Der Satz von Lusin. Markus Schuster Juni 2012 Universita t Ulm

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1 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Universita t Ulm Maßtheorie Seminar 2012

2 Seite 2 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Inhaltsverzeichnis Motivation Definitionen Der Satz von Lusin Beweis Bemerkungen

3 Seite 3 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Motivation Stetige Funktionen sind Borel-messbar. Umkehrung gesucht.

4 Seite 4 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Einführendes Beispiel f (x) := f ist in keinem Punkt stetig. { 1, x Q [0, 1] 0, x (R\Q) [0, 1] Sei r n eine Abzählung von Q [0, 1]. U n := ( r n δ, r 2 n+2 n + δ ) 2 [0, 1] und sei δ > 0. n+2 K c := n=1 U n offen r n K c n N f K 0 f K ist stetig.

5 Seite 5 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Definition (Vollständiger Raum) Ein metrischer Raum Ω heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge von Punkten aus Ω in Ω konvergiert. Definition (Dichte Teilmenge) Sei M Ω. M liegt dicht in Ω, falls x Ω und ε > 0 y M sodass d(x, y) < ε. Definition (Seperabel) Ein metrischer Raum Ω heißt seperabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, die dicht in Ω liegt.

6 Seite 6 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Definition (Vollständiger Raum) Ein metrischer Raum Ω heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge von Punkten aus Ω in Ω konvergiert. Definition (Dichte Teilmenge) Sei M Ω. M liegt dicht in Ω, falls x Ω und ε > 0 y M sodass d(x, y) < ε. Definition (Seperabel) Ein metrischer Raum Ω heißt seperabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, die dicht in Ω liegt.

7 Seite 7 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Definition (Vollständiger Raum) Ein metrischer Raum Ω heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge von Punkten aus Ω in Ω konvergiert. Definition (Dichte Teilmenge) Sei M Ω. M liegt dicht in Ω, falls x Ω und ε > 0 y M sodass d(x, y) < ε. Definition (Seperabel) Ein metrischer Raum Ω heißt seperabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, die dicht in Ω liegt.

8 Seite 8 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Definition (σ-endliches Maß) Ein Maß heißt σ-endlich, wenn es eine abzählbare Folge messbarer Mengen {A 1, A 2,...} gibt, mit µ(a k ) < und Ak = Ω. Definition (Polnischer Raum) Ein metrischer Raum heißt polnisch, wenn er seperabel und vollständig metrisierbar ist.

9 Seite 9 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Definition (σ-endliches Maß) Ein Maß heißt σ-endlich, wenn es eine abzählbare Folge messbarer Mengen {A 1, A 2,...} gibt, mit µ(a k ) < und Ak = Ω. Definition (Polnischer Raum) Ein metrischer Raum heißt polnisch, wenn er seperabel und vollständig metrisierbar ist.

10 Seite 10 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Definition (Von innen regulär) Ein Maß µ heißt von innen regulär, wenn A Σ gilt: µ(a) = sup{µ(k ) : K A, K kompakt}. Definition (Von außen regulär) Ein Maß µ heißt von außen regulär, wenn A Σ gilt: µ(a) = inf {µ(u) : U A, U offen}. Definition (Regulär) Ein Maß µ heißt regulär, falls es von innen und von außen regulär ist.

11 Seite 11 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Satz (Der Satz von Ulam) Jedes Borel-Maß auf einem polnischen Raum ist regulär.

12 Seite 12 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Satz (Der Satz von Lusin) Es seien X ein metrische-raum, Y sei ein vollständig seperabler metrischer Raum, µ sei ein σ-endliches reguläres Borel-Maß auf B(X) und f : X Y. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) Es gibt eine Borel-messbare Funktion g : X Y mit f = g µ-f.ü.. (b) Zu jedem offenen U X mit µ(u) < und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K U mit µ(u\k ) < δ, so dass f K stetig ist. (c) Zu jedem A B(X) mit µ(a) < und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K A mit µ(a\k ) < δ, so dass f K stetig ist. (d) Zu jeder kompakten Menge T X und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K T mit µ(t \K ) < δ, so dass f K stetig ist. (e) Es existiert ein Zerlegung von X in eine Folge (K n ) n N kompakter Mengen und in eine µ-nullmenge N B(X) derart, dass f Kn stetig n N

13 Seite 13 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Beweisschema: (a) (b) (c) (e) (a) (d)

14 Seite 14 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Satz (Der Satz von Lusin) Es seien X ein metrische-raum, Y sei ein vollständig seperabler metrischer Raum, µ sei ein σ-endliches reguläres Borel-Maß auf B(X) und f : X Y. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) Es gibt eine Borel-messbare Funktion g : X Y mit f = g µ-f.ü.. (b) Zu jedem offenen U X mit µ(u) < und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K U mit µ(u\k ) < δ, so dass f K stetig ist. (c) Zu jedem A B(X) mit µ(a) < und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K A mit µ(a\k ) < δ, so dass f K stetig ist. (d) Zu jeder kompakten Menge T X und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K T mit µ(t \K ) < δ, so dass f K stetig ist. (e) Es existiert ein Zerlegung von X in eine Folge (K n ) n N kompakter Mengen und in eine µ-nullmenge N B(X) derart, dass f Kn stetig n N

