Das Banach-Tarski-Paradoxon

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1 Das Das Universität Konstanz 8. März 2007

2 auf R n Das Definition auf R n ist eine Abbildung m, die jeder Teilmenge A R n eine reelle Zahl m(a) (oder + ) zuordnet, mit folgenden Eigenschaften: wenn A R n, dann m(a) 0, m( ) = 0, wenn A, B R n mit A B =, dann m(a B) = m(a) + m(b), m ist invariant unter Kongruenzabbildungen, das Maß eines Quaders ist gleich dem Produkt seiner Kantenlängen.

3 Eigenschaften des Maßes Das Wenn A B R n, dann m(a) m(b). Beweis. B = A (B \ A) und A (B \ A) =, und somit m(b) = m(a) + m(b \ A) m(a). Wenn A = {p}, dann m(a) = 0. Folgerung Wenn A = {p 1, p 2,..., p k }, dann m(a) = 0.

4 Das Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch. (Bertrand Russell) Theorem Es gibt kein Maß auf R 3.

5 : Abzählbarkeit Das Es gibt eine umkehrbar eindeutige Abbildung von N auf Q. Sprechweise: Q ist abzählbar. Die Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar. Beweis. Reißverschlußprinzip.

6 Das [0, 1] R ist nicht abzählbar. Wenn A [0, 1] abzählbar ist, dann ist m(a) = 0. Ende der

7 Das Das S 2 = Einheitskugelhülle im R 3 Es gibt eine abzählbare Menge D S 2 und Mengen A 1,..., A 5 S 2 mit S 2 \ D = A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, A i A j = (i j), und Drehungen σ, τ mit A 1 σ(a 2 ) = S 2 \ D, A 3 τ(a 4 ) = S 2 \ D.

8 Das

9 Die freie Gruppe Das Definition Die freie Gruppe F besteht aus allen endlich langen Worten aus den Buchstaben σ, σ 1, τ und τ 1, bei denen σ und σ 1 niemals nebeneinander stehen, sowie τ und τ 1 auch nicht. Beispiel σττστ 1 στ 1 τ 1 F e F (leeres Wort)

10 Das Definition Seien w 1, w 2 F. Definiere Verknüpfung w 1 w 2 durch Hintereinanderschreiben und ggf. Kürzen. Beispiel (σστ 1 ) (τσ 1 τστ) = στστ. Es gilt: e w = w e = w (e ist neutrales Element) (u v) w = u (v w) (Assoziativgesetz) Wenn w F, dann existiert genau ein w F mit w w = w w = e.

11 Paradoxe Zerlegung von F Das F σ = alle Worte aus F, die mit σ beginnen analog F σ 1, F τ, F τ 1. Entscheidender Punkt: σ F σ 1 = F σ 1 F τ F τ 1 {e}, τ F τ 1 = F τ 1 F σ F σ 1 {e}. F = F σ F σ 1 F τ F τ 1 {e} = F σ (σ F σ 1) = F τ (τ F τ 1).

12 Zurück zur Kugel S 2 Das σ = Drehung um z Achse mit Winkel arccos 1 3, also σ : (x, y, z) (x, y, z ) mit x = 1 3 x y, y = x y, z = z. τ = Drehung um x Achse mit Winkel arccos 1 3, also x = x, y = 1 3 y z, z = y z.

13 Von der freien Gruppe zur Kugel S 2 Das Jedes Element aus F entspricht einer Drehung der Kugel. Lediglich e F entspricht der Nulldrehung. F hat abzählbar viele Elemente. Die Menge der Durchstoßpunkte der Drehachsen aus F ist abzählbar.

14 Definition von A 1,..., A 5 und D Das Definition Sei p S 2. Alle Punkte, die von p aus durch eine Drehung aus F erreichbar sind, bilden den Orbit zu p. Kein Punkt gehört zu zwei verschiedenen Orbits. Zerlege S 2 in sämtliche Orbits, D = Vereinigung aller Orbits, die einen Durchstoßpunkt einer Drehachse aus F enthalten, wähle aus restlichen Orbits je einen Punkt, erhalte X O. A 1 = F σ (X O ), A 2 = F σ 1(X O ), A 3 = F τ (X O ), A 4 = F τ 1(X O ), A 5 = e(x O ) = X O.

15 Das war s. Das