Credit Analyzer RISK CONSULTING GROUP. Technische Dokumentation. Methode und Implementierung des Kreditrisiko-Modells. Release 5.0.

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1 Credt Analyzer Release 5.0 Technsche Dokumentaton Methode und Implementerung des Kredtrsko-Modells RISK CONSTING GROU

2 Release 1.0: 08/1999 Release.0: 10/001 Release 3.0: 01/005 Release 4.0: 08/007 Release 5.0: 04/01 Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton, 5. Auflage Copyrght 01 Rsk Consultng Group AG, Zürch Credt Analyzer st ene Rskomanagement-Methode zur Messung, Steuerung und Kontrolle von Kredtrsken. Das Modell ersetzt n kener Wese de praktsche Erfahrung und Urtelsfndung m Umgang mt Kredtrsken.

3 Inhaltsverzechns 1. EINFÜHRUNG aradgmenwechsel m Kredtrskomanagement Wandel m regulatorschen Umfeld Überblck: Konzept der Rskomodellerung n Credt Analyzer Rskodefnton Input-Daten Wahl des Zethorzonts Modellerung des ortfolorskos MATHEMATISCHER MODELLANSATZ Modellerungskonzept Momente der Verlustvertelung Expected Loss Unexpected Loss Berechnung der Verlustvertelung Monte Carlo Smulaton der Verluste Smulaton systematscher Rsken plus Granulartätsadjusterung arametrsche Ansätze Beta-Vertelung Gamma-Vertelung Lognormal-Vertelung....4 Credt VaR und Expected Shortfall MESSUNG DER ERWARTETEN VERLUSTE Expected Loss Ausfallwahrschenlchket (robablty of Default) Credt Exposure Verlustquote (Loss Gven Default) MESSUNG DER UNERWARTETEN VERLUSTE Systematsche vs. unsystematsche Rsken Unexpected Loss (Enfaktormodell) Volatltät der Ausfallraten Volatltät des Loss Gven Default Abhänggket des Loss Gven Default vom systematschen Rsko... 33

4 4.3 Unexpected Loss (Mehrfaktormodell) Modellerung der Korrelatonsstruktur Korrelaton der Aktva nnerhalb enes Sektors Frmenwertmodell und Ausfallkorrelatonen Gemensame Ausfallwahrschenlchketen Sektorkorrelatonen Kalbrerung der Korrelatonsstruktur BESTIMMUNG DES CREDIT VALUE AT RISK Verlustvertelung m Enfaktormodell Verlustvertelung m Mehrfaktormodell Credt Value at Rsk und Rsk Captal Inkrementelle Rskobeträge Margnale Rskobeträge Konzentratonsndkator AKTIVES KREDITORTFOLIOMANAGEMENT Rsk-adjusted erformance Measurement (RAM) RAROC-rcngtool Credt ortfolo Cockpt ANHANG Anhang 1: Input-Daten von Credt Analyzer Anhang : Herletung von Expected Loss und Unexpected Loss... 6 Anhang 3: Berechnung der Ausfallkorrelatonen Anhang 4: Herletung von Ausfallkorrelatonen aus der Ausfallvolatltät Anhang 5: Abletung des nkrementellen Rskobetrags Anhang 6: Abletung des margnalen Rskobetrags Anhang 7: Granulartätsadjusterung... 7 LITERATURVERZEICHNIS... 73

5 1. Enführung Credt Analyzer st ene Softwarelösung zur Messung von Kredtrsken auf ortfoloebene. In deser Dokumentaton zegen wr, we Credt Analyzer de Rsken der enzelnen Transaktonen unter Berückschtgung von Korrelatonseffekten zu enem Credt Value at Rsk zusammenführt. Credt Analyzer erlaubt en ntegrertes Kredtrskomanagement, ndem das Modell unter anderem Antworten auf folgende Fragen gbt: Welches st der erwartete Verlust menes ortfolos? We hoch st der unerwartete Verlust menes ortfolos? In welchen ortfolosegmenten (Branchen/Rskoklassen) west das ortfolo Rskokonzentratonen auf, de lmtert oder abgeschert werden müssen? We hoch st der margnale Betrag enes neuen Geschäfts zum ortfolorsko? Welche Geschäfte erfüllen das Rentabltätszel (RAROC) der Bank, welche ncht? We reagert das ortfolo n Stress-Szenaren? De Enführung enes Kredtrskomodells führt zu ener neuen Rskowahrnehmung, wel de Rsken ncht mehr nur auf Enzelgeschäftsebene, sondern neu auch m ortfolozusammenhang gesteuert werden können. De Resultate haben entsprechend grosse strategsche Bedeutung für das Rskomanagement und de Marktbearbetung ener Bank. Das Rskomodell von Credt Analyzer basert auf ener nachvollzehbaren Verknüpfung von Erkenntnssen der Fnanzmarkttheore, der Statstk und der Mathematk. In deser Dokumentaton zegen wr schrttwese de Methodologe und Anwendungsmöglchketen von Credt Analyzer. Kaptel 1 beleuchtet de ökonomschen und regulatorschen Hntergründe, de zur Beschäftgung mt Kredtrskomodellen geführt haben und gbt enen Überblck über das n Credt Analyzer mplementerte Rskomanagementkonzept. Kaptel beschrebt de mathematsch-statstschen Grundlagen des Rskomodells. Leser, de an desen mathematschen Detals wenger nteressert snd, können das Kaptel ohne spätere Verständnsschwergketen übersprngen. Kaptel 3 zegt, we de Rsken auf der Transaktonsebene konzeptonell rchtg zu quantfzeren snd und we sch daraus der erwartete Verlust auf ortfoloebene berechnen lässt. Kaptel 4 legt dar, we das Modell de Volatltät der Kredtverluste berechnet und zum unerwarteten Verlust gelangt. Kaptel 5 stellt dar, we Credt Analyzer ene Verlustvertelungen generert, aus der sch der Credt Value at Rsk, das Rsk Captal und de absoluten und margnalen Rskobeträge von Transaktonen oder ortfolosegmenten ableten lassen. Kaptel 6 beschrebt, we sch de Modellresultate n en aktves Kredtportfolomanagement umsetzen lassen und erläutert das n Credt Analyzer ntegrerte RAROC-rcngtool. De theoretschen Ausführungen snd von enem fortlaufenden, realstschen Bespel begletet, das de Vorgehenswese des Modells veranschaulcht. RISK CONSTING GROU 5

6 1.1 aradgmenwechsel m Kredtrskomanagement Kredtrsken snd n den letzten Jahren zur vellecht wchtgsten Herausforderung für das Rskomanagement geworden. Glech mehrere Entwcklungen haben dazu geführt, dass sch das Exposure gegenüber Kredtrsken be velen Banken stark verändert hat: Strukturell erhöhte Konkurse. Konkursstatstken n velen Ländern zegen, dass de Insolvenzen n rezessven hasen markant zunehmen, m darauf folgenden Aufschwung aber ncht mehr auf das Nveau der vorangegangenen Hochkonjunktur zurückfallen. En Grund für dese strukturell höheren Rsken st m globalserten Wettbewerb zu sehen. Vermehrte Desntermedaton. Immer mehr mttelgrosse Frmen fnden Zugang zum Kaptalmarkt. Schuldner, de noch n tradtoneller Wese be Banken Kredte aufnehmen, werden deshalb tendenzell klener und wesen ene gerngere Bontät auf. Druck auf de Znsmargen. Obwohl de durchschnttlche Schuldnerbontät gesunken st, snd de Znsmargen aufgrund enes verschärften Wettbewerbs um gute Kunden n zahlrechen Segmenten ungenügend. Snkender Wert von Scherheten. Vermehrte Turbulenzen n der Umwelt haben auch grössere Wertschwankungen be den Realscherheten zur Folge, so dass Lqudatonserlöse schwerger abzuschätzen snd. Mt deser erhöhten Volatltät st aber auch de klasssche Kredtvergabe rskorecher geworden. Kredtrsken wurden bs n de jüngste Vergangenhet fast ausschlesslch auf der Ebene des Enzelgeschäfts gesteuert, wobe verschedene Banken grosse Anstrengungen unternommen haben, hre Kredtanalyse und -überwachung zu professonalseren. Hohe Verluste aufgrund von Rskokonzentratonen n wrtschaftlch zusammenhängenden Branchen oder Regonen zegen jedoch mmer weder, dass ene gute Enzelentschedung ncht unbedngt ene gute Entschedung aus ortfoloscht sen muss. 1 Mt der strukturellen Erhöhung der Kredtrsken st denn auch das Bedürfns nach ntegrerten Rskomanagement-Ansätzen gewachsen, mt denen Rsken ncht nur m Enzelgeschäft, sondern auch m ortfolozusammenhang gemessen und gesteuert werden können. De wchtgsten Trebkräfte für enen quanttatven Kredtportfolo-Ansatz snd dabe: Schtbarmachen von Konzentratonsrsken Aufzegen von Dversfkatonsmöglchketen Enführung ener rskoorenterten Kaptalallokaton Implementerung ener rskoadjusterten erformancemessung (RAM) Enführung enes aktven Kredtportfolomanagements Ene optmale Dversfkaton be Kredtrsken st wesentlch schwerger zu errechen als be Marktrsken. Im Gegensatz zu Akten wesen Kredte z.b. ken Upsde-otenzal auf, so dass es um so wchtger st, Kredtrsken m ortfolozusammenhang zu steuern. 1 Des brngt auch das Basler Komtee deutlch zum Ausdruck: "Concentratons are probably the sngle most mportant cause of major credt problems.", n: rncples for the Management of Credt Rsk, September 000, S.. Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 6

7 1.. Wandel m regulatorschen Umfeld De grosse Veränderung m wrtschaftlchen Umfeld der Banken und der Umstand, dass Schwergketen m Bankensystem regelmässg auf Kredtrsken zurückzuführen snd, hat de Tätgket der Bankaufschtsbehörden n jüngster Zet sehr stark beschäftgt. So hat das Basler Komtee unter anderem de n Abbldung 1.1 aufgeführten fünf Dokumente publzert, de für Banken und Aufschtsbehörden m Berech Kredtrsko wegletend und aus Scht Kredtportfolo bedeutsam snd. Abb. 1.1 Wegwesende ublkatonen des Basler Komtees Credt Rsk Modellng: Current ractces and Applcatons Studes on credt rsk concentratons Basel II / III An Explanatory Note on the Basel II IRB Rsk Weght Functons Background note on LGD quantfcaton De ursprünglchen Egenmttelvorschrften von Basel I dfferenzerten zu weng nach der Qualtät der Schuldner und berückschtgten de Dversfkatonsqualtät des Kredtportfolos überhaupt ncht. Das Basler Komtee hat deshalb m Jun 004 (Basel II) und m Dezember 010 (Basel III) neue Rahmenverenbarungen für de Bankenregulerung ausgearbetet. 3 Während n enem Standardverfahren de heutgen Rskogewchtungsfaktoren zum Tel an externen Ratngs ausgerchtet werden, sollen Insttute mt enem hoch entwckelten Rskomanagement n enem auf nternen Ratngs baserenden Ansatz (IRB) das egene Ratngsystem heranzehen können. In enem späteren Schrtt wrd eventuell analog dem Marktrskoberech en Modellverfahren möglch sen, n welchem de Egenmttelunterlegung auf enem Kredtrskomodell basert. Das Basler Komtee begrüsst den Ensatz deser Modelle, da se das Kredtrskomanagement stark professonalseren. Es macht hre zukünftge Verwendung für regulatorsche Zwecke aber nsbesondere von der Qualtät der Inputdaten und der Valdtät der Modelle abhängg. De Entwcklung m regulatorschen Umfeld hat für de Banken nsgesamt zur Folge, dass de Anforderungen an de Identfzerung, Messung, Steuerung und Überwachung von Kredtrsken sowohl auf Ebene der Enzelgeschäfte als auch des ortfolos klar zunehmen werden. Basler Komtee: Internatonale Konvergenz der Egenkaptalmessung und der Egenkaptalanforderungen, Jun Basler Komtee: Basel III: En globaler Regulerungsrahmen für wderstandsfähgere Banken und Bankensysteme, Dezember 010 (rev. Jun 011). RISK CONSTING GROU 7

8 1.3 Überblck: Konzept der Rskomodellerung n Credt Analyzer En Kredtrskomodell muss sowohl de Bedürfnsse der Anwender abdecken als auch das otenzal haben, von den Bankenaufschtsbehörden und Revsonsfrmen akzeptert zu werden. Zu desem Zweck muss es de Rsken n enem Kredtportfolo zuverlässg bestmmen und quantfzeren können, damt m Rahmen des Rskomanagements de rchtgen Massnahmen engeletet werden können über ene Methode zur Berechnung des Rskokaptals (ökonomsches Kaptal) verfügen, de auch für en rskoadjustertes rcng und wetere strategsche Überlegungen engesetzt werden kann. Abbldung 1. zegt de wchtgsten Elemente m Ansatz von Credt Analyzer, de n den nachfolgenden Abschntten skzzert werden Rskodefnton Be der Modellerung von Kredtrsken st vorerst zu defneren, was unter Rsko verstanden wrd. Während be ausfallorenterten Modellen (Default Mode Models) ausschlesslch Default- Eregnsse als Rsko betrachtet werden, berückschtgen wertorenterte Modelle (Mark-to-market Models) sämtlche Ratngmgratonen n enem ortfolo. Entsprechend snd hauptsächlch zwe Arten von Kredtrsken zu unterscheden: Credt Default-Rsko (ausfallorenterte Modelle) Credt Spread-Rsko (wertorenterte Modelle) Das Credt Default-Rsko st das Rsko, dass en Schuldner senen fnanzellen Verpflchtungen ncht mehr nachkommen kann. Deses Ausfallrsko st vor allem für klasssche Bankkredte kennzechnend, für de kene Mark-to-market-Bewertung möglch st. Für se besteht ken lquder Sekundärmarkt, so dass de Kredte normalerwese bs zur Rückzahlung zu Buchwerten m ortfolo bleben. Als Credt Spread wrd de vom Markt verlangte Rskopräme bezechnet. Credt Spread-Rsken spelen vor allem be Instrumenten ene Rolle, für de ene Marktbewertung exstert, we z.b. ortfolos mt Anlehen oder Kredtdervaten. Verlangen de Investoren aufgrund von Up- und Downgradngs oder wegen ener veränderten Rskonegung enen anderen Spread, ergbt sch be ener Mark-to-market-Bewertung des Instruments en fnanzeller Gewnn oder Verlust. Wertorenterte Modelle snd dann snnvoll, wenn das ortfolo Rsken enthält, für de en lquder Sekundärmarkt besteht, der ene Mark-to-market-Bewertung erst ermöglcht. Dese Voraussetzung st m klassschen Kredtgeschäft kaum je erfüllt, so dass ausfallorenterte Modelle her schneller zu Resultaten führen. Credt Analyzer st darum als ausfallorentertes Modell konzpert, n welchem en Schuldner am Ende des gewählten Analysehorzonts nur zwe Zustände aufwesen kann: Entweder er st ausgefallen oder er st ncht ausgefallen. Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 8

9 1.3. Input-Daten Aus Abbldung 1. geht hervor, dass den Input-Daten ene zentrale Rolle zukommt (vgl. auch de Zusammenstellung n Anhang 1). De Qualtät der Daten steht dabe n enem drekten Verhältns zur Qualtät der Modellresultate. De Informatonssysteme und das Datawarehouse ener Bank müssen n der Lage sen, auf Transaktonsebene de nachfolgenden Daten beretzustellen, wobe Credt Analyzer über ene Schnttstelle zu externen Bankenplattformen verfügt: Kundennummer Transaktonsnummer Sektorzugehörgket Sektorsenstvtät bzgl. systematschem Rsko Ratng mt Ausfallwahrschenlchket Exposure Deckungskategore mt Verlustquote Volatltät der Verlustquote Senstvtät der Verlustquote bezüglch systematschem Rsko Matrx der Sektorkorrelatonen Falls de RAROC-Lösung mplementert wrd, snd zusätzlch folgende Daten notwendg: Aktuelle Znskondtonen Refnanzerungskosten Betrebskosten De Rechenzeten lassen sch n Credt Analyzer beschleungen, wenn de Transaktonen homogener ortfolosegmente ncht enzeln, sondern aggregert nach Ratng, Sektor und Deckungskategore erfasst werden Wahl des Zethorzonts Ene wchtge Entschedung st der Zethorzont, über den ene Bank hre Rsken msst und überwacht. Theoretsch können zwe Ansätze unterscheden werden: De Bank wählt enen Zethorzont, welcher der Laufzet jeder enzelnen Transakton oder deren Lquderbarket entsprcht (Hold-to-maturty). Alternatv kann se für alle Transaktonen enen konstanten Zethorzont anwenden. Um de Rsken n enem ortfolo verglechen zu können, müssen se über denselben Zethorzont gemessen werden. Credt Analyzer geht deshalb be allen Transaktonen von enem enhetlchen Zethorzont aus. Das Modell setzt jedoch kenen bestmmten Zethorzont voraus. In der raxs wrd velfach en Enjahres-Horzont gewählt, da des en realstscher Zetraum st, nnerhalb dessen rskomndernde Massnahmen engeletet werden können oder neues Egenkaptal zugeführt werden kann. In velen Banken unterlegen gerade rskorechere Kredte mest ener jährlchen Neubeurtelung. RISK CONSTING GROU 9

