PHYSIK. Gleichförmige Bewegungen. Datei Nr Geradlinige Bewegungen. Teil 1 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.

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1 PHYSIK Geradlinige Bewegungen Teil 1 Gleichförige Bewegungen Daei Nr Friedrich W. Buckel Geänder: 18. Januar 2013 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 91111 Gleichförige Bewegung 2 Inhal 1 Grundlagen der gleichförigen Bewegung 3 2 Gleichförige Bewegung i Sarpoiion 6 3 Achung Gegenverkehr! 8 4 Bewegungdiagrae 13 Hinweie E wurde viel Mühe darauf verwende, einige Beipiele i ich begegnenden bzw. einholenden Fahrzeugen darzuellen. Die gechah einerei i Bewegunggleichungen al auch graphich in Weg-Zei-Diagraen. E gib ei 2011 einen Tex Bewegungalgebra i vielen Aufgaben zu olchen gleichzeiigen Bewegungen -

3 91111 Gleichförige Bewegung 3 1. Grundlagen der gleichförigen Bewegung Definiion: Eine Bewegung heiß gleichförig, wenn der bewege Körper in gleichen Zeipannen gleich lange Srecken zurückleg. I Unerrich führ an dazu in aller Regel Experiene i einer Fahrbahn au. Darauf befinde ich ein Wagen, der diee gleichförige Bewegung achen oll. Die geh nun experienell gar nich o einfach. Zu einen uß an ihn au der Ruhe herau er einal kurzzeiig bechleunigen, dai er überhaup in Bewegung ko. Zu andern uß an die Reibung auchalen. Dazu gib an der Fahrbahn ein o iniale Gefälle, daß die darau enehende Bechleunigungkraf ich gerade i der Reibungkraf augleich. Mi den heuigen Lufkienfahrbahnen i diee Reibung nur noch ganz inial vorhanden, ha an eine Fahrbahn i eine kleinen Wagen i Rädern, dann uß an chon genauer juieren u diee Reibung zu kopenieren. Die Bechleunigungkraf kann an enweder i einer kleinen Feder a Sarpunk erzeugen, oder i eine zu Boden ziehenden Körper der über eine Schnur und eine Ulenkrolle i de Fahrzeug verbunden i. Diee Skizze zeig, wie an verchiedene Fahrrecken abgreif und die zugehörige Fahrzei opp, voraugeez, ab = 0 i die Bewegung berei gleichförig, d.h. die a Sar nöige Anriebkraf i nich ehr wirka. Dann füll an eine Tabelle au und räg Srecken und Fahrzeien ein, ewa o: Die Auwerung wurde in der Weg 0 Zei 0,2 0,8 0,25 0,4 1,6 0,25 0,6 2,4 0,25 0,8 3,2 0,25 1,0 4,0 0,25 drien Spale vorgenoen. Dor berechne an den Quoienen au und. In unere ideal geachen Beipiel i dieer ier konan. I der Quoien zweier Größen konan, dann nenn an diee Größen proporional. Hier ind alo und proporional, an chreib die o:. Der konane Quoien i dann charakeriich für diee Bewegung an nenn ihn die Gechwindigkei v. v=

4 91111 Gleichförige Bewegung 4 Wenn an ich die Definiion genau durchlie, dann darf an aber auch Srecken een, die nich a Sarpunk beginnen, ewa vo 2. bi zu 4. Srich unerer Abbildung. Die Auwerung ieh dann o au: Srecke von Marke 1 = 0,2 bi 3 = 0,6, d.h. Sreckenlänge 3 1 0,4. Zugehörige Zeipanne: 1,6 0,4 Auch hier wird der Quoien berechne: 0,25 1,6 Merke: bezeichne die Poiion, an de ich ein Körper befinde. bezeichne den Zeipunk, an de er ich in befinde. bezeichne eine zurückgelege Wegrecke bezeichne eine Zeipanne E gil daher z.b. 2 1 und 2 1. Und für eine gleichförige Bewegung uß gelen: konan (1) Nur wenn eine Srecke bei 1 = 0 beginn und dai die Zeipanne bei 1 = 0, dann i und, und dann kann an auch chreiben konan. (2) Ein Beipiel für eine gleichförige Bewegung, wo (1) gil, aber nich (2): Ein Fahrzeug wird au der Ruhe herau 5 Sekunden lang bechleunig und erreich dann die Gechwindigkei v 3, die gechieh auf einer 8 langen Srecke. Ab dann fähr e gleichförig weier, behäl alo eine Gechwindigkei bei. Dann leg e pro Sekunde ier 3 zurück, alo in jeder folgenden Zeipanne von 5 Sekunden Dauer ier 15. Die ergib diee Tabelle: S ,6 Durch die Vorchalung der Bechleunigungphae gil nich ehr die Proporionaliä zwichen und. Aber ab der. 5. Sekunde i bei 5 e 15, e gil hier die Proporionaliä zwichen und. Und wir erhalen für die gleichförige Bewegung ab der 5. Sekunde , ,53 uw. (Siehe Seie 5) v 5.

