( ) (L3) ( ) ( ) Gymnasium Neutraubling: Grundwissen Mathematik 9. Jahrgangsstufe. Reelle Zahlen. a ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert a

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1 Gymnasium Neutaublin: Gundissen Mathematik. Jahansstufe Wissen und Können Reelle Zahlen Iationale Zahlen sind Zahlen, die nicht als Buch (ationale Zahl) dastellba sind. Eine iationale Zahl hat eine unendliche nicht peiodische Dezimalbuchenticklun. Die ationalen Zahlen und die iationalen Zahlen eeben zusammen die eellen Zahlen. Es eeben sich damit folende Zahlenmenen: : Mene de natülichen Zahlen : Mene de anzen Zahlen : Mene de ationalen Zahlen : Mene de eellen Zahlen a heißt Quadatuzel aus a, a ist de Radikand. a ist diejenie nicht neative Zahl, die quadiet a eibt. Aufaben, Beispiele und Eläuteunen Bsp.: Die Diaonale eines Quadates mit de Seitenläne hat die Läne. Die Keiszahl (,464...) ist eine iationale Zahl. Bsp.: 8 ; 0 0; 0, , ; 4 7 ; Abe: ist nicht definiet! Recheneeln (vl. Potenzesetze): a b a b ; a, falls a 0 a a a, falls a 0 n a n a (teil. Radizieen) ( ) x y x y ; x y x y (Bin. Fomeln) n-te Wuzeln: (p ; q ) ( ) Potenzesetze (Wdh. 7.Klasse): a a a und a :a a s s s s (Rationalmachen des Nennes) a b a b und a : b a : b a s s a Bsp.: xz : Bsp.: x 44 x x x ; u 80u u 80u 00u 0 u z 7 xz z z 8xz 8xz x x ; z ; 4 x x ; ; n n x ; ; x 88x y : x y ; ab ; (L) 8 Scheibe als Potenz: 6 x 6 ; Scheibe als Wuzel: z ; z ; ; x ; ; 7 ; 6 x z (L) ( ) (L)

2 Gymnasium Neutaublin: Gundissen Mathematik. Jahansstufe Satzuppe des Pythaoas: Das echtinklie Deieck Beechne die Seitenlänen und den Flächeninhalt des Deiecks ABC. Geeben: echte Winkel bei B; Hypotenusenabschnitt mit Endpunkt A: p = 6,4 dm; Höhe auf die Hypotenuse b: h b = 4,0 dm. Beechne die Höhe eines leichseitien Deiecks mit de Seitenläne a. Zeichne die Punkte P(- -) und Q( ) in ein Koodinatensystem und bestimme ihen Abstand echneisch. Im echtinklien Deieck mit de Hypotenuse c, dem an a anlieenden Hypotenusenabschnitten p und dem an b anlieenden Hypotenusenabschnitt q ilt: a cp (Kathetensätze) b cq c h pq (Höhensatz) a b c (Satz des Pythaoas) Kehsatz zum Satz des Pythaoas: Gilt in einem Deieck einen echten Winkel am Punkt C. a b c, so besitzt das Deieck Zeie schitteise, ie man die Raumdiaonale eines Quades mit l, b, h beechnen kann. (L4) Aufabe: Ist ein Deieck mit den Seitenlänen a = cm, b = cm und c = cm echtinkli? (L) Quadatische Funktionen und quadatische Gleichunen y ax bx c a 0 heißt y 0,x x, S Eine Funktion de Fom quadatische Funktion (in Nomalenfom). Ih Gaph ist eine Paabel. De Gaph de Funktion y x heißt Nomalpaabel. Weitee Scheibeisen fü quadatische Funktionen: Scheitelfom: y a x d e, mit Scheitel Sd e Ausehend von de Nomalpaabel ibt d die Veschiebun des Scheitels in x-richtun, e die Veschiebun des Scheitels in y-richtun an. Nullstellenfom (falls Nullstellen vohanden sind):, x und x : Nullstellen y a x x x x mit Scheitel De Fomfakto a hat folenden Einfluss auf die Öffnun de Paabel: a 0: Die Paabel ist nach oben eöffnet. a 0: Die Paabel ist nach unten eöffnet. a : Die Paabel ist ene als die Nomalpaabel. a : Die Paabel ist eite als die Nomalpaabel. Scheitelfom: y 0,x Nullstellenfom: y 0,x x Nomalenfom: y 0,x x,

3 Gymnasium Neutaublin: Gundissen Mathematik. Jahansstufe Quadatische Eänzun: ( ) Ausklammen ( ) quadat. Eänzun Bestimme die Scheitelfom und die Nullstellenfom: :; hoch [( ) ] ( ) Ausmultiplizieen Eine Gleichun, bei de die Lösunsvaiable quadatisch auftitt, heißt quadatische Gleichun. Quadatische Gleichunen de Fom ax bx c 0 a 0 eden mit de Lösunsfomel fü quadatische Gleichunen elöst: x/ b b 4ac a D b 4ac heißt Diskiminante. Dabei hat die quadatische Gleichun Lösunen, enn D 0 Lösun, enn D 0 keine Lösun, enn D 0 Löse die Gleichunen: x x 0 0 x 4x 0 0,x x 0, s 4s (L6) (L7) Sondefälle: Quadatische Gleichunen de Fom ax c 0 a 0 eden leichte duch Auflösen und Wuzelziehen elöst. Quadatische Gleichunen de Fom ax bx 0 a 0 eden leichte duch Ausklammen von ax elöst. Löse die Gleichunen: 0x 4x 0 x 0 (L8)