10 Abb. 1. Konzept der Rskomodellerung n Credt Analyzer Input Exposure 1 - Credt Exposure (CE) - robablty of Default (D) - Loss Gven Default (LGD) Exposure - Credt Exposure (CE) - robablty of Default (D) - Loss Gven Default (LGD) Expected Loss (EL) Exposure 1 EL ortfolo Expected Loss (EL) Exposure Input (Sektor-)Senstvtät: D, LGD Volatltät: LGD (Sektor-)Senstvtät: D, LGD Volatltät: LGD Unexpected Loss () Exposure 1 ortfolo (Enfaktormodell) Unexpected Loss () Exposure Input Sektorkorrelatonen ortfolo (Mehrfaktormodell) Credt Value at Rsk / Rsk Captal Rskobetrag Exposure 1 Konzentratonsndkator Rskobetrag Exposure RAROC Exposure 1 RAROC Exposure Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 10

11 1.3.4 Modellerung des ortfolorskos Zwe wchtge Rskomasse n Credt Analyzer snd der Expected Loss und der Unexpected Loss, de gemäss Abbldung 1. sowohl auf Transaktons- als auch ortfoloebene berechnet werden. Aus Gründen der Überschtlchket wrd n der Abbldung davon ausgegangen, dass das Kredtportfolo aus nur zwe Kredten besteht, de je enem spezfschen Wrtschaftssektor angehören. Be der Messung der ortfoloeffekte st zu berückschtgen, dass zwschen den enzelnen Kunden Abhänggketen bestehen, da dese n der Regel ähnlchen makroökonomschen Faktoren ausgesetzt snd. Be der Bestmmung des ortfolorskos st de Integraton von Ausfallkorrelatonen deshalb ene der zentralen Herausforderungen. Expected Loss Nach Engabe der Input-Daten und Modellparameter berechnet Credt Analyzer zunächst den Expected Loss (EL) jeder Transakton. Der Expected Loss st das rodukt aus dre Komponenten: der Ausfallwahrschenlchket (robablty of Default), der Verlustquote (Loss Gven Default) und dem Credt Exposure. Der Expected Loss st derjenge Verlust, den de Bank über enen ganzen Konjunkturzyklus m Durchschntt zu verleren erwartet. Werden de erwarteten Verluste aller Transaktonen summert, ergbt sch der Expected Loss des ganzen ortfolos. Unexpected Loss (Enfaktormodell) De tatsächlchen Verluste snd jedoch mest starken Schwankungen unterworfen. Dese Volatltät bezechnen wr als Unexpected Loss (). Unerwartete Verluste entstehen, wenn de effektv engetretenen Ausfallraten und Verlustquoten höher snd als de erwarteten. Statstsch gesprochen st der Unexpected Loss de Standardabwechung der Kredtverluste. Der Unexpected Loss wrd n Credt Analyzer zunächst unter Vernachlässgung von Sektorkorrelatonen für jedes enzelne ortfolosegment berechnet. De Summe deser segmentspezfschen ergbt we n Abbldung 1. den enes ortfolos, n dem sämtlche Schuldner nur von enem Rskofaktor (z.b. der Konjunktur) abhängg snd. Desen Ansatz bezechnen wr n der Folge als Enfaktormodell. Unexpected Loss (Mehrfaktormodell) Der Unexpected Loss enes nach Sektoren dversfzerten ortfolos kann berechnet werden, wenn de Korrelatonen zwschen den verschedenen Wrtschaftssektoren berückschtgt werden. Dese lassen sch aus emprschem Datenmateral herleten und enthalten Informatonen darüber, we sch de Ausfälle n den enzelnen Sektoren relatv zuenander entwckeln. Der st umso klener, je tefer de Korrelatonen snd bzw. je wenger de Schuldner n hrem Schcksal vonenander abhängen. Credt Value at Rsk / Rsk Captal Würden Kredtverluste ener Normalvertelung folgen, wäre de Verlustvertelung mt der Berechnung des EL und berets vollständg defnert. Des st allerdngs ncht der Fall: We Abbldung 1.3 llustrert, wesen Kredtverluste n aller Regel ene rechtsschefe Vertelung mt enem fetten Ende (fat tal) auf. De Verlustvertelung kann darum ncht angenommen, sondern muss n der RISK CONSTING GROU 11

12 Wahrschenlchket Regel berechnet werden. Credt Analyzer unterschedet dabe zwschen systematschen (Markt-) Rsken und unsystematschen (schuldnerspezfschen) Rsken. Im Enfaktormodell ergbt sch de Verlustvertelung, ndem das systematsche Rsko analytsch berechnet und dazu das unsystematsche Rsko addert wrd, welches sch mt ener Approxmaton bestmmen lässt. Deser Ansatz wrd m Mehrfaktormodell weterentwckelt, wobe je nach ortfolozusammensetzung verschedene Methoden zur Verfügung stehen, ene Verlustvertelung zu bestmmen, de auch de Sektorkorrelatonen ntegrert (z.b. mt ener Monte Carlo Smulaton). Aus der Verlustvertelung kann dann für en bestmmtes Konfdenznveau de Verlusthöhe abgelesen werden. Der maxmale Verlust auf enem von der Bank gewählten Konfdenznveau (z.b %) wrd als Credt Value at Rsk bezechnet. Deser Verlust hat de Egenschaft, dass er mt ener bestmmten Wahrschenlchket ncht überschrtten wrd. In Abbldung 1.3 beträgt de Wahrschenlchket z.b %, dass de potenzellen Verluste über den betrachteten Zethorzont CHF 700 Mo. ncht überstegen. Das Rsk Captal bezechnet das ökonomsche Kaptal das notwendg st, um de Bank vor sehr hohen Verlusten zu schützen. Abbldung 1.3 zegt, dass das Rsk Captal der Dfferenz zwschen Credt Value at Rsk und Expected Loss entsprcht. Der mt CHF 00 Mo. engezechnete Expected Loss bldet m Management Accountng häufg de Bass für de Budgeterung der Wertberchtgungen. Das Rsk Captal dent dann dazu, unerwartete Verluste aufzufangen und hat somt Egenkaptalcharakter. Abb. 1.3 Rechtsschefe Vertelung von Kredtverlusten 0.5% Vertelung Kredtverluste 0.4% 0.3% 0.% Rsk Captal Credt Value at Rsk be 99.75% 0.1% EL Extreme Verluste 0.0% '000 1'100 Verlusthöhe Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 1

13 Je nach gewähltem Konfdenznveau verblebt aber en Restrsko extrem hoher Verluste, welche de Bank n hrem Überleben ernsthaft gefährden könnten. In enem solchen Fall müssen de Verluste über de laufende Erfolgsrechung oder andere Reserven abgedeckt werden können, da de Bank sonst nsolvent würde. Warum st de Vertelung rechtsschef? Intutv lassen sch dre wesentlche Faktoren erkennen: Kredtausfälle stellen statstsch gesehen seltene Eregnsse dar. De durchschnttlche Ausfallwahrschenlchket n enem ortfolo beträgt dabe nur ca. 1 - %. De tatsächlchen Verluste können n Abhänggket von makroökonomschen Faktoren aber stark schwanken. Während de Kredtverluste nach unten lmtert snd, können n enem extremen Szenaro theoretsch fast alle Kredte ausfallen. Neben der Unscherhet bezüglch der Anzahl der Kredtverluste st es auch entschedend, we hoch der Verlust be enem effektven Ausfall st. Das Rsko stegt, wenn das ortfolo ene schlechte Dversfkaton nach Kredtbeträgen aufwest und de Verlustquote sehr volatl st. Aus der ortfolotheore st bekannt, dass das Rsko enes ortfolos umso grösser st, je stärker de Schuldner n ähnlcher Wese auf Umweltenflüsse reageren, d.h. je höher de Korrelatonen snd. Im Extremfall enes ortfolos mt zwe Kredten, de vollständg korrelert snd, gbt es nur zwe Verlustszenaren: Entweder fällt ken Kredt aus oder bede Kredte fallen zusammen aus. Hohe Korrelatonen bewrken ene starke Volatltät der Verluste und führen dazu, dass de Kurve der Verlustvertelung nach rechts nur sehr langsam abfällt. Damt verblebt be ungenügender Dversfkaton ene relatv hohe Wahrschenlchket extremer Verluste. Rskobeträge / RAROC Das ortfolomanagement muss wssen, welche Branchen und Rskoklassen we vel Rskokaptal verursachen. De Kenntns des n enzelnen ortfolosegmenten oder Transaktonen gebundenen Rskokaptals ermöglcht es, deren rskoadjusterte erformance zu messen. In Credt Analyzer st dazu das RAROC-Konzept (Rsk-adjusted Return on Captal) mplementert, das den rskoberengten Ertrag ener Transakton ns Verhältns zu hrem ökonomschen Rskobetrag setzt. De Aufschlüsselung nach Rskobeträgen st aber auch entschedend, um Rskokonzentratonen nach ortfolosegmenten erkennen und wrkungsvolle Massnahmen enleten zu können. Velfach nteressert auch nur, ob en neuer Kredt de Dversfkatonsqualtät des ortfolos verbessert oder verschlechtert. Dese Informaton lefert Credt Analyzer mt der Berechnung enes Konzentratonsndkators. RISK CONSTING GROU 13

14 . Mathematscher Modellansatz In desem Kaptel beschreben wr de formalen mathematschen Grundlagen von Credt Analyzer. Leser, de an desen mathematschen Detals ncht nteressert snd, können drekt zu Kaptel 3 übergehen..1 Modellerungskonzept Credt Analyzer geht davon aus, dass der Wert A der Aktva enes Schuldners von enem systematschen Rskofaktor und ener schuldnerspezfschen Komponente (unsystematsches Rsko) abhängt: A r X 1 r Z (.1) X N 0,1 Z N0,1, covx, Z 0, covz, Z 0, j Das systematsche Rsko X und das unsystematsche Rsko Z snd standardnormalvertelte, vonenander unabhängge Zufallsvarablen. Dabe st N de Funkton ener kumulatven Standardnormalvertelung und r repräsentert de Korrelaton des Schuldners mt dem systematschen Rsko. Für jeden Schuldner defneren wr ene bnäre Zufallsvarable D. Deser Ausfallndkator nmmt mt ener Wahrschenlchket von D den Wert 1 und mt ener Wahrschenlchket von (1-D) den Wert 0 an. D (robablty of Default) st de Wahrschenlchket, dass en Schuldner ausfällt, (1- D) de Wahrschenlchket, dass er ncht ausfällt. En Schuldner fällt aus, falls sene Aktva A unter enen bestmmten Schwellenwert S fallen, der von der Ausfallwahrschenlchket D des Schuldners abhängt: j A S N 1 D (.) N -1 () st de nverse Funkton ener kumulatven Standardnormalvertelung, womt D 1 0 falls A N 1 falls A N 1 D D (.3) Gegeben en bestmmtes Wrtschaftsszenaro X kann nun für jeden Schuldner de bedngte Ausfallwahrschenlchket berechnet werden 4 : D X N N 1 D 1 r r X (.4) wobe de Quadratwurzel von r als Senstvtät der Aktva des Schuldners mt dem systematschen Rskofaktor X zu nterpreteren st, de m Intervall [0, 1] legt. 4 Sehe für de Herletung z.b. Vascek, O.: Loan portfolo value, n: Rsk, December 00, S. 160ff, oder Fnger, Ch.: Condtonal Approaches for CredtMetrcs ortfolo Dstrbutons, n: CredtMetrcs Montor, Aprl Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 14

15 Falls Schuldner ausfällt, verlert de Bank enen bestmmten Antel des Credt Exposures CE. Deser Antel wrd m Folgenden als potenzelle Verlustquote oder otental Loss Gven Default (LGD) bezechnet. LGD wrd als normalvertelte Zufallsvarable mt Erwartungswert LGD und Standardabwechung LGD modellert. Dabe geht Credt Analyzer davon aus, dass ncht nur de Aktva des Schuldners, sondern auch de Verlustquote LGD vom systematschen Rsko abhängen können: LGD LGD C (.5) LGD mt C b X 1 b Y (.6) X N 0,1 Y N0,1, covx, Y 0, covy, Y 0, j wobe b de Senstvtät der Verlustquote LGD des Schuldners bezüglch dem systematschen Rskofaktor X st und de standardnormalvertelte Varable Y das deckungsspezfsche (unsystematsche) Rsko abbldet. In enem bestmmten Wrtschaftsszenaro X ergbt sch der Erwartungswert der bedngten Verlustquote LGD dann mt X LGD b X E LGD LGD (.7) LGD st der herkömmlchen Verlustquote LGD sehr ähnlch. Falls de Senstvtät b = 0 st, entsprcht der Erwartungswert von LGD n jedem Szenaro LGD. Der Untersched zwschen LGD und LGD st, dass be b > 0 der erwartete Wert von LGD n enem wrtschaftlch schwachen Jahr über LGD legt und umgekehrt. Aus (.3) und (.5) ergbt sch der Verlust L enes ortfolos mt n Schuldnern mt j L n 1 CE LGD D n 1 CE LGD C D (.8) LGD In der Grenzwertbetrachtung enes sehr grossen, homogenen ortfolos st das unsystematsche Rsko wegdversfzert und ken Exposure macht mehr enen sgnfkanten Antel aus. In desem Fall st das systematsche Rsko de enzge verblebende Unscherhetsquelle. Gordy 5 west nach, dass der Verlust L enes ortfolos mt unendlch velen Kredten dann genau dem erwarteten Verlust gegeben de Realserung enes bestmmten Wrtschaftszenaros st. Analytsch lässt sch deser Verlust we folgt berechnen: n X CE ELGD X D X E L 1 (.9a) wobe für E[LGD X] und für D (X) Formel (.7) bzw. (.4) enzusetzen st. 5 Gordy, M.: A Rsk-Factor Model Foundaton for Ratngs-Based Bank Captal Rules, Federal Reserve System, February 001. RISK CONSTING GROU 15

16 Glechung (.9a) beschrebt en Enfaktormodell, n welchem de Qualtät der Schuldner und de Verlustquoten von enem enzgen Rskofaktor abhängen. De Erweterung zu enem Mehrfaktormodell ergbt sch, ndem jeder Schuldner enem Wrtschaftssektor u zugetelt wrd und sene Ausfallwahrschenlchket D und Verlustquote LGD vom jewelgen sektorspezfschen Rskofaktor x u abhängg gemacht wrd 6 : X CE ELGD X xu D xu E L u u (.9b) Dabe bezechnet der Vektor X de korrelerten Realsatonen der normalvertelten sektorspezfschen Wrtschaftsszenaren x u. Im Gegensatz zum Enfaktormodell kann der systematsche ortfoloverlust des Mehrfaktormodells aber ncht mehr analytsch bestmmt werden. Credt Analyzer ntegrert de Korrelatonsstruktur zwschen den Sektoren, ndem für jeden Sektor en separates Szenaro X u smulert wrd. Glechungen (.4) und (.7) werden dann konsequenterwese für jeden Schuldner mt senem sektorspezfschen Szenaro x u gerechnet.. Momente der Verlustvertelung..1 Expected Loss Setzen wr n Glechung (.8) de Erwartungswerte en, erhalten wr den erwarteten Verlust EL des ortfolos mt n EL CE ELGD E L 1 D (.10) Da Schuldner und Verlustquote bzw. A und LGD aufgrund hrer gemensamen Abhänggket r b aufwesen, benhaltet E[LGD ] enen Kovar- vom systematschen Rsko de Korrelaton anzterm 7 : E LGD LGD COV D D ; LGD LGD r b ns LGD D (.11) n() st de Dchtefunkton der Standardnormalvertelung und S der Schwellenwert aus (.), der den Ausfall enes Schuldners auslöst. Zur Verenfachung für de späteren Kaptel noteren wr m Folgenden LGD E LGD ~ 6 Dese Idee der Erwetung des Enfaktor- zu enem Mehrfaktormodell stammt von Fnger, Ch.: The One-Factor CredtMetrcs Model In The New Basel Captal Accord, n: RskMetrcs Journal, Sprng 001, S. 16f. 7 Sehe de detallerte Herletung be ykhtn, M. / Dev, A.: Analytcal approach to credt rsk modellng, n: Rsk, March 00. Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 16

17 Setzen wr den Term von (.11) n (.10) en, erhalten wr den Expected Loss mt E L EL n 1 CE ~ LGD D (.1a) Im Falle von b = 0 verenfacht sch (.1a) zur bekannten Formel E L EL n 1 CE LGD D (.1b).. Unexpected Loss Aus der detallerten Herletung n Anhang ergbt sch der Unexpected Loss ener enzelnen Transakton mt ~ CE D (.13) ( 1 D ) LGD D LGD lässt sch n ene systematsche und ene unsystematsche Komponente zerlegen. syst kann bestmmt werden, wenn wr mt Glechung (.9) den systematschen Verlust L für alle konjunkturellen Szenaren X berechnen und für de resulterende Verlustvertelung de Standardabwechung Stabw bestmmen: syst Stabw X x D x CE E LGD u u dx u (.14) Das systematsche und schuldnerspezfsche Rsko snd defntonsgemäss vonenander unabhängg. De unsystematsche Komponente unsyst ergbt sch dann aus der Bezehung syst unsyst (.15) so dass unsyst syst (.16) Da de unsystematschen Rsken vonenander unabhängg snd, ergbt sch das unsystematsche Rsko des ortfolos mt unsyst n 1 unsyst (.17) Im Enfaktormodell st de Korrelaton zwschen allen Sektoren glech 1, so dass das systematsche Rsko des ortfolos der Addton der systematschen -Komponenten aller Schuldner entsprcht: syst n 1 syst (.18) RISK CONSTING GROU 17