5 91111 Gleichförige Bewegung 5 Dai kann an nun einige Aufgaben rechnen: (1) Ein Fahrzeug fähr gleichäßig i v 15. Wir wei fähr e in 2 Minuen? Au v v ,8 k Wie lange brauch diee Fahrzeug für 3 k? Au 3000 v 200 v 15 Man ache auf die Rechnung i den Einheien: (2) Ein Fahrzeug benöig für 350 4,2. Wie lange benöig e für 500? Wir ezen gleichförige Bewegung vorau. Wir berechnen zuer die Gechwindigkei: v 83,3 4, Und nun die neue Fahrzei: v v k (3) Ein Fahrzeug fähr gleichförig i v 108 h. Wie wei fähr e in 15 Sekunden? Nun üen wir zuer lernen, wie an die Einheien urechne: WISSEN: Urechnung von k h in und ugekehr: k 1 k = = = h 1 h ,6 k bzw. 1 =3,6 h k 108 Alo folg: v h 3,6 Daher folg: v

6 91111 Gleichförige Bewegung 6 2. Gleichförige Bewegung i Sarpoiion I Abchni 1 haben wir den Weg ier ab einer beien Selle 0 au geeen. Nun aber ellen wir un eine Wegrecke vor, auf der zuer bechleunig wird, dann er fähr er gleichförig weier: Da Fahrzeug ei bei = 0 in Ruhe und wird dann bechleunig. Bei = 1 habe e die Gechwindigkei v erreich und fähr ab da gleichförig weier. Nach welcher Zei erreich e die Marke 2? Beipiel 1 Bei 1 =0,5 ei v 0,8 und e gele 2 = 2,5. Löung: Wir berechnen die Wegrecke zwichen 1 und 2 durch Subrakion und chreib die o: 2 1 2,50,5 2 Nun können wir wie in Abchni 1 die Forel für die gleichäßige Bewegung verwenden, aber bie jez in dieer For: 2 v 2,5 v 0,8 Man ieh, daß an nich einfach chreiben darf, denn gib nur die oenane Poiion de Fahrzeug an, genauo wie den Zeipunk angib, an de da Fahrzeug die Poiion einni.

7 91111 Gleichförige Bewegung 7 Beipiel 2 Löung: Ein Fahrzeug bechleunig 5 Sekunden lang und erreich nach 8 die Gechwindigkei v 3. Ab dann fähr e i konaner Gechwindigkei weier. a) Wo befinde ich da Fahrzeug nach 20 Sekunden? b) Wann ha da Fahrzeug ingea 80 zurückgeleg? Wir wien, da die Forel v bzw. v nur für die gleichförige Bewegung gil. Hier üen wir zu Weg jedoch e die 8 Anfangrecke dazurechnen. Von der ingea abgelaufenen Zei üen wir 5 abziehen, denn er danach beginn die gleichförige Bewegung. Folglich arbeien wir doch gleich i dieer neuen Forel: 0 v Diee Forel berückichig die zuvor von 0 bi 0 zurückgelege Wegrecke, 0 i alo die Sarpoiion für die gleichförige Bewegung. Und wir üen für die gleichförige Bewegung verwenden, weil wir die Fahrzei auch er ab 0 een. Nun zur Rechnung: a) E i 0 = 8, v 3 und Alo folg: b) Die geae Wegrecke ei nun = 80. Wir verwenden unere Forel: 0 v v 0 24 v Die i nun die Fahrzei ab 0. Rechnen wir die 5 Sarphae dazu, erhalen wir da Ergebni:

