1 Einführung in die Numerik großer Gleichungssysteme. Themen: Die Poisson-Gleichung und ihre Diskretisierung

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1 1 Einführung in die Numerik großer Gleichungssysteme Themen: Die Poisson-Gleichung und ihre Diskretisierung

2 1 Einführung in die Numerik großer Gleichungssysteme Themen: Die Poisson-Gleichung und ihre Diskretisierung Die Konvektions-Diffusionsgleichung

3 1 Einführung in die Numerik großer Gleichungssysteme Themen: Die Poisson-Gleichung und ihre Diskretisierung Die Konvektions-Diffusionsgleichung Schwach besetzte Matrizen

4 1.1 Die Poissongleichung Ω = beschränktes Gebiet des Ê d

5 1.1 Die Poissongleichung Ω = beschränktes Gebiet des Ê d Gebiet = offene und zusammenhängende Punktmenge.

6 1.1 Die Poissongleichung Ω = beschränktes Gebiet des Ê d Gebiet = offene und zusammenhängende Punktmenge. Partielle Ableitungen: Schreibe D 1 statt x 1 bzw. D 2 ij statt 2 x i x j.

7 Die Poisson-Gleichung Im ersten Randwertproblem der Poisson-Gleichung suchen wir eine Funktion u C 2 (Ω) C(Ω) mit u = f in Ω, u = g auf Ω, wobei f, g vorgegebene Funktionen sind.

8 Die Poisson-Gleichung Im ersten Randwertproblem der Poisson-Gleichung suchen wir eine Funktion u C 2 (Ω) C(Ω) mit u = f in Ω, u = g auf Ω, wobei f, g vorgegebene Funktionen sind. ist der Laplace-Operator. = D D 2 dd.

9 Die Poisson-Gleichung Im ersten Randwertproblem der Poisson-Gleichung suchen wir eine Funktion u C 2 (Ω) C(Ω) mit u = f in Ω, u = g auf Ω, wobei f, g vorgegebene Funktionen sind. ist der Laplace-Operator. = D D 2 dd. Die Lösung u muss die Differentialgleichung in jedem Punkt von Ω erfüllen und die Randwerte g stetig annehmen.

10 Die Poisson-Gleichung Im ersten Randwertproblem der Poisson-Gleichung suchen wir eine Funktion u C 2 (Ω) C(Ω) mit u = f in Ω, u = g auf Ω, wobei f, g vorgegebene Funktionen sind. ist der Laplace-Operator. = D D 2 dd. Die Lösung u muss die Differentialgleichung in jedem Punkt von Ω erfüllen und die Randwerte g stetig annehmen. Daher u C 2 (Ω) C(Ω).

11 Die Poisson-Gleichung Die Poisson-Gleichung kommt in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften in unterschiedlichen Zusammenhängen vor.

12 Die Poisson-Gleichung Die Poisson-Gleichung kommt in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften in unterschiedlichen Zusammenhängen vor. Beispiel 1 Zweidimensionale Membran, die im Gebiet Ω lokalisiert ist.

13 Die Poisson-Gleichung Die Poisson-Gleichung kommt in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften in unterschiedlichen Zusammenhängen vor. Beispiel 1 Zweidimensionale Membran, die im Gebiet Ω lokalisiert ist. u = Auslenkung dieser Membran unter einer Kraft f.

14 Die Poisson-Gleichung Die Poisson-Gleichung kommt in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften in unterschiedlichen Zusammenhängen vor. Beispiel 1 Zweidimensionale Membran, die im Gebiet Ω lokalisiert ist. u = Auslenkung dieser Membran unter einer Kraft f. u = g bedeutet: Die Membran ist am Rande eingespannt.

15 Die Poisson-Gleichung Die Poisson-Gleichung kommt in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften in unterschiedlichen Zusammenhängen vor. Beispiel 1 Zweidimensionale Membran, die im Gebiet Ω lokalisiert ist. u = Auslenkung dieser Membran unter einer Kraft f. u = g bedeutet: Die Membran ist am Rande eingespannt. Beispiel Seifenhaut, die einen Bügel überzieht. Da die Seifenhaut sehr leicht ist, gilt hier f 0.

16 Beispiel 2 Stationäre Temperaturverteilung in einem Körper, der durch das Gebiet Ω repräsentiert wird.

17 Beispiel 2 Stationäre Temperaturverteilung in einem Körper, der durch das Gebiet Ω repräsentiert wird. u(x) = Temperatur des Körpers im Punkt x Ω.

18 Beispiel 2 Stationäre Temperaturverteilung in einem Körper, der durch das Gebiet Ω repräsentiert wird. u(x) = Temperatur des Körpers im Punkt x Ω. u = g bedeutet: Die Temperatur wird von außen auf g gehalten.

19 Beispiel 2 Stationäre Temperaturverteilung in einem Körper, der durch das Gebiet Ω repräsentiert wird. u(x) = Temperatur des Körpers im Punkt x Ω. u = g bedeutet: Die Temperatur wird von außen auf g gehalten. I.A. ist hier f = 0.

20 Beispiel Im Fall d = 1 können wir Ω = (0, 1) setzen und das Randwertproblem explizit lösen. u = f mit u(0) = u 0, u(1) = u 1

21 Beispiel Im Fall d = 1 können wir Ω = (0, 1) setzen und das Randwertproblem explizit lösen. u = f mit u(0) = u 0, u(1) = u 1 Wähle F mit F = f und bestimme die Koeffizienten einer (affin) linearen Funktionen l(x) durch l(0) = u 0 F(0), l(1) = u 1 F(1).