18 Der gesamte Unexpected Loss auf ortfoloebene st dann: OneFactor syst unsyst (.19) bzw. nach Ensetzen von (.17) und (.18) OneFactor n 1 syst n 1 unsyst (.0) Be der Berechnung des ortfolo- m Mehrfaktormodell snd zusätzlch de Korrelatonen zwschen den systematschen -Komponenten zweer Sektoren u und v zu berückschtgen: Mult Factor u v u syst v syst n (.1) uv 1 unsyst wobe uv der Sektorkorrelaton zwschen den ortfolosegmenten u und v entsprcht, de Anzahl Transaktonen st und de systematsche -Komponente enes Sektors sch aus (.18) ergbt..3 Berechnung der Verlustvertelung Grundsätzlch baseren alle Rskomasse enes ortfolos auf der Vertelung der Verlustvarablen L, we se n Glechung (.8) engeführt wrd. Während sch der EL und enes ortfolos noch analytsch bestmmen lässt, muss zur Herletung des Credt Value at Rsk, des Rsk Captal oder des Expected Shortfall de Häufgketsvertelung der Verluste bekannt sen. In Credt Analyzer stehen dre Möglchketen zur Verfügung, de Verlustvertelung zu berechnen, wobe dese jewels unterschedlche Trade-offs bezüglch Genaugket und Rechengeschwndgket aufwesen: 1. de Monte Carlo Smulaton von Verlusten,. en sem-analytscher Ansatz, der das systematsche Rsko smulert und das unsystematsche Rsko mt ener analytschen Formel approxmert sowe 3. parametrsche Ansätze, be denen de Verlustvertelung aus dem EL und bestmmt wrd..3.1 Monte Carlo Smulaton der Verluste Gegeben ene Realserung des systematschen Rskofaktors X snd de Ausfälle vonenander unabhängg. Des bedeutet, dass de bedngt unabhänggen Ausfälle ener Bnomalvertelung B folgen. Der Ausfallndkator D st nun ene Bernoull-Varable D B D X, n (.4) In Credt Analyzer lassen sch ncht nur de Transaktonen enzelner Schuldner, sondern auch homogene, dversfzerte ortfolosegmente erfassen. En Subportfolo wrd als "dversfzert" bezechnet, wenn dessen unsystematsches Rsko ncht mehr sgnfkant von enzelnen Transaktonen abhängt. In desem Fall lässt sch das unsystematsche Rsko we n Abschntt.3.1. gezegt "verdurchschnttlchen". Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 18

19 Verlustsmulaton auf Ebene Transakton De Verlustszenaren auf Ebene der enzelnen Transaktonen werden we folgt smulert: a) Smulaton enes Szenaros für den systematschen Rskofaktors X m jewelgen Sektor b) Berechnung der bedngten Ausfallwahrschenlchket D(X), gegeben de Realserung von X Glechung (.4) c) Gegeben D(X) st der Ausfall D enes Schuldners bedngt unabhängg und das Ausfallszenaro kann mt der Zehung ener bnomalvertelen Zufallszahl smulert werden, wobe n (.4) für enen enzelnen Schuldner n = 1 zu setzen st Glechung (.4) d) Falls der Schuldner n desem Szenaro ausfällt (D = 1), Smulaton des LGD und damt des betragsmässgen Verlusts n desem Szenaro Glechung (.5), (.8).3.1. Verlustsmulaton auf Ebene dversfzerter ortfolosegmente Reale Kredtportfolos benhalten oft enes oder mehrere Retalsegmente, de vele Exposures mt ener relatven homogenen Exposurehöhe benhalten (z.b. Hypotheken, Kredtkarten etc.). Für en nach Ratngkategore, Sektorzugehörgket und Loss Gven Default homogenes Subportfolo wrd en enzelnes Verlustszenaro dann we folgt smulert: a) Smulaton enes Szenaros für den systematschen Rskofaktors X m jewelgen Sektor b) Berechnung der bedngten Ausfallwahrschenlchket D(X), gegeben de Realserung von X Glechung (.4) c) Gegeben D(X), Smulaton der Anzahl Ausfälle D enes ortfolosegments mt n Schuldnern Glechung (.4) d) Für D ausgefallene Schuldner, Smulaton des LGD und damt des betragsmässgen Verlusts unter der Annahme, dass alle Transaktonen des dversfzerten ortfolos das gleche, durchschnttlche Exposure aufwesen Glechung (.5), (.8) Innerhalb enes homogenen Subportfolos gehen wr also davon aus, dass es aufgrund der Streuung nach Kredtbeträgen unerheblch st, welche Exposures n enem Verlustszenaro effektv ausfallen. Das unsystematsche Rsko wrd mt deser Methode jedoch ncht wegdefnert. Mt desem Ansatz lässt sch der Credt VaR auch für sehr grosse ortfolos mt ener hohen Rechengeschwndgket und Genaugket bestmmen. Dese entsprcht enem Bruchtel der Zet, de aufzuwenden wäre, wenn en Verlust für jede Transakton nnerhalb des ortfolosegments smulert werden müsste. Glechzetg gelngt es damt, das Verlustrsko komplexer, aus Wholesaleund Retalsegmenten bestehender ortfolos n enem enhetlchen Smulatonsansatz abzublden. RISK CONSTING GROU 19

20 .3. Smulaton systematscher Rsken plus Granulartätsadjusterung Der mt (.9) berechnete ortfoloverlust unterschätzt n aller Regel den "wahren" Verlust, da er nur das systematsche Rsko abbldet. In der Realtät benhalten Kredtportfolos mmer en bestmmtes unsystematsches Rsko, da deses selbst be ener guten Streuung nach Kredtbeträgen mestens ncht vollständg wegdversfzert st. De Dfferenz zwschen dem "wahren" und dem mt (.9) berechneten Verlust n enem bestmmten Szenaro wrd als Granulartätsadjusterung GA bezechnet: E L X EL X GA Zur Verenfachung für de späteren Kaptel bezechnen wr m Folgenden L X und sene systematsche Komponente EL X als Credt VaR syst, so dass (.) E als Credt VaR CredtVaR CredtVaR GA (.3) syst Der sem-analytschen Ansatz berechnet das systematsche Rsko nun mt ener Monte Carlo Smulaton und approxmert das unsystematsche Rsko mt ener analytschen Formel. Das systematsche Rsko wrd dabe we folgt smulert: a) Smulaton korrelerter Szenaren für de systematschen Rskofaktoren X n den enzelnen Sektoren. De Smulaton st nur m Mehrfaktoransatz notwendg, um de Korrelatonsstruktur zwschen den Sektoren korrekt zu ntegreren. Im Enfaktormodell st kene Smulaton notwendg, da der erzentlwert des gesuchten (enzgen) Makrofaktors drekt n de analytsche Formel (.4) engegeben werden kann. b) Gegeben ene Realserung des Vektors von X, Berechnung der bedngten Ausfallwahrschenlchket D(X) und des Erwartungswertes der bedngten Verlustquote E[LGD X) für alle Transaktonen Glechung (.4) und (.7) c) Berechnung des systematschen Rskos, ndem jedes Exposure mt den Erwartungswerten der bedngten Ausfallwahrschenlchket und Verlustquote multplzert wrd. Glechung (.9a) bzw. (.9b) Für de Berechnung der Granulartätsadjusterung bzw. das unsystematsche Rsko exstert noch kene exakte analytsche Formel we z.b. m Enfaktorfall für das systematsche Rsko. Es stehen jedoch verschedene sehr gute Approxmatonsverfahren zur Verfügung, de n Anhang 7 dskutert werden. Credt Analyzer approxmert GA n Glechung (.3) mt folgender Formel: 1/ GA CredtVaR 1 (.5) syst syst Der Unexpected Loss des ortfolos st de Standardabwechung der Verlustvertelung L. syst st de Standardabwechung von L und quantfzert den Betrag des systematschen Rskos zum gesamten Unexpected Loss. Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 0

21 De Berechnung der Granulartätsadjusterung mt (.5) hat den Vortel, dass se auch be komplexeren ortfolos und m Mehrfaktorfall anwendbar st. Allerdngs wrd das unsystematsche Rsko mt (.5) generell überschätzt. Modellrechnungen zegen aber, dass man be realen ortfolos zu sehr guten Ergebnssen gelangt, wenn GA we n Credt Analyzer mt 0.8 skalert wrd. Deser Ansatz egnet sch nsgesamt vor allem für ortfolos, de nur ene gernge Exposure- Konzentraton aufwesen..3.3 arametrsche Ansätze Als Alternatve zu Smulatonsansätzen können Verlustperzentle analytsch bestmmt werden, ndem EL und als Momente ener bestmmten Verlustvertelung angenommen werden. Es beten sch her nsbesondere Vertelungen we Beta, Gamma oder Lognormal an, de ene schefe Charakterstk annehmen können. De Annahme ener bestmmten Verlustvertelung st sehr arbträr und nsbesondere be heterogenen ortfolos mt enem beträchtlchen Modellrsko verbunden. Der Ensatz parametrscher Ansätze kommt deshalb höchstens be homogenen ortfolos n Frage, de kene Exposure- Konzentratonen aufwesen (z.b. Retalkredte, Kredtkartenportfolos, Autokredte). In aller Regel erhält man aber auch be solchen ortfolos ene höhere Rechengenaugket n verglechswese kurzer Zet, wenn enes der Smulatonsverfahren n Abschntt.3.1 oder.3. angewendet wrd Beta-Vertelung De Beta-Vertelung lefert m Intervall [0,1] ene Wahrschenlchketsvertelung, d.h., se deckt en Intervall ab von kenem (0) bs zu enem maxmalen Verlust (1). De Dchtefunkton st gegeben mt ( ) (1 x) ( x) ( ) ( ) 0 1 x 1 falls 0 x 1 falls x 0 (.6) wobe x de Verlusthöhe, > 0 und > 0 zwe free arameter und () de Gammafunkton snd. De beden arameter und snd Lageparameter, welche de Stelhet des Buckels und de Dcke des langen Endes der Vertelung bestmmen. De Lageparameter werden aus dem EL und berechnet. De Betavertelung st aufgrund deser funktonalen Form extrem flexbel. Se st symmetrsch, falls =, unform falls = = 1 und asymmetrsch n allen anderen Fällen Gamma-Vertelung De Gamma-Vertelung west ebenfalls zwe Lageparameter und auf, de über den EL und bestmmt snd. Ihre Dchtefunkton st gegeben mt 1 x / x e falls 0 x ( x) ( ) (.7) 0 falls x 0 De Gamma-Vertelung st mt der Beta-Vertelung verwandt und führt deshalb zu ähnlchen Verlustvertelungen. RISK CONSTING GROU 1

22 Lognormal-Vertelung Ene Zufallsvarable st lognormalvertelt, wenn der natürlche Logarthmus der Varablen normalvertelt st. De Lognormal-Vertelung west folgende Dchtefunkton auf: 1 (ln x ) / ( x) exp (.8) x und snd wederum de Lageparameter der Vertelung..4 Credt VaR und Expected Shortfall De Vertelung von Kredtverlusten n enem Kredtportfolo wrd typscherwese n enem Rskomass zusammengefasst, das als Credt Value at Rsk bezechnet wrd. Der CredtVaR st defnert als derjenge Verlust, der mt ener bestmmten Wahrschenlchket (z.b. = 1%) ncht mehr überschrtten wrd. Der mt ener Wahrschenlchket von (1 - verbundene CredtVaR entsprcht dem Quantl CredtVaR nf x : L x En alternatves Rskomass st der Expected Shortfall ES: ES E L L CredtVaR ES bezechnet den Erwartungswert für den Fall, dass der tatsächlche Verlust gegeben en bestmmtes Konfdenznveau höher ausfällt als der CredtVaR. Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton

23 3. Messung der erwarteten Verluste Kredtverluste stellen ncht verenzelte, ausserordentlche Eregnsse dar, sondern müssen mt ener bestmmten Wahrschenlchket erwartet werden. Zur Quantfzerung von Kredtrsken haben sch n der Bankenndustre mt dem Expected Loss und Unexpected Loss zwe statstsche Masse durchgesetzt, welche de durchschnttlch zu erwartenden Verluste und deren Volatltät ausdrücken. In desem Kaptel befassen wr uns mt dem Expected Loss, der ene wesentlche Rolle be der Bestmmung der Rskopräme enes Kredts spelt. Erwartete Verluste snd nchts anderes als Standardrskokosten. De den Kunden verrechneten Rskoprämen sollten deshalb mndestens so hoch sen, dass se den Expected Loss enes Kredts decken. 3.1 Expected Loss Es gbt kene Methode, de solvente von nsolventen Schuldnern frühzetg mt absoluter Scherhet zu trennen vermag. Der Ausfall enes Schuldners muss deshalb mt ener bestmmten Wahrschenlchket erwartet werden. Der erwartete Verlust ener Transakton setzt sch dabe aus dre Komponenten zusammen, de mathematsch we folgt zu verknüpfen snd: EL D CE LGD (3.1) wobe EL = Expected Loss (erwarteter Verlust) D = robablty of Default (Ausfallwahrschenlchket) CE = Credt Exposure (Exposure be Ausfall) LGD = Loss Gven Default (erwartete Verlustquote) De Ausfallwahrschenlchket D gbt de Wahrschenlchket an, mt der en Kunde nnerhalb enes bestmmten Zethorzonts (z.b. 1 Jahr) nsolvent wrd. Bem Kredtexposure CE handelt es sch um de erwartete Kredtbenützung zum Zetpunkt des Ausfalls. De Erfahrung zegt, dass be ener Bontätsverschlechterung noch häufg en Tel der ncht benützten Lmte gezogen wrd. De Verlustquote LGD gbt an, we vel de Bank nach Verwertung allfällger Scherheten auf dem Kredtexposure durchschnttlch verlert. De Verlustquote hängt wesentlch von der Qualtät der Deckung ab. Falls ene Bank hre Kredtdaten hstorsert hat, kann se de Verlustquoten nach Deckungsarten und Belehnungshöhe emprsch bestmmen. Glechung (3.1) und (3.) stmmen nur unter der Annahme, dass de Ausfallraten (D) und Verlustquoten (LGD) vonenander unabhängg snd. Verschedene emprsche Studen belegen aber, dass LGD mt der Schuldnerqualtät korrelert st, da bede Rskokomponenten letztendlch von den glechen makroökonomschen Faktoren abhängen. 8 Scherheten verleren bekanntlch oft gerade dann an Wert, wenn de Ausfallraten stegen. Falls deser Effekt berückschtgt werden 8 Sehe z.b. Altman, E. et al.: The Lnk between Default and Recovery Rates: Theory, Emprcal Evdence and Implcatons, Workng aper, March 003. RISK CONSTING GROU 3

24 soll, st LGD n (3.1) und (3.) durch den Term für L G ~ D aus Glechung (.11) zu ersetzen, der de Kovaranz zwschen der Bontät des Schuldners und der Verlustquote berückschtgt. Des führt normalerwese zu ener beträchtlchen Erhöhung des EL. Der Expected Loss für das ganze ortfolo berechnet sch aus der Addton der erwarteten Verluste der enzelnen Transaktonen: EL n 1 EL n D CE LGD (3.) De folgende Tabelle zegt de konkrete Berechnung des EL am Bespel enes ortfolos, das aus den dre Segmenten A, B und C besteht. Das Segment C brngt nur 14% der Kunden, aber 78% des gesamten Exposures en Fall, der für vele Banken typsch st. Wr werden deses Bespel n den folgenden Kapteln schrttwese erwetern. Bespel 3.1 Berechnung Expected Loss A B C ortfolo Anzahl Kunden '750 Credt Exposure pro Kunde '000 robablty of Default 1.50% 1.50% 1.50% 1.50% Loss Gven Default 50% 50% 50% 50% Expected Loss Ausfallwahrschenlchket (robablty of Default) Ratngsysteme wesen bestmmten Rskokategoren normalerwese enen alphabetschen (z.b. AAA) oder numerschen (z.b. 1) Wert zu. Für sch allene stellen dese Werte ledglch ene Rangfolge zwschen den Kunden her. Um den Expected Loss gemäss Formel (3.1) berechnen zu können, muss darüber hnaus de Ausfallwahrschenlchketen D nnerhalb ener Ratngklasse bekannt sen. Zur Bestmmung von D bestehen verschedene Möglchketen, we z.b. 9 : Übernahme der Ratngs und Ausfallwahrschenlchketen von ener Ratngagentur Berechnung von D mt enem nversen Optonspresmodell Bestmmung der Rskoklasse enes Kunden n enem strukturerten Ratngprozess, der mt mathematsch-statstschen Instrumenten (z.b. Logstsche Regresson, Dskrmnanzanalyse, Neuronale Netze) unterstützt wrd. Credt Analyzer st jedoch ken System für de Bontätsanalyse, so dass Ratngs und Ausfallwahrschenlchketen für das Modell ledglch Input-Faktoren darstellen. 9 Enen guten Überblck gbt Saunders, A.: Credt Rsk Measurement, 1999, S Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 4

