ÜBER DIE TAFEL, Das ERSTE UNIVERSALMEDIUM DER MATHEMATIK

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "ÜBER DIE TAFEL, Das ERSTE UNIVERSALMEDIUM DER MATHEMATIK"

Transkript

1 Gloria Meynen ÜBER DIE TAFEL, Das ERSTE UNIVERSALMEDIUM DER MATHEMATIK Die Babylonier kannten sie, die Ägypter nutzten sie. Die Griechen entwickelten sogar aus ihr ein eigenes Wissensgebiet, das mit ebenen Flächen operiert: die Planimetrie. Die Tafel pflastert die Wände von Hörsälen. Sie fühlt sich in fast jedem Mathematikerbüro wohl. Sie ist nicht mehr als ein Fossil. Und dennoch hat sie jeder Verdrängung durch Papier, Kugelschreiber, Folien und Powerpoint standgehalten. Sie ist ein stummer Zeuge einer alten Praxis: Beweisen heißt konstruieren, lückenlos und öffentlich nachvollziehen. Darum finden sich die Spuren der Tafel bis zu Andrew Wiles, der 1993/94 den letzten Satz des Fermat in deduktiver Strenge bewies. Computer verdammte er, selbst Schreibmaschinen blieben außen vor. Seine Sekretärin musste das Manuskript abtippen. Der handschriftliche Beweis war ein ferner Abglanz alter Zeiten: Wiles s proof has essentially the same classical, deductive form that Euclid s geometric theorems did. It does not involve any computation and it claims to be absolutely not probably true, schreibt John Horgan. 1 Desto schwerer musste es den Mathematikern fallen, als Haken und Appel 1976 den Vierfarben- Satz mit Hilfe eines Computerprogramms bewiesen. 2 Damit war der Tafelvortrag entwertet, das Tafelritual an seine Grenzen gestoßen. Denn der Beweis konnte nicht mehr vollständig nachvollzogen werden. Haken und Appel nahmen an, dass die unendliche Anzahl von Karten sich auf wenige Grundtypen reduzieren lässt Karten hatten sie so isoliert. Fig. 1 Erste Erwähnung des Vierfarbenproblems bei Guthries Lehrer Den Rest besorgten drei IBM 360- Computer Stunden rechneten sie. de Morgan (1852). Die Anzahl der Grundtypen musste am Ende noch mehrfach korrigiert werden. Doch schon die erste Fassung dieses 1 2 Horgan, John, The Death of Proof. In: Scientific American. Oktober S. 94. Appel, Kenneth, Haken, Wolfgang, The solution of the Four-Color-Map Problem. In: Scientific American. Oktober S. 108.

2 62 GLORIA MEYNEN Computerbeweises büßte auch nach den Korrekturen nichts von seiner verstörenden Kraft ein. Denn nicht Deduktion sondern reine Rechenkraft gab Francis Guthrie am Ende Recht: Jede Karte, die man auf einem Blatt Papier zeichnen konnte, konnte mit 4 Farben so eingefärbt werden, dass auf ihr kein Teil an eine Fläche mit gleicher Farbe grenzte. Die Universalität des formalen Beweises ersetzten sie durch Vermutungen, die die Rechenroutinen des Computers mit hoher Wahrscheinlichkeit ausstatten. Mathematicians, schreibt John Horgan, may at least be forced to accept what scientists and philosophers already admitted: their assertions are, at best, only provisionally true, true until proved false. 3 Berechenbarkeit zwingt Mathematiker, Probleme, die auf ein Kontinuum zielen, auf eine endliche Anzahl von Fällen zu reduzieren. Das Ergebnis von Haken und Appel war nicht für alle Fälle bewiesen, aber bei allen untersuchten Fällen konnte kein Widerspruch entdeckt werden. Hierin ähnelte ihr Verfahren den ersten Versuchen von Guthrie. Dieser kam eher spielerisch zu seiner Vermutung, indem er zunächst eine Landkarte von England einfärbte. 4 Das Urteil true until proved false wirkt wie eine Vertreibung aus dem Paradies. Computerbeweise machen anfällig. Sie produzieren nicht Wahrheiten, sondern Vermutungen. Sobald Haken und Appel nicht mehr deduktiv schließen, müssen sie sich der Materialität ihrer Verfahren stellen. Welchen Anteil haben die Medien an ihren Gedanken? Inwieweit können sie die untersuchten Fälle verallgemeinern? Läßt sich ein allgemeines Problem tatsächlich herunterrechnen? Und was bedeutet es, wenn Wahrheit und Allgemeingültigkeit berechenbar geworden sind? Diese Fragen treten nicht erst mit den ersten Computerbeweisen auf. Sie werfen ihre Schatten auch auf die Anfänge der Mathematik. Die ersten deduktiven Beweisverfahren erscheinen nunmehr in einem anderen Licht. Auf welchem Grund lässt sich ein System konstruieren, das vollständig von jeder Materialität abstrahieren kann? 1. Ein Medium ist kein Medium Die Grundfesten, die Haken und Appel erschüttern, wurden um -440 von Hippokrates von Chios gelegt. Hippokrates war Kaufmann und nur ein Schiffbruch und ein erzwungener Aufenthalt in Athen machten ihn zum ersten Autor eines mathematischen Lehrbuchs, das penibel zwischen Prinzipien und Folgerungen unterscheidet. Hippokrates führte fast nebenbei die Axiomatik in die Mathematik ein. Zugleich werden ihm auch die ersten Diagramme mit Buch- 3 4 Vgl. Anm. 1, S. 93. Vgl. Abb. 1 aus dem Brief seines Lehrers de Morgan an Hamilton vom 22. Oktober Abgedruckt in: Fritsch, Rudolf, Der Vierfarbensatz. Geschichte, Topologische Grundlagen und Beweise. Mannheim, Leipzig, Wien & Zürich S. 12.

