Schriftliche Abschlußprüfung Mathematik

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1 Sächsisches Staatsministerium für Kultus Schuljahr 1996/97 Geltungsbereich: für Klassen 10 an - Mittelschulen - Förderschulen - Abendmittelschulen Schriftliche Abschlußprüfung Mathematik Realschulabschluß Allgemeine Arbeitshinweise Die schriftliche Abschlußprüfung besteht aus 2 Teilen: Teil I - Plichtaufgaben Teil II - Wahlaufgaben Vor der planmäßigen Arbeitszeit stehen Ihnen 15 Minuten zum Vertrautmachen mit den Aufgaben zur Verfügung. Die Arbeitszeit zur Lösung aller Aufgaben beträgt 240 Minuten. Für die Prüfungsarbeit können 40 Bewertungseinheiten erreicht werden. Davon werden 33 Bewertungseinheiten für den Pflichtteil und 7 Bewertungseinheiten für den Wahlteil vergeben. Es ist eine Wahlaufgabe zu bearbeiten. Wird mehr als eine Wahlaufgabe völlig richtig gelöst, so wird eine Bewertungseinheit zusätzlich erteilt. Eine weitere Bewertungseinheit kann zusätzlich erteilt werden, wenn die Form mathematisch und äußerlich einwandfrei ist. Bei mehreren wesentlichen Verstößen gegen die Kriterien einer mathematisch einwandfreien Form wird eine Bewertungseinheit abgezogen. Erfolgen außerdem wesentliche Verstöße gegen die äußere Form, so wird eine weitere Bewertungseinheit abgezogen. Geometrische Konstruktionen und Zeichnungen sind auf unliniertem Papier auszuführen. Graphen von Funktionen sind in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (Einheit 1 cm) auf Millimeterpapier darzustellen. Die Lösungsdarstellung muß einen erkennbaren Weg aufzeigen. Das Ergebnis ist hervorzuheben. Sie dürfen folgende Hilfsmittel verwenden: - Tabellen- und Formelsammlung ohne ausführliche Musterbeispiele sowie ohne Wissensspeicheranhang - nicht programmierbarer Taschenrechner - Zeichengeräte und Kurvenschablonen - Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung Teil I - Pflichtaufgaben Sign. 8/1/1 1997

2 Aufgabe 1 Herr Broschwitz kauft sich ein neues Auto zum Komplettpreis von DM. Er verwendet dazu aus seinen Ersparnissen DM. Das Autohaus nimmt seinen Altwagen für DM in Zahlung. Den fehlenden Betrag finanziert er mit einem Kredit der Bank des Autohauses. In jedem Jahr sind 3,9 % des aufgenommenen Kredits an Zinsen zu zahlen. Den Kredit und die Zinsen für die gesamte Laufzeit von 36 Monaten zahlt Herr Broschwitz in gleichen Monatsraten ab. a) Geben Sie die Höhe des Kredits an. b) Berechnen Sie die Zinsen für die gesamte Laufzeit. c) Berechnen Sie die monatlich zu zahlende Rate. Aufgabe 2 Zu den wichtigsten Vorhaben des Chemnitzer Verkehrskonzeptes gehört der Neubau einer Straßenbahntrasse vom Zentrum in das größte Wohngebiet der Stadt. Bei der Planung werden die Maße der bisher bestehenden Strecken-führung benutzt. Berechnen Sie die Länge der neuen Straßenbahntrasse, die vereinfacht als geradlinig angenommen wird. Sign. 8/1/2 1997

3 Aufgabe 3 Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung y = f(x) = x 2 + 4x + 1. a) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f mindestens im Intervall 5 1 in ein Koordinatensystem. b) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. c) Zeichnen Sie in dasselbe Koordinatensystem den Graph einer weiteren Funktion g mit y = g(x) = 2x. d) Untersuchen Sie durch Rechnung, ob beide Graphen einen gemeinsamen Punkt besitzen. Aufgabe 4 Bei einer Umfrage werden 40 von 620 Schülern verschiedener Klassenstufen einer Sportschule befragt, wieviel Sportarten sie betreiben. Die Umfrage ergab folgende Urliste: a) Fertigen Sie zu der Urliste eine Häufigkeitstabelle mit den absoluten und relativen Häufigkeiten an. b) Stellen Sie die relativen Häufigkeiten der jeweiligen Anzahl in einem Diagramm dar. c) Berechnen Sie das arithmetische Mittel für die Anzahl der Sportarten der befragten Schüler. d) Ermitteln Sie mit Hilfe des Umfrageergebnisses, wieviel der 620 Schüler vermutlich mehr als zwei Sportarten betreiben. Sign. 8/1/3 1997

