sie ist also eine Lösung der Differenzialgleichung y 0 = Ay. Bei x = 0 sind diese n Spalten auch linear unabhängig, da ja

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1 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Zusammenhang mit Fundamentalsystemen Für die Matrix-Exponenzialfunkton e Ax gilt (e Ax ) = Ae Ax Für jede Spalte '(x) der Matrix e Ax Matrixmultpiplikation gilt daher aufgrund der Regeln für die ' = A', sie ist also eine Lösung der Differenzialgleichung y = Ay Bei x = sind diese n Spalten auch linear unabhängig, da ja e Ax = I x= Also bilden sie ein Fundamentalsystem Hiervon gilt auch folgende Umkehrung 25 Satz Die n Spalten von e Ax bilden ein Fundamentalsystem der Differenzialgleichung y = Ay Ist umgekehrt ',,' n ein beliebiges Fundamentalsystem dieser Gleichung und = [',,' n ] die aus ihnen gebildete n n-matrix, so gilt e Ax = (x) () Da jede Spalte von die Differenzialgleichung erfüllt, gilt für die Matrix M(x) Õ (x) () ebenfalls M (x) = (x) () = A (x) () = AM(x) sowie M() = () () = I Somit löst M(x) dasselbe Anfangswertproblem wie e Ax Also müssen beide gleich sein Inhomogene lineare Systeme Nun betrachten wir noch kurz das inhomogene System y = Ay + b(x) ()

2 64 4 Systeme von Differenzialgleichungen mit einer konstanten n n-matrix A und einer stetigen Vektorfunktion b Zunächst ein bereits vertrauter Sachverhalt 26 Satz Jede Lösung ' der Gleichung () ist von der Form ' = ' h + ' p mit einer partikulären Lösung ' p der inhomogenen Gleichung () und der allgemeinen Lösung ' h der zugehörigen homogenen Gleichung Der Raum aller Lösungen von () ist also ein affiner Raum der Dimension n Eine solche partikuläre Lösung findet man wieder mit der Methode der Variation der Konstanten Sei dazu eine beliebige Fundamentallösung in Matrixform, also eine n n-matrix, deren Spalten ein Fundamentalsystem bilden Es gilt dann (x) = A (x) Setze nun '(x) = (x)c(x) mit einer Vektorfunktion c(x) Man beachte, dass es anders als im skalaren Fall, hier auf die richtige Reihenfolge der Operanden ankommt Dies ist eine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung, falls ' = c + c = A c + c = A' + c die Gleichung ' = A' + b erfüllt Dies ist der Fall, wenn c = b, oder c = b Diese Gleichung lässt sich durch Integration lösen 27 Satz Ist ein Fundamentalmatrixsystem der homogenen Gleichung y = Ay, so ist eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung () gegeben durch '(x) = (x)c(x), c(x) = Z x (t)b(t) dt Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung lautet damit Z x '(x) = (x) c + (t)b(t) dt, c 2 R n

3 Ò Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Als Spezialfall erhalten wir folgendes Analogon zum entsprechenden Satz für lineare skalare Differenzialgleichungen 28 Satz Sei A eine konstante n n-matrix und b : R! R n stetig Dann besitzt das Anfangswertproblem y = Ay + b, y() = y, die eindeutige Lösung y(x) = e Ax y + Z x e At b(t) dt In der Praxis wird man eine solche Lösung direkt mit dem Ansatz der Variation der Konstanten bestimmen Ò Beispiel Betrachte u + u = f (x) Setzt man y = u und y 2 = u, so erhält man das System y = y! y2 =!!! y + = Ay + b(x) y 2 f (x) mit A =!, b =! f Die Matrix A beschreibt ein Zentrum mit Eigenwerten ±i, ein Fundamentalmatrixsystem ist! cos x sin x (x) = = e Ax sin x cos x Suchen wir jetzt eine partikuläre Lösung in der Gestalt y(x) = (x)c(x), so führt dies zu der zu lösenden Gleichung!!! c (x) = cos x sin x f (x) sin x (x)b(x) = = sin x cos x f (x) f (x) cos x Dies ist durch Integration lösbar