8 91111 Gleichförige Bewegung 8 3. Achung Gegenverkehr!! Die hier behandelen vier Beipiele werden ab Seie 15 nochal graphich gelö BEISPIEL 1 Fahrzeug 1 i der Mae 1 are an der Selle 1 =0 () i der Gechwindigkei v Zugleich are Fahrzeug 2 i der Mae 2 an der Selle 2 = 200 () und fähr in engegengeezer Richung auf 1 zu. An welcher Selle und nach welcher Zei reffen ie aufeinander? Löung: Jez u an i einer Wegache arbeien, dai an die Poiionen der Fahrzeuge fehalen und nich nur die gefahrenen Wegrecken. Wir benöigen für jeden der beiden Körper eine Gleichung zur Berechnung der Wegarken (Koordinaen), an denen ie ich zu eine Zeipunk befinden. Für 1 : v1 (1) Für 2 : 2 v2 (2) Die Gleichung (2) beginn i der Wegarke 2, weil dor der Körper zur Zei = 0 i. Da Minuzeichen in (2) lieg daran, da 2 engegen der Weg-Ache fähr, alo wird die - Koordinae ier kleiner. An der Selle 3, wo beide zuaenreffen, gil (bi dahin i die Zei = x verrichen: für 1 : 3 v1 x für 2 : 3 2 v2 x Wir ezen gleich und erhalen: v1x 2 v2 x v2 x Diee Gleichung i nun nach uzuellen. Dazu bring an zuer x nach link: v1xv2x 2 Vereinfachen heiß jez Auklaern. Wir klaern x au: v1v2x 2 : v1 v x bzw. x 40. v1 v2 5 Da heiß: Nach 40 Sekunden oßen ie zuaen. Konrolle: An welcher Selle befinden ich die beiden Körper nach 40? 1 : 2 : Wir ehen alo: Nach 40 und bei 3 = 80 reffen beide aufeinander.

9 91111 Gleichförige Bewegung 9 BEISPIEL 2 Nun laen wir die beiden Fahrzeuge zeiverez abfahren. Wir ehen bei beiden von einer Bechleunigungphae bei Sar ab und laen ie gleich i ihren Gechwindigkeien lofahren. Fahrzeug 1 ( 1 ) are zur Zei 1 = 0 i Punk 1 = 0 i v 5 Fahrzeug 2 ( 2 ) are zur Zei 2 = 10 i Punk O = 810 i 1 Beide Fahrzeuge fahren aufeinander zu. Wann und wo reffen ie ich? Löung Bewegunggleichung von 1 : v1 für 0 Bewegunggleichung von 2 : v für v 3. 2 Hier i ewa Beondere paier. Weil diee Fahrzeug er zur Zei 2 = 10 abfähr, üen wir eine Fahrzei durch Subrakion von 2 = 10 berechnen. Wenn alo da 1. Fahrzeug chon = 25 fähr, dann fähr da 2. Fahrzeug er , Spielen wir einige Zeipunke durch (die Skizzen ind nich aßäblich): Zu Zeipunk = 10 ha ich 1 u nach rech beweg, während 2 gerade er lofähr, alo noch auf eine Sarplaz bei 2 = 810 eh: Zu Zeipunk = 20 ha ich 1 u nach rech beweg, während 2 gerade er 10 gefahren i und oi die Srecke zurückgeleg ha, alo bei der Marke angekoen i: Zu Zeipunk = 100 ha ich 1 u nach rech beweg, während 2 er 90 gefahren i und oi die Srecke zurückgeleg ha, alo bei der Marke angekoen i: Die beiden Fahrzeuge ind nun noch 40 voneinander enfern

10 91111 Gleichförige Bewegung 10 Nun wollen wir da Zuaenreffen berechnen. Aufeinanderreffen an der Selle zur Zei bedeue für 1 : v1 v für 2 : Gleichezen: v v v v v v v v v v v v v v Mi Zahlen: Und wo reffen ie aufeinander? Wir rechnen diee Selle für beide Körper i ihren Bewegunggleichungen au: Für 1 : v Für 2 : Beerkung: v Man könne (wa auf daelbe hinauläuf), auch die in den Skizzen von Seie 6 angewande Mehode verwenden und gleich i Zahlen rechnen. Und da geh o: Wir nennen 3 die Zei de Zuaenreffen. Dann ha 1 die Wegrecke 5 zurückgeleg und befinde ich an der Wegarke. Der Körper 2 ha dann in der Zei ( 10) die Wegrecke 10 3 zurückgeleg und befinde ich daher an der Wegarke Da wir den Moen de Zuaenreffen berechnen, ellen beide Audrücke dieelbe Wegarke dar, alo gil: Link auklaern: uw. Man erhäl naürlich daelbe Ergebni!