25 Tabelle 3.1 zegt de erwarteten Ausfallwahrschenlchketen über verschedene Laufzeten, we se sch aus dem Ratngsystem von Standard & oor s ergeben. Dabe wrd deutlch, dass sch de D-Werte be ener Bontätsverschlechterung überproportonal erhöhen. Darüber hnaus st erschtlch, dass de Ausfallwahrschenlchket auch von der Länge des untersuchten Zethorzonts abhängt. Während de Wahrschenlchket, dass en Schuldner mt Ratng BBB nnerhalb enes Jahres ausfällt, mt 0.7% noch relatv tef st, beträgt se über enen 3-Jahreshorzont berets 1.3%. Tab. 3.1 Kumulerte durchschnttlche Ausfallwahrschenlchketen (n %) Zethorzont n Jahren Ratng AAA AA A BBB BB B CCC/C Quelle: Standard & oor s: 010 Annual Global Corporate Default Study And Ratng Transtons, Table 4 - Global Corporate Average Cumulatve Default Rates ( ). Für ene ausrechende Dfferenzerung der Rsken und de Umsetzung des EL-Konzepts m rcng snd nach unserer Erfahrung mndestens zehn Rskoklassen notwendg. Der Entsched über de Skalerung des Ratngsystems st von wetrechender Bedeutung. Wenn später Rskoklassen hnzugefügt werden müssen, geht de Konstanz be der Hstorserung der Daten verloren und es kann dann schwerg werden, de bshergen Zetrehen n das neue System umzurechnen. 3.3 Credt Exposure Falls ene Gegenparte hren Verpflchtungen ncht mehr nachkommt, st der Expected Loss gemäss (3.1) davon abhängg, we hoch hre Forderung zum Zetpunkt des Ausfalls st. 10 Emprsche Daten zegen, dass be Bontätsverschlechterungen m klassschen Kredtgeschäft oft en Tel der ncht benützten Lmte gezogen wrd. Be tradtonellen Kredtprodukten ergbt sch das Credt Exposure deshalb theoretsch aus der heutgen Benützung zuzüglch enem Antel der ncht benützten Lmte, der bs zum Zetpunkt des Ausfalls erfahrungsgemäss noch gezogen wrd: CE Benützung Lmte Benützung (3.3) wobe der Antel der ncht benützten Lmte n % st. Des entsprcht dem n Basel II vorgesehenen Kredtumrechungsfaktor (credt converson factor CCF). 10 Unsere Bezechnung "Credt Exposure" entsprcht dem "Exposure at Default" des Basler Komtees. RISK CONSTING GROU 5

26 Der Antel st anhand der hstorschen Verluste ener Bank zu bestmmen und st n der raxs oft vom ursprünglchen Ratng abhängg. Banken, de ncht über genügend Daten für statstsch sgnfkante Aussagen verfügen, setzen zur Verenfach jedoch oft = 0 (d.h. CE = Benützung). 11 Be Frmenkunden mt enem Ratng ab BB st zum Zetpunkt des Ausfalls n der Regel ohnehn en Grosstel der Lmte benützt. 3.4 Verlustquote (Loss Gven Default) Be enem Ausfall erledet ene Bank enen Verlust n der Höhe des Credt Exposures abzüglch desjengen Tels, den se über Konkursdvdenden, Veräusserung von Scherheten etc. weder enbrngen kann. Je höher deser Rückgewnnungsbetrag (Recovery) st, desto klener st der Loss Gven Default. De Modellerung des LGD st m Gegensatz zur Schätzung der Ausfallw ahrschenlchket enes Kunden ene relatv neue Technk und wrd de Banken n nächster Zukunft noch stark herausfordern. Loss Gven Default st normalerwese defnert als der Verlust m Verhältns zum Kredtexposure be Ausfall (Exposure at Default). 1 Es st entschedend, dass alle dre Rskokomponenten des erwarteten Verlusts (CE, D, LGD) auf der glechen Ausfalldefnton beruhen. De be der Schätzung des LGD zu verwendende Defnton von "Verlust" st auch nach Basel II grundsätzlch der wrtschaftlche Verlust. Deser umfasst nsbesondere Abznsungseffekte und Workout-Kosten. Da sch de Workout-erode über mehrere Jahre hnzehen kann, st es notwendg, alle nach dem Ausfalleregns anfallenden Cash-Flows auf das Ausfalldatum abzudskonteren: wobe CFt t 1 r LGD 1 Recovery 1 (3.4) CE CF t = Netto-Cash-Flow zum Zetpunkt t (postve CF vom Schuldner oder aufgrund der Verwertung von Scherheten, negatve CF als Folge nterner und externer Kosten) r = Dskonterungssatz (nkl. Rskopräme 13 ) Im Foundaton Approach erlaubt das Basler Komtee enen Kredtumrechnungsfaktor von 0 be jenen Kredtlnen, de ncht bestätgt snd oder de von der Bank jederzet und bedngungslos gekündgt werden können. Sehe Basel Commttee on Bankng Supervson: Internatonal Convergence of Captal Measurement and Captal Standards, June 004, S. 67. Schuermann, T.: What Do We Know About Loss-Gven-Default?, Workng aper, Federal Reserve Bank of New York, March 003. Vgl. Maclachlan, I.: Choosng the Dscount Factor for Estmatng Economc LGD, Workng aper, May 004. Entsprechend dem Captal Asset rcng Model (CAM) sollte de Rskopräme entsprechend dem systematschen Rsko gewählt werden, das mt der jewelgen Fnanzanlage verbunden st. Zum Dskonterungsfaktor be der Schätzung des LGD sehe auch Basel Commttee on Bankng Supervson: Gudance on aragraph 468 of the Framework Document, July 005. Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 6

27 Der LGD hängt stark von der Qualtät der Deckung ab und st z.b. be enem Immoblenkredt wesentlch tefer st als be enem ungedeckten Kredt. Be der Hstorserung und Modellerung des LGD sollten u.a. folgende Rskofaktoren berückschtgt werden: Rechtsform Branche Frmenalter Grösse Kaptalstruktur Intenstät des Workout-rozesses Konjunkturelle Lage etc. Im tradtonellen Kredtgeschäft müssen Verlustquoten bankntern geschätzt und/oder aus der Volatltät der Marktprese abgeletet werden, de den Scherheten zugrunde legen. 14 Be der Schätzung von LGD wählen de mesten Banken ene Kombnaton oder alle der folgenden Methoden 15 : Hstorserte banknterne Daten Expertenmenungen (Kredtabtelung, Workout) Benchmarks von Consultants Verfügbare externe Daten Tabelle 3. zegt de durchschnttlchen Verlustquoten aus emprschen Arbeten, de sch mt banknternen LGD-Werten m Frmenkundengeschäft befasst haben. Tab. 3. Loss Gven Default be kommerzellen Bankkredten 16 Stude Land Zet LGD Araten / Jacobs / Varshney (JMorgen Chase) USA % Asernow / Edwards (Ctbank) USA % Dermne / de Carvalho (Banco Comercal ortugues) ortugal % Grunert / Weber (grosse deutsche Bank) Deutschland % Sehe z.b. Jokvuolle, E. / eura, S.: A Model for Estmatng Recovery Rates and Collateral Harcuts for Bank Loans, Bank of Fnland, Fnancal Servces Authorty (FSA): Wholesale LGD models, 10 January 007. Sehe Araten, M. et al.: Measurng LGD on Commercal Loans: An 18-Year Internal Study, n: The RMA Journal, May 004. Um de Verglechbarket mt den anderen Studen zu gewährlesten, enthält de Tabelle denjengen LGD-Wert, den Araten et. al. mt enem Dskontsatz von 5% berechnet haben. Asarnow, E. / Edwards, D.: Measurng Loss on Defaulted Bank Loans. A 4-Year-Study, n: Journal of Commercal Lendng, 77, Dermne, J. / de Carvalho, N.: Bank Loan Losses-Gven-Default, March 005. Grunert, J. / Weber, M.: Recovery Rates of Bank Loans: Emprcal Evdence for Germany, March 005. RISK CONSTING GROU 7

28 4. Messung der unerwarteten Verluste Bem Expected Loss handelt es sch um enen Erwartungswert. In der Realtät werden de effektven Verluste aber je nach wrtschaftlchem Umfeld über oder unter desem statstsch erwarteten Durchschntt legen. Credt Analyzer berechnet darum neben dem Expected Loss auch enen Unexpected Loss, der dese Schwankung quantfzert. 4.1 Systematsche vs. unsystematsche Rsken De Volatltät der ortfoloverluste hängt konzeptonell von zwe Faktoren ab: der Konzentraton und Korrelatonsstruktur des ortfolos. De Konzentraton beschrebt das Klumpenrsko n enem ortfolo, das sch aus ener ungenügenden Streuung der Kredtforderungen nach Schuldnern ergbt. So st es z.b. rskorecher, je CHF 1 Mo. an 10 Schuldner zu lehen als CHF 0.1 Mo. an 100 Schuldner. We Abbldung 4.1 zegt, lässt sch deses schuldnerspezfsche bzw. unsystematsche Rsko jedoch mt zunehmender ortfologrösse wegdversfzeren. De Korrelatonen zwschen den enzelnen Schuldnern defneren de Senstvtät des ortfolos bezüglch Änderungen der zugrunde legenden makroökonomschen Faktoren. Es st z.b. rskorecher, enen Grosstel der Kredte n Branchen zu vergeben, de glechzetg sehr senstv auf wrtschaftlche Entwcklungen reageren. Deses Marktrsko wrd m Folgenden als systematsches Rsko bezechnet. Abb. 4.1 Konzentratons- und Korrelatonseffekte m Kredtportfolo Kredtrsko Dversfkaton des ortfolos Konzentraton des ortfolos Korrelaton der Schuldner unsystematsches Rsko systematsches Rsko ortfologrösse Ausser be kleneren ortfolos übt der Korrelatonseffekt be der Berechnung des gesamten Kredtrskos den stärksten Enfluss aus. Während das schuldnerspezfsche Rsko mt zunehmender ortfologrösse snkt, lässt sch der auf de Korrelatonsstruktur zurückzuführende Rskobetrag ncht vollständg wegdversfzeren. Je grösser en ortfolo st, desto mehr wrd das gesamte Rsko von der systematschen Komponente bestmmt. Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 8

29 4. Unexpected Loss (Enfaktormodell) Der Unexpected Loss st en Volatltätsmass für de Streuung der tatsächlchen Verluste um den Expected Loss. Glechung (4.1) zegt nochmals, dass ene Abwechung der tatsächlchen von den erwarteten Verlusten auf Schwankungen der Ausfallwahrschenlchket, des Kredtexposures und der Verlustquote zurückzuführen sen muss. Dabe snd nsbesondere de Erwartungswerte von D und LGD mt sgnfkanter Unscherhet behaftet. Ihre Volatltät wrd n Credt Analyzer darum explzt modellert, während das Credt Exposure als konstant angenommen wrd. Expected Loss D CE LGD (4.1) volatl volatl Wr zegen zunächst, we Credt Analyzer den Unexpected Loss für enzelne Transaktonen bzw. homogene ortfolosegmente berechnet, gehen dann auf emprsche Belege bezüglch der Volatltät von D und LGD en und zegen später, we der auf ortfoloebene unter Berückschtung von Korrelatonseffekten gemessen wrd. Credt Analyzer st en ausfallorentertes Modell und geht darum davon aus, dass en Schuldner am Ende des Analysehorzonts nur zwe Zustände annehmen kann: Entweder er st ausgefallen (D) oder er st ncht ausgefallen (1-D). De Wahrschenlchketsvertelung beruht somt auf enem sogenannten Bnomal- oder Bernoullprozess. De Ausfallwahrschenlchket, de enem solchen Bnomalprozess folgt, west dabe für enen enzelnen Schuldner de folgende Standardabwechung Stabw auf: Stabw( D) D (1 D) (4.) Das zwete Unscherhetsmoment n Glechung (4.1) st de Volatltät des Loss Gven Default. In Credt Analyzer st darum für jede Verlustquoten-Klasse ene Standardabwechung LGD zu erfassen. Führt man de beden Varanzterme von D und LGD zusammen, ergbt des gemäss der n Anhang gezegten Herletung den Unexpected Loss enes Kredtexposures : CE D ( 1 D ) LGD D LGD (4.3) Varanz D Gewchtung Gewchtung Varanz LGD Dese Formel glt dann, wenn de Faktoren, de zur Volatltät von D bzw. LGD führen, vonenander unabhängg snd. Sofern Schuldner als auch Deckung korrelert snd, st LGD n allen Glechungen deses Kaptels durch den Term für L G ~ D n (.11) zu ersetzen, der de Korrelaton zwschen der Bontät des Schuldners und der Verlustquote berückschtgt. Glechung (4.3) kann so nterpretert werden, dass der Unexpected Loss abhängg st von der Varanz von D und LGD sowe hrer jewelgen Gewchtung. RISK CONSTING GROU 9

30 Für de Berechnung des auf ortfoloebene zerlegen wr Glechung (4.3) entsprechend den Ausführungen m letzten Abschntt n ene systematsche und ene unsystematsche bzw. schuldnerspezfsche Komponente: syst unsyst (4.4) Falls Schuldner und Deckung korrelert snd, muss syst über Glechung (.14) mt enem numerschen Verfahren bestmmt werden. Andernfalls lässt sch syst und unsyst analytsch berechnen. Deser Fall sowe de darauf aufbauende Bestmmung des des ortfolos st m Folgenden dargestellt. De Varanz von D kann n ene systematsche und ene unsystematsche Komponente zerlegt werden, wenn wr de emprsche Volatltät D der Ausfallrate berückschtgen. Dese drückt de hstorsche oder geschätzte Schwankung der Ausfallraten m Zetablauf aus und stellt das systematsche Rsko dar, dem alle Schuldner enes bestmmten ortfolosegments ausgesetzt snd. De Volatltät von D st ene Funkton der Ausfallwahrschenlchket enes Schuldners sowe dessen Korrelaton mt dem sektorspezfschen, systematschen Rskofaktor. D lässt sch we n Abschntt beschreben mt enem numerschen Verfahren bestmmen. De Varanz von D kann dann we folgt zerlegt werden: 1 D D (1 D) D D D (4.5) Varanz Total Varanz systematsch Varanz unsystemat sch Setzen wr den rechten Term von (4.5) n Glechung (4.3) en, können wr den Unexpected Loss ener Transakton als de Summe ener systematschen und ener unsystematschen Rskokomponente ausdrücken: syst D CE LGD (4.6) und unsyst ( 1 D) LGD D LGD D LGD CE D (4.7) Falls de Ausfälle aller Schuldner enes ortfolos nur von enem systematschen Rskofaktor abhängen, sprcht man von enem Enfaktormodell. In desem Fall gehören sämtlche Schuldner dem glechen Wrtschaftssektor an und de unerwarteten Verluste der enzelnen Schuldner wesen unterenander ene Korrelaton von 1 auf. Der systematsche auf ortfoloebene entsprcht dann der Summe aller auf Transaktonsebene: syst n 1 syst (4.8) Da de unsystematschen Rsken der enzelnen Schuldner vonenander unabhängg snd, entsprcht das unsystematsche Rsko auf ortfoloebene unsyst n 1 unsyst (4.9) Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 30

31 Da defntonsgemäss auch de systematsche und unsystematsche -Komponente vonenander unabhängg snd, entsprcht der Unexpected Loss des ortfolos OneFactor syst unsyst (4.10) oder OneFactor n 1 syst n 1 unsyst (4.11) Des st der Unexpected Loss enes ortfolos, dessen Schuldner alle dem glechen Wrtschaftssektor angehören. Der Unexpected Loss grosser, homogener ortfolos wrd fast ausschlesslch durch den ersten Term (systematsches Rsko) auf der rechten Sete von Glechung (4.11) bestmmt. Das unsystematsche Rsko (zweter Term) st n der Regel wesentlch klener und fällt nur dann ns Gewcht, wenn de Korrelaton der Schuldner mt dem systematschen Rskofaktor sehr tef st oder es sch um en klenes ortfolo handelt. Bespel 4.1 zegt de konkrete Berechnung des Unexpected Loss. Bespel 4.1 Berechnung des Unexpected Loss (One-Factor Model) A B C ortfolo Anzahl Kunden 1' '750 CE pro Kunde '000 D 1.50% 1.50% 1.50% σ D (Faktorsenstvtät = 0.481) 1.00% 1.00% 1.00% LGD 50.0% 50.0% 50.0% σ LGD 1.5% 1.5% 1.5% EL systematsch unsystematsch Enfaktormodell De Abschntte 4.3 und 4.4 führen de bshergen Betrachtungen weter und zegen, we Credt Analyzer de Korrelatonsstruktur n enem ortfolo modellert. Zuvor beschreben wr enge emprsche Untersuchungen, de Hnwese auf de Höhe der Volatltät von D und LGD vermtteln Volatltät der Ausfallraten De tatsächlchen Ausfälle n ener Ratngklasse snd je nach wrtschaftlchem Umfeld Schwankungen unterworfen. So ergeben sch aus den Daten der Ratngagenturen bespelswese de n Tabelle 4.1 gezegten emprschen Standardabwechungen der Ausfallraten. Je grösser de Volatltät und damt de Unscherhet snd, umso grösser wrd de Wahrschenlchket unerwartet hoher Verluste. RISK CONSTING GROU 31

32 Tab. 4.1 Hstorsche Standardabwechungen der 1-Jahres-Ausfallraten S & 's D n % D n % AAA AA A BBB BB B CCC/C Quelle: Standard & oor s: 010 Annual Global Corporate Default Study And Ratng Transtons, Table 4 - Global Corporate Average Cumulatve Default Rates ( ). De Abbldung zegt, dass de Standardabwechung mt zunehmender Ausfallwahrschenlchket zwar stegt, relatv aber snkt. De emprschen Daten wesen zudem darauf hn, dass sch de Standardabwechungen be ener durchschnttlchen Ausfallwahrschenlchketen etwa auf Höhe der jewelgen D bewegen. Deser Zusammenhang stmmt mt der ntutven Erwartung überen und schent auch auf andere Ratngsysteme übertragbar zu sen. 4.. Volatltät des Loss Gven Default Wr snd bsher davon ausgegangen, dass Verlustquoten zumndest nnerhalb ener Asset-Klasse konstant snd. En Blck auf de emprschen Werte n Tabelle 4. zegt jedoch, dass de Volatltät von LGD auch nnerhalb ener Forderungskategore erheblch st n enem Berech zwschen 0-30% legt. Tab. 4. Loss Gven Default und Volatltät Deckungsart Anzahl LGD n % LGD n % Senor Secured Loans Senor Unsecured Loans Senor Secured Bonds Senor Unsecured Bonds Senor Subordnated Bonds Subordnated Bonds Dscount Bonds Quelle: Altman, E.: Default Recovery Rates and LGD n Credt Rsk Modelng and ractce: An Updated Revew of the Lterature and Emprcal Evdence, Table, November 006. De "Loan"-LGDs stammen aus der Datenbank von Moody's ( Q 006), de "Bond"-LGDs aus derjengen von Altman ( ). Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 3

