20 1 Zahlen und Vektoren. d = d( 0, E) = u n. E = { x R 3 : x n = d }

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Adrian Hummel
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1 0 1 Zhlen und Vektoren St (i) Seien L = u + R v, u, v R 3 und v 0. Dnn gilt d( x 0, L) = ( u x 0) v, x 0 R 3. v (ii) Seien E = u + R v + R w, u, v, w R 3 und v w 0, und n ein Einheitsnormlenvektor von E. Dnn gilt d( x 0, E) = ( u x 0 ) n, x 0 R 3. Flls ( u, n) 0, π, so gilt für x 0 = 0, d = d( 0, E) = u n. Bemerkung : Gleichung in (ii) Hesse 6 sche Normlform der Ebenengleichung E = { x R 3 : x n = d } denn: x 0 E d( x 0, E) = 0 ( u x 0 ) n = 0 u n = x 0 n d Herleitungen und weitere geometrische Begriffe (.B. Abstnd weier Gerde, Ebenen, Winkel etc.) siehe.b. Pp07, Kp. II Komplexe Zhlen Idee : Zhlbereichserweiterung, um.b. x + 1 = 0 lösen u können Definition Seien, b, c, d reelle Zhlen. Wir betrchten die geordneten Zhlenpre (, b) und (c, d) mit folgenden Rechenopertionen : (, b) + (c, d) = ( + c, b + d) (, b) (c, d) = (c bd, d + bc) = (, b) und w = (c, d) heißen komplexe Zhlen, die Menge ller komplexen Zhlen ist C. Beispiele : (, 0) + ( 3, 5) = ( 1, 5) (3, 0) + (π, 0) = (3 + π, 0) (0, ) + (0, 3 ) = (0, 3 ) (3, 0) (π, 0) = (3π, 0) (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) 6 Ludwig Otto Hesse ( Königsberg München)

2 1.5 Komplexe Zhlen 1 St 1.5. Es seien, w und v komplexe Zhlen. Dnn gelten (i) + w = w + (ii) w = w (iii) ( + w) + v = + (w + v) (iv) ( w) v = (w v) (v) ( + w) v = v + w v (vi) + (0, 0) = (0, 0) + = Für jedes = (, b) gibt genu eine Lösung w der Gleichung (vii) (1, 0) = (1, 0) = + w = (0, 0), und wr w = (, b) =:. Für jedes = (, b) mit (0, 0) existiert genu eine Lösung w der Gleichung ( ) w = (1, 0), und wr w = + b, b + b =: 1. B e w e i s : einseten & nchrechnen,.b. für (vii): ( ) ( (, b) + b, b + b = + b b + b, b + b + b ) + b = (1, 0) Bemerkung : betrchten reelle Zhlen ls speielle komplexe Zhlen, indem wir identifiieren R x (x, 0) C Zhlbereichserweiterung In C gibt es keine Ordnungsreltion! Definition (Normldrstellung komplexer Zhlen) (i) Für eine komplexe Zhl = (, b) heißen Re := Relteil von, Im := b Imginärteil von, und i := (0, 1) imginäre Einheit. (ii) Für = (, b) ist = Re + Im i = + bi die Normldrstellung der komplexen Zhl. Beispiel : i = i i = (0 + 1i) (0 + 1i) = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1 Addition und Multipliktion (in Normldrstellung) = Re + i Im, w = Re w + i Im w + w = (Re + i Im ) + (Re w + i Im w) = (Re + Re w) + i(im + Im w) w = (Re + i Im ) (Re w + i Im w) = (Re Re w + i Im Im w) + i(re Im w + Im Re w) 1 = (Re Re w Im Im w) + i(re Im w + Im Re w)