11 91111 Gleichförige Bewegung 11 BEISPIEL 3 Man kann naürlich auch zwei Fahrzeuge hinereinander her fahren laen, wie diee Beipiel zeig: Zur Zei 1 = 0 are 1 i einer konanen Gechwindigkei von v1 4. Nach 2 = 20 are an derelben Selle ein anderer Körper 2 i v 6. 2 Nach welcher Zei und nach welcher Wegrecke hol 2 den zuer geareen Körper 1 ein? (Wir denken un die Körper punkförig.) Löung E wird epfohlen ich wieder wie in Beipiel 2 einige Moenaufnahen zu berechnen, alo ewa Wo befinden ich die Körper nach 10, 20, 100 uw.? Für die Löung wollen wir profeioneller vorgehen und die beiden Bewegunggleichungen anchreiben: Für 1 : 1 v1 für 0 (1) Für 2 : v für 2 20 (2) Die Fahrzei de 2. Körper i dai e u 2 = 20 verkürz. Für da Zuaenreffen ezen wir gleich. Die zugehörige Zei nenne ich 3 : v v v v v Nun ellen wir die Gleichung o u, daß die geuche Zei 3 rech eh und 2 link: Mi Zahlen ergib die: v2 2 v23 v1 3 v2 2 v2 v1 3 v2 2 3 v v Nun der von beiden zurückgelege Weg bi dahin: Für 1 berechne: v Für 2 berechne: v Alo reffen ie bei der Wegarke 3 = 240 zuaen.

12 91111 Gleichförige Bewegung 12 BEISPIEL 4 Nun ändern wir da Beipiel 3 noch dahingehend ab, da der Körper 1 chon i Punk 0 = 600 vor 2 enfern are. Nach 20 dann ez ich 2 in Bewegung. E i nach wie vor v 4 und v 6. Löung: 1 2 Jez änder ich die Bewegunggleichung von 1, weil dieer bei Sar chon einen Vorprung von 0 = 600 ha. Alo gil Für 1 : 0 v1 für 0 (1) Für 2 : v für 2 20 (2) 2 2 Gleichezen ergib: 3 wieder nach rech: Mi Zahlen ergib die: v v v v v v22 v2v1 0 v2 2 v2 v1 0 v2 2 v v Und nun die Selle, an der ie ich reffen: Für 1 berechne: v Für 2 berechne: v Man erhäl naürlich wieder dieelbe Wegarke. E genüg alo die Berechnung für einen Körper. Dennoch i diee doppele Rechnung eine Ar Probe, ob an keinen Fehler geach ha.

13 91111 Gleichförige Bewegung Grundlagen 4. Bewegungdiagrae Wir haben in dieen Abchnien die Forel zur Berechnung der Gechwindigkei einer gleichförigen Bewegung kennen gelern. Sie heiß allgeein v. Wird die Bewegung o augeführ, daß der Körper zur Zei = 0 bei der Wegarke = 0 are, dann laue diee Gleichung v bzw. v. Diee leze Gleichung nenn an auch die Bewegunggleichung der gleichförigen Bewegung. Dabei i v eine fee Größe, eben die konane Gechwindigkei, und die Zeivariable. Of verwende an die funkionelle Schreibweie: v Wenn beipielweie v 0,5 gegeben i, dann laue diee Gleichung: 0,5 Wenn an die i der Gleichung y 0,5 x vergleich, ahn an, wa nun ko: Man kann eine olche Funkion in eine Schaubild graphich darellen und erhäl eine Gerade i der Seigung 0,5: Die i da Weg-Zei-Diagra einer gleichförigen Bewegung. Au ih kann an rech chnell Zuaenhänge ableen, ewa, daß da Fahrzeug nach 7 Sekunden den Weg = 3,5 zurückgeleg ha (roe gerichele Linie - wa an hier ja auch chnell berechnen kann). Die Gechwindigkei v ell hier die Seigung der Geraden dar!