22 Beispiel Im Fall d = 1 können wir Ω = (0, 1) setzen und das Randwertproblem explizit lösen. u = f mit u(0) = u 0, u(1) = u 1 Wähle F mit F = f und bestimme die Koeffizienten einer (affin) linearen Funktionen l(x) durch l(0) = u 0 F(0), l(1) = u 1 F(1). Da eine lineare Funktion zwei Freiheiten besitzt, ist dies eindeutig möglich und die Lösung ist dann u = F + l.

23 Beispiel Im Fall d = 1 können wir Ω = (0, 1) setzen und das Randwertproblem explizit lösen. u = f mit u(0) = u 0, u(1) = u 1 Wähle F mit F = f und bestimme die Koeffizienten einer (affin) linearen Funktionen l(x) durch l(0) = u 0 F(0), l(1) = u 1 F(1). Da eine lineare Funktion zwei Freiheiten besitzt, ist dies eindeutig möglich und die Lösung ist dann u = F + l. Insbesondere ist die Temperatur in einem Draht bei f = 0 eine lineare Funktion.

24 1.2 Ein Differenzenverfahren für die Poissongleichung Betrachte nun ebene Gebiete Ω Ê 2 und setzen der Einfachheit halber eine Nullrandbedingung voraus. u = 0 auf Ω

25 1.2 Ein Differenzenverfahren für die Poissongleichung Betrachte nun ebene Gebiete Ω Ê 2 und setzen der Einfachheit halber eine Nullrandbedingung voraus. u = 0 auf Ω Das unendliche Gitter mit Maschenweite h ist definiert durch G h = {(x i, y j ) = (ih, jh) : i, j }.

26 Differenzenverfahren Wir wollen den Differentialoperator in den Gitterpunkten durch einen Differenzenoperator ersetzen.

27 Differenzenverfahren Wir wollen den Differentialoperator in den Gitterpunkten durch einen Differenzenoperator ersetzen. Dazu betrachten wir zunächst den Fall d = 1 und suchen eine Differenzenapproximation von u.

28 Differenzenverfahren Wir wollen den Differentialoperator in den Gitterpunkten durch einen Differenzenoperator ersetzen. Dazu betrachten wir zunächst den Fall d = 1 und suchen eine Differenzenapproximation von u. Die einfachste Möglichkeit ist eine Dreipunktformel, u (x) = 1 h 2 ( u(x + h)+2u(x) u(x h) ) + O(h 2 ).

29 Dreipunktformel u (x) = 1 h 2 ( u(x + h)+2u(x) u(x h) ) + O(h 2 ).

30 Dreipunktformel u (x) = 1 h 2 ( u(x + h)+2u(x) u(x h) ) + O(h 2 ). Man beweist dies, indem man auf der rechten Seite für u C 4 die Taylorentwicklung, u(x ± h) = u(x)±u (x)h+ 1 2 u (x)h 2 ± 1 6 u (x)h 3 + O(h 4 ) verwendet.

31 Dreipunktformel u (x) = 1 h 2 ( u(x + h)+2u(x) u(x h) ) + O(h 2 ). Man beweist dies, indem man auf der rechten Seite für u C 4 die Taylorentwicklung, u(x ± h) = u(x)±u (x)h+ 1 2 u (x)h 2 ± 1 6 u (x)h 3 + O(h 4 ) verwendet. Dann 1 h 2 ( u(x + h)+2u(x) u(x h) ) = u (x)+o(h 2 ).

32 Differenzenverfahren Der eindimensionale Differenzenquotient wird nun in = D 2 xx D 2 yy in jeder Koordinatenrichtung verwendet.

33 Differenzenverfahren Der eindimensionale Differenzenquotient wird nun in = D 2 xx D 2 yy in jeder Koordinatenrichtung verwendet. Mit u ij = u(x i, y j ) = u(ih, jh) haben wir dann u ij = h u ij + O(h 2 )

34 Differenzenverfahren Der eindimensionale Differenzenquotient wird nun in = D 2 xx D 2 yy in jeder Koordinatenrichtung verwendet. Mit u ij = u(x i, y j ) = u(ih, jh) haben wir dann mit u ij = h u ij + O(h 2 ) h u ij = 1 h 2(4u ij u i 1 j u i+1 j u i j 1 u i j+1 ).

35 Differenzenverfahren Ω h δω h Der Differenzenquotient h greift auf die 4 Nachbarpunkte des Gitters zu.

36 Differenzenverfahren Ω h δω h Der Differenzenquotient h greift auf die 4 Nachbarpunkte des Gitters zu. Setze Ω h = G h Ω,

37 Differenzenverfahren Ω h δω h Der Differenzenquotient h greift auf die 4 Nachbarpunkte des Gitters zu. Setze Ω h = G h Ω, Ω h = {P Ω h : Q G h \Ω h mit P Q = h}, Ω h = Ω h \ Ω h.

38 Differenzenverfahren Im diskreten Problem suchen wir eine Gitterfunktion mit h u ij = f ij (x i, y j ) Ω h, f ij = f(x i, y j ), u ij = 0 (x i, y j ) Ω h.

39 Differenzenverfahren Im diskreten Problem suchen wir eine Gitterfunktion mit h u ij = f ij (x i, y j ) Ω h, f ij = f(x i, y j ), u ij = 0 (x i, y j ) Ω h. Die Definitionen von Ω h und Ω h stellen nun sicher, dass der Differenzenquotient nur auf Punkte in Ω h oder Ω h zugreift.