33 De LGD-Werte von Kredten snd wesentlch tefer als dejengen von Anlehen, ncht aber de entsprechenden Volatltäten. De n Tabelle 3. zterte Stude von Grunert und Weber be ener grossen deutschen Bank kommt be enem durchschnttlchen LGD von 8% sogar zu ener Volatltät von rund 36%. Falls banknterne LGD-Volatltäten noch fehlen, führt de folgende Formel zu ener ersten Schätzung: 1 LGD LGD(1 LGD) (4.1) De mt Glechung (4.1) berechnete Volatltät verläuft n Abhänggket der Verlustquote symmetrsch. Se st be gerngen Verlustquoten relatv tef, stegt dann bs zu ener Verlustquote von 50% an und fällt dann weder ab. De Volatltäten emprscher Studen stammen häufg von Bondmärkten und beruhen auf dem angelsächsschen Insolvenzrecht. Für tradtonelle Kredtportfolos st ene Glechung we (4.1) deshalb mt ener gewssen Vorscht anzuwenden. Letztendlch kann se banknterne emprsche Erhebungen ncht ersetzen und sollte nur verwendet werden, bs bankspezfsche Daten vorlegen. Insgesamt ergbt sch aus der Volatltät der Verlustquoten ene wetere sgnfkante Unscherhetsquelle bezüglch der Höhe des Unexpected Loss. De Schätzung und Integraton der Standardabwechung der Verlustquoten muss deshalb en zentraler Bestandtel enes Kredtrskomodells sen. De Volatltät von LGD erhöht den Credt Value at Rsk massv, sobald LGD und D von den glechen Rskofaktoren abhängen (d.h. korrelert snd). Wenn dese vonenander unabhängg snd, fällt de LGD-Volatltät nur be kleneren ortfolos und solchen mt Klumpenrsken ns Gewcht Abhänggket des Loss Gven Default vom systematschen Rsko De effektven Verlustquoten snd n Rezessonsphasen oft höher als m Aufschwung (und umgekehrt). Vele Kredtrskomodelle gehen jedoch davon aus, dass LGD zwar volatl, aber von der Entwcklung der Schuldnerbontät bzw. der Wrtschaftsentwcklung unabhängg st. Zahlreche emprsche Studen belegen aber, dass LGD mt der Schuldnerqualtät korrelert st, da bede Rskokomponenten von den glechen makroökonomschen Faktoren abhängen. 17 Deckungen snd ebenfalls Aktva und dürften somt n ähnlcher Wese auf wrtschaftlche Veränderungen reageren we de Frmenaktva. In Credt Analyzer kann deser Effekt berückschtgt werden, ndem de Senstvtät von LGD bezüglch des systematschen Rskos erfasst wrd. 18 De emprsche Schätzung deses arameters Altman, E. et al.: The Lnk between Default and Recovery Rates: Theory, Emprcal Evdence and Implcatons, Workng aper, March 003. Sehe dazu Frye, J.: Collateral damage, n: Rsk, Aprl 000, S ; sowe Frye, J.: Depressng recoveres, n: Rsk, November 000, S Vgl. auch L, St. / Tunay, S.: The Impact of Systematc LGD on Economc Captal, n: Rsk rofessonal, Aprl 01, S. 3-9; oder Folpmers, M.: The Impact of D-LGD Correlaton on Expected Loss and Economc Captal, n: Rsk rofessonal, February 01, S RISK CONSTING GROU 33

34 stellt allerdngs ene Herausforderung dar. 19 Frye und Jacobs präsenteren dazu ene enfache Alternatve, n dem se den realserten LGD n enem bestmmten Wrtschaftszenaro aus ener Funkton der (smulerten) Ausfallrate und des erwarteten LGD ableten. 0 Der Ansatz führt be höheren Ausfällen zu höheren LGD-Raten und setzt kene zusätzlchen arameter voraus, de statstsch ohnehn schwerg zu schätzen snd. Der Funkton st n Credt Analyzer ebenfalls mplementert und egnet sch nsbesondere für Stress Tests. In realen ortfolos kann de Abhänggket der LGD-Raten vom systematschen Rsko den Credt Value at Rsk um bs zu 50% erhöhen. Aus desem Grund verlangt auch Basel II m Rahmen des auf nternen Ratngs baserenden Ansatzes (IRB), dass Banken für de Berechnung der Egenmttel LGD-Schätzungen verwenden, de wrtschaftlche Abschwungphasen reflekteren Unexpected Loss (Mehrfaktormodell) Der Unexpected Loss gemäss Glechung (4.11) beruht auf der Annahme aus, dass alle Schuldner dem glechen Wrtschaftssektor angehören. Snd de Schuldner jedoch n unterschedlchen Sektoren tätg, reduzert sch der. Das systematsche Rsko verrngert sch aber nur telwese, da de Wrtschaftssektoren n enem Kredtportfolo n der Regel zwar ncht vollständg, aber trotzdem postv korrelert snd. Sofern dese Sektorkorrelatonen berückschtgt werden, sprcht man von enem Mehrfaktormodell. Credt Analyzer ntegrert dese Korrelatonseffekte be der Berechnung des Unexpected Loss we folgt: Mult Factor u v u syst v syst n (4.13) uv 1 unsyst wobe uv der Sektorkorrelaton zwschen zwe ortfolosegmenten u und v entsprcht und de Anzahl Transaktonen st. Falls D und LGD vonenander unabhängg snd, kann der systematsche enes Sektors u analog Formel (4.8) und der unsystematsche mt (4.9) berechnet werden. Be ener Korrelaton zwschen D und LGD snd de komplexeren Formeln (.14) bzw. (.16) zu verwenden. Der Korrelatonseffekt wrkt nur zwschen den systematschen Rskokomponenten und hat kenen Enfluss auf das unsystematsche Rsko, das schuldnerspezfsch st und kenen Zusammenhang mt den enzelnen Wrtschaftssektoren aufwest. De Bestmmung der ortfolovolatltät gemäss Glechung (4.13) basert auf der ortfolotheore von Markowtz und dessen Varanz/Kovaranz-Ansatz. We Bespel 4. zegt, entsprcht ncht enfach der Summe der der enzelnen ortfolosegmente. Da de Korrelaton zwschen den dre Sektoren klener st als 1, reduzert sch der m Verglech zum Enfaktormodell von auf Vgl. z.b. Gese, G.: The mpact of D/LGD correlatons on credt rsk captal, n: Rsk, Aprl 005, S ; sowe Hllebrand, M.: Modellng and estmatng dependent loss gven default, n: Rsk, September 006, S Frye, J. / Jacobs M.: Credt Loss and Systematc LGD, submtted to the Journal of Credt Rsk, October 6, 011. Sehe auch Basel Commttee on Bankng Supervson: Background note on LGD quantfcaton, December 004. Sehe Elton, E. / Gruber, M.: Modern ortfolo Theory and Investment Analyss, 1995, S Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 34

35 Bespel 4. Berechnung Unexpected Loss (Mehrfaktormodell) A B C ortfolo systematsch unsystematsch Enfaktormodell Mehrfaktormodell Sektorkorrelaton 0.75 (konstant) Modellerung der Korrelatonsstruktur De Berückschtgung von Ausfallkorrelatonen st für de korrekte Messung des ortfolorskos entschedend. Es st allerdngs ene praktsch unlösbare Aufgabe, de paarwesen Ausfallkorrelatonen n enem ortfolo zu schätzen. Berets n enem ortfolo mt 1'000 Schuldnern wären ( )/ = 499'500 Ausfallkorrelatonen zu schätzen, was weder rechnersch noch vom verfügbaren Datenmateral her umzusetzen st. In der raxs kommen deshalb Faktormodelle zum Zuge, welche de zu schätzende arameterzahl stark reduzeren. 3 In Credt Analyzer werden de Korrelatonseffekte n enem ortfolo dabe auf zwe Ebenen berückschtgt 4 : Innerhalb enes Sektors wrd de Korrelaton der Frmenwerte der Schuldner mt enem sektorspezfschen Rskofaktor modellert. Zwschen den Sektoren enes ortfolos werden sogenannte Sektorkorrelatonen berückschtgt Korrelaton der Aktva nnerhalb enes Sektors Innerhalb enes Sektors wrd davon ausgegangen, dass der Wert A der Aktva enes Schuldners von enem systematschen, sektorspezfschen Rskofaktor X s und ener schuldnerspezfschen Komponente Z (unsystematsches Rsko) abhängt: A r X 1 r Z (4.14) s wobe r de Korrelaton und de Quadratwurzel aus r de Senstvtät bezüglch des systematschen Rskofaktors X s st. Dese Sektorsenstvtät st en explzter Input n Credt Analyzer und beschrebt, we stark de Aktva enes Kunden von der konjunkturellen Entwcklung des Sektors abhängen. Je höher de Senstvtät st, desto stärker wrd de Bontät enes Schuldners be ener negatven Entwcklung des Sektors n Mtledenschaft gezogen und umgekehrt. X s und Z folgen ener Standardnormalvertelung und snd vonenander unabhängg. De Korrelaton r enes Schuldners mt der Sektorentwcklung wrd m Kontext von Basel III als Asset Correlaton bezechnet. Innerhalb enes Sektors wesen alle Schuldner defntonsgemäss de gleche Sektorsenstvtät und damt auch de gleche Asset Correlaton auf. 3 4 Vgl. zum Folgenden Fnger, Ch.: Condtonal Approaches for CredtMetrcs ortfolo Dstrbutons, n: Credt- Metrcs Montor, Aprl 1999, S ; sowe Schönbucher, h.: Factor Models for ortfolo Credt Rsk, December 000. De Korrelatonsstruktur wrd n glecher Wese modellert n: Egloff, D. / Leppold, M. / Vann,.: A Smple Model of Credt Contagon, Workng aper, January 14, 004. Vgl. auch Bürgsser,. et al.: Integratng Correlatons, n: Rsk, July 1999, S RISK CONSTING GROU 35

36 Frmenwertmodell und Ausfallkorrelatonen De Asset Correlaton von zwe Schuldnern nnerhalb enes Sektors st über de gemensame Entwcklung der Frmenwerte bestmmt. Um von der Asset Correlaton zur Ausfallkorrelaton zu gelangen, müssen wr de Ausfälle der Schuldner als ene Funkton hrer Aktva A beschreben. Theoretscher Ausgangspunkt st dabe das Frmenwertmodell von Merton 5, welches bestmmt, dass Veränderungen m Wert der Aktven zu Veränderungen der Kredtqualtät und damt des Ratngs führen. Dabe defneren de n Abbldung 4. gestrchelt engezechneten Schwellenwerte jewels enen Ratngberech. Jedes Mal, wenn de Frmenaktven enen neuen Schwellenwert errechen, verändert sch das Ratng. Fallen de Aktven sogar unter den mt "Default" bezechneten Schwellenwert S (fett-gestrchelt), snd de Schulden ncht mehr gedeckt und es kommt zu enem Ausfall. Abb. 4. Frmenwertmodell von Merton BB BBB A CCC B AA Default AAA tefer S Wert der Aktven höher Quelle: Gupton, G. et al.: Credt Metrcs - Techncal Document, 1997, S.37 Unter der Annahme, dass de Veränderung des Frmenwerts ener Normalvertelung folgt, können de Schwellenwerte aus den Wahrschenlchketen ener Ratngmgraton abgeletet werden. Da mt D de Ausfallwahrschenlchket und mt (1-D) de entsprechende Gegenwahrschenlchket bekannt st, entsprcht de Fläche, de unter der Kurve und lnks vom Schwellenwert "Default" legt, der erwarteten Ausfallwahrschenlchket D. Dabe ergbt sch der Default-Schwellenwert S ener Standardnormalvertelung mt Erwartungswert 0 und Standardabwechung 1 mt 6 S N 1 ( D) (4.15) wobe N -1 () de nverse Funkton ener kumulatven Standardnormalvertelung st. In Tabelle 4.3 snd de Default-Schwellenwerte am Bespel enger Ausfallwahrschenlchketen aufgeführt. De Default-Schwellenwerte snd umso klener und werden daher umso später errecht, je gernger de Ausfallwahrschenlchket D enes Schuldners st. 5 6 Merton, R.: On the rcng of Corporate Debt: The Rsk Structure of Interest Rates, Journal of Fnance, Nr. 9/1974, S De Schwellenwerte snd mt D berets vollständg determnert. Dese enthalten mplzt alle Informatonen über de erwartete Rendte auf den Frmenaktven bzw. deren Volatltät, so dass de Berechnung mt ener Standardnormalvertelung durchgeführt werden kann. Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 36

37 Tab. 4.3 Berechnung von Default-Schwellenwerten robablty of Default 0.1% 0.4% 1.0% 1.5% 3.5% 7.5% Default-Schwellenwert S Über das Faktormodell n Glechungen (4.14) und das Frmenwertmodell n (4.15) st mplzt auch de Ausfallkorrelaton zwschen zwe Schuldnern defnert. Wenn de Ausfälle we n Abschntt 4. beschreben enem Bnomalprozess folgen, st de Ausfallkorrelaton Schuldnern und j nämlch we folgt defnert: Default j zwschen zwe JD( D ; D j ; rj) D Default D j j (4.16) D (1 D ) D (1 D ) j j Der Zähler von (4.16) entsprcht der Kovaranz zwschen den Aktven zweer Schuldner. Se st de Dfferenz zwschen der gemensamen Ausfallwahrschenlchket JD (Jont robablty of Default), wenn de Aktven korrelert snd und der gemensamen Ausfallwahrschenlchket, wenn bede Schuldner vonenander unabhängg snd ( D x D j ). De gemensame Ausfallwahrschenlchket JD st ene Funkton der ndvduellen Ausfallwahrschenlchketen D zweer Schuldner sowe hrer Asset Correlaton r j. De Berechnung von JD wrd m nächsten Abschntt beschreben. Der Nenner entsprcht gemäss (4.) den Standardabwechungen der bnomalvertelten Ausfallprozesse der beden Schuldner. De Herletung von Glechung (4.16) st n Anhang 3 zu fnden. De Ausfallkorrelaton st deshalb bedeutsam, wel n hr mplzt de emprsche Volatltät der Ausfallrate D enthalten st. We n Abschntt 4. ausgeführt wrd, brauchen wr dese, um den Unexpected Loss n ene systematsche und unsystematsche Komponente aufzutelen. Anhang 4 zegt, dass sch zwschen der durchschnttlchen Ausfallkorrelaton Default enes homogenen ortfolosegments, der Ausfallwahrschenlchket D und der emprsch beobachteten Volatltät der Ausfallraten D der folgende approxmatve Zusammenhang herstellen lässt: D Default (4.17) D (1 D) Zwe Schuldner mt glecher Ausfallwahrschenlchket und Sektorzugehörgket wesen deshalb de gleche Ausfallkorrelaton auf. Für de Berechnung des systematschen enes Schuldners brauchen wr de emprsche Volatltät D sener Ausfallrate. Dese erhalten wr, ndem wr de rechten Terme von (4.16) und (4.17) glechsetzen und nach D auflösen. Da n Credt Analyzer für jeden Schuldner de Ausfallwahrschenlchket D und de Sektorsenstvtät r erfasst wrd, st mplzt auch de Ausfallkorrelaton n enem homogenen ortfolosegment (nach Ratng und Sektor) sowe de Volatltät der Ausfallrate bestmmt. Zum besseren Verständns gehen wr m nächsten Abschntt noch vertefter auf den Zusammenhang zwschen gemensamer Ausfallwahrschenlchket, Asset Correlaton und Ausfallkorrelatonen en. RISK CONSTING GROU 37

38 Gemensame Ausfallwahrschenlchketen In Abbldung 4.3 st der Berech schattert, n dem de beden Schuldner und j gemensam ausfallen, wobe de Default-Schwellenwerte mt S und S j bezechnet snd. De Iso-Kurven haben dabe ene ähnlche Bedeutung we de Höhenkurven, mt denen n Landkarten Gebrge dargestellt snd. De nneren Krese repräsenteren de Gebrgssptze bzw. hohe gemensame Ausfallwahrschenlchketen und de äusseren den Gebrgsfuss bzw. tefe gemensame Ausfallwahrschenlchketen. Abb. 4.3 Gemensame Ausfallwahrschenlchketen Zukünftger Wert Frma S S j Zukünftger Wert Frma j + j n Default Quelle: Aravants, A. / Gregory, J.: A Credt Rsk Toolbox, n: Rsk, Dezember 1998 De gemensame Ausfallwahrschenlchket JD n Glechung (4.16) st abhängg von den zwe Schwellenwerten und der Korrelaton r der Aktven der beden Schuldner. Se kann durch Integraton ener bvaraten Standardnormalvertelung gefunden werden. S S j JD( D, D j, rj) ( x S, y Sj ) f ( x, y, rj) dx dy (4.18) Im Spezalfall, dass de beden Gegenparteen vonenander unabhängg bzw. ncht korrelert snd, verenfacht sch (4.18) zu JD( D, D,0) D D (4.19) j j Für zwe ncht korrelerte Schuldner mt D 0.4% und % beträgt de Wahrschenlchket enes gemensamen Ausfalls z.b %. Tabellen 4.4 und 4.5 zegen de gemensamen Ausfallwahrschenlchketen von Schuldnerpaaren, deren Frmenwerte korrelert snd. De den Berechnungen zugrunde legenden D-Werte entsprechen denjengen von Standard & oor's aus Tabelle 3.1 (Spalte "1 Jahr"). Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 38