14 91111 Gleichförige Bewegung 14 Man kann übrigen auch ein v - - Diagra aufzeichnen. Diee gib an, wie groß zu jede Zeipunk die Gechwindigkei i. Die i hier beonder einfach: Sie i ier gleich groß. I ie beipielweie 4, dann ergib da diee Diagra: In diee Diagra eck auch die zurückgelege Wegrecke verborgen. Berache an die Gleichung v, dann wird klar, daß da i folgenden Diagra eingezeichnee Recheck al Flächeninhal den Weg nach 8 ha: v Da v - - Diagra piel hier noch keine wichige Rolle. Bei bechleunigen Bewegungen ha e eine größere Bedeuung. Doch den Zuaengang zwichen Weg und Flächeninhal olle an ich chon einal erken!

15 91111 Gleichförige Bewegung Gleichförige Bewegung i Sarpoiion Auf Seie 3 und 4 wurden Bewegungen uneruch, bei denen die gleichförige Bewegung zur Zei = 0 nich bei = 0 are. : Ein Fahrzeug bechleunig zuer und erreich nach 8 die Gechwindigkei v 3. Dann fähr e i konaner Gechwindigkei weier. Wir een die Fahrzei er ab de Moen, wo da Fahrzeug ich gleichförig beweg. Dann laue die Gleichung zur Berechnung der zurückgelegen Wegrecke: 0 v 83 Wir ellen diee Gleichung noch ewa u: 3 8 und vergleichen i y 3x 8 Die ergib i Diagra die abgebildee Gerade. Da Aboluglied 0 = 8 gib die Sarpoiion an. Die i in diee Fall der Schnipunk i der -Ache. Die Gechwindigkei gib wieder die Seigung der Geraden an. Ein Seigungdreieck i eingezeichne. 6 Man erkenn, da zur Zeipanne 2 e die Wegrecke 6 gehör, alo zu 1 genau

16 91111 Gleichförige Bewegung 16 Wir erweiern da Beipiel: Ein Fahrzeug bechleunig zuer 0 = 5 lang und erreich nach 2 die Gechwindigkei v 3. Dann fähr e i konaner Gechwindigkei weier. Jez gehen der Zeipunk und die zur gleichförigen Bewegung gehörende Fahrzei aueinander. Denn er nach 5 Sekunden beginn diee Bewegung, vorher wurde von 0 au bechleunig. Daher i da Fahrzeug nach = 12 er 7 lang gleichförig gefahren. Wir üen alo die 5 Sekunden abziehen, dafür aber die 2 wieder dazu addieren: Zur Zei = 12 ha ich da Fahrzeug 7 lang gleichförig beweg und dabei die Wegrecke v zurückgeleg. E befinde ich alo an der Wegarke = = 23. Allgeein berechne an den Weg alo o: 0 v v vv 0 v v Dazu u an angeben, da diee Gleichung nur für 5 gil. Teen wir unere Gleichung: A Für = 5 erhäl an: Die war die Sarpoiion nach 5 Sekunden. Für = 12 : Oben haen wir die ohne Forel berechne. Rech ieh an die zugehörige Gerade i de Achenabchni - 13 und der Seigung 3. Die roe Linie von der -Ache bi zu Zuandpunk A i nich realiich, denn negaive Srecken ind innlo. Hier gehör ein Kurvenbogen hinein, der i Urprung beginn. Doch die gehör nich hier her. Man könne die Srecke bi zur -Ache jedoch o deuen: Wäre da Fahrzeug von Anfang an konan i 3 gefahren, dann häe e für daelbe Endergebni 13 vorher aren üen, Zuandpunk beag, daß dor ein beier Zuand herrch, den an o A 5½ 2, alo nach 5 die Selle = 2. bechreiben kann:

