20. Oktober 2009 Vertr. Prof. Dr. Katja Krüger. Didaktik der Geometrie II (Klasse 7-10) 1

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1 Formenkunde Dreieck 20. Oktober 2009 Vertr. Prof. Dr. Katja Krüger Universität Paderborn Didaktik der Geometrie II (Klasse 7-10) 1

2 Inhalt Formbetrachtungen am Dreieck o Von den Sonderfällen zum allgemeinen Dreieck o Ein alternativer Weg: Vom Parallelogramm zum Dreieck Der Winkelsummensatz in Schulbüchern Die Winkelsumme in besonderen Dreiecken Kinematisch-funktionales Denken in der Geometrie Exkurs: Formenzeichnen im Geometrieunterricht an Waldorfschulen 2

3 Formbetrachtungen am Dreieck 3

4 Der Unterrichtsgegenstand Dreieck Grundbaustein geometrischer Figuren und Verfahren z.b. Berechnung von Flächeninhalten geradlinig begrenzter Figuren möglich durch Zerlegung in Dreiecke. Verwendung von Dreiecksnetzen bei der Vermessung (Triangulation) oder der Modellierung gekrümmter Flächen. 4

5 Das Thema Dreieck beinhaltet Aussagen zur Formenkunde z.b. Winkelsummensatz Kongruenzsätze Konstruktionen Flächenberechnung Quelle: Vorlesungsskript Rinkens, S. 54 5

6 Kompetenzerwartungen Geometrie Schülerinnen und Schüler (am Ende der Jahrgangsstufe 6) Erfassen verwenden die Grundbegriffe Punkt, Gerade, Strecke, Winkel, Abstand, Radius, parallel, senkrecht, achsensymmetrisch, punktsymmetrisch zur Beschreibung ebener und räumlicher Figuren benennen und charakterisieren Grundfiguren und Grundkörper (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Dreieck, Kreis, Quader, Würfel) und identifizieren sie in ihrer Umwelt Konstruieren zeichnen grundlegende ebene Figuren (parallele und senkrechte Geraden, Winkel, Rechtecke, Quadrate, Kreise) und Muster Messen schätzen und bestimmen Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken, Dreiecken, Parallelogrammen und daraus zusammengesetzten Figuren (nur Gymnasium G8) schätzen und bestimmen Längen, Winkel, Umfänge von Vielecken, Flächeninhalte von Rechtecken (übrige Schulformen) 6

7 Kompetenzerwartungen Geometrie (am Ende der Jahrgangsstufe 8) Ef Erfassen benennen und charakterisieren rechtwinklige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke, Parallelogramme, Rauten, Trapeze und Prismen und identifizieren sie in ihrer Umwelt. (grün fehlt in G8, dafür werden Zylinder ergänzt) Konstruieren zeichnen Dreiecke aus gegebenen Winkel- und Seitenmaßen Messen schätzen und bestimmen Umfang und Flächeninhalt von Dreiecken, Parallelogrammen (G8 stattdessen: Kreise) und daraus zusammengesetzten Figuren Anwenden erfassen und begründen Eigenschaften von Figuren mit Hilfe von Symmetrie, einfachen Winkelsätzen oder der Kongruenz 7

8 Formenkundliche Betrachtungen am Dreieck Winkelsumme und Flächeninhalt Fachmethodisch h lassen sich zwei grundsätzlich unterschiedliche h Wege unterscheiden, wie man durch Formbetrachtungen zur Winkelsumme und zum Flächeninhalt des Dreiecks gelangen kann: 1. Vom Speziellen zum Allgemeinen: 2. Vom Allgemeinen zum Speziellen: 8

9 1. Von den Sonderfällen des Dreiecks zum allgemeinen Dreieck 9

10 Vom Falten eines gleichschenkligen Dreiecks zum Zeichnen Entdecken und Verwenden der Eigenschaften: Gleich lange Schenkel Achsensymmetrie Gleich große Basiswinkel 10