40 Differenzenverfahren Im diskreten Problem suchen wir eine Gitterfunktion mit h u ij = f ij (x i, y j ) Ω h, f ij = f(x i, y j ), u ij = 0 (x i, y j ) Ω h. Die Definitionen von Ω h und Ω h stellen nun sicher, dass der Differenzenquotient nur auf Punkte in Ω h oder Ω h zugreift. Die Unbekannten u ij, (x i, y j ) Ω h sind durch den Differenzenquotient auf lineare Weise miteinander verknüpft.

41 Differenzenverfahren Im diskreten Problem suchen wir eine Gitterfunktion mit h u ij = f ij (x i, y j ) Ω h, f ij = f(x i, y j ), u ij = 0 (x i, y j ) Ω h. Die Definitionen von Ω h und Ω h stellen nun sicher, dass der Differenzenquotient nur auf Punkte in Ω h oder Ω h zugreift. Die Unbekannten u ij, (x i, y j ) Ω h sind durch den Differenzenquotient auf lineare Weise miteinander verknüpft. Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem in diesen Unbekannten.

42 Beispiel Sei Ω = (0, 1) 2 und h = 1 4. Ω h besteht dann aus allen Gitterpunkten (x i, y j ) = (i/4, j/4) mit i, j = 1, 2, 3.

43 Beispiel Sei Ω = (0, 1) 2 und h = 1 4. Ω h besteht dann aus allen Gitterpunkten (x i, y j ) = (i/4, j/4) mit i, j = 1, 2, 3. Daher hat unser System 9 Unbekannte, die für die eigentliche Lösung nummeriert werden müssen.

44 Beispiel Sei Ω = (0, 1) 2 und h = 1 4. Ω h besteht dann aus allen Gitterpunkten (x i, y j ) = (i/4, j/4) mit i, j = 1, 2, 3. Daher hat unser System 9 Unbekannte, die für die eigentliche Lösung nummeriert werden müssen. Diese Nummerierung ist im Prinzip willkürlich!

45 Beispiel In der lexikographischen Nummerierung beginnend mit (1, 1) ist u 11 x 1, u 21 x 2, u 31 x 3, u 12 x 4, u 22 x 5,...

46 Beispiel In der lexikographischen Nummerierung beginnend mit (1, 1) ist u 11 x 1, u 21 x 2, u 31 x 3, u 12 x 4, u 22 x 5,... Für diese Nummererierung erhalten wir die Systemmatrix:

47 Beispiel A 4 4 =

48 Differenzensterne Man versteht die Systemmatrix besser, wenn man nur die Informationen der nichtverschwindenden Elemente berücksichtigt. Dies geschieht am einfachsten mit der Schreibweise dieser Elemente als Differenzenstern.

49 Differenzensterne Dazu legt man in Gedanken eine 3 3-Matrix über das Gitter und notiert die Einträge der Zeile des Elements, das in der Mitte steht.

50 Differenzensterne Dazu legt man in Gedanken eine 3 3-Matrix über das Gitter und notiert die Einträge der Zeile des Elements, das in der Mitte steht. In die Mitte kommt daher das Diagonalelement, hier 4/h 2, und an den vier Nachbarn die zugehörigen Nebendiagonalelemente, hier 1/h 2, also h u ij = 1 h u ij = 1 h 2( u i j+1 u i 1 j + 4u ij u i+1 j u i j 1 )

51 Differenzensterne Dazu legt man in Gedanken eine 3 3-Matrix über das Gitter und notiert die Einträge der Zeile des Elements, das in der Mitte steht. In die Mitte kommt daher das Diagonalelement, hier 4/h 2, und an den vier Nachbarn die zugehörigen Nebendiagonalelemente, hier 1/h 2, also h u ij = 1 h u ij = 1 h 2( u i j+1 u i 1 j + 4u ij u i+1 j u i j 1 ) Man bezeichnet h auch als 5-Punkte-Stern.

52 Der allgemeine 9-Punkte-Stern ist von der Form s 11 s 12 s 13 S = s 21 s 22 s 23. s 31 s 32 s 33

53 Der allgemeine 9-Punkte-Stern ist von der Form Es gilt dann s 11 s 12 s 13 S = s 21 s 22 s 23. s 31 s 32 s 33 Su ij =s 11 u i 1 j+1 + s 12 u i j+1 + s 13 u i+1 j+1 + s 21 u i 1 j + s 22 u i j + s 23 u i+1 j + s 31 u i 1 j 1 + s 32 u i j 1 + s 33 u i+1 j 1

54 Nummerierung Eine Nummerierug der Gitterpunkte in Ω h ist eine Abbildung φ : Ω h {1, 2,...,N}, wobei N die Anzahl der Punkte in Ω h bezeichnet.

55 Nummerierung Eine Nummerierug der Gitterpunkte in Ω h ist eine Abbildung φ : Ω h {1, 2,...,N}, wobei N die Anzahl der Punkte in Ω h bezeichnet. Schreibe φ ij = φ((x i, y j )).

56 Symmetrische Systemmatrizen Ein Differenzenstern besitze konstante Koeffizienten, d.h. die Einträge von S hängen nicht von (x i, y j ) ab.

57 Symmetrische Systemmatrizen Ein Differenzenstern besitze konstante Koeffizienten, d.h. die Einträge von S hängen nicht von (x i, y j ) ab. Wie erkennt man, dass die zugehörige Systemmatrix symmetrisch ist?

58 Symmetrische Systemmatrizen Ein Differenzenstern besitze konstante Koeffizienten, d.h. die Einträge von S hängen nicht von (x i, y j ) ab. Wie erkennt man, dass die zugehörige Systemmatrix symmetrisch ist? Nehme einen Punkt k = φ ij mit Nachbarpunkt l = φ i+1 j. Für die Systemmatrix A = (a kl ) gilt dann a kl = s 23, a lk = s 21.

59 Symmetrische Systemmatrizen Ein Differenzenstern besitze konstante Koeffizienten, d.h. die Einträge von S hängen nicht von (x i, y j ) ab. Wie erkennt man, dass die zugehörige Systemmatrix symmetrisch ist? Nehme einen Punkt k = φ ij mit Nachbarpunkt l = φ i+1 j. Für die Systemmatrix A = (a kl ) gilt dann a kl = s 23, a lk = s 21. Dieses Argument lässt sich für alle Richtungen durchführen. Die Systemmatrix ist also genau dann symmetrisch, wenn der Differenzenstern punktsymmetrisch ist.

60 Differenzenverfahren auf dem Einheitsquadrat Nun betrachten wir die gleiche Diskretisierung der Poisson-Gleichung auf dem Gebiet (0, 1) (0, 1) wie im vorigen Beispiel, dieses Mal allgemeiner mit Schrittweite h = 1/N.

61 Differenzenverfahren auf dem Einheitsquadrat Nun betrachten wir die gleiche Diskretisierung der Poisson-Gleichung auf dem Gebiet (0, 1) (0, 1) wie im vorigen Beispiel, dieses Mal allgemeiner mit Schrittweite h = 1/N. Die zugehörige Systemmatrix A N N sieht ganz ähnlich aus wie A 4 4 : Sie ist symmetrisch und die Zahl der nichtverschwindenden Elemente ist in jeder Zeile und Spalte durch 5 beschränkt.

62 Differenzenverfahren auf dem Einheitsquadrat Satz Die Matrix A N N besitzt die Eigenwerte λ kl = 2 kπ h2(2 cos N cos lπ ), k, l = 1,...,N 1, N

63 Differenzenverfahren auf dem Einheitsquadrat Satz Die Matrix A N N besitzt die Eigenwerte λ kl = 2 kπ h2(2 cos N cos lπ ), k, l = 1,...,N 1, N mit zugehörigen Eigenvektoren u ij = u(λ kl ) ij u ij = sin ikπ N sin jlπ N.

64 Differenzenverfahren auf dem Einheitsquadrat Satz Die Matrix A N N besitzt die Eigenwerte λ kl = 2 kπ h2(2 cos N cos lπ ), k, l = 1,...,N 1, N mit zugehörigen Eigenvektoren u ij = u(λ kl ) ij u ij = sin ikπ N sin jlπ N. Ferner gilt für den minimalen und maximalen Eigenwert λ min = λ 11 = O(1), λ max = λ N 1 N 1 = O(h 2 ), insbesondere ist die Matrix symmetrisch positiv definit (spd).

65 Differenzenverfahren auf dem Einheitsquadrat Satz Die Matrix A N N besitzt die Eigenwerte λ kl = 2 kπ h2(2 cos N cos lπ ), k, l = 1,...,N 1, N mit zugehörigen Eigenvektoren u ij = u(λ kl ) ij u ij = sin ikπ N sin jlπ N. Ferner gilt für den minimalen und maximalen Eigenwert λ min = λ 11 = O(1), λ max = λ N 1 N 1 = O(h 2 ), insbesondere ist die Matrix symmetrisch positiv definit (spd). Für die Kondition der Matrix folgt κ = λ max /λ min = O(h 2 ).

66 Beweis Wir setzen im Additionstheorem die Werte ein. sinx + sin y = 2 cos ( x y 2 x = ) sin ( x + y) 2 (i 1)kπ (i + 1)kπ, y = N N

67 Beweis Wir setzen im Additionstheorem die Werte ein. sinx + sin y = 2 cos ( x y 2 x = ) sin ( x + y) 2 (i 1)kπ (i + 1)kπ, y = N N Für die eindimensionale Gitterfunktion u i = sin(ikπ/n) gilt dann 1 h 2( u i 1 + 2u i u i+1 ) = 2 kπ h2(1 cos N )u i.

68 Beweis 1 h 2( u i 1 + 2u i u i+1 ) = 2 kπ h2(1 cos N )u i.

69 Beweis 1 h 2( u i 1 + 2u i u i+1 ) = 2 h 2(1 cos kπ N )u i. Für die angegebene Gitterfunktion u ij gilt dieses Argument in jeder Koordinatenrichtung, sodass wir gerade λ kl als Eigenwert erhalten.

70 Beweis 1 h 2( u i 1 + 2u i u i+1 ) = 2 kπ h2(1 cos N )u i. Für die angegebene Gitterfunktion u ij gilt dieses Argument in jeder Koordinatenrichtung, sodass wir gerade λ kl als Eigenwert erhalten. Für u = u(λ kl ) daher h u ij = (λ k +λ l )u ij = 2 kπ h2(2 cos N cos lπ N )u ij.

71 Beweis h u ij = (λ k +λ l )u ij = 2 kπ h2(2 cos N cos lπ N )u ij.

72 Beweis h u ij = (λ k +λ l )u ij = 2 kπ h2(2 cos N cos lπ N )u ij. Die u(λ kl ) sind für 1 k, l N 1 linear unabhängig, bilden somit ein vollständiges System von Eigenvektoren der Matrix A N N, die ja die Dimension (N 1) 2 besitzt.

73 Beweis h u ij = (λ k +λ l )u ij = 2 kπ h2(2 cos N cos lπ N )u ij. Die u(λ kl ) sind für 1 k, l N 1 linear unabhängig, bilden somit ein vollständiges System von Eigenvektoren der Matrix A N N, die ja die Dimension (N 1) 2 besitzt. Für den Cosinus gilt nach Taylor cos x = 1 x2 2 + O(x4 ), was die angegebene Asymptotik für λ min beweist.

74 1.3 Die Konvektions-Diffusionsgleichung Wir betrachten die stationäre Temperaturverteilung in einem ebenen Fluid, das sich mit der Geschwindigkeit b(x, y) Ê 2 bewegt.

75 1.3 Die Konvektions-Diffusionsgleichung Wir betrachten die stationäre Temperaturverteilung in einem ebenen Fluid, das sich mit der Geschwindigkeit b(x, y) Ê 2 bewegt. Die Temperatur u(x, y) wird nun nicht nur wie im letzten Abschnitt durch die Diffusion, sondern auch durch die Konvektion bestimmt, indem die Temperatur durch das Fluid transportiert wird.

76 1.3 Die Konvektions-Diffusionsgleichung Wir betrachten die stationäre Temperaturverteilung in einem ebenen Fluid, das sich mit der Geschwindigkeit b(x, y) Ê 2 bewegt. Die Temperatur u(x, y) wird nun nicht nur wie im letzten Abschnitt durch die Diffusion, sondern auch durch die Konvektion bestimmt, indem die Temperatur durch das Fluid transportiert wird. Das einfachste Modell für diesen Vorgang ist die Konvektions-Diffusions-Gleichung ν u + b x D x u + b y D y u = f, wobei ν die Wärmeleitfähigkeit bezeichnet.

77 1.3 Die Konvektions-Diffusionsgleichung Wir betrachten die stationäre Temperaturverteilung in einem ebenen Fluid, das sich mit der Geschwindigkeit b(x, y) Ê 2 bewegt. Die Temperatur u(x, y) wird nun nicht nur wie im letzten Abschnitt durch die Diffusion, sondern auch durch die Konvektion bestimmt, indem die Temperatur durch das Fluid transportiert wird. Das einfachste Modell für diesen Vorgang ist die Konvektions-Diffusions-Gleichung ν u + b x D x u + b y D y u = f, wobei ν die Wärmeleitfähigkeit bezeichnet. ν ist dann der Diffusions-Term und b x D x u + b y D y der Konvektionsterm.

78 Diskretisierung der ersten Ableitung Der Laplace-Operator wird wie im letzten Abschnitt diskretisiert, für die ersten Ableitungen gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zweipunktformeln sind D + x u ij = 1 h (u i+1 j u ij ) vorwärts, D x u ij = 1 h (u ij u i 1 j ) rückwärts, D 0 xu ij = 1 2h (u i+1 j u i 1 j ) zentral.

79 Diskretisierung der ersten Ableitung Aus der Taylorformel u(x ± h) = u(x)±u (x)h+ 1 2 u (x)h 2 ± 1 6 u (x)h 3 + O(h 4 ) folgt, dass der zentrale Differenzenquotient von zweiter Ordnung in h ist, d.h. es gilt für u C 3 D x u(x, y) = 1 2h (u(x + h, y) u(x h, y))+o(h2 ).

80 Diskretisierung der ersten Ableitung Aus der Taylorformel u(x ± h) = u(x)±u (x)h+ 1 2 u (x)h 2 ± 1 6 u (x)h 3 + O(h 4 ) folgt, dass der zentrale Differenzenquotient von zweiter Ordnung in h ist, d.h. es gilt für u C 3 D x u(x, y) = 1 2h (u(x + h, y) u(x h, y))+o(h2 ). Die beiden einseitigen Differenzenquotienten sind dagegen nur von erster Ordnung.

81 Diskretisierung mit zentralen Differenzenquotienten Eine naheliegende Wahl für die Diskretisierung der Konvektions-Diffusionsgleichung ist daher das Verfahren mit b x,ij = b x (ih, jh). ν h u ij + b x,ij D 0 xu ij + b y,ij D 0 yu ij = f ij

82 Diskretisierung mit zentralen Differenzenquotienten Eine naheliegende Wahl für die Diskretisierung der Konvektions-Diffusionsgleichung ist daher das Verfahren mit b x,ij = b x (ih, jh). ν h u ij + b x,ij D 0 xu ij + b y,ij D 0 yu ij = f ij Leider gibt dieses Verfahren bei kleinem ν oder großen b x, b y die Physik des Problems nur bei kleinen Schrittweiten korrekt wieder, man erhält bei zu großen Schrittweiten unphysikalische oszillierende Lösungen.

83 Upwind-Diskretisierung Stabiler ist die Upwind-Diskretisierung: Wir setzen { D + x falls b x (ih, jh) < 0 D up x,ij = D x falls b x (ih, jh) 0

84 Upwind-Diskretisierung Stabiler ist die Upwind-Diskretisierung: Wir setzen { D + x falls b x (ih, jh) < 0 D up x,ij = D x falls b x (ih, jh) 0 und verwenden ν h u ij + b x,ij D up x u ij + b y,ij D up y u ij = f ij.

85 Upwind-Diskretisierung Stabiler ist die Upwind-Diskretisierung: Wir setzen { D + x falls b x (ih, jh) < 0 D up x,ij = D x falls b x (ih, jh) 0 und verwenden ν h u ij + b x,ij D up x u ij + b y,ij D up y u ij = f ij. Aus Sicht der linearen Algebra ist der Grundgedanke hierbei die Stärkung der Hauptdiagonalen: Bei der Diskretisierung durch den zentralen Differenzenquotienten liefert nur der ν h den Beitrag 4ν/h 2, beim Upwind-Verfahren kommt noch ( b x,ij + b y,ij )/h hinzu.

86 Upwind-Diskretisierung Für b x, b y 0 in Ω erhalten wir bei der Upwind-Diskretisierung den Differenzenstern 0 ν h 2 0 ν h 2 b x,ij 4ν h h 2 + b x,ij h + b y,ij ν h h 2 0 ν h 2 b y,ij 0 h

87 Upwind-Diskretisierung Für b x, b y 0 in Ω erhalten wir bei der Upwind-Diskretisierung den Differenzenstern 0 ν h 2 0 ν h 2 b x,ij 4ν h h 2 + b x,ij h + b y,ij ν h h 2 0 ν h 2 b y,ij 0 h Was sagt Gerschgorin dazu?

88 1.4 Die Sterne deuten Wir beschränken uns hier auf Differenzensterne, die Matrizen erzeugen mit a ii > 0 und a ij 0 für i j sowie a ij a ii, 1 i n, j i was für die diskrete Poisson-Gleichung und die Upwind-Diskretisierung erfüllt ist.

89 1.4 Die Sterne deuten Wir beschränken uns hier auf Differenzensterne, die Matrizen erzeugen mit a ii > 0 und a ij 0 für i j sowie a ij a ii, 1 i n, j i was für die diskrete Poisson-Gleichung und die Upwind-Diskretisierung erfüllt ist. Ferner seien die Differenzensterne in jedem Gitterpunkt dieselben.

90 Isotrope Sterne Betrachten wir zunächst symmetrische Matrizen, die man daran erkennt, dass der Differenzenstern punktsymmetrisch ist.

91 Isotrope Sterne Betrachten wir zunächst symmetrische Matrizen, die man daran erkennt, dass der Differenzenstern punktsymmetrisch ist. Sind die Nebendiagonalen in jeder Koordinatenrichtung etwa gleich groß, so bezeichnet man das Problem als isotrop. Beispielsweise ist h ebenfalls eine isotrope Approximation des Laplace-Operators.

92 Isotrope Sterne Die Isotropie wird wie die meisten anderen Eigenschaften des Differenzensterns vom kontinuierlichen Problem geerbt: Jede vernünftige Approximation von wird isotrop sein.

93 Isotrope Sterne Die Isotropie wird wie die meisten anderen Eigenschaften des Differenzensterns vom kontinuierlichen Problem geerbt: Jede vernünftige Approximation von wird isotrop sein. Bei einem isotropen Stern läuft der Fluß der Information in jeder Richtung in gleicher Weise.

94 Anisotrope Sterne Dagegen liefert die Standard-Diskretisierung von Dxx 2 εdyy, 2 nämlich 0 ε 0 1 h ε 1, 0 ε 0 einen anisotropen Stern:

95 Anisotrope Sterne Dagegen liefert die Standard-Diskretisierung von Dxx 2 εdyy, 2 nämlich 0 ε 0 1 h ε 1, 0 ε 0 einen anisotropen Stern: Die Information läuft hauptsächlich entlang der x-richtung. Im Grenzfall ε = 0 zerfällt das System in 1d-Randwertprobleme, die Kopplung in y-richtung verschwindet vollständig.

96 Unsymmetrischer Fall Den unsymmetrischen Fall studieren wir in 1d an Hand des Randwertproblems für ε > 0. εu + u = f in (0, 1), u(0) = u(1) = 0,

97 Unsymmetrischer Fall Den unsymmetrischen Fall studieren wir in 1d an Hand des Randwertproblems für ε > 0. εu + u = f in (0, 1), u(0) = u(1) = 0, Die Upwind-Diskretisierung liefert den Stern ε ( ) 1 ( ) h 2 h

98 Unsymmetrischer Fall Den unsymmetrischen Fall studieren wir in 1d an Hand des Randwertproblems für ε > 0. εu + u = f in (0, 1), u(0) = u(1) = 0, Die Upwind-Diskretisierung liefert den Stern ε ( ) 1 ( ) h 2 h Hier läuft die Information von links nach rechts, denn im Grenzfall reduziert sich die diskrete Gleichung auf 1 ( ) ui = f i, u 0 = u N = 0. h

99 Unsymmetrischer Fall Im Grenzfall reduziert sich die diskrete Gleichung auf 1 ( ) ui = f i, u 0 = u N = 0. h

100 Unsymmetrischer Fall Im Grenzfall reduziert sich die diskrete Gleichung auf 1 ( ) ui = f i, u 0 = u N = 0. h Dies ist das Eulersche Polygonzugverfahren zur Approximation von u = f in (0, 1) mit u(0) = 0.

101 Unsymmetrischer Fall Im Grenzfall reduziert sich die diskrete Gleichung auf 1 ( ) ui = f i, u 0 = u N = 0. h Dies ist das Eulersche Polygonzugverfahren zur Approximation von u = f in (0, 1) mit u(0) = 0. Die rechte Randbedingung spielt in der Grenzlösung gar keine Rolle.

102 Unsymmetrischer Fall 1 1 x Lösung von εu + u = 1, u(0) = u(1) = 0

103 Unsymmetrischer Fall 1 1 x Lösung von εu + u = 1, u(0) = u(1) = 0 Die rechte Randbedingung spielt in der Grenzlösung gar keine Rolle, was dazu führt, dass ein sogenannter Boundary-Layer für kleine ε am rechten Rand erscheint.

104 Unsymmetrischer Fall Damit ist auch klar, warum man mit der zentralen Differenzenapproximation von u Schiffbruch erleidet: Das Grenzproblem 1 ( ) ui = f i, u 0 = u N = 0, 2h zerfällt in gerade und ungerade Knotenpunkte.