3 1 Zhlen und Vektoren Definition Es sei C, = + bi. Dnn heißen := bi konjugiert komplexe Zhl u, und := = + b Betrg von. Lemm Für, w C gelten folgende Rechenregeln: =, = R Im = 0, = Re = +, Im = i ± w = ± w, w = w, ( ) = w w, w 0 Re Re, Im Im B e w e i s : einseten & nchrechnen Lemm Der Betrg komplexer Zhlen ht folgende Grundeigenschften : (N0) 0 (N1) = 0 = 0 (N) w = w (N3) + w + w B e w e i s : (N0), (N1) klr, u (N): w = (w) (w) = ww = w u (N3): + w = ( + w) ( + w) = + ww + w + w = + w + w + w Subtrktion und Division 1 + w = 1 w = = + w + Re (w) + w + w = + w + w = ( + w ) besitt für gegebene 1, C genu eine Lösung, w = 1 = ( 1 ) + (b b 1 )i. besitt für gegebene 1, C, 1 0, genu eine Lösung, w = 1 = = 1 1 1, insbesondere gilt für 0, w = 1 = = 1. Guß 7 sche Zhlenebene & Polrkoordinten-Drstellung = + bi = bi, = + b r = ϕ = rg... = r cos ϕ, Winkel wischen positiver reeller Achse und Ortsvektor vom Ursprung u b = r sin ϕ 7 Crl Friedrich Guß ( Brunswick Göttingen) Im b b r = ϕ = + bi Re = bi

4 1.5 Komplexe Zhlen 3 Definition (Polrkoordintendrstellung komplexer Zhlen) (i) Für C heißt = (cos ϕ + i sin ϕ), ϕ = rg, trigonometrische Drstellung bw. Polrkoordintendrstellung für. (ii) Für ϕ R sett mn e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ (Euler 8 sche Formel), so dss C drstellbr ist ls = e iϕ, ϕ = rg. Bemerkung : e i(ϕ+kπ) = e iϕ, k Z 0, dnn ist ϕ bis uf Vielfche von π eindeutig bestimmt, deshlb 0 ϕ < π oder π < ϕ π = 0, dnn ist ϕ unbestimmt = w = w, rg = rg w + kπ, k Z = (cos ϕ + i sin ϕ) = = (cos ϕ i sin ϕ) = (cos( ϕ) + i sin( ϕ)) = + b, ϕ = rg = rctn b (+π) Multipliktion und Division komplexer Zhlen in Polrkoordintendrstellung = (cos ϕ + i sin ϕ), w = ϱ(cos ψ + i sin ψ) w = (cos ϕ + i sin ϕ) w (cos ψ + i sin ψ) = w = w cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) (cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ) + i(sin ϕ cos ψ + sin ψ cos ϕ) cos(ϕ + ψ) sin(ϕ + ψ) w = w w = w w cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ) = w cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ), w 0 Beträge werden wie in R multipliiert/dividiert, Winkel werden ddiert bw. subtrhiert! 8 Leonhrd Euler ( Bsel St. Petersburg)

5 4 1 Zhlen und Vektoren Beispiel : = 3 + i = w = + i = ( ) 3 + i 1 ( ) 1 i + ( = cos π 6 + i sin π ) = e i π 6 6 = ( cos π 4 + i sin π ) = e i π 4 4 w w = e i π 6 e i π 4 = 4 e i( π 6 + π 4 ) = 4 e i 5π )) = 4 ( cos ( 5π ) + i sin ( 5π ϕ + ψ w w = e i π 6 e i π 4 = 1 = 1 e i( π 6 π 4 ) = 1 e i π ( ( cos π ) ( + i sin π )) i w ψ 1 ϕ bisher: w = 3 + i( 3 + ) = 4 ( ) i cos( 5 π) sin( 5 π) Potenen : k := k-ml, C, k N Folgerung (Formel von Moivre 9 ) Für = (cos ϕ + i sin ϕ) und k N gilt k = k (cos(kϕ) + i sin(kϕ)) = k e ikϕ. Wureln komplexer Zhlen Gegeben : = (cos ϕ + i sin ϕ), n N Gesucht : w C mit w n = (bw. w = n ) Lösung : w = w (cos ψ + i sin ψ) = w n = w n (cos(nψ) + i sin(nψ)) w n = w n =, nψ = ϕ + kπ, k Z w = n, ψ = ϕ + kπ, k Z n reelle Wurel w k = n ( ( ) ( )) ϕ + kπ ϕ + kπ cos + i sin, k Z n n Es treten lso unächst unendlich viele Werte w uf. 9 Abrhm de Moivre ( Vitry-le-Frnçois/Frnkreich London)

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Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i, Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i