11 Funktionale Betrachtungen am gleichschenkligen Dreieck Variation i der Basis bei festem Winkel an der Spitze des Dreiecks: Die Basiswinkel i bleiben gleich groß. Winkelsummensatz. Je länger die Schenkel, desto länger die Basis. Proportionalität, Strahlensatz. 11

12 Funktionale Betrachtungen am gleichschenkligen Dreieck Systematische Variation i der Schenkel bei fester Basis des Dreiecks: Je länger die Schenkel, desto kleiner der Winkel an der Spitze größer die Basiswinkel. Sonderfall gleichseitiges Dreieck Je kleiner die Basiswinkel, desto kürzer die Schenkel. Seitensummensatz. größer der Winkel an der Spitze. Winkelsummensatz. 12

13 Funktionale Betrachtungen am rechtwinkligen Dreieck Welche Zusammenhänge lassen sich bei dieser Dreiecksvariation i entdecken? 13

14 Das rechtwinklige Dreieck Die Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck ist halb so groß wie im Rechteck, d.h. sie beträgt zwei rechte Winkel bzw Der Flächeninhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks ist halb so groß wie der des Rechtecks, also A = a b 2 14

15 Übertragung auf andere Dreiecksformen im gleichschenkligen Dreieck im allgemeinen Dreieck Die Winkelsumme von 180 erhält man aus der Winkelsumme der beiden rechtwinkligen Teildreiecke. Den Flächeninhalt erhält man aus den Inhalten der beiden rechtwinkligen Teildreiecke: Basis Höhe 2 bzw. Grundseite Höhe 2 15

16 Ein alternativer Weg: Vom Allgemeinen zum Speziellen 16

17 Vom Rechteck zum Parallelogramm 17

18 Vom Parallelogramm zum Dreieck Quelle: Vorlesungsskript Rinkens, S

19 Gewinnen einer Vermutung über die Winkelsumme im (allgemeinen) Dreieck Maßstab 7, Hauptschule Nord, Schroedel 2000, S.40 19

20 Beweis des Winkelsummensatzes Rückführung auf die Winkelsumme im Parallelogramm 20

21 Der Winkelsummensatz in Schulbüchern 21

22 Ein Stufenbeweis Drenckhahn: Raumlehre in der Volksschule. Berlin, Leipzig: Beltz 1935, S

23 Beweis des Winkelsummensatzes mit Wechselwinkeln: folgt direkt nach dem Kapitel über Winkel an Geradenkreuzungen Lambacher Schweizer 6, Mathematik für Gymnasien. Hessenausgabe. Stuttgart: Klett 2006, S

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25 Die Winkelsumme in besonderen Dreiecken 25

26 Messung der Winkel in einem großen Dreieck Gauß hat bei der berühmten Messung zwischen den Gipfeln von Brocken, Hohem Hagen und Inselsberg etwa 15 über 180 herausbekommen und das nicht als ausreichenden Widerspruch zu 180 angesehen. Bogensekunden : Abb. verändert nach Reidt,Wolff, Athen: Elemente der Mathematik, Band 2. Hannover: Schroedel 1965, S '' = 15 = 1 0,

27 Das unmögliche Dreieck Verein "Treffpunkt Physik", Gotschuchen/Kärnten/ Österreich. Quelle: Führer, L. u.a.: Widersprüche und Trugschlüsse als Unterrichtsmittel. In: Mathematik lehren 5 (1984),

28 Kann es überhaupt Dreiecke geben, deren Winkelsumme sich von 180 unterscheidet? 28

29 Die Sache mit der Winkelsumme ist nur in der Ebene einfach, im Raum aber Einwände und Erläuterungen von Schülern: a) Die Winkel sind nicht genau 90, weil die Erde krumm ist. b) Das mit den Winkeln stimmt nicht, weil die Dreiecksseiten an den Ecken krumm sind. c) Wenn man die Ecken zusammenschiebt, wird es nicht richtig platt. d) Man muss die kleinen Stellen, auf denen der Bär dreht, immer parallel lassen. Das gibt dann keinen richtigen Winkel, sondern eine Würfelecke, oder so 29