39 Tab. 4.4 Gemensame Ausfallwahrschenlch- Tab. 4.5 Gemensame Ausfallwahrschenlchketen be Asset Correlaton von 0. keten be Asset Correlaton von 0.4 AAA AA A BBB BB B CCC AAA AA A BBB BB B CCC AAA 0.0% AAA 0.0% AA 0.0% 0.0% AA 0.0% 0.0% A 0.0% 0.0% 0.0% A 0.0% 0.0% 0.0% BBB 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% BBB 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% BB 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% BB 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.1% B 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.% 0.6% B 0.0% 0.0% 0.0% 0.1% 0.3% 1.1% C 0.0% 0.0% 0.0% 0.1% 0.5%.% 9.6% C 0.0% 0.0% 0.0% 0.% 0.8% 3.1% 1.1% Tabellen 4.6 und 4.7 zegen ausgehend von den oben aufgeführten gemensamen Ausfallwahrschenlchketen de entsprechenden Ausfallkorrelatonen, we se sch aus Glechung (4.16) ergeben. Daraus lassen sch - auch ohne mathematsche Detals - enge grundsätzlche Beobachtungen über de Ausfallkorrelatonen ableten 7 : De Ausfallkorrelaton st mmer klener als de Asset Correlaton, wobe bede das gleche Vorzechen haben. Je höher z.b. de Asset Correlaton st, desto höher st de Ausfallkorrelaton. Wenn be ener hohen Asset Correlaton de ene Frma n Konkurs gerät, da hr Frmenwert gefallen st, st es wahrschenlch, das auch der Wert der anderen Frma gesunken st und damt wesentlch näher am Default-Schwellenwert S legt. De Ausfallkorrelaton nnerhalb ener Branche st n der Regel wesentlch klener als 1. Selbst be ener Asset Correlaton von 1 fallen ncht sämtlche Frmen aus, wenn ene enzelne Frma ausfällt. Auch be glechgerchteter Entwcklung der Frmenwerte bleben de ndvduellen D- Werte entschedend und damt de Frage, we wet de Frma von enem möglchen Ausfall entfernt st. Ausfallkorrelatonen zwschen Schuldnern mt hoher Bontät tenderen gegen Null, wogegen solche zwschen bontätsschwachen Frmen relatv hoch sen können. Tab. 4.6 aarwese Ausfallkorrelatonen be Tab. 4.7 aarwese Ausfallkorrelatonen be Asset Correlaton von 0. Asset Correlaton von 0.4 AAA AA A BBB BB B CCC AAA AA A BBB BB B CCC AAA 0.00 AAA 0.00 AA AA A A BBB BBB BB BB B B CCC CCC Vgl. Zhou, Ch.: Default Correlaton An Analytcal Result, Workng aper, Federal Reserve Board, Washngton, RISK CONSTING GROU 39

40 4.4. Sektorkorrelatonen We erwähnt, ntegrert Credt Analyzer de Abhänggket der Schuldner nnerhalb enes Sektors über sogenannte Faktorsenstvtäten, de das sektorspezfsche systematsche Rsko abblden. In ener zweten Stufe werden dann de Korrelatonen zwschen den enzelnen Sektoren modellert. De Sektorkorrelatonen erfassen dejengen makroökonomschen Entwcklungen, de sektorübergrefend wrken und sch noch ncht n den sektorspezfschen Asset Correlatons nedergeschlagen haben. So reageren z.b. vele Branchen enes Landes n ähnlcher Wese auf Veränderungen des Bruttonlandprodukts, der Znsen etc. In der Regel wrd als Sektorkrterum de Branche gewählt, wovon wr m Folgenden ausgehen. Alternatv wäre z.b. auch ene Integraton der systematschen Rsken nach Regonen oder Ländern möglch. De emprsche Bestmmung der Sektorkorrelatonen setzt voraus, dass genügend lange sektor- bzw. branchenspezfsche Zetrehen von Ausfällen vorlegen. Des bedngt, dass ene Bank hre Kunden mt enem Branchencode versehen hat und das Datawarehouse de Aufzechnung der Ausfälle nnerhalb ener Branche erlaubt. In Credt Analyzer snd de Exposures mt enem (Wrtschafts-)Sektor zu ndexeren und es st ene Matrx für de Sektorkorrelatonen zu erfassen. Im Folgenden beleuchten wr, we sch de Sektorsenstvtäten und de Sektorkorrelatonen n Credt Analyzer kalbreren lassen Kalbrerung der Korrelatonsstruktur De theoretsch beste Methode besteht darn, de Sektorsenstvtäten und de Korrelatonsmatrx aufgrund der hstorschen Ausfallraten der enzelnen Wrtschaftssektoren zu kalbreren. Zu desem Zweck müssen bankntern de hstorschen Ausfälle n den enzelnen Branchen bekannt sen. Alternatv kann n gewssen Ländern auch auf Zetrehen aus öffentlch zugänglchen Konkursstatstken oder von Ratngagenturen zurückgegrffen werden. 8 Zur Illustraton zegen wr de Kalbrerungsmethode am Bespel sektorspezfscher Ausfallraten und Volatltäten von Standard & oor's. Ausgangslage für Tabelle 4.8 snd de publzerten, branchenspezfschen Zetrehen der Ausfallraten. Daraus haben wr für jeden Wrtschaftssektor als Kalbrerungsnput de durchschnttlche Ausfallrate sowe deren emprsche Volatltät berechnet. 8 Sehe zum Folgenden auch de Kalbrerungsmethode n Kaptel 5 von Löffler, G. / osch,.: Credt rsk modelng usng Excel and VBA, London 007. Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 40

41 Aerospace / automotve / captal goods / metal Consumer / servce sector Energy and natural resources Fnancal Insttutons Forest and buldng products / homebulders Health care / chemcals Hgh technology / computers / offce equpment Insurance Lesure tme / meda Real estate Telecommuncatons Transportaton Utlty Tab. 4.8 Kalbrerung Sektorgewchte Mttlere Ausfallrate.17%.40%.0% 0.64% 1.87% 1.4% 1.64% 0.60%.77% 1.19%.18%.00% 0.4% Emprsche Volatltät.09% 1.75%.16% 0.79%.7% 1.37% 1.68% 1.05%.55%.73% 4.6% 1.76% 0.87% JD 0.091% 0.088% 0.087% 0.010% 0.086% 0.034% 0.055% 0.015% 0.14% 0.089% 0.9% 0.071% 0.009% Asset Correlaton Sektorgewcht Quelle: Standard & oor s: Annual 005 Global Corporate Default Study And Ratng Transtons, Table 7: Annual Default Rates by Industry. Aus desen arametern lassen sch nun de Sektorgewchte bzw. Asset Correlatons bestmmen. Dazu setzen wr n (4.16) und (4.17) de hstorsche durchschnttlche Ausfallrate D s des Sektors sowe deren Volatltät ˆ en und erhalten nach Umformen den folgenden Zusammenhang 9 : JD Ds Ds, rs ˆ s Ds Ds s, (4.0) De gesuchte Sektorsenstvtät r s lässt sch damt als ene Funkton der emprschen arameter D s und r f s D s ˆ s beschreben:, ˆ s (4.1) De enzge Unbekannte n Glechung (4.0) st de (durchschnttlche) Asset Correlaton r s zwschen zwe Schuldnern des glechen Sektors, de sch numersch bestmmen lässt. Neben den Sektorsenstvtäten benötgen wr zusätzlch de Korrelatonen zwschen den Sektoren. Dazu müssen wr de emprsche Korrelatonsmatrx der Sektorausfälle kennen, de sch aus den Zetrehen der Ausfallraten ergbt und n Tabelle 4.9 gezegt st. 9 Ene ausführlche mathematsche Herletung st zu fnden be Bluhm, Ch. / Overbeck, L. / Wagner, Ch.: An Introducton to Credt Rsk Modelng, 003, S RISK CONSTING GROU 41

42 Aerospace / automotve / captal goods / metal Consumer / servce sector Energy and natural resources Fnancal Insttutons Forest and buldng products / homebulders Health care / chemcals Hgh technology / computers / offce equpment Insurance Lesure tme / meda Real estate Telecommuncatons Transportaton Utlty Tab. 4.9 Emprsche Korrelatonen der Sektorausfälle Aerospace / automotve / captal goods / metal 1 Consumer / servce sector Energy and natural resources Fnancal Insttutons Forest and buldng products / homebulders Health care / chemcals Hgh technology / computers / offce equpment Insurance Lesure tme / meda Real estate Telecommuncatons Transportaton Utlty Setzen wr n (4.16) de emprschen Werte zweer repräsentatver Schuldnern der Sektoren s 1 und s en und lösen wr nach JD auf, erhalten wr JD Ds 1, Ds, r1, ˆs 1, s ˆ s1 ˆ s Ds1 Ds (4.) De gemensame Ausfallwahrschenlchket JD von zwe durchschnttlchen Schuldnern n Sektor 1 und kann über de emprsche Korrelaton ˆ hrer Sektorausfälle, deren Volatltät sowe de Sector s1, s durchschnttlche Ausfallrate D s1 und D s der beden Sektoren berechnet werden. De rechte Sete der Glechung besteht nur aus beobachtbaren Varablen, so dass sch mt enem numerschen Verfahren wederum de Asset Correlaton r 1, zwschen zwe Schuldnern der Sektoren 1 und herausfltern lässt. De Asset Correlaton von zwe Schuldnern verschedener Sektoren lässt sch zudem als rodukt aus den Sektorsenstvtäten und der ncht-beobachtbaren Sektorkorrelaton berechnen: Sector r1, r1 r s1, s (4.3) so dass wr nun de gesuchte Sektorkorrelaton we folgt erhalten: Sector s1, s r 1 r 1, r (4.4) Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 4

43 Aerospace / automotve / captal goods / metal Consumer / servce sector Energy and natural resources Fnancal Insttutons Forest and buldng products / homebulders Health care / chemcals Hgh technology / computers / offce equpment Insurance Lesure tme / meda Real estate Telecommuncatons Transportaton Utlty Tab Sektorkorrelatonsmatrx Aerospace / automotve / captal goods / metal 1 Consumer / servce sector Energy and natural resources Fnancal Insttutons Forest and buldng products / homebulders Health care / chemcals Hgh technology / computers / offce equpment Insurance Lesure tme / meda Real estate Telecommuncatons Transportaton Utlty De kalbrerte Matrx der Sektorkorrelatonen ergbt sch, wenn wr de Schrtte n Glechungen (4.1) - (4.4) für alle Sektorpaare wederholen. Tabelle 4.10 enthält de gesuchte Korrelatonsmatrx. Im Gegensatz zum Ratngunversum von Standard & oor's mt kaptalmarktfähgen Schuldnern west en länderspezfsches Kredtportfolo m Durchschntt höhere Korrelatonen auf, da alle Sektoren von ähnlchen systematschen Rsken betroffen snd und de Dversfkatonseffekte dadurch gernger st. Aus demselben Grund dürften nsbesondere negatve Korrelatonen eher selten sen. De durchschnttlche Sektorkorrelaton n enem typschen Kredtportfolo st m Allgemenen relatv hoch und legt rgendwo zwschen 0.5 und 0.9. De Schätzung von Sektorkorrelatonen kann natürlch umgangen werden, ndem de Korrelatonsmatrx mt ener durchschnttlchen Korrelaton (z.b. 0.7) erfasst wrd. De Aufschlüsselung nach branchenspezfschen Konzentratonen m ortfolo st dann aber wet wenger dfferenzert. RISK CONSTING GROU 43

44 5. Bestmmung des Credt Value at Rsk Der Unexpected Loss st en Mass für de Streuung der potenzellen Verluste um den Expected Loss. Es st aber wchtg, über dese Standardabwechung hnaus angeben zu können, mt welcher Wahrschenlchket ene bestmmte Verlusthöhe entrtt. Der maxmale Verlust nnerhalb enes bestmmten Konfdenzntervalls wrd dabe als Credt Value at Rsk (Credt VaR) bezechnet. Aus Scht des Kredtrskomanagements st es von entschedender Bedeutung, de Wahrschenlchket extremer Verluste quantfzeren und daraus das ökonomsch notwendge Rskokaptal (oder Economc Captal) ableten zu können. Deses muss unerwartete Verluste absorberen können und stellt so enen uffer gegen ene drohende Insolvenz der Bank dar. Wr haben n Abbldung 1.3 gezegt, dass Kredtverluste ncht normal-, sondern rechtsschef vertelt snd. Selbst n enem dversfzerten Kredtportfolo stegt de Verlustwahrschenlchket zunächst stark an, fällt dann aber nur sehr langsam ab. Aus deser asymmetrschen Vertelung der Kredtverluste ergbt sch für de Bank m Gegensatz zur Normalvertelung en wesentlch sgnfkanteres Rsko extrem hoher Verluste. Aus desem Grund st de be Marktrsken häufg anzutreffende Annahme der Normalvertelung be Kredtrsken ncht möglch. 5.1 Verlustvertelung m Enfaktormodell Das n Credt Analyzer mplementerte Enfaktormodell st ene Weterentwcklung desjengen ortfoloansatzes, der dem auf nternen Ratngs baserenden (IRB) Ansatz von Basel III zugrunde legt. 30 De Grunddee des IRB-Ansatzes st de Auftelung des ortfolorskos n ene systematsche und ene unsystematsche Komponente, wobe davon ausgegangen wrd, dass de Bontät der Schuldner nur von enem (systematschen) Rskofaktor abhängt. De Auftelung des Rskos n ene systematsche und ene unsystematsche Komponente erlaubt es m Enfaktormodell, de Verlustvertelung des systematschen Rskos mt ener analytschen Funkton exakt zu berechnen. 31 Dese gbt de Wahrschenlchket an, mt der en bestmmter Schuldner n Abhänggket von enem systematschen Rskofaktor X ausfällt. 3 Der Rskofaktor X repräsentert de wrtschaftlch guten und schlechten Jahre und beenflusst damt auch de Entwcklung des Frmenwerts enes Schuldners. X wrd als Zufallsvarable modellert, de ener Standardnormalvertelung folgt. Tefere X-Werte bedeuten en höheres Rsko (bzw. ene schlechtere Wrtschaftslage). Für enen bestmmten Wrtschaftszustand X beträgt de Wahrschenlchket enes Ausfalls dann D X N N 1 r X 1 r D (5.1) Sehe Ch. Meer: De Rskotreber n enem Kredtportfolo, n: Der Schwezer Treuhänder, 4/004. Ene sehr lesenswerte Enführung n Faktormodelle st Schönbucher, h.: Factor Models for ortfolo Credt Rsk, December 000, Department of Statstcs, Bonn Unversty. Vgl. zum Folgenden Koyluoglu, H. / Hckman, A.: Reconclable Dfferences, n: Rsk, October 1998, S Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 44

45 wobe r de Asset Correlaton enes Schuldners mt dem systematschen Rskofaktor X beschrebt. De Wurzel aus r entsprcht dann der Senstvtät bezüglch des systematschen Rskos. N() st de Funkton ener kumulatven Standardnormalvertelung und N -1 () deren nverse Funkton. Der Betrag enes Schuldners oder ortfolosegments zum systematschen Credt VaR lässt sch dann we folgt berechnen: 1 N D CredtVaR systematc CE LGD N 1 r X r (5.) Be enem Konfdenznveau von 99.9% wäre für X z.b. en Wert von enzusetzen. In desem Fall legt en Wrtschaftsszenaro vor, das nur noch n 0.1% der Fälle schlechter ausfällt. De Ausfallwahrschenlchket D sowe de Faktorsenstvtät r snd explzte Modellnputs. Das Enfaktormodell west de nteressante Egenschaft auf, dass sch de systematschen Beträge der enzelnen Schuldner adderen lassen 33 : CredtVaR systematc n 1 CredtVaR systematc (5.3) Je höher de Anzahl Schuldner und je homogener das ortfolo st, desto schneller konvergert der systematsche Credt VaR zum wahren Credt Value at Rsk. Besonders augenfällg st des be Retalportfolos von Automoblbanken, Kredtkartenorgansatonen oder Telekommunkatons- Gesellschaften, be denen das unsystematsche Rsko aufgrund der sehr hohen Schuldnerzahl (fast) vollständg wegdversfzert wrd. 34 En aus ener ungenügenden Granulartät des ortfolos resulterendes Konzentratonsrsko st zum systematschen Credt VaR zu adderen. De Granulartätsadjusterung berückschtgt, dass de Volatltät der Verluste enes ortfolos mt wengen, aber grossen Kredten höher st, als wenn es vele klene Kredte enthält. De unsystematsche Komponente des Credt VaR lässt sch jedoch ncht mt ener exakten analytschen Formel we bem systematschen Rsko herleten. Im Rahmen der Dskusson um den IRB-Ansatz des Basler Komtees snd darum verschedene Approxmatonsverfahren für de Berückschtgung der Granulartät dskutert worden. Unsere Tests haben gezegt, dass de folgende Approxmaton zu ener sehr guten Annährung an den wahren Credt VaR des ortfolos führt: CredtVaR One Factor One Factor One Factor syst CredtVaR (5.4) systematc Des st möglch, wel de Rskobeträge gegeben en bestmmter Wrtschaftszustand X vonenander (bedngt) unabhängg snd. Sehe dazu: Fnger, Ch.: Condtonal Approaches for CredtMetrcs ortfolo Dstrbutons, n: CredtMetrcs Montor, Aprl Haupt, G. / Henkel, J.: Kredtrsko-Berechnungen für das Retal-ortfolo ener Automoblbank, n: BIT, Unverstät Regensburg, März 001, S , zegen des am Bespel der BMW Bank. RISK CONSTING GROU 45