15 Seite 15 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Beweis. (a) (b): O.B.d.A. U = X, µ(x) <. Sei {(b n ) n N} eine abzählbare dichte Teilmenge von Y, Def. B n := {y Y d(y, b n ) < 1/n}. n N B n = Y Reg. n N ein K n K und V n O mit K n g 1 (B n ) V n und µ(v n \K n ) < δ 2 (n+1) V := n=1 (V n\k n ) offen mit µ(v ) < δ/2, und h := g V c ist stetig, da n N:

16 Seite 16 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 V n V c = K n V c g 1 (B n ) V c = h 1 (B n ) = g 1 (B n ) V c V n V c h 1 (B n ) = V n V c offen in V c h stetig. Es sei N B, so gewählt dass f N c = g N c und µ(n) = 0. inn.reg. K (V N) c = V c N c mit µ((v N c )\K ) < δ/2. Dann ist µ(k c ) = µ(x K c ) = µ(((v N)\K ) (V c N c K )) µ(v N) + µ((v N) c \K ) < δ, und f K = g K = h K stetig, da K V c.

17 Seite 17 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Satz (Der Satz von Lusin) Es seien X ein metrische-raum, Y sei ein vollständig seperabler metrischer Raum, µ sei ein σ-endliches reguläres Borel-Maß auf B(X) und f : X Y. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) Es gibt eine Borel-messbare Funktion g : X Y mit f = g µ-f.ü.. (b) Zu jedem offenen U X mit µ(u) < und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K U mit µ(u\k ) < δ, so dass f K stetig ist. (c) Zu jedem A B(X) mit µ(a) < und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K A mit µ(a\k ) < δ, so dass f K stetig ist. (d) Zu jeder kompakten Menge T X und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K T mit µ(t \K ) < δ, so dass f K stetig ist. (e) Es existiert ein Zerlegung von X in eine Folge (K n ) n N kompakter Mengen und in eine µ-nullmenge N B(X) derart, dass f Kn stetig n N

18 Seite 18 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 (b) (c): Sei A B(X) mit µ(a) <. U A offen und K A kompakt mit (b) L U kompakt mit µ(u\k ) < δ/2. µ(u\l) < δ/2, so dass f L stetig ist. Nun ist K L A kompakt mit und f K L ist stetig. µ(a\(k L)) µ(a\k ) + µ(a\l) < δ

19 Seite 19 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Satz (Der Satz von Lusin) Es seien X ein metrische-raum, Y sei ein vollständig seperabler metrischer Raum, µ sei ein σ-endliches reguläres Borel-Maß auf B(X) und f : X Y. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) Es gibt eine Borel-messbare Funktion g : X Y mit f = g µ-f.ü.. (b) Zu jedem offenen U X mit µ(u) < und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K U mit µ(u\k ) < δ, so dass f K stetig ist. (c) Zu jedem A B(X) mit µ(a) < und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K A mit µ(a\k ) < δ, so dass f K stetig ist. (d) Zu jeder kompakten Menge T X und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K T mit µ(t \K ) < δ, so dass f K stetig ist. (e) Es existiert ein Zerlegung von X in eine Folge (K n ) n N kompakter Mengen und in eine µ-nullmenge N B(X) derart, dass f Kn stetig n N

20 Seite 20 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 (c) (d): klar, da die kompakten Mengen B(X) erzeugen. (d) (c): Sei A B(X) mit µ(a) < und δ > 0 T A kompakt mit (d) wähle K T kompakt mit µ(a\t ) < δ/2. µ(t \K ) < δ/2 so dass f K stetig ist. Dann leistet K das Verlangte.