3 ÜBER DIE TAFEL 63 stabenbezeichnungen zugeschrieben. Die Konstruktion des Diagramms spielte beim Beweisen eine entscheidende Rolle: Mit Hippokrates wird das Diagramm zum Denkwerkzeug der Mathematik. Seine beschrifteten Diagramme verdammen Abzählbarkeit und Berechenbarkeit aus der Geometrie. Erst die Verbannung der Zahl stellte die Aussagen der Geometrie auf ein universales Fundament. Doch nicht nur die Zahl verschwand, sondern auch die Medien, die sie hervorbrachten die Tafel und die Rechensteine, mit denen die Pythagoreer mannigfaltige Figuren gelegt und die ersten Gesetze der Reihe formuliert hatten. Zwischen Zahl und Tafel schien ein ursächlicher Zusammenhang zu bestehen. Dieser Zusammenhang zeigte sich nicht nur darin, dass Geometrie und Arithmetik auf der gleichen Oberfläche, der Tafel, stattfanden. Zahl und Tafel verwiesen auch inhaltlich aufeinander. Von den frühesten Anlegungen der Flächen, den Vorläufern der geometrischen Algebra bei den Babyloniern, über Archimedes Sandrechner und al-hwarizmis al-gebr bis zu Descartes Géométrie waren arithmetische und geometrische Techniken eng miteinander verknüpft. Zuweilen waren es sogar die gleichen Verfahren, die den Gegensatz von Abzählbarkeit und Abstraktion konstruieren, um ihn im gleichen Atemzug aufzuweichen. Der vorliegende Text begibt sich zu den Anfängen der deduktiven Geometrie, um zu erfahren, auf welchem Weg die Geometrie ihre Gegenstände und Verfahren von jeder Materialität reinigt. Doch selbst immaterielle Gegenstände haben einen Ort, an dem sie hergestellt werden. Sie brauchen einen Raum, an dem sie störungsfrei agieren können. Wie sähe dieser Ort aus? Dieser Ort wäre staubfrei, so rein, dass er fast unsichtbar wäre. Der Ort, an dem die Geometrie agiert, kennt keine Grenzwerte, doppelte Böden, Belüftungen, Kleiderordnungen, Temperaturgefälle und Staubaufwirbelungen. Doch er besitzt Öffnungen Schleusen, die die Mathematiker und ihre Gegenstände auf ihren Einsatz vorbereiten. Mathematiker tragen selten Mundschutz oder weiße Kittel, aber sie besitzen durchaus sehr wirksame Techniken des Ausschlusses. Daß beispielsweise der Beweis nicht den tatsächlichen Konstruktionsweg protokolliert, sondern vielmehr einer abstrakten Anordnung des Wissens, nämlich der Axiomatik ihrer Gegenstände, folgt, ist ein ungeschriebenes Gesetz. Die griechische Geometrie hat stillschweigend die Menschen aus ihren Gedankengängen evakuiert, und mit ihnen auch jede Materialität und Anwendung entfernt. Der deduktive Beweis entspringt einer aseptischen Umgebung. Die eigentliche Erfindung der griechischen Mathematik, so scheint es, sind nicht Abstraktion und Idealität. Es ist vielmehr eine spezifische Architektur des Ausschlusses: In den Blick geraten so nicht mehr Eigenschaften, die jeder Beschreibung fliehen, sondern der Ort, an dem die Mathematik ihre Aussagen formt. Dieser Ort ist eine Art Reinraum. In seinen Schleusen fallen alle Maße von den Gegenständen ab. Hier kann Euklid Sätze formulieren, die unmittelbar einleuchten: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich. Wenn

4 64 GLORIA MEYNEN Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich. Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich Euklids Axiome zeigen, was übrig bleibt, wenn die Materialität draußen bleibt: Sätze, die in ihrer Allgemeinheit kaum zu überbieten sind. Axiome seien Sätze, die durch sich selbst notwendig wahr seien, schreibt Aristoteles. 6 Doch ihre Wahrheit ist nicht selbstevident. Sie muß erst mühsam hergestellt werden. Wandert der Blick von den Axiomen zu den Postulaten, die ja auch mit den Axiomen und Definitionen zu den Prinzipien gehören, so ist die Kritik am Parallelenpostulat nicht etwa ein Gegenargument. Die nichteuklidische Geometrie ist keine Wende. Sie fordert nur noch strengere Vorschriften für den Reinraum der Geometrie. Erst Computerbeweise verändern die Architektur des Reinraums. Sie lassen erahnen, dass die Mathematik ihre ersten Sätze schon immer unter Laborbedingungen geformt hat. Fig. 2 Ein Reinraum der Klasse 1: Nur ein kleiner Teil des Gebäudes ( ) wird zur Chipherstellung verwendet, der Rest dient der Minimierung von Störungen durch Staub und andere Partikel. Im Reinraum der Geometrie erhält die Frage nach den Medien vor den Medien eine überraschende Wendung: Der Blick der klassischen Geometrie ist nach innen gerichtet. Er duldet keine Fremdreferenz. Die griechische Geometrie erblickt in den Medien vor den Medien nicht mehr als einen Defekt wie ein Staubkorn auf der Platine werden sie zu Partikeln, die den deduktiven Beweisgang stören. Nur ein kaum sichtbarer Rest bleibt übrig. Die Isolierung der Gegenstände lässt sich besonders gut an einem Ding verfolgen, das fast an den 5 6 Die Axiome 1-3 in Euklids Elemente, I. Thaer, Clemes (Hrsg.), Frankfurt/M Aristoteles, Zweite Analytik I, b.

5 ÜBER DIE TAFEL 65 strengen Gesetzen des Reinraumes gescheitert wäre: dem Trapez. Am Trapez haftet noch der Staub seiner Vorfahren. Denn als windschiefes Viereck verweist es auf die Tafel. An ihm läßt sich im Kleinen studieren, wie die Geometrie ihre Gegenstände reinigt, wie sie mit ihnen einen Raum erzeugt, der die Reibung mit der Außenwelt minimiert. Am Beispiel des Trapezes möchte ich den Weg der Tafel vom Staub der Agora auf die Zeichenflächen der Geome trie verfolgen zeigen, wie die Tafel vom Rechenbrett zur Planimetrie allmählich zu einem Ort einer immer abstrakteren Wissenschaft der Flächen wird. Euklid macht die Tafel am Ende selbst zum Gegenstand der Geometrie. Weit entfernt vom Staub der Agora formt er aus ihr ein transparentes Medium, das die Lückenlosigkeit der Beweisketten garantieren soll. Spätestens hier werden Diagramme und Tafeln zu den treuen Begleiter der Mathematik. Von ihnen wird erwartet, daß sie einen Beweisgang illustrieren, ihn aber nicht verändern. Als Medium ist die Tafel kein Medium. Sie verschwindet. Im Dienst des Denkens wird sie unsichtbar. Bevor die experimentelle Mathematik die Tafel in den Ruhestand schickt, sollte man sie befragen: Welches Ritual bindet die Mathematik an die Tafel? Was wird auf ihr vollzogen? 2. Über einen Außenseiter Bei Euklid ist das Operieren auf ebenen Flächen so selbstverständlich geworden, dass die Tafel selbst zum Element der Geometrie werden kann. Trapeza meint mit der Wechselbank auch die Tafel. Die Tafel verbannt Euklid fast ans Ende der Definitionen des ersten Buchs: Unter den vierseitigen Figuren ist ein Quadrat jede, die gleichseitig und rechtwinklig ist, ein längliches Rechteck jede, die zwar rechtwinklig aber nicht gleichseitig ist, ein Rhombus jede, die zwar gleichseitig aber nicht rechtwinklig ist, ein Rhomboid jede, in der die gegenüberliegenden Seiten sowohl als Winkel einander gleich sind und die dabei weder gleichseitig noch rechtwinklig ist; die übrigen vierseitigen Figuren [tetratpleuron] sollen Trapeze heißen. 7 Euklid kann das Trapez nicht ohne das Quadrat definieren. Während das Quadrat gleiche Winkel und gleiche Seiten besitzt, ist das Trapez ein Außenseiter: ein Vierseit ganz ohne jede Gleichheit. Das Quadrat bezieht seine Vollkommenheit aus der Gleichheit der Winkel und Seiten, das Trapez definiert Euklid über die Ungleichheit. Sie macht das Trapez zum Gegenspieler des Quadrats. Das Trapez ist nicht mehr als ein Nicht-Quadrat. Und dennoch ist es so mächtig, dass in gewisser Hinsicht das Quadrat seine Vollkommenheit erst vom Trapez bezieht. Doch das, was sich hier in wenigen Zeilen ereignet, hat 7 Euklid, Elemente I Def. 23. A.a.O.

6 66 GLORIA MEYNEN Fig. 3 Älteste Holztafel aus einem Handelsschiff in Uluburun (-14. Jahrhundert). eine Geschichte, die jenseits der Elemente beginnt. Sie handelt von einem Medium, das erst transparent und unsichtbar werden musste, damit es Eingang in den Setzkasten der Euklidischen Geometrie finden konnte. Paradoxerweise entstand erst durch eine Art Regression aus der Tafel eine Wissenschaft der Flächen. Erst als sie in einen vermeintlichen Anfangszustand zurückversetzt wurde, sie vom Medