Was ändert sich, wenn zu Beginn eine andere Anzahl n an Streichhölzern auf dem Haufen liegt?

Transkript

1 NIM Auf dem Tisch liegen mehrere Haufen mit Spielsteinen. Zum Beispiel drei Haufen mit 4, 5 und 6 Steinen. Jeder Spiele nimmt abwechselnd von einem Haufen eine beliebige Anzahl an Steinen. Der Spieler, der den letzten Stein nimmt, gewinnt. Turning Turtles Mehrere Münzen liegen in einer (horizontalen) Reihe. Manche zeigen Kopf und manche Zahl. Ein Zug besteht daraus, eine der Münzen von Kopf auf Zahl zu drehen. Zusätzlich kann man (wenn gewünscht) eine weitere Münze umdrehen, die links von der ersten Münze liegt (egal ob von Kopf zu Zahl oder von Zahl nach Kopf). Der Spieler, der die letzte Münze von Kopf auf Zahl drehen kann, gewinnt.

2 21 Takeaway Auf dem Tisch liegen 21 Streichhölzer auf einem Haufen. Jeder Spieler nimmt abwechselnd ein oder zwei Streichhölzer vom Haufen. Der Spieler, der das letzte Streichholz nimmt, hat gewonnen. Varianten 31 Was ändert sich, wenn zu Beginn eine andere Anzahl n an Streichhölzern auf dem Haufen liegt? Was ändert sich, wenn jeder Spieler pro Zug nicht nur ein oder zwei sondern bis zu k Streichhölzer nehmen darf? Diese Variante wurde von Geoffrey Mott-Smith 1954 entwickelt. Auf dem Tisch liegen offen die Spielkarten Ass, 2, 3, 4, 5 und 6 (jeweils in jeder der vier Farben). Jeder Spieler dreht abwechselnd eine der offenen Karten um und die Summe der umgedrehten Karten wird festgehalten (Asse zählen je 1). Der Spieler, bei dem die Summe größer als 31 wird, verliert. Vergleiche dieses Spiel mit dem Spiel, bei dem 31 Steine auf dem Tisch liegen und die Spieler abwechselnd 1 bis 6 Steine wegnehmen.

3 CHOP Wir starten mit einem m n-brett, dass als Planke interpretiert wird, die nur oben links befestigt ist. Jeder Spieler hackt abwechselnd horizontal oder vertikal durch die Planke. Alles, was danach nicht mehr mit der linken oberen Ecke verbunden ist, fällt hinunter. Derjenige, der den letzten Zug macht, gewinnt.

4 CHOMP Beim Spiel CHOMP starten zwei Spieler mit einer rechteckigen m n-tafel Schokolade, bei der das Stück ganz oben links vergiftet ist. Abwechselnd wählen sie ein Stück der Schokolade aus und essen dieses sowie alle anderen Stücke, die rechts davon und darunter sind. Der Spieler, der das vergiftete Stück essen muss, verliert. Mit einer 4 3-Tafel könnten die ersten drei Züge zum Beispiel folgendermaßen aussehen: A A A A Analyseideen Hat jemand eine Gewinnstrategie? (Warum?) Kann man eine Gewinnstrategie angeben? Wie sieht es bei einfachen Fällen aus? Zum Beispiel für eine einzelne Reihe oder eine quadratische Schokolade?

5 Wythoffs Spiel Dieses Spiel wird mit einer Figur auf einem Schachbrett gespielt. Jeder Spieler zieht abwechselnd eine beliebige Anzahl an Feldern horizontal nach links, vertikal nach unten oder diagonal nach unten links (zu den kleinen Zahlen bzw. Richtung Anfang des Alphabets). Der Spieler, der den letzten Zug macht (also derjenige, der den Stein auf das Feld a1 setzt), gewinnt a b c d e f g h Alternativen Wie ändert sich das Spiel, wenn man die Zugmöglichkeiten einschränkt, indem die Figur zum Beispiel wie ein König nur ein Feld weit ziehen darf oder wie ein Turm zwar eine beliebige Anzahl an Feldern ziehen darf, allerdings nicht diagonal?