46 Alternatv lässt sch ene Approxmaton 1. Ordnung für de Granulartätsadjusterung auch streng mathematsch herleten (vgl. Anhang 7). De Formel setzt aber homogene ortfolos voraus, deren Transaktonen glech hohe D, LGD und Asset Correlatons aufwesen. Se wrd deshalb n Credt Analyzer ncht verwendet. De n (5.4) gezegte Varante der Skalerung des systematschen Credt VaR mt den Standardabwechungen lässt sch auch be komplexeren ortfolos und Korrelatonsstrukturen verwenden. De Granulartätsadjusterung gemäss Glechung (A 7.) führt tendenzell eher zu ener Unterschätzung, dejenge gemäss (5.4) eher zu ener Überschätzung des Credt VaR. Emprsche Tests zegen, dass man desen Effekt korrgeren kann, wenn de Granulartätsadjusterung n (5.4) mt 0.8 skalert wrd. Das nachfolgende Bespel zegt den Credt VaR für verschedene Konfdenznveaus, we er sch mt Formel (5.4) ergbt. Als Benchmark snd de Rskowerte aufgeführt, de be glecher arametrserung mt ener Monte Carlo Smulaton resulteren. 35 Bespel 5.1 Credt Value at Rsk m Enfaktormodell Systematsches Rsko + Granulartät Skalerung mt 1. Order Approx. Monte Carlo (Glechung 5.4) Glechung (A 7.) Smulaton Credt Exposure Total 16'000 16'000 16'000 EL Enfaktormodell Credt VaR 99.50% Credt VaR 99.90% Credt VaR 99.97% De Skalerung mt dem systematschen führt zu ener Abwechung vom smulerten Credt VaR n der Grössenordnung von 3-4%, de Approxmaton 1. Ordnung zu ener solchen von rund 7%. Das Ausmass der Abwechung hängt von der Höhe des unsystematschen Rskos ab, das n desem Bespel rund 10% zum Credt VaR beträgt. De analytschen Verfahren egnen sch deshalb nur be ortfolos, de ene relatv gernge Exposurekonzentraton aufwesen. In desen Fällen bewegen sch de Abwechungen dann häufg deutlch unter 1%, und des be telwese hohen Vortelen be der Rechengeschwndgket. 35 Der Enfaktor-Ansatz west ene verglechswese enfache Korrelatonsstruktur auf, so dass es möglch st, verschedene Kredtrskomodelle enhetlch zu parametrseren. Dfferenzen n den Modellen zegen sch dann n unterschedlchen Credt VaR-Werten, während der erwartete und unerwartete Verlust jewels überenstmmt. Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 46

47 Stegende Genaugket 5. Verlustvertelung m Mehrfaktormodell Das Mehrfaktor-Modell geht ncht mehr davon aus, dass nur en Faktor das ortfolo beenflusst. De enzelnen Transaktonen werden her enem bestmmten Sektorndex zugeordnet, und es werden de Korrelatonen zwschen desen Sektoren modellert. Dabe snd de Schuldner nach den folgenden Krteren zu grupperen: - Exposure (CE), Ausfallwahrschenlchket (D) und Verlustquote (LGD) - Zugehörgket zu enem Sektor mt Index s - Senstvtät r s enes Schuldners bzgl. dem systematschen Rskofaktor X s Das Mehrfaktormodell kann somt weder n en Enfaktormodell überführt werden, wenn alle Sektorkorrelatonen auf Ens gesetzt werden. Im Mehrfaktormodell stehen gemäss Abbldung 5.1 dre Methoden zur Verfügung, um den Credt Value at Rsk bzw. de Verlustvertelung zu bestmmen. We de Abbldung zegt, wesen de dre Verfahren unterschedlche Trade-offs bezüglch Rechengenaugket und Rechengeschwndgket auf, de jewels vor dem Hntergrund der realen ortfolozusammensetzung gegenenander abzuwägen snd. Abb. 5.1 Methoden zur Bestmmung der Verlustvertelung n Credt Analyzer A.1 Monte Carlo Smulaton (undversfzerte ortfolos) 1. Smulaton Makroszenaro (systematsches Rsko). Gegeben das Makroszenaro, Ausfallsmulaton für jeden Kunden 3. Falls Kunde n desem Szenaro ausfällt, Smulaton von LGD A. Monte Carlo Smulaton (dversfzerte ortfolosegmente) 1. Smulaton Makroszenaro. Gegeben das Makroszenaro, Smulaton der Anzahl Ausfälle (bnomalvertelt) 3. Für jeden Ausfall: Smulaton des LGD unter Annahme glech hoher Exposures B Smulaton systematsches Rsko + Granulartätsadjusterung 1. Smulaton Makroszenaro. Approxmaton des unsystematschen Rskos Stegende Geschwndgket C Analytsche Ansätze 1. Berechnung Credt VaR unter Annahme ener bestmmten Verlustvertelung Im Ansatz A wrd sowohl das systematsche als auch das unsystematsche Rsko mt ener Monte Carlo Smulaton bestmmt. In enem ersten Schrtt werden für de enzelnen Sektoren mt ener Monte Carlo Smulaton korrelerte Wrtschaftszustände X s generert. Setzen wr für jeden Schuldner das entsprechende X s n Glechung (5.5) en, erhalten wr sene (bedngte) Ausfallwahrschenlchket n desem Makroszenaro mt RISK CONSTING GROU 47

48 D X N N 1 D rs X s 1 rs (5.5) Gegeben ene Realserung von Makroszenaren für alle Sektoren, snd de Ausfälle m ortfolo dann vonenander unabhängg. Ob en Schuldner ausfällt oder ncht lässt sch dann über ene Zufallszahl smuleren, de bnomalvertelt st. In Varante A1 setzt de Ausfall-Smulaton gegeben D(X) auf Ebene der Transaktonen an. Des kann be sehr grossen ortfolos aber zu relatv langen Rechenzeten führen. Fällt en Schuldner n enem bestmmten Makroszenaro aus, st zusätzlch der Loss Gven Default zu smuleren. Falls en homogenes Telportfolo (gleche D, LGD und Sektorzugehörgket) ähnlch hohe Exposures benhaltet, stellt Varante A be der Smulaton des Ausfalls und des unsystematschen Rskos en abgekürztes Verfahren beret. Falls en Telportfolo kene wesentlchen Exposure-Konzentratonen aufwest, wrd zunächst de (bnomalvertelte) Anzahl Ausfälle smulert. Für jeden der smulerten Ausfälle wrd nun von enem durchschnttlchen Exposure ausgegangen und en Loss Gven Default smulert. Der Credt Value at Rsk auf enem bestmmten Konfdenznveau lässt sch be beden Varanten dann aus der Häufgketsvertelung der ortfoloverluste ableten, de n allen smulerten Wrtschaftsszenaren aufgetreten snd. Der Ansatz B st ene konsequente Weterentwcklung des Enfaktormodells. Für de enzelnen Rskofaktoren X u werden we be Methode A mt ener Monte Carlo Smulaton korrelerte Wrtschaftszustände generert, de nach Ensetzen n Glechung (5.6) für jede enzelne Transakton enen bestmmten Verlust ergeben. De Addton deser Verluste führt zum (systematschen) ortfoloverlust n desem enen Szenaro: 1 N D Loss syst CE LGD N 1 r s r s X s (5.6) Das unsystematsche Rsko bzw. de Granulartätsadjusterung kann nun wederum mt ener Approxmaton aus dem systematschen Rskoprozess bestmmt werden. We m Enfaktor-Modell lässt sch das smulerte, systematsche Verlustszenaro mt dem n (5.4) gezegten Granulartätsfaktor skaleren, um zum gesamten Verlust zu gelangen: Loss Mult Factor Mult Factorsyst Loss (5.7) syst Der Credt Value at Rsk wrd auch be deser Methode aus der Häufgketsvertelung der ortfoloverluste abgeletet. Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 48

49 Ansatz C besteht darn, de Verlustvertelung analytsch zu bestmmen, ndem der erwartete und unerwartete Verlust als arameter ener bestmmten Verlustvertelung angenommen werden. Hnter der Berechnung des Expected und Unexpected Loss steht nämlch kene Annahme über de Wahrschenlchketsvertelung, de zu desen Rskomassen führt. Würden de Kredtverluste ener Normalvertelung folgen, läge der maxmale Verlust (Credt Value at Rsk), der mt ener Wahrschenlchket von z.b. 99.9% ncht überschrtten wrd, rund 3 Standardabwechungen vom Expected Loss entfernt. Setzen wr als Unexpected Loss den Wert 91. aus Bespel 4. en, ergäbe sch der Credt Value at Rsk mt 91. x 3.09 = Um den Credt Value at Rsk für en belebges Konfdenznveau zu bestmmen, stehen n Credt Analyzer dre Vertelungen zur Verfügung, de auch ene schefe Charakterstk annehmen können: de Beta-, Gamma- und Lognormalvertelung. Ausgehend von dem n Glechung (3.) bzw. (4.13) berechneten Expected und Unexpected Loss des ortfolos letet Credt Analyzer de arameter her, welche de Form und Rechtsschefe der gewählten Vertelung defneren. De Fläche unter der Verlustvertelung benhaltet dann de Informaton bezüglch der Wahrschenlchket ener bestmmten Verlusthöhe. De volle Smulaton der Verlustvertelung nach Methode A als auch der sem-analytsche Ansatz gemäss Methode B führt be realen ortfolos n aller Regel zu ener wesentlch genaueren Bestmmung des Credt Value at Rsk als de parametrschen Ansätze. 5.3 Credt Value at Rsk und Rsk Captal Bespel 5. zegt den Credt VaR auf verschedenen Konfdenznveaus. De Korrelaton zwschen den dre Sektoren des Bespelportfolos st we be der Berechnung des n Bespel 4. konstant Bespel 5. Credt Value at Rsk (Mehrfaktormodell) Smulaton Sem-Analytsch Lognormal Gamma Credt VaR 99.00% Credt VaR 99.50% Credt VaR 99.90% Credt VaR 99.97% Aus Scht des Rskomanagements snd vor allem de erzentle ab 99.9% zentral. Bespel 5. zegt, dass de parametrschen Vertelungen auf höheren Konfdenznveaus sgnfkant von den smulerten Ergebnssen abwechen. Ihr Ensatz st somt nur dort snnvoll, wo sch ene Bank mt enem relatv tefen Konfdenznveau begnügt. De Dfferenz zwschen dem Credt VaR und dem Expected Loss stellt das ökonomsch notwendge Rskokaptal dar, mt dem das ortfolo zu unterlegen st: RskCaptal CredtVaR EL (5.10) De erwarteten Verluste (EL) sollten n den Kredtkondtonen enthalten sen, um entsprechende Verluste über das Nettoznsenkommen auffangen zu können. RISK CONSTING GROU 49

50 Um en angemessenes Rskokaptal zu haben, sollte ene Bank en Konfdenznveau wählen, das mt hrem angestrebten Kredtratng überenstmmt. 36 Des st deshalb so, wel en bestmmtes Ratng wederum Ausdruck der Ausfallwahrschenlchket ener Bank st. Tab. 5.1 Konfdenznveaus für den Credt Value at Rsk Angestrebtes Ratng D Konfdenznveau AAA 0.00% 99.98% AA 0.01% 99.97% A 0.04% 99.96% BBB 0.7% 99.73% De aufgeführten D-Werte von Standard & oor's entsprechen denjengen n Tabelle 3.1. Wenn ene Bank bespelswese en Ratng A anstrebt, sollte hr Rsk Captal gemäss Tabelle 5.1 n 99.96% der Fälle genügen, um Verluste aus Kredtrsken aufzufangen. De Wahrschenlchket enes Konkurses der Bank beträgt dann ledglch noch 0.04% entsprechend der Wahrschenlchket, dass en Verlust höher st als der Credt VaR. Im Fall enes angestrebten Ratngs von AAA und AA lässt sch das notwendge Konfdenznveau aufgrund der sehr tefen Ausfallwahrschenlchket nur ungefähr angeben. De Wahl des Konfdenznveaus st ene der wchtgsten Entschedungen des Kredtrskomanagements. Ene vom Basler Komtee durchgeführte Befragung be Banken hat Konfdenzbereche von % ergeben, wobe sch de Mehrhet der Insttute n der Mtte (d.h %) trfft. 37 Dem IRB-Ansatz n Basel II legt mplzt en Konfdenznveau von 99.90% zugrunde Inkrementelle Rskobeträge De aktve Steuerung des Kredtportfolos und ene rskoorenterte resgestaltung st nur möglch, wenn ene Bank wess, welche Transaktonen oder ortfolosegmente enen we grossen Betrag zum gesamten Rsko lesten. 39 In Credt Analyzer wrd der deshalb nach Wrtschaftssektoren und Ratngklassen aufgeschlüsselt. De Rsk Contrbuton RC enes ortfolosegments kann mathematsch als dessen Betrag an den Unexpected Loss des ortfolos beschreben werden (sehe Anhang 5): RC syst j jsyst Sector j k kunsyst (5.11) Ong, M.: Internal Credt Rsk Models, 1999, S. 168f. Basel Commttee on Bankng Supervson: Credt Rsk Modellng Current ractces and Applcatons, Basel Basel Commttee on Bankng Supervson: Internatonal Convergence of Captal Measurement and Captal Standards, June 004, S. 7 und S. 8. Ene sehr gute Überscht über de verschedenen Methoden, Rskobeträge zu bestmmen, betet Koyluoglu, H. / Stoker, J.: Honour your contrbuton, n: Rsk, Aprl 00, S Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 50

51 Aus dem rechten Term von Glechung (5.11) geht hervor, dass der Rskobetrag des Segments um so höher st, je grösser dessen Unexpected Loss und je höher de Sektorkorrelaton j mt den andern ortfolosegmenten st. De Summe der Rskobeträge aller n ortfolosegmente aggregert sch zum Unexpected Loss des gesamten ortfolos, oder n RC 1 (5.1) De Analyse der enzelnen Rskobeträge gbt somt an, we vel de verschedenen Branchen und Rskoklassen unter Berückschtgung der Ausfallkorrelatonen zum Unexpected Loss des ortfolos besteuern. Bespel 5.3 zegt de Rskobeträge der dre ortfolosegmente zum gesamten Unexpected Loss. Bespel 5.3 Berechnung Rsk Contrbuton A B C ortfolo Rsk Contrbuton (Enfaktormodell) Rsk Contrbuton (Mehrfaktormodell) Für das ortfolomanagement st es wchtg zu wssen, we hoch de Rskobeträge enzelner Segmente m Verhältns zu hrem Exposure (CE) snd. Tabelle 5. zegt, dass das Segment C 86.% zum gesamten Unexpected Loss besteuert, aber nur 78.1% Exposure brngt. Es st klar, dass Massnahmen der Rskosteuerung nsbesondere n desem Segment anzusetzen haben. Tab. 5. Unexpected Loss (Mehrfaktormodell) vs. Exposures In Credt Analyzer kann das ortfolorsko nach verschedenen Dmensonen aufgeschlüsselt werden, so z.b. nach dem Exposure, Expected Loss, Unexpected Loss, systematsch und unsystematsch. De Kenntns der Rskobeträge st für das Kredtportfolomanagement von entschedender Bedeutung. Tabelle 5.3 zegt en ortfolo, das n engen Branchen (Bau, Gastgewerbe, Immoblen) ene deutlche Rskokonzentraton aufwest. Dese Informaton erlaubt es dem ortfolomanager, RISK CONSTING GROU 51