4 66 4 Systeme von Differenzialgleichungen 45 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung Wir betrachten jetzt noch eine Differenzialgleichung n-ter Ordnung für eine skalare Funktion: y (n) + a n y (n ) + + a y + a y = f (x) () Dabei steht y (k) = D k y für die k-te gewöhnliche Ableitung von y nach x Die Koeffizienten a,,a n seien konstant, die Inhomogenität f stetig in x Der Koeffizient der höchsten Ableitung, y (n), wird wie üblich auf normiert Dieser Differenzialgleichung ordnet man ihr charakteristisches Polynom P( ) = n + a n n + + a + a zu Man ersetzt also die k-te Ableitung von y durch die k-te Potenz von der Konvention Mit D = id, D k = dk dx k, k, schreibt sich () dann wesentlich kürzer als P(D)y = f Denn aufgrund der Linearität der Ableitungsoperation D ist ja P(D)y = (D n + a n D n + + a D + a )y = D n y + a n D n y + a Dy + a y = y (n) + a n y (n ) + + a y + a y Ein Polynom P definiert somit einen linearen Differenzialoperator mit konstanten Koeffizienten, L = P(D), und die lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung ist gleichbedeutend mit Ly = P(D)y = f Die Bedeutung des charakteristischen Polynoms geht aber noch weit über diesen formalen Aspekt hinaus Dazu gleich mehr

5 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung Existenz, Eindeutigkeit und Lösungsraum Die Frage der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen führen wir auf bekannte Sätze über System erster Ordnung zurück Dazu definieren wir y Œ u, y Œ u 2, y (n ) Œ u n, und erhalten dafür das System Also u = y = u 2, u 2 = y = u 3, u n = y (n) = a u a n u n + f u = Au + b mit u = (u,,u n ) >, A = b = C B C A a a a n f Einer Lösung y der skalaren Gleichung wird also der Lösungsvektor u = (y, y,,y (n ) ) > des Systems zugeordnet, und umgekehrt Dementsprechend besteht ein Anfangswertproblem für () darin, die n Werte vorzugeben y(x ), y (x ),, y (n ) (x ) 29 Existenz- und Eindeutigkeitssatz Sind die Koeffizienten der Differenzialgleichung () stetig auf einem gemeinsamen Intervall I, so besitzt jedes Anfangswertproblem P(D)y = b, y (k) (x ) = y k, k =,,n, eine eindeutige, auf ganz I erklärte Lösung

6 68 4 Systeme von Differenzialgleichungen Für die weitere Untersuchung betrachten wir wieder, wie üblich, zuerst die homogene Gleichung P(D)y =, und anschließend die inhomogene Gleichung Es gilt wieder der übliche 3 Satz Jede Lösung y von P(D)y = f ist die Summe aus einer partikulären Lösung y p der inhomogenen Gleichung und der allgemeinen Lösung y h der homogenen Gleichung Die homogene Gleichung Betrachte also jetzt P(D)y = 3 Satz Die Gesamtheit der Lösungen von P(D)y = bildet einen Vektorraum der Dimension n Für das zugeordnete lineare System y = Ay ist das klar Das bleibt auch richtig für den Raum der ersten Komponenten einer Fundamentallösung, y : u = (y, y,,y (n ) ) ist Lösung von y = Ay Denn wären diese linear abhängig, so wären es auch ihre Ableitungen, und damit die Lösungen u Alles bisher Gesagte gilt übrigens auch für Gleichungen mit allgemeinen, in x stetigen Koeffizienten! Für die effektive Bestimmung eines Fundamentalsystems nehmen wir aber jetzt an, dass alle Koeffizienten a,,a n konstant sind Es ist also P( ) = n + a n n + + a + a Dann gilt folgendes Analogon zum Satz über die Eigenwerte einer Koeffizientenmatrix 32 Lemma Ist µ eine Nullstelle des charkteristischen Polynoms P, so ist y(x) = e µx eine Lösung von P(D)y = Es ist D k (e µx ) = µ k e µx Mit a n = gilt dann nx nx P(D)(e µx ) = a k D k (e µx ) = a k µ k e µx = P(µ)e µx = k= k=

