Teilaufgabe 1.1 (5 BE) Untersuchen Sie mithilfe einer Vierfeldertafel, ob die Ereignisse F und S stochastisch unabhängig sind. "F"

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Eike Raske
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1 Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2011 Mathemati 12 Nichttechni - S I - Lösung Teilaufgabe 1.0 Die Eisdiele BAVARIA bietet unterschiedliche Eisbecher an. Aus langjähriger Erfahrung weiß der Eigentümer, dass 60% der Gäste einen Eisbecher mit Fruchteis (F) bestellen. Zudem ist beannt, dass 70% aller Eisbecher mit Sahne (S) bestellt werden. 10% der Eisbecher werden ohne Fruchteis und ohne Sahne bestellt. Teilaufgabe 1.1 (5 BE) Untersuchen Sie mithilfe einer Vierfeldertafel, ob die Ereignisse F und S stochastisch unabhängig sind. Gegeben: F = nf S = ns Ergänzt: "S" "ns" "F" 0.6 "nf" 0.7 "S" "ns" "F" "nf" P F 0.6 P S 0.7 P F P S 2 P F P S P F S P F S stochastisch abhängig Teilaufgabe 1.2 (3 BE) Beschreiben Sie das Gegenereignis von F S möglichst einfach mit Worten und geben Sie seine Wahrscheinlicheit an. Gegenereignis von F S = nf S nach De-Morgan: F ns Der Gast bestellt Fruchteis ohne Sahne Wahrscheinlicheit: P F ns = 0.2 Teilaufgabe 2.0 Die Eisdiele BAVARIA unterhält im Sommer einen Eisstand an einem Badesee. Jeweils 25% der Kunden aufen dort 1, 2, 3 oder 4 Kugeln Eis (es werden maximal 4 Kugeln pro Bestellung verauft). Die Kugeln werden normalerweise in der Waffel (w) ausgegeben. Beim Kauf von 3 oder 4 Kugeln ann der Kunde auch einen Becher (b) wählen, was jeweils jeder zweite dieser Kunden wünscht. Außerdem önnen Käufer von 3 oder 4 Kugeln das Eis mit sahne (s) oder ohne Sahne bestellen. Unabhängig davon, ob das Eis im Becher oder in der Waffel verauft wird, wählen 60% der Kunden, die 3 Kuglen bestellen, auch Sahne, bei den Kunden mit 4 Kuglen sind dies nur 40%. Das Zufallsexperiment besteht in der Feststellung, wie vile Kuglen Eis ein beliebig ausgewählter Kunde auft, ob das Eis in der waffel oder im Becher ausgegeben wird und ob Sahne gewünscht wird. Seite 1 von 5

2 Teilaufgabe 2.1 (6 BE) Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms alle 10 Elementarereignisse mit ihren Wahrscheinlicheiten. Teilaufgabe 2.2 (4 BE) Gegeben seien folgende Ereignisse: E 1 : Ein Kunde bestellt mehr als eine Kugel Eis. E 2 : Ein Kunde erhält eine Sahne. E 3 : Ein Kunde erhält das Eis im Becher, aber ohne Sahne. Geben Sie die Ereignisse E 3 und E 4 = E 1 E 2 in aufzählender Mengenschreibweise an und bestimmen Sie ihre Wahrscheinlicheiten. E 3 = { 3bs 4bs } P E P E3 25 E 1 = Ω \ { 1ws } E 2 = { 1ws 2ws 3ws 3bs 4ws 4bs } E 4 = E 1 E 2 E 4 = { 2ws 3ws 3bs 4ws 4bs } P E P E4 0.5 Seite 2 von 5

3 Teilaufgabe 2.3 (5 BE) Eine Kugel Eis und eine Portion Sahne osten jeweils 1,00. Die Zufallsgröße X gibt den Preis einer Bestellung an. Geben Sie die Wahrscheinlicheitsverteilung von X an und stellen Sie sie geeignet graphisch dar. W(X) X Berechnen Sie bei den folgenden Aufgaben die Wahrscheinlicheiten auf vier Nachommastellen. Teilaufgabe 3.0 Bei einem Wandertag ommt eine Klasse mit 25 Schülerinnen und Schülern an einem Eisstand vorbei. Der Lehrer auft jedem Schüler eine Kugel Eis. Erfahrungsgemäß sind 40% aller verauften Kugeln Schooladeneisugeln. Teilaufgabe 3.1 (5 BE) Ermitteln Sie die Wahrscheinlicheit, dass die Anzahl der Schooladeneisugeln, die der Lehrer für seine Klasse bezahlt, innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt. Bernoulli-Experiment: Schoolade oder Nichtschoolade n 25 p μ np μ 10 σ np ( 1 p) σ 2.45 obere Grenze: μ σ untere Grenze: μ σ 7.55 P σ = P( μ σ X μ σ) = P( 7.55 X 12.45) = P( 8 X 12) = F( 12) F7 ( ) Schlüsselwort für die umulative Binomialverteilung: F ( ) = pbinom( n p) F ( ) pbinom( 25 ) F12 ( ) F7 ( ) 5355 P σ F12 ( ) F7 ( ) Seite 3 von 5

4 Teilaufgabe 3.2 (3 BE) Nachdem die ersten 14 Schüler ihr Eis erhalten haben, mert der Eisveräufer, dass das Schooladeneis nur noch für zwei Kugeln reicht. Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit, dass alle weiteren Bestellungen erfüllt werden önnen, wenn von den restlichen Eissorten noch genügend vorhanden sind. Anzahl der verbleibenden Schüler: n n 2 11 Neue Binomialverteilung (nicht im Tafelwer): W ( ) dbinom( 11 ) W0 ( ) W1 ( ) W2 ( ) P 2 W0 ( ) W1 ( ) W2 ( ) P Teilaufgabe Der Eisveräufer vermutet, dass der Anteil der verauften Schoo-Eisugeln höher als sonst liegt (Gegenhypothese) und will diese Vermutung anhand von 200 Bestellungen von jeweils einer Kugel Eis überprüfen. Teilaufgabe (6 BE) Geben Sie die Testgröße sowie die Nullhypothese an und ermitteln Sie den maximalen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem 10%-Niveau. Teilaufgabe (3 BE) Erläutern Sie, worin im vorliegenden Fall der Fehler 2. Art besteht. wie muss sich der minimale Annahmebereich von H 0 ändern, wenn das Signifianzniveau abgesent wird? Stichprobenumfang: N 200 Wahrscheinlicheit der Nullhypothese: p Nullhypothese H 0 : p Gegenhypothese H 1 : p Signifianzniveau: α S 10% Lösung mit Tafelwer: 1 P A P A 0.9 F ( ) 0.9 Kumulative Binomialverteilung: Tafelwer F ( ) = i 0 B( 200 i) F ( ) = 89 Annahmebereich: A = { } Ablehnungsbereich: A = { 90; 91;... ; 200 } Seite 4 von 5

5 Lösung mit Mathcad: Annahmebereich: qbinom 1 α S N p 89 In Mathcad definierte Funtion: Fx ( ) pbinom( x N p) Darstellung B(N, p, ) Achtung: rechter Teil N>120 abgeschnitten Seite 5 von 5

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