52 Massnahmen für ene bessere Dversfkaton enzuleten. So kann sch ene Bank bespelswese dafür entscheden, n bestmmten Branchen neue Kredte nur noch ab ener bestmmten Rskoklasse zu vergeben oder hr Exposure zu lmteren. Tab. 5.3 Rskobeträge nach Branchen und Ratngklassen Unexpected Loss dversfed Ratng Industry Gesamtergebns Banken / Verscherungen 0.5% 0.9% 1.4% 1.7% 1.9% 0.6% 6.9% Bauwrtschaft 0.1% 0.3% 0.7%.1% 3.6% 6.4% 13.1% Bekledungsndustre / Textlndustre 0.0% 0.0% 0.1% 0.3% 0.% 0.9% 1.5% Cheme 0.0% 0.0% 0.0% 0.1% 0.1% 0.0% 0.3% Elektrotechnk, Fenmechank, Optk, Uhren und Bjoutere 0.0% 0.1% 0.4% 0.7% 1.4% 1.5% 4.% EW, Gas, Wasser und Umwelt 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% Gastgewerbe 0.1% 0.5% 0.7%.7%.7% 7.3% 14.0% Gesundhetswesen / übrge Denstlestungen 0.1% 0.3% 0.7% 1.5%.% 4.6% 9.4% Handel 0.% 0.7% 0.5% 0.8% 1.5% 1.3% 4.9% Holz, Möbel und übrges Gewerbe 0.0% 0.1% 0.3% 0.9% 1.4% 3.3% 6.1% Immoblen 0.1% 0.% 0.5% 1.5%.4% 5.7% 10.4% Kunststoff, Kautschuk und Leder 0.0% 0.0% 0.1% 0.% 0.3% 0.5% 1.1% Land- und Forstwrtschaft 0.0% 0.1% 0.1% 0.% 0.5% 1.1%.0% Maschnen, Apparate, Fahrzeuge 0.3% 0.3% 0.7% 1.0% 1.0% 3.4% 6.7% Metallndustre 0.0% 0.1% 0.3% 1.0% 1.3%.3% 5.0% Nahrungs- und Genussmttel 0.0% 0.1% 0.1% 0.5% 0.8% 1.3%.8% aperndustre / Graphk und Druck 0.0% 0.1% 0.% 0.5%.%.9% 5.9% Stene, Erden, Bergbau 0.1% 0.% 0.% 0.4% 1.0% 1.% 3.1% Verkehr und Kommunkaton 0.% 0.% 0.5% 0.7% 0.6% 0.6%.7% Gesamtergebns 1.7% 4.0% 7.7% 16.6% 5.1% 44.9% 100.0% 5.5 Margnale Rskobeträge Be Kredterhöhungen oder Neugeschäften stellt sch de Frage, um we vel en neues Geschäft das ortfolorsko erhöht. Theoretsch entsprcht deser margnale Rskobetrag der Dfferenz zwschen dem Rskokaptal des ortfolos nklusve und demjengen ohne den entsprechenden Kredt. Da es sch n der raxs höchstens be enem grossen Neugeschäft lohnt, das ortfolorsko vollständg neu zu berechnen, st n Credt Analyzer ene analytsche Lösung mplementert. Das Rsk Captal hängt gemäss Abbldung 1.3 von der (smulerten) Verlustvertelung sowe dem Konfdenznveau ab und st en Velfaches des, d.h. RskCaptal CM (5.13) wobe CM der Captal Multpler st, der we folgt defnert wrd: CM CredtVaR EL (5.14) RskCaptal In der raxs nteressert ncht nur das Rskokaptal auf ortfoloebene, sondern auch der margnale Rskobetrag MRC m enes neuen Kredtexposures m. Dazu berechnet Credt Analyzer zunächst, um we vel der Unexpected Loss des ortfolos stegt, wenn desem en zusätzlches Exposure hnzugefügt wrd (vgl. Anhang 6). Das margnale Rsk Captal, mt dem de neue Transakton ökonomsch zu unterlegen st, entsprcht dann dem rodukt aus -Veränderung und Captal Multpler: Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 5

53 MRC m CM (5.15) neu alt Dank der n Anhang 6 dargestellten analytschen Berechnung des margnalen Rskokaptals st es ncht notwendg, mt Credt Analyzer je ene Berechnung für das alte und das neue ortfolo durchzuführen. Es st deshalb möglch, desen Modelltel herauszulösen und dezentral n rcngtools oder RAM-Systemen (Rsk-adjusted erformance Measurement) enzubauen (sehe Kaptel 6). In (5.15) wrd der Captal Multpler als konstant angenommen. Wenn der Credt VaR neu berechnet wrd, verändert sch gemäss (5.14) aber auch der Captal Multpler. Theoretsch kann sch deshalb mt jedem neuen Geschäft ene lechte Verschebung m Captal Multpler ergeben. Da sch de ortfolozusammensetzung kurzfrstg aber mestens nur gerngfügg verändert, überwegt der praktsche Nutzen ener analytschen Lösung be wetem. 5.6 Konzentratonsndkator In Credt Analyzer lässt sch für ene neue Transakton berechnen, ob dese de Dversfkatonsqualtät des ortfolos verbessert oder verschlechtert. Des st für en aktves ortfolomanagement ene sehr nützlche Informaton, de nsbesondere be grösseren Kredten und bestehenden Rskokonzentratonen m ortfolo zu qualtatv besseren Entschedungen führt. Der Konzentratonsndkator CI verglecht den Dversfkatonseffekt ener neuen Transakton m mt demjengen des bestehenden ortfolos 40 : CI m m m margnal 1 (5.16) Der margnale der Transakton m ergbt sch gemäss Glechung 5.15 aus der Dfferenz zwschen dem Unexpected Loss des neuen und bestehenden ortfolos. Der ncht dversfzerte (stand-alone) m kann mt Formel (4.3) berechnet werden. De Summe aller entsprcht dem Unexpected Loss des ortfolos vor Berückschtgung aller Dversfkatonseffekte. En postver Wert des Konzentratonsndex sgnalsert, dass de Transakton zu ener Erhöhung der Rskokonzentraton führt und damt de Dversfkatonsqualtät des ortfolos verschlechtert (und umgekehrt). Dese Angabe erlaubt selbst dann ene rskoorenterte Steuerung des ortfolos, wenn de Bank noch kenen umfassenden RAROC-Ansatz mplementert hat. Deser bezeht zusätzlch de Rentabltätsebene mt en und st m folgenden Kaptel beschreben. 40 Sehe Koyluoglu, H.U. / Banga, A. / Garsde, Th.: Devl n the parameters, n: Rsk (Credt Rsk Specal Report), March 000, S RISK CONSTING GROU 53

54 6. Aktves Kredtportfolomanagement Ener der wchtgsten Trends m Kredtgeschäft st de Abkehr vom renen "Buy-and-Hold"-Ansatz, be dem sch en Kredtportfolo mehr oder wenger zufällg zusammensetzt, Rskokonzentratonen weder gemanagt werden noch n de resgestaltung enflessen und de Kredte bs zur Rückzahlung m ortfolo bleben. En umfassendes ortfolomanagement würde voraussetzen, dass sch Kredtrsken mt Kredtdervaten oder anderen Instrumenten auf Drttparteen transfereren lassen. Dese Instrumente und Märkte snd m klassschen Kredtgeschäft häufg noch weng entwckelt oder überhaupt ncht verfügbar. 41 In desem Kaptel zegen wr deshalb dre Ansätze, mt denen sch das Kredtportfolo auch stark optmeren lässt, ohne dass ene Bank auf Kredtdervate zurückgrefen muss: En Rsk-adjusted erformance Measurement (RAM), das de Deckungsbeträge bzw. den Economc roft nach Kunden und Kredten aufschlüsselt En RAROC-rcngtool, das zu enem besseren Rsko-Rendte-Verhältns und glechzetg zu ener optmalen ortfolostruktur führt En Credt ortfolo Cockpt, über das der ortfolomanager de Akquston anhand von Lmten und Rskokennzahlen steuern kann Alle dre Instrumente setzen voraus, dass das Rskokaptal bekannt st, das en ortfolosegment oder ene Transakton beansprucht. 6.1 Rsk-adjusted erformance Measurement (RAM) De mesten Banken verfügen über en ROE-Zel (Return on Equty). De regulatorschen Egenmttelvorschrften dfferenzeren jedoch zumndest m Standardansatz von Basel II nach we vor zuweng nach dem engegangen Rsko und berückschtgen Korrelatonseffekte m Kredtportfolo überhaupt ncht. Wenn aber ncht danach unterscheden wrd, mt welchem Rsko ene bestmmte Rendte erwrtschaftet wrd, lassen sch de Geschäfte unterenander überhaupt ncht mehr verglechen. Um de gesetzten ROE-Zele zu errechen, besteht n enem solchen Anrezsystem dann de Tendenz, rskoreche Transaktonen mt hoher, aber m Verglech zum engegangenen Rsko ungenügender Rentabltät abzuschlessen. 4 Immer mehr Banken gehen deshalb zu ener erformancemessung über, de m Allgemenen mt dem Begrff Rsk-adjusted erformance Measurement oder RAM umschreben wrd. Es snd nsbesondere zwe Herausforderungen, de zu deser Entwcklung betragen 43 : de Forderung von Aktonären nach ener verbesserten erformance des engesetzten Kaptals, nsbesondere de Maxmerung des Shareholder Value de Notwendgket, de Lestung verschedener Geschäftsenheten ener Bank mt enem verglechbaren Massstab zu beurtelen, nsbesondere wenn Egenkaptal teuer und knapp st Für ene umfassende Darstellung sehe Westerfeld, S.: Kredtportfolomanagement m Wandel, Bern 004. Für ene vertefte Behandlung des RAM sehe Arnold, R. / Meer, Ch.: Messung der erformance m Kredtgeschäft, n: Der Schwezer Treuhänder, 1-/000, S Saunders, A.: Credt Rsk Measurement, S. 151, Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 54

55 Rsko und Rendte lassen sch m Snne der modernen ortfolotheore zu ener Rentabltätskennzahl zusammenführen, wenn n der ROE-Formel Zähler und Nenner rskoberengt erschenen. Des st auch de Methode, mt der n Credt Analyzer der sogenannte RAROC (Rskadjusted Return on Captal) ener Kredttransakton ausgewesen wrd. 44 Erlöse Fnanzerungskosten Betrebskosten EL RAROC (6.1) Rsk Captal Im Zähler von Glechung (6.1) erschent der rskoberengte Ertrag des Kredts über enen Enjahreshorzont. 45 Als Erlös snd neben dem Zns- und Kommssonsertrag auch de auf en Jahr umgerechneten (annualserten) sonstgen Erträge we Beretstellungskommssonen oder Bearbetungsgebühren enzusetzen. Davon snd de Fnanzerungskosten und Betrebskosten abzuzehen. Je höher das ökonomsch notwendge Kaptal (Rsk Captal) st, mt dem ene Transakton zu unterlegen st, desto klener wrd der Antel der Fremdfnanzerung. Fnanzerungskosten fallen darum nur auf der Dfferenz (CE - Rsk Captal) an, de effektv fremd zu refnanzeren st. Der mt dem Kredt verbundene Expected Loss st ene normale (Standard-)Kostenkomponente und somt vom Erlös abzuzehen. De regulatorschen Egenmttelvorschrften berückschtgen de Dversfkatonsqualtät des ortfolos nach we vor zu weng und snd deshalb für de erformance-messung weng geegnet. In den Nenner der Glechung (6.1) flesst n Credt Analyzer deshalb ncht das regulatorsche, sondern das Rskokaptal en. Das Rskokaptal basert auf der Berechnung der nkrementellen oder margnalen Rskobeträge gemäss Abschntt 5.4 und 5.5, wobe dre Fälle unterscheden werden: Bestehende Kredte an bestehende Kunden Neue Kredte an bestehende Kunden Neue Kredte an neue Kunden Tabelle 6.1 zegt de Berechnung des RAROC für den drtten Fall, und zwar wederum für das Bespelportfolo mt dre Sektoren. Es wrd angenommen, dass en Antrag für enen neuen Kredt von 10 vorlegt und dem Kunden n allen Fällen en Znssatz von 5% offerert wrd. De Refnanzerungskosten betragen 3.5% und de Betrebskosten snd mt 0.5% budgetert. Sektor A st bekanntlch dasjenge ortfolosegment mt der besten Dversfkaton. Falls der Kunde zu desem Sektor gehört, muss de Bank deshalb wesentlch wenger zusätzlches Rskokaptal beretstellen als wenn der Kunde en Vertreter von Sektor C st. Entsprechend gestaltet sch de rsko-adjusterte erformance (RAROC) je nach Sektorzugehörgket des neuen Kunden ganz unterschedlch Als praxsbezogene Enführung n de Thematk sehe Schröck, G.: Rsko- und Wertmanagement n Banken - Der Ensatz rskoberengter Rentabltätskennzahlen, De Berechnung erfolgt "vor Steuern"; das RAROC-Modell kann jedoch auf "nach Steuern" angepasst werden. RISK CONSTING GROU 55

56 Tab. 6.1 erformancemessung mt RAROC Sektor Exposure D LGD Erlös Fnanze- Betrebs- Rsk n CHF rung kosten Captal RAROC A % 50% % B % 50% % C % 50% % Auch unter Basel II blebt de Dversfkatonsqualtät des ortfolos nach Sektoren oder Kredtbeträgen weterhn unberückschtgt, so dass für enen neuen Kredt n allen dre Sektoren genau das gleche Rskokaptal (d.h. regulatorsche Egenmttel) beretzustellen st. Obwohl en neuer Kredt je nach Sektorzugehörgket unterschedlch vel zusätzlches Rskokaptal bndet, wrd en neuer Kredt n der "klassschen" ROE-erspektve als glech rentabel angesehen, wel undfferenzert von der glechen Egenmttelunterlegung ausgegangen wrd. Dagegen bezeht der RAROC-Ansatz de unterschedlchen Rsken ener Transakton rchtgerwese n de erformancemessung en und macht dese erst verglechbar. Das berets bestehende Übergewcht n Sektor C verschärft sch mt enem neuen Kredt zusätzlch und bndet fast 0% mehr Rskokaptal als en weterer Kredt n Sektor A. Um de gleche ökonomsche Rendte we bem Kredt n Sektor A zu errechen und das Klumpenrsko n Sektor C abzugelten, müsste de Bank somt enen wesentlch höheren Znssatz verlangen. 6. RAROC-rcngtool Ist der RAROC bekannt, kann er mt ener von der Bank festgelegten Hurdle Rate verglchen werden. Dese legt de erwartete erformance von Kredtgeschäften fest und sollte de Egenkaptalkosten der Bank bzw. de Opportuntätskosten der Egentümer wderspegeln. In desem Snne st de Hurdle Rate als Return on Equty (ROE) zu verstehen, de so hoch sen muss, dass de Egentümer ene adäquate Rendte auf hrem nvesterten Egenkaptal erhalten. De von den Egentümern erwartete Rendte kann unter anderem über das Captal Asset rcng Model (CAM) bestmmt werden. 46 Ene Transakton st aus ökonomscher Scht für de Bank dann rentabel, wenn RAROC HurdleRate (6.) st und de Egenkaptalgeber für das engegangene Rsko somt angemessen entschädgt werden. Kredte, welche de Dversfkaton verschlechtern, erhöhen das notwendge Rskokaptal des ortfolos überproportonal und wesen konsequenterwese ene tefere Rendte aus als andere Geschäfte. Wrd das gesetzte Rentabltätszel (Hurdle Rate) ncht errecht, snd vom Kunden en höherer Znssatz oder zusätzlche Scherheten zu verlangen, oder aber es st auf das Ge- 46 Danach entsprcht de Hurdle Rate enem rskofreen Znssatz plus ener Marktrskopräme, de mt enem Beta-Faktor zu multplzeren st, der das systematsche Rsko der Bank ausdrückt: Hurdle Rate = + x (Erwartete Rendte Marktportfolo - ) Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 56

57 schäft zu verzchten. Der zur Errechung der Hurdle Rate notwendge Znssatz wrd von Credt Analyzer ausgewesen. Der RAROC-Ansatz fördert damt n dealer Wese de Steuerung des ortfolos hn zu ener optmalen Dversfkaton. De Berechnung des RAROC setzt aber n jedem Fall de Modellerung des Rskos auf ortfoloebene voraus. Nur wenn de erwarteten Rskokosten be der Bontätsprüfung konzeptonell rchtg ermttelt und das Rskokaptal enes Kredts bekannt st, kann entscheden werden, ob deser aus ortfoloscht tatsächlch rentabel st. Das RAROC-rcngtool bestmmt aus der Rskoklasse, Verlustquote und Sektorzugehörgket des Schuldners den Expected Loss und das Rskokaptal ener Transakton. Das Tool benötgt zur Berechnung von Formel (6.1) zusätzlch de Engabe von Erlös- und Kostenkomponenten. De Implementerung enes konsequenten RAROC-rcng auf Transaktonsstufe setzt deshalb voraus, dass das Managementnformatonssystem (MIS) der Bank dese Daten beretstellen kann. Der n Credt Analyzer mplementerte RAROC-Ansatz steht n Enklang mt enem wertorenterten Bankmanagement. 47 Vor dem Hntergrund des Shareholder-Value-Gedankens stellt sch für mmer mehr Banken de Frage, ob se für hre Egentümer aus ökonomscher Scht enen Mehrwert schaffen. En solcher Mehrwert oder Economc roft 48 wrd dann erzelt, wenn der Zähler der RAROC-Formel n (5.1), d.h. der rskoadjusterte Return (RAR), grösser st als de Egenkaptalkosten (Opportuntätskosten): Economc roft RAR Egenkaptalkosten (6.3) oder äquvalent Economc roft ( RAROC HurdleRate ) RskCaptal (6.4) 6.3 Credt ortfolo Cockpt Über das Credt ortfolo Cockpt können Kredtsachbearbeter und Entschedungsträger auf de Resultate von Credt Analyzer zugrefen, um so das Rsko und de Rendte bestehender und neuer Transaktonen m ortfolozusammenhang zu beurtelen. Das Credt ortfolo Cockpt st ene grafsche Benutzerschnttstelle (GUI), de dem Kundenbetreuer zur Laufzet entschedungsrelevante Informatonen aus ortfoloscht präsentert. Das Modul st unabhängg vom egentlchen Rechenkern von Credt Analyzer, greft aber auf Vorkalkulatonen zurück, de n ener zentralen Datenbank abgelegt snd. Gemäss Abbldung 6.1 lefert das Credt ortfolo Cockpt dverse Rskokennzahlen, so u.a. den RAROC gemäss aktuellen Kondtonen sowe den Sollznssatz der notwendg st, damt ene Transakton de von der Bank festgelegte Hurdle Rate (her 15%) errecht. Der zentrale ortfolomanager hat de Möglchket, für dese Kennzahlen Benchmarks zu setzen, welche de ausgewesenen Rsko- und Rendtemasse n enem Ampelsystem (grün, gelb, rot) postoneren Vgl. dazu ausführlch Copeland, T. / Koller, T. / Murrn, J.: Valuaton - Measurng and Managng the Value of Companes, Enen guten Überblck betet auch Smthson, Ch.: Allocatng and optmsng captal, n: Rsk, June 001, S. 78ff. Deser wrd n der Lteratur häufg auch als Economc Value Added bezechnet. RISK CONSTING GROU 57

58 Abb. 6.1 Credt ortfolo Cockpt (Bespel) Credt Analyzer - Technsche Dokumentaton 58

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