105 Unsymmetrischer Fall Damit ist auch klar, warum man mit der zentralen Differenzenapproximation von u Schiffbruch erleidet: Das Grenzproblem 1 ( ) ui = f i, u 0 = u N = 0, 2h zerfällt in gerade und ungerade Knotenpunkte. Ist beispielsweise N in h = 1/N gerade, so müssen in den geraden Punkten beide Randbedingungen erfüllt werden und das System ist in diesen Punkten überbestimmt.

106 Unsymmetrischer Fall Das Vorzeichen von u in εu ± u entscheidet darüber, welche Randbedingung in der Grenzgleichung erhalten bleibt.

107 Unsymmetrischer Fall Das Vorzeichen von u in εu ± u entscheidet darüber, welche Randbedingung in der Grenzgleichung erhalten bleibt. Wir betrachten nun die Gleichung εu + a(x)u = f mit u(0) = u(1) = 0.

108 Unsymmetrischer Fall Das Vorzeichen von u in εu ± u entscheidet darüber, welche Randbedingung in der Grenzgleichung erhalten bleibt. Wir betrachten nun die Gleichung Für stetiges a(x) mit εu + a(x)u = f mit u(0) = u(1) = 0. a(x) > 0 in (0, 1/2) und a(x) < 0 in (1/2, 1) bleiben beide Randbedingungen im Grenzfall ε = 0 erhalten, was man sich durch die Upwind-Diskretisierung klar macht.

109 Unsymmetrischer Fall Dies führt bei kleinem ε zur Ausbildung eines Interior-Layers: Die beiden Lösungszweige stoßen im Mittelpunkt zusammen, was wie im Bild gezeigt die Lösung für ε > 0 kompensieren muss.

110 Unsymmetrischer Fall Besonders unangenehm ist der Fall εu a(x)u = f bei gleichen Voraussetzungen an a(x) wie vorher. Hier läuft in der linken Hälfte die Information von rechts nach links und in der rechten Hälfte von links nach rechts.

111 Unsymmetrischer Fall Besonders unangenehm ist der Fall εu a(x)u = f bei gleichen Voraussetzungen an a(x) wie vorher. Hier läuft in der linken Hälfte die Information von rechts nach links und in der rechten Hälfte von links nach rechts. Keine der beiden Randbedingungen bleibt im Grenzfall erhalten. Die Grenzlösung erfüllt a(x)u = f, aber sie ist nur bis auf eine Konstante eindeutig und es ist unklar, woher diese Konstante kommt, jedenfalls nicht aus der Randbedingung.

112 1.5 Speichertechniken für schwach besetzte Matrizen Geht man ein lineares Gleichungssystem mit einer schwach besetzten Matrix mit einem Eliminationsverfahren (Gauß, Householder, Cholesky) an, so wird im Laufe der Elimination die Matrix mit nichtverschwindenden Elementen aufgefüllt.

113 1.5 Speichertechniken für schwach besetzte Matrizen Geht man ein lineares Gleichungssystem mit einer schwach besetzten Matrix mit einem Eliminationsverfahren (Gauß, Householder, Cholesky) an, so wird im Laufe der Elimination die Matrix mit nichtverschwindenden Elementen aufgefüllt. Vollkommen ausnutzen läßt dich die schwache Besetzung daher nur mit Iterationsverfahren, die im wesentlichen nur eine Matrix-Vektor-Multiplikation benötigen, aber nicht immer sicher konvergieren.

114 1.5 Speichertechniken für schwach besetzte Matrizen Geht man ein lineares Gleichungssystem mit einer schwach besetzten Matrix mit einem Eliminationsverfahren (Gauß, Householder, Cholesky) an, so wird im Laufe der Elimination die Matrix mit nichtverschwindenden Elementen aufgefüllt. Vollkommen ausnutzen läßt dich die schwache Besetzung daher nur mit Iterationsverfahren, die im wesentlichen nur eine Matrix-Vektor-Multiplikation benötigen, aber nicht immer sicher konvergieren. Eine gewisse Ersparnis läßt sich aber auch bei den direkten Verfahren durch die Beobachtung erzielen, dass sie Bandmatrizen in Bandmatrizen überführen.

115 Bandmatrizen Für p, q N, p, q 0, heißt die Matrix A Bandmatrix der Bandbreite l = p + q + 1 falls für ihre Elemente a ij gilt: a ij = 0 für j + p < i und i + q < j. Neben der Hauptdiagonale sind also nur p untere und q obere Nebendiagonalen besetzt:

116 Bandmatrizen a a 1 q a p an q n a n n p... a nn

117 Bandmatrizen a a 1 q a p an q n a n n p... a nn Man speichert eine solche Matrix als n l-matrix so ab, dass die Elemente von Haupt- und Nebendiagonalen untereinander stehen.

118 Tridiagonalmatrizen Bei einer Tridiagonalmatrix, also p = q = 1 sieht das so aus: a 11 a 12 0 a. a a a 21 a 22 a an 1n... a n n 1 a nn a n n 1 a nn 0

119 Band-Matrix und Gauss-Algorithmus Mit dieser Speicherung kann der Gauss-Algorithmus ohne Pivotisierung durchgeführt werden.

120 Band-Matrix und Gauss-Algorithmus Mit dieser Speicherung kann der Gauss-Algorithmus ohne Pivotisierung durchgeführt werden. Muss bei einer (p, q)-bandmatrix pivotisiert werden, so verbleibt am Ende des Algorithmus eine obere Dreiecksmatrix der Bandbreite p + q, was man bei der Speicherung der Ausgangsmatrix berücksichtigen muss.

121 Bandbreite bei der diskreten Poisson-Gleichung Wie groß die Bandbreite bei den Diskretisierungen der letzten Abschnitte?