21 Seite 21 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Satz (Der Satz von Lusin) Es seien X ein metrische-raum, Y sei ein vollständig seperabler metrischer Raum, µ sei ein σ-endliches reguläres Borel-Maß auf B(X) und f : X Y. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) Es gibt eine Borel-messbare Funktion g : X Y mit f = g µ-f.ü.. (b) Zu jedem offenen U X mit µ(u) < und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K U mit µ(u\k ) < δ, so dass f K stetig ist. (c) Zu jedem A B(X) mit µ(a) < und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K A mit µ(a\k ) < δ, so dass f K stetig ist. (d) Zu jeder kompakten Menge T X und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K T mit µ(t \K ) < δ, so dass f K stetig ist. (e) Es existiert ein Zerlegung von X in eine Folge (K n ) n N kompakter Mengen und in eine µ-nullmenge N B(X) derart, dass f Kn stetig n N

22 Seite 22 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 (c) (e): Genügt Z, dass (K n ) n N X mit K i K j = i j (( n ) c ) µ K i < 1/n i=1 mit f Kn stetig n N. Dann ( ist ) c N := K i = i=1 i=1 K c i eine zu allen K n disjunkte Borelsche Menge mit µ(n) < 1/n n N also mit µ(n) = 0. Bew per vollständiger Induktion aus (c):

23 Seite 23 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Zunächst existiert eine kompakte Menge K 1 X mit µ(k c 1 ) < 1 und f K1 stetig. Seien K 1,..., K n bereits definiert, (c) K kompakt mit und f K stetig. µ( K c ) < 1 2(n + 1)

24 Seite 24 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Def. L := K 1... K n inn.reg. K n+1 K \L kompakt mit Wegen µ( K L c K c n+1 ) < 1 2(n + 1) µ((l K n+1 ) c ) = µ( K c L c K n+1 ) + µ( K L c K n+1 ) µ( K c ) + µ( K L c K n+1 ) < 1 n + 1 leistet K n+1 das Verlangte.

25 Seite 25 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Satz (Der Satz von Lusin) Es seien X ein metrische-raum, Y sei ein vollständig seperabler metrischer Raum, µ sei ein σ-endliches reguläres Borel-Maß auf B(X) und f : X Y. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) Es gibt eine Borel-messbare Funktion g : X Y mit f = g µ-f.ü.. (b) Zu jedem offenen U X mit µ(u) < und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K U mit µ(u\k ) < δ, so dass f K stetig ist. (c) Zu jedem A B(X) mit µ(a) < und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K A mit µ(a\k ) < δ, so dass f K stetig ist. (d) Zu jeder kompakten Menge T X und jedem δ > 0 gibt es eine kompakte Menge K T mit µ(t \K ) < δ, so dass f K stetig ist. (e) Es existiert ein Zerlegung von X in eine Folge (K n ) n N kompakter Mengen und in eine µ-nullmenge N B(X) derart, dass f Kn stetig n N

26 Seite 26 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 (e) (a): Seien X, K n n N gegeben nach (e) so dass X = N n=1 K n. Falls N = setze g := f, sonst wähle y 0 f (N) beliebig und setze { y0, x N g(x) := f (x), x X\N g : X Y und f = g µ-f.ü.. Z Z : g ist Borel-messbar. G offen in Y folgt: g 1 (G) = (g 1 (G) X) = (g 1 (G) N) = N 0 n=1 gn 1 (G) ((g 1 (G) K n )) n=1

27 Seite 27 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 mit N 0 := g 1 (G) N und g n := g Kn { N, falls y0 N N 0 = 0, falls y 0 / N 0 g n = g Kn = f Kn f K n stetig gn 1 (G) offen in K n n=1 g 1 n (G) offen g Borel-messbar.

28 Seite 28 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Definition (Radon-Maß) Ein von innen reguläres Borel-Maß nennt man ein Radon Maß. Definition (Moderates Maß) Ein Borel Maß heißt moderat, wenn Ω die Vereinigung einer Folge offenen Mengen endlichen Maßes ist.

29 Seite 29 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Definition (Radon-Maß) Ein von innen reguläres Borel-Maß nennt man ein Radon Maß. Definition (Moderates Maß) Ein Borel Maß heißt moderat, wenn Ω die Vereinigung einer Folge offenen Mengen endlichen Maßes ist.

30 Seite 30 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Bemerkungen Die Voraussetzungen für µ sind z.b. erfüllt, wenn: (i) X ein polnischer Raum ist und µ ein Borel-Maß (Satz von Ulam) (ii) µ ein moderates Radon-Maß ist

31 Seite 31 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Beweis von Bem (ii) Sei µ ein moderates Radon Maß, (G n ) n N offener Mengen mit n N = X. µ n := µ B(G n )(n N) ist regulär n N(ohne Beweis). Sei A B(X) und A n := A G n (n N). ε > 0 ein U n offen mit A n U n G n und µ(u n \A n ) = µ n (U n \A n ) < ε 2 n U := n N offen, U A, µ(u\a) < ε µ ist von außen regulär.

32 Seite 32 Der Satz von Lusin Markus Schuster Juni 2012 Literatur Jürgen Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, fourth ed., Springer-Lehrbuch. [Springer Textbook], Springer-Verlag, Berlin, 2005, Grundwissen Mathematik. [Basic Knowledge in Mathematics]. Heinz Bauer, Maß- und Integrationstheorie, second ed., de Gruyter Lehrbuch. [de Gruyter Textbook], Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1992.