Mathematische Modellbildung und Simulation

Transkript

1 Seminar SE 2 st. Uni Klagenfurt: und Uni Wien: TU Wien: Mathematische Modellbildung und Simulation Ökonometrische, systemdynamische, Input-Output Modelle sowie agent-based systems Peter Fleissner Institut für Gestaltungs- und Wirkungsforschung

2 websites Allgemeines ell.php Laufende Ereignisse, Skripten, Termine MathMod

3 Termine immer montags, 9:15-13:00 1. Block: Montag, 24. Okt Block: Montag, 07. Nov Block: Montag, 21. Nov Block: Montag, 05. Dez Block: Montag, 12. Dez Block: Montag, 09. Jänner Block: Montag, 23. Jänner 2006: Agent Based Modelling + Prüfung Die Termine finden im Seminarraum bzw. im Computerlabor des IGW statt

4 Was wir heute machen werden: Fortsetzung der Mehrebenenökonomie und der Input-Output-Analyse Arbeitswerte, Produktionspreise, Ist-Preise Dienstleistungen und ihre Effekte Effekte des technischen Fortschritts Einführung in agent based modelling the blind and the lame Predator-prey-model

5 Anwendung von Input-Output-Modellen Effekte technischer Veränderungen

6 Effekte technischer Veränderungen Input-Output-Grundformel: x = (E-A) -1 y Lösung in erster Näherung x = (E-A) -1 ( Ax + y) Veränderungen der A-Matrix... A und/oder veränderungen der Nachfrage y -> Veränderungen im Output x -> Veränderungen der Beschäftigtenzahlen -> Veränderungen der Lohnsumme -> Veränderungen der Nachfrage. y(t+1) Wie komme ich dazu?

7 .ein wenig Mathematik x 0 = (E-A 0 ) -1 y 0 > x 1 = (E-A 1 ) -1 y 1 y 1 =y 0 + y; A 1 = A 0 + A; x 1 =x 0 + x Substitution ergibt x 1 = (E-A 1 ) -1 y 1 = [E - (A 0 + A)] -1 (y 0 + y) =. [E - (A 0 + A)] -1 = (Von Neumann Reihe) = E+(A 0 + A)+(A 0 + A) 2 +(A 0 + A) 3 + Substitution: B anstelle von A

8 E+(A+B)+(A+B) 2 +(A+B) 3 + = E + Terme von B höher als erster Ordung werden vernachlässigt A + BE A 2 + BA + ABE + B 2 A 3 + BA 2 + ABA + A 2 BE + AB 2 + B 2 A+ BAB+ B 3 A 4 + BA 3 + ABA 2 + A 2 BA + A 3 BE +. A 5 + BA 4 + ABA 3 + A 2 BA 2 + A 3 BA + A 4 BE + +. =(E-A) -1 +B(E-A) -1 +AB(E-A) -1 +A 2 B(E-A) -1 +

9 (E-A) -1 +B(E-A) -1 +AB(E-A) -1 +A 2 B(E-A) -1 + = = (E + B + AB + A 2 B + A 3 B + ) (E-A) -1 = = [E + (E + A + A 2 + A 3 +.)B] (E-A) -1 = = [E + (E-A) -1 B] (E-A) -1 Rücksubstitution: A anstelle von B ergibt [E-(A+ A)] -1 = (E-A 1 ) -1 ~ [E + (E-A) -1 A](E-A) -1 Zu zeigen war, dass aus x 1 = (E-A 1 ) -1 y 1 in erster Näherung x = (E-A) -1 ( Ax + y) folgt.

10 x 1 = x 0 + x = [E-(A 0 + A)] - 1(y 0 + y) = = [E + (E-A 0 ) -1 A] (E-A 0 ) -1 (y 0 + y) = = x 0 + (E-A 0 ) -1 Ax 0 + (E-A 0 ) -1 y + (E-A 0 ) -1 A(E-A 0 ) -1 y => x = (E-A 0 ) -1 ( Ax 0 + y) q.e.d.

11 Effekte technischer Veränderungen Input-Output-Grundformel: x = (E-A) -1 y Lösung in erster Näherung x = (E-A) -1 ( Ax + y) Veränderungen der A-Matrix... A und/oder veränderungen der Nachfrage y -> Veränderungen im Output x -> Veränderungen der Beschäftigtenzahlen -> Veränderungen der Lohnsumme -> Veränderungen der Nachfrage. y(t+1)

12 Simulationsmethoden Beispiele auf der Mikroebene Selbstorganisierende Systeme (Beispiel: the blind and the lame ) Agentenbasierte Simulationen (Einführende Literatur:

13 Simulationsmethoden The blind and the lame Zwei interagierende Welten Welt A: die physische Welt (klassische Mechanik) Welt B: die Welt der Symbole (Alphabet ohne Bedeutung)