122 Bandbreite bei der diskreten Poisson-Gleichung Wie groß die Bandbreite bei den Diskretisierungen der letzten Abschnitte? Wir gehen dazu von einem ebenen beschränkten Gebiet aus, das durch ein Gitter der Maschenweite h überzogen wird.

123 Bandbreite bei der diskreten Poisson-Gleichung Wie groß die Bandbreite bei den Diskretisierungen der letzten Abschnitte? Wir gehen dazu von einem ebenen beschränkten Gebiet aus, das durch ein Gitter der Maschenweite h überzogen wird. In (x i, y j ) Ω h seien i min, i max und j min, j max die minimal und maximal vorkommenden Indizes. Ist i max i min < j max j min, verwenden wir eine lexikographische Nummerierung in x-richtung, im umgekehrten Fall wird mit der y-richtung begonnen.

124 Bandbreite bei der diskreten Poisson-Gleichung Wie groß die Bandbreite bei den Diskretisierungen der letzten Abschnitte? Wir gehen dazu von einem ebenen beschränkten Gebiet aus, das durch ein Gitter der Maschenweite h überzogen wird. In (x i, y j ) Ω h seien i min, i max und j min, j max die minimal und maximal vorkommenden Indizes. Ist i max i min < j max j min, verwenden wir eine lexikographische Nummerierung in x-richtung, im umgekehrten Fall wird mit der y-richtung begonnen. Die Bandbreite ist dann auch bei Verwendung komplizierterer Differenzenausdrücke O(i max i min ) bzw. O(j max j min ), was die direkten Vefahren bei schlauchförmigen Gebieten recht attraktiv macht.

125 Bandbreite bei der diskreten Poisson-Gleichung Bei einem Quadrat haben wir O(h 2 ) Unbekannte und eine Bandbreite von O(h 1 ).

126 Bandbreite bei der diskreten Poisson-Gleichung Bei einem Quadrat haben wir O(h 2 ) Unbekannte und eine Bandbreite von O(h 1 ). Es werden daher nur O(h 3 ) statt O(h 4 ) Speicherplätze benötigt und die Rechenzeit ist bei Ausnutzen der Bandstruktur nur noch O(h 4 ) statt O(h 6 ) wie bei einer vollbesetzten Matrix.

127 Schwach besetzte Matrizen Wenn man nur die nichtverschwindenden Elemente einer Matrix abspeichern möchte, so findet man in der Literatur eine Vielzahl von Konventionen; die Grundidee ist aber immer die gleiche und soll hier für eine m n-matrix A vorgeführt werden.

128 Schwach besetzte Matrizen Man speichert die nichtverschwindenden Elemente Zeile für Zeile auf einen Vektor a(anzahl).

129 Schwach besetzte Matrizen Man speichert die nichtverschwindenden Elemente Zeile für Zeile auf einen Vektor a(anzahl). Mit einem Vektor ia(m+1) wird der Beginn der neuen Zeile vermerkt: Es ist ia(1)=1 und ia(m+1)=anzahl+1, was eine nützliche Konvention ist.

130 Schwach besetzte Matrizen Man speichert die nichtverschwindenden Elemente Zeile für Zeile auf einen Vektor a(anzahl). Mit einem Vektor ia(m+1) wird der Beginn der neuen Zeile vermerkt: Es ist ia(1)=1 und ia(m+1)=anzahl+1, was eine nützliche Konvention ist. Der Vektor ja(anzahl) gibt die Spaltennummern der Elemente in a an: ja(i)=j bedeutet, dass das i-te Element in a zur j-ten Spalte gehört.

131 Schwach besetzte Matrizen Man speichert die nichtverschwindenden Elemente Zeile für Zeile auf einen Vektor a(anzahl). Mit einem Vektor ia(m+1) wird der Beginn der neuen Zeile vermerkt: Es ist ia(1)=1 und ia(m+1)=anzahl+1, was eine nützliche Konvention ist. Der Vektor ja(anzahl) gibt die Spaltennummern der Elemente in a an: ja(i)=j bedeutet, dass das i-te Element in a zur j-ten Spalte gehört. Insgesamt benötigen wir den folgenden Datensatz: integer m,n,anzahl,ia(m+1),ja(anzahl) real a(anzahl)

132 Beispiel A =

133 Beispiel m=3, n=3, anzahl= A =

134 Beispiel m=3, n=3, anzahl= A = a=(/5.,2.,6.,4./), ia=(/1,3,4,5/)

135 Beispiel m=3, n=3, anzahl= A = a=(/5.,2.,6.,4./), ia=(/1,3,4,5/) ja=(/1,2,3,1/)

136 Schwach besetzte Matrizen Ein Unterprogramm zur Multiplikation von A mit einem Vektor u und Ergebnis v ist damit überraschend einfach: integer m,n,anzahl,ia(m+1),ja(anzahl) real a(anzahl),u(n),v(m) v = 0. do i=1,m Do j=ia(i),ia(i+1)-1 v(i) = v(i)+a(j)*u(ja(j)) enddo enddo

137 Schwach besetzte Matrizen Ein Unterprogramm zur Multiplikation von A mit einem Vektor u und Ergebnis v ist damit überraschend einfach: integer m,n,anzahl,ia(m+1),ja(anzahl) real a(anzahl),u(n),v(m) v = 0. do i=1,m Do j=ia(i),ia(i+1)-1 v(i) = v(i)+a(j)*u(ja(j)) enddo enddo Hier ist deutlich zu sehen, warum die Konvention ia(m+1)=anzahl+1 nützlich ist.

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