4 Aufgabe 5 Gegeben ist eine gerade quadratische Pyramide mit der Grundkantenlänge a = 6 cm und der Körperhöhe h = 7 cm. a) Stellen Sie die Pyramide im Schrägbild dar. b) Von der gegebenen Pyramide werden unabhängig voneinander folgende Größen verändert: (1) die Körperhöhe wird verdoppelt, (2) die Grundkantenlänge wird verdoppelt, (3) sowohl die Grundkantenlänge als auch die Körperhöhe werden halbiert. In welchem Verhältnis steht jeweils das Volumen der Pyramide (1), (2) bzw. (3) zum Volumen der gegebenen Pyramide? c) Geben Sie Grundkantenlänge und Körperhöhe einer Pyramide (4) an, deren Volumen das 16fache des Volumens der gegebenen Pyramide ist. Aufgabe 6 a) Ermitteln Sie den Flächeninhalt der im Quadratraster dargestellten Figur. b) Lösen Sie die Gleichung x : (x 2) = 4 : 3. c) Ermitteln Sie alle Winkel α, für die gilt: sin α = 0,5 (0 α 360 ). Sign. 8/1/4 1997

5 d) Durch den Berührungspunkt B zweier Kreise wurde eine Gerade gezeichnet, die die Kreise in den Punkten C und D schneidet. Begründen Sie, daß die Größen der Winkel ACB und EDB gleich sind. e) Der Oberflächeninhalt eines Würfels beträgt 216 cm 2. Ermitteln Sie seine Kantenlänge. Teil II - Wahlaufgaben Wahlaufgabe 7.1 Der "Tunnel, der Europa verbindet", wurde am 06. Mai 1994 eröffnet. Er führt von Calais im Norden Frankreichs unter dem Ärmelkanal entlang nach Dover im Süden Englands. Der Eurotunnel hat eine Gesamtlänge von 49,2 km. Er besteht aus drei zylinderförmigen Röhren - zwei Röhren mit je 7,80 m Durchmesser für den Zugverkehr und dazwischen eine Versorgungsröhre mit 4,80 m Durchmesser für Wartung, Belüftung und Notevakuierung. Es wird angenommen, daß diese drei Röhren auf der gesamten Tunnellänge geradlinig verlaufen. a) Wieviel Kubikmeter Gestein mußten für diese drei Röhren insgesamt ausgebrochen werden? b) Ein Anteil von 18,0 % dieses Gesteins wurde nicht beräumt und abtransportiert, sondern gleich vor Ort zermahlen und dem Fertigbeton untergemischt. Berechnen Sie diesen Anteil. c) Ein Zug durchfährt die Gesamtlänge des Tunnels in 36 Minuten. Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit in km h. Sign. 8/1/5 1997

6 Wahlaufgabe 7.2 Ein Unternehmen hat für sein neues Produkt eine Verpackung gewählt, bei der im unteren quaderförmigen Teil Süßigkeiten und im oberen prismenförmigen Teil eine Überraschung untergebracht werden. a) Zeichnen Sie ein Zweitafelbild dieser Verpackung ohne Zwischenboden im Maßstab 1 : 2. b) Berechnen Sie den Materialbedarf für eine Verpackung einschließlich des Zwischenbodens, wenn für Klebefalze ein Mehrbedarf von 15 % erforderlich ist. c) Zeigen Sie, daß eine "Überraschungskugel" mit einem Durchmesser von 36 mm im oberen Teil der Verpackung untergebracht werden kann. Sign. 8/1/6 1997

7 Wahlaufgabe 7.3 Ein Fußballfeld hat einen Umfang von 356 m und eine Fläche von m 2. a) Berechnen Sie Länge und Breite des rechteckigen Fußballfeldes. Führen Sie die Probe durch. b) Anläßlich des Aufstieges der 1. Mannschaft in die nächsthöhere Spielklasse beschließt das Präsidium die teilweise Erneuerung des Fußballfeldes mit Rollrasen. Berechnen Sie den Kaufpreis, wenn 9 % der Fläche erneuert werden. Verwenden Sie dazu die folgende Angebotsliste: Fläche Preis je m 2 unter 300 m 2 5,10 DM 300 m 2 bis 599 m 2 4,20 DM 600 m 2 bis 999 m 2 3,50 DM ab m 2 2,90 DM Sign. 8/1/7 1997