4 Gymnasium Neutaublin: Gundissen Mathematik. Jahansstufe Zufallsexpeimente, die aus meheen Teilexpeimenten bestehen, heißen mehstufie Zufallsexpeimente. Mehstufie Zufallsexpeimente Bsp.: In eine Une lieen ote, eiße und elbe Kueln. Es eden zei Kueln nacheinande ezoen: a) ohne Zuückleen, b) mit Zuückleen. Pfadeel: Bei einem mehstufien Zufallsexpeiment ehält man die Wahscheinlichkeit eines Eebnisses, indem man die Wahscheinlichkeiten läns des zuehöien Pfades im Baumdiaamm multipliziet. a) ohne Zuückleen. Pfadeel: Bei einem mehstufien Zufallsexpeiment ehält man die Wahscheinlichkeit eines Eeinisses, indem man die Summe de Wahscheinlichkeiten dejenien Pfade bildet, die zu dem Eeinis ehöen. Eeinisse: A: Eine ote und dann eine elbe Kuel id ezoen. B: Zei leichfabie Kueln eden ezoen. PA PB 0 4 Geeneeinis: A : Nicht A ist das Geeneeinis von A. Es ilt: PA PA b) mit Zuückleen (siehe Lösunen) (L) Wie oß ist die Wahscheinlichkeit, beim deimalien Wefen eines Wüfels mindestens einmal eine 6 zu ehalten? A : mindestens einmal 6 A : keine 6 P A P A

5 Gymnasium Neutaublin: Gundissen Mathematik. Jahansstufe Die Seitenvehältnisse im echtinklien Deieck haben besondee Namen: Geenkathete des Winkels sin Hypotenuse Ankathete des Winkels cos Hypotenuse Geenkathete des Winkels tan Ankathete des Winkels Bemekun: Die Hypotenuse ist imme die länste Seite eines echtinklien Deiecks. Tionometische Fomeln: ( ) ( ) ( ) ( ) Tionometie Beispiel: Steiun 8 % auf dem Staßenschild: Behöhe tan 0, 08 0, 08 Bebeite Behöhe 0, 08Bebeite Bebeite : 70m Höhe : 60m ; Steiunsinkel : 4, In einem bei C echtinklien Deieck ABC ilt a = 4, cm und α=0 : Beechne b und c. Eine Peson de Göße,7 m steht im Abstand 0 m vo einem Tum und sieht diesen unte einem Ehebunsinkel (Winkel een die Hoizontale) von 4. Beechne die Tumhöhe. (Rechne mit Auenhöhe,60m.) Beechne die Boenläne und den Flächeninhalt eines Keissektos zum Mittelpunktsinkel 80 und de Keissehne de Läne 6 cm. (L) Geades Pisma: O = G + M V = G h Geade Keiszylinde: O = ( + h) V = h Pyamide: O = G + M V = G h Raumeometie Allemeine Bezeichnunen: G: Gundflächeninhalt M: Mantelflächeninhalt O: Obeflächeninhalt V: Volumen h: Höhe des Köpes : Gundkeisadius m: Mantellinie Eine 6cm hohe Pyamide hat als Gundfläche ein Quadat mit de Seitenläne 4cm. Beechne Obefläche und Volumen de Pyamide. Ein Keel, dessen Höhe leich dem Radius seines Gundkeises ist, hat das Volumen 0cm³. Beechne seinen Radius und seine Obefläche. (L) Geade Keiskeel: O = G + M = + m ² + h²= m² V = h

6 Gymnasium Neutaublin: Gundissen Mathematik. Jahansstufe Lösunen: L: 4 88x y 8 y x x 6x 6x ; 88x y : x y x y x y x y xy 4 z z ; a b a b a b L: x x x ; x x x ; x x x x z z ; z z ; z z z z L: 4, 6, ; ; L4: Deieck 4,0dm c 6, 4dm 4, 0dm 6,6dm 7,dm; q,dm; 6,4dm b 6, 4dm,dm 8,dm; a 8,dm 6,6dm, dm 4, 7dm AABC bhb 8,dm 4, 0dm 7,8dm leichseities Deieck a a ha a a a a 4 4

7 Gymnasium Neutaublin: Gundissen Mathematik. Jahansstufe Abstand von P und Q p q p q d x x y y ,6 LE Raumdiaonale L: Ein Deieck mit den Seitenlänen cm, cm und cm besitzt een cm cm cm bei A einen echten Winkel L6: Nomalenfom Scheitelfom Nullstellenfom ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) --- ( )( ) ( ) ( )( ) L7: x x 0 0 x x x 4x 0 keine Lösun 0,x x 0, x / 8 s 4s s s 0 x/ x/ x x L8: 0x 4x 0; 4x x 0 x 0 x 0, x 0; x x /

8 Gymnasium Neutaublin: Gundissen Mathematik. Jahansstufe L: PA 0 PB 0 L: Deieck a a 4,cm sin c = = = 8,4 cm c sinα sin0 b cos b = c cos = 7, cm c Tumaufabe h tan 4 0m h tan 40m, 06m, 06m, 60m 6, 66m 7m

9 Gymnasium Neutaublin: Gundissen Mathematik. Jahansstufe Keissektoaufabe Keisboen: AB cm sin 4, 7cm sin 40 b 80 b 6,cm u Keis Sektofläche: ASekto 80 ASekto, cm A Keis L: Pyamide Höhe de Seitenfläche: ( ) ( ) Obefläche: Volumen: ( ) Keel