30 Kinematisch-funktionales Denken in der Geometrie 30

31 Pestalozzis Idee eines ABC der Anschauung untersucht und wissenschaftlich ausgeführt (1804) Anschauung bilden: Größen soviel möglich als fließend betrachten 31

32 Erziehung zum funktionalen Denken in der Geometrie Diese Gewohnheit des funktionalen Denkens soll auch in der Geometrie durch fortwährende Betrachtung der Änderungen gepflegt werden, die die ganze Sachlage durch Größen- oder Lageänderung im einzelnen erleidet, z. B. bei Gestaltsveränderung der Vierecke, Änderung in der gegenseitigen Lage zweier Kreise usw.... Meraner Lehrplan (1905) 32

33 33 W. Lietzmann, W.: Methodik des mathematischen Unterrichts., Band II, 1916, S. 155 f.

34 Das Prinzip der Bewegung Als einer der Hauptunterschiede altgriechischer h und neuzeitlicher Geometrie gilt das, daß in jener die Figuren sämtlich als starr und fest gegeben angenommen werden, in dieser als beweglich und gewissermaßen fließend, in stetem t Übergang von einer Gestaltung zu anderen begriffen. Sollen unsere Schüler in die heutige Form der Wissenschaft und gar gelegentlich in deren Anwendung eingeführt werden, so müssen auch sie beizeiten daran gewöhnt werden, die Figuren als jeden Augenblick veränderlich zu denken und dabei auf die gegenseitige Abhängigkeit ihrer Stücke zu achten, diese zu erfassen und beweisen zu können Beweglichmachen der Teile einer Figur 2. Erzeugung der Grenzfälle 3. Bewegen der ganzen Figur P. Treutlein: Der geometrische Anschauungsunterricht 1911, S

35 Dreiecksvariationen Treutlein: Der geometrische Anschauungsunterricht 1911, Anhang. 35

36 Der Pythagorasfilm (Geh. Schulrat Münch) In geradezu dramatischer Anschaulichkeit führten die prächtigen Films die auf Zehntausenden von einzelnen Bildern beruhen! das funktionale Leben geometrischer Figuren vor Augen, von der schlichtesten Kreistangente zu verwickelten Kurvenscharen und auch der anfängliche Skeptiker erkannte, welch ein reicher Quell zur Belebung unseres Unterrichts hier erschlossen wird... Gentil, K.: Der mathematische Lehrfilm. In: Unterrichtsblätter 27, H. 5/6 (1921), S. 55f. (Bericht über den 10. Ferienkurs für Lehrer in Frankfurt in ZMNU 1913, S. 109). 36

37 Bewegte Mathematik 37

38 Visualisierung von Beweisen mit Dynamischer Geometriesoftware landau.de/roth/dynageo/pythagoras/pythagoras.html d / / ht l Weitere Links: de/

39 Exkurs: Formenzeichnen im Geometrieunterricht an Waldorfschulen 39

40 Geometrieunterricht an Waldorfschulen 40

41 41 Wyss, Bühler u. a. 1978

42 Freihandzeichnen 42 Wyss u.a.

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44 Dynamisches Zeichnen 44 Wyss, Bühler u. a. 1978

45 Chronophotographie Eadweard Muybridge ( ) war britischer Fotograf und Pionier der Fototechnik. Er gilt neben Étienne-Jules Marey und Ottomar Anschütz aufgrund seiner Reihenfotografien und Serienaufnahmen mit Studien des menschlichen und des tierischen Bewegungsablaufs als einer der bedeutendsten frühen Vertreter der Chronofotografie. 45