17 91111 Gleichförige Bewegung Gegenverkehr Diee Thea haen wir chon ab Seie 5 beprochen. Nun wollen wir für die dor berechneen Beipiele die Diagrae erellen und analyieren. BEISPIEL 1 In 1 = 0 fähr gleichförig eine Mae 1 i der Gechwindigkei v1 2. In fähr gleichäßig eine Mae 2 i v2 3 aber auf 1 zu. Wo und nach welcher Zei reffen ie aufeinander? Graphiche Löung: Die Bewegunggleichungen lauen für 1 : v1 d.h. 2 (1) 2 für 2 : 2 v2 d.h (2) Sell an die zugehörigen Geraden de Weg-Zei-Diagra dar, uß an die Einheien auf den Achen gechick wählen: Man erkenn, daß ich die Geraden i Zuandpunk S chneiden. () Für S gil: S 40½ 80 Sie ehen alo, au diee graphichen Fahrplan kann an beipielweie ableen, wann die Fahrzeuge zuaen reffen, aber auch, da ie beipielweie nach 25 noch 75 Aband haben: Zuandpunke A, B. 2 1 B A S

18 91111 Gleichförige Bewegung 18 BEISPIEL 2 Fahrzeug 1 ( 1 ) are zur Zei 1 = 0 i Punk 1 = 0 i v 5 Fahrzeug 2 ( 2 ) are zur Zei 2 = 10 i Punk O = 810 i 1 Beide Fahrzeuge fahren aufeinander zu. Wann und wo reffen ie ich? Graphiche Löung v 3. 2 Bewegunggleichung von 1 : v1 für 0 Bewegunggleichung von 2 : v für Mi Zahlen: 1 : 5 für 0 2 : für 10 Die zweie Gleichung olle an durch Auuliplizieren noch uforen: 8403 für 10 Hier da Weg-Zei-Diagra für beide Bewegungen: 2 2 A 2 S 1 Man beache, da 1 eine Bewegung er i Zuandpunk A 10½ 810 beginn. Daß eine Gerade fäll zeig eine negaive Seigung an, alo eine negaive Gechwindigkei, d.h. 2 fähr 1 engegen. Und ie reffen ich i Schnipunk S105½ 525. Die Wegarke 525 i naürlich hier nich exak ablebar. Doch dazu gab e ja auf Seie 7 die Rechnung.

19 91111 Gleichförige Bewegung 19 BEISPIEL 3 Zur Zei 1 = 0 are 1 i einer konanen Gechwindigkei von v1 4. Nach 2 = 20 are an derelben Selle ein anderer Körper 2 i v2 6 in derelben Fahrrichung. Nach welcher Zei und nach welcher Wegrecke hol 2 den zuer geareen Körper 1 ein? (Wir denken un die Körper punkförig.) Graphiche Löung Bewegunggleichungen für 1 : v1 für 0 (1) für 2 : v2 2 für 2 (2) i Zahlen: für 1 : 4 für 0 (1) für 2 : 6 20 d.h für 20 (2) S 1 2 A B Da Weg-Zei-Diagra liefer un wieder i Schnipunk S60½ 240 Zei und Or de Zuaenreffen, e zeig aber auch i Zuandpunk A 20½ 0, wo 2 are. Die Verlängerung (Exrapolaion) der 2 - Geraden bi zu Zuandpunk B0½ 120 zeig, da bei gleichzeiige Sar beider Körper zur Zei = 0 der Körper hiner 1 häe aren üen, u daelbe Zuaenreffen enehen zu laen.

20 91111 Gleichförige Bewegung 20 BEISPIEL 4 Zur Zei 1 = 0 are 1 i einer konanen Gechwindigkei von v1 4. Nach 2 = 20 are ein anderer Körper 2 i v2 6 in derelben Fahrrichung, eine Sarpoiion befinde ich jedoch 0 = 600 von 1. Nach welcher Zei und nach welcher Wegrecke hol 2 den zuer geareen Körper 1 ein? (Wir denken un die Körper punkförig.) Löung: Jez änder ich die Bewegunggleichung von 1, weil dieer bei Sar chon einen Vorprung von 0 = 600 ha. Alo gil Mi Zahlen: für 1 : 1 0 v1 für 0 (1) für 2 : v für 2 (2) für 1 : für 0 (1) für 2 : 6 20 d.h für 20 (2) Zur Inerpreaion de folgenden --Diagra uß nach Beipiel 3 nich ehr geag werden. S 1 2 A