7 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung Dies gilt auch für komplexe Nullstellen Für µ = + i! ist y(x) = e ( +i!)x = e x e i!x = e x (cos!x + i sin!x) Da die Gleichung P(D)y = reell und linear in y ist, sind auch ȳ und damit der Real- und Imaginärteil hiervon Lösungen 33 Zusatz zum Lemma Ist µ = + i! eine komplexe Nullstelle von P, so sind Re e µx = e x cos µx, Im e µx = e x sin µx reelle Lösungen von P(D)y = Natürlich ist mit + i! auch i! eine Nullstelle von P Aber dies führt bis auf ein Vorzeichen zum selben System reeller Lösungen Besitzt P nur einfache Nullstellen, so sind wir damit schon am Ziel 34 Satz Besitzt das charakteristische Polynom P nur einfache Nullstellen µ,, r ± i! r,, so bilden die Funktionen e µ x,, e r x cos! r x, e r x sin! r x, ein Fundamentalsystem von P(D)y = Es sind dies allesamt reelle Lösungen, und sie sind auch linear unabhängig, wie man relativ leicht zeigt Da es insegsamt n Funktionen sind, bilden sie ein Fundamentalsystem Wie sieht es nun bei mehrfachen Nullstellen aus? Dazu betrachten wir nochmals einfache Nullstellen Ist µ eine einfache Nullstelle, so gilt ja P( ) = Q( )( µ) mit einem Polynom Q vom Grad n Also ist auch P(D) = Q(D)(D µ), und es ist bereits (D µ)e µx = µe µx µ e µx = Um eine k-fache Nullstelle zu studieren, genügt es daher, Lösungen von (D µ) k y = zu finden! Das ist aber einfach

8 7 4 Systeme von Differenzialgleichungen 35 Lemma Es gilt 8 <, l =, (D µ)(x l e µx ) = : lx l e µx, l Somit gilt auch (D µ) k (x l e µx ) =, l k Die erste Behauptung folgt mit D(x l e µx ) = lx l e µx + µx l e µx Die zweite folgt durch maximal k-maliges Anwenden der ersten Gleichung Für eine k-fache Nullstelle von P finden wir damit k linear unabhängige Lösungen e µx,xe µx,,x k e µx Über alle Nullstellen von P hinweg erhalten wir so wieder ein Fundamentalsystem 36 Satz Besitzt das charakteristische Polynom P nur reelle Nullstellen µ,,µ r mit Vielfachheiten n,,n r es ist also n + + n r = n, so bilden die Funktionen x l e µ kx, k =,,r, l=,,n k, ein Fundamentalsystem zu P(D)y = Im Fall einer komplexen Nullstellen k ± i! k mit Vielfachheit n k ist entsprechend x l e kx cos! k x, x l e kx sin! k x, l<n k, zu wählen und die komplex konjugierte Nullstelle zu ignorieren Zusammenhang mit Systemen erster Ordnung Die Struktur der Fundamentallösung im letzten Satz ähnelt stark derjenigen für lineare Systeme erster Ordnung mit mehrfachen Eigenwerten Das ist natürlich kein Zufall Es ist ja P(D)y =, P( ) = n n + a n + + a + a,

9 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung 45 7 äquivalent zum System u = Au, A = a a a n, u = C B y y (n ) y C A 37 Satz Das charakteristische Polynom der Matrix A ist genau das charakteristische Polynom P der skalaren Differenzialgleichung: P( ) = det( I A) Die Nullstellen des charakteristischen Polynom P sind genau die Eigenwerte von A Es ist I A = B A a a + a n Entwickeln wir die Determinante nach der letzten Zeile, so wird hierbei sind alle Matrizen von der Dimension n det( I A) = ( ) n+ a + ( ) n+2 a + + ( ) n+n ( + a n ) = a + a + + n ( + a n ) = P( ) wie behauptet machen Außerdem kann man noch folgende Aussage über mehrfache Eigenwerte 38 Satz Der Eigenraum zu jedem Eigenwert von A ist eindimensional