6 Hackenbush Dieses Spiel wird auf einem (oder mehreren) Graphen gespielt. Jeder Graph ist mit dem Boden verbunden und die Spieler löschen abwechselnd jeweils eine Kante. Alle Kanten und Ecken, die nach einem Zug nicht mehr mit dem Boden verbunden sind, werden ebenfalls gelöscht. Der Spieler, der den letzten Zug macht, gewinnt. Variante Bei einer Variante dieses Spiels ist jede Kante in einer von zwei Farben eingefärbt. Jedem Spieler wird eine Farbe zugeordnet und er darf nur Kanten dieser Farbe löschen.

7 Sprouts Bei diesem Spiel startet man mit einem Blatt Papier, auf dem zwei Punkte eingezeichnet sind. Die Spieler zeichnen abwechselnd eine Linie, die zwei Punkte verbindet, und einen weiteren Punkt auf dieser Linie (die Liniensegmente, die zwei Punkte verbinden, werden Kanten genannt). Dabei müssen die folgenden Regeln eingehalten werden: 1. Die Linien überschneiden sich nicht (weder andere Kurven noch sich selbst). 2. Von einem Punkt dürfen höchstens drei Kanten ausgehen. 3. Man darf eine Linie zeichnen, die einen Punkt mit sich selbst verbindet (solange die anderen beiden Regeln nicht verletzt werden). Zum Beispiel: und so weiter...

8 SOS Spiel Dieses Spiel wird auf einer Reihe mit n leeren Feldern gespielt. Die Spieler wählen abwechselnd ein leeres Quadrat und schreiben entweder ein S oder ein O hinein. Der Spieler, der es zuerst schafft, ein SOS in benachbarten Feldern zu vervollständigen, gewinnt das Spiel.

9 Sperners Dreieck Dieses Spiel wird auf einem Graph gespielt, der durch seine Kanten in Dreiecke aufgeteilt wird. Drei Ecken auf dem Rand sind mit 1, 2 und 3 markiert. Ein Zug besteht daraus, irgendeine noch nicht markierte Ecke mit einer 1, 2 oder 3 zu beschriften. Im Inneren ist es egal, womit man die Ecke beschriftet. Auf dem Rand gibt es die Einschränkung, dass auf den drei Randsegmenten, die zwischen zwei zu Beginn markierten Ecken liegen, nur die Zahlen benutzt werden dürfen, die an den Enden des Segments stehen. D.h., zum Beispiel auf der Seite, die zu Beginn des Spiels zwischen der 1 und der 2 ist, darf keine Ecke mit 3 beschriftet werden. Es gibt verschiedene Varianten, wie man dieses Spiel spielen kann: Man spielt allein und versucht, die Anzahl der Dreiecke, an deren Ecken alle drei Zahlen stehen, zu minimieren. Man spielt zu zweit und derjenige, der zuerst ein Dreieck vollendet, an dessen Ecken alle drei Zahlen stehen, verliert. Man spielt zu zweit, wobei ein Spieler für jedes Dreieck einen Punkt bekommt, das im Uhrzeigersinn mit 1, 2 und 3 markierte Ecken hat und der andere Spieler bekommt für jedes Dreieck einen Punkt, das gegen den Uhrzeigersinn mit 1, 2 und 3 markierte Ecken hat.

10 Cut-Cake Bei diesem Spiel schneiden zwei Spieler abwechselnd rechteckige Kuchenstücke. Der Kuchen hat Schnittlinien, die ihn in Quadrate teilen. Ein Spieler darf nur horizontal schneiden, der andere Spieler nur vertikal. In jedem Zug wählt ein Spieler ein Kuchenstück aus und schneidet es entlang einer Schnittlinie in zwei Teile. Der Spieler, der den letzten Schnitt macht, hat gewonnen.

11 Hex Hex wird auf einem rautenförmigen Spielfeld mit sechseckigen Feldern gespielt. Die Spieler markieren nacheinander jeweils ein freies Feld in ihrer Farbe. Ein Spieler versucht das obere Ende mit dem unteren Ende des Spielfelds zu verbinden, der andere versucht, das linke Ende mit dem rechten zu verbinden. Derjenige, der es zuerst schafft, hat gewonnen.

12 Literatur [1] DeVos, M., & Kent, D. A. (2016). Game theory: A playful introduction. [2] Ferguson, T. S. (2014). Game Theory. ucla.edu/~tom/game_theory/contents.html Die meisten Spiele sind aus [1]. Das SOS Spiel ist aus [2] und war eine Aufgabe in der USA Mathematical Olympiad, 1999.