x, t) beschreibt z.b. die Konzentration eines Stoffes am Ort x zur Zeit t. Lösung: u(x, t) = u 0 (x + c t) wobei u 0 eine beliebige von einer Variablen abhängige differenzierbare Funktion ist. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
23 Ausblick: Partielle Differentialgleichungen (III) Partielle Differentialgleichungen beschreiben komplexe Sachverhalte. Z.B.: elektrische und magnetische Felder Verbiegen von Körpern die Bewegung von Flüssigkeiten Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
24 Ausblick: Partielle Differentialgleichungen (III) Partielle Differentialgleichungen beschreiben komplexe Sachverhalte. Z.B.: elektrische und magnetische Felder Verbiegen von Körpern die Bewegung von Flüssigkeiten Die Differentialgleichungen werden oft aus physikalischen Prinzipien wie Erhaltung von Masse und Impuls und Kräftegleichgewichten hergeleitet. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
25 Ausblick: Partielle Differentialgleichungen (III) Partielle Differentialgleichungen beschreiben komplexe Sachverhalte. Z.B.: elektrische und magnetische Felder Verbiegen von Körpern die Bewegung von Flüssigkeiten Die Differentialgleichungen werden oft aus physikalischen Prinzipien wie Erhaltung von Masse und Impuls und Kräftegleichgewichten hergeleitet. Die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen ist im allgemeinen Fall ein ungelöstes Problem und aktuelles Forschungsgebiet. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 7. September / 14
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