14 Simulationsmethoden und zwei interagierende Akteure Akteur 1: Der Blinde kann springen hören die Töne, die er hört, interpretieren und danach handeln (springen) Akteur 2: Der Lahme kann Die Länge des Hindernisses sehen Töne verschiedener Höhe erzeugen (mit Trompete) die Länge des Hindernisses mit der Tonhöhe verknüpfen Und die Töne mit Bedeutung versehen

15 Simulationsmethoden Agentenbasierte Simulationen Auf der Mikroebene spielen sich die Interaktionen der Individuen ab Auf der Meso/Makroebene kann neues Verhalten abgelesen werden, das nicht aus der bloßen Aggregation der Daten für die einzelnen Akteure gewonnen werden kann

16 Simulationsmethoden Vier Arten von Verständnis durch ABS Empirisch Warum haben sich bestimmte Makrophänomene entwickelt (auch wenn keine top-down-kontrolle existiert)? Normativ Welches Design ist für bestimmte Institutionen optimal? Heuristisch Können Einsichten über die grundlegenden Kausalmechanismen des Systems gewonnen werden? Methodisch Wie können Theorien mit ABS getestet, erweitert und verbessert werden (was bisher aus methodischen Beschränkungen nicht möglich war)?

17 Simulationsmethoden Agentenbasierte Simulationen Das GNU Softwarepaket von Marco Valente: GNU is not UNIX! Laboratory of Simulation Development -> LSD Anwendungsbeispiel: Schafe und Wölfe (50 Schafe, 20 Wölfe)

18 Simulationsmethoden Phasendiagramm testlsd

19 Simulationsmethoden Agentenbasierte Simulationen Beispiel: Räuber-Beute Modell (x Schafe, y Wölfe) (Beschrieben auf der Makroebene mit der Lotka- Volterra-Differentialgleichung): dx/dt = alfa*x + beta*y + gamma*x.y dy/dt = delta*x + epsilon*y + eta*x.y -> Ökonometrische Schätzung der Parameter aus den Daten der ABS (beta = delta = 0)

20 Simulationsmethoden Regressionsergebnisse dx/dt (sheep) Term Coefficie nt SE p 95% CI of Coefficient dy/dt (wolves) Term x 0,0129 0,0011 < ,0107 to 0,0151 xy -0,0002 0,0000 < ,0002 to -0,0001 Coefficie nt SE p 95% CI of Coefficient y -0,0397 0,0013 < ,0423 to -0,0370 xy 0,0002 0,0000 < ,0002 to 0,0002 Simulation des korrespondierenden aggregierten Modells mit LSD mit den oben angeführten geschätzten Parametern

21 900,00 800,00 700,00 600,00 Agentenbasierte Simulation 500,00 400,00 x y 300,00 200,00 100,00 0, Systemdynamik Simulation sheep R (0 1000) w olves R (0 1000)

22 Simulationsmethoden im Vergleich SD-Modelle und ABS Die Leistungsfähigkeit der Computertechnologie erlaubt es, Probleme, die bisher auf der Aggregatebene analysiert wurden, auf der Ebene der Individuen zu formulieren SD-Modelle und ABS können als Endpunkte eines ganzen Spektrums von Modellierungsmöglichkeiten angesehen werden Man hat im Prinzip die Wahl zwischen aggregierten und agent based Modellen und deren Kombinationen Was sind die Entscheidungskriterien?

23 Simulationsmethoden im Vergleich SD-Modelle und ökonometrische Modelle bestehen aus (nicht)linearen Differenzen- bzw. Differentialgleichungen, die numerisch gelöst werden. Relativ wenige Parameter beschreiben die Gleichungen Positive und negative Rückkopplungsschleifen bestimmen das Verhalten des Gesamtsystems Die individuellen Akteure werden in eine (kleine) Zahl von Clustern (compartments) integriert. Innerhalb der compartments herrscht Homogenität, Blindheit des Modells gegenüber dem einzelnen Akteur Übergänge zwischen den compartments beruhen auf Erwartungs- oder Durchschnitts (ev. durch stochastische Variablen gestört) Einfacher Vergleich mit Realität

24 Simulationsmethoden im Vergleich Beispiele für SD Modelle Ansteckungsprozesse werden durch eine Diffusionsgleichung beschrieben; Räuber-Beute Modelle durch die nichtlineare Lotka-Volterra Differentialgleichung Mathematisches Modell einer Volkswirtschaft (siehe oben) ABS erlauben es, emergente Phänomene in vielen Anwendungsgebieten zu studieren ABS können sehr gut Heterogenität der Akteure und deren individuelle Interaktion abbilden Grosse Zahl von Parametern nötig Hoher Rechenaufwand für die Simulation und erschwerte Sensitivitätsanalyse Erschwerter Vergleich mit der Realität

25 Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Nun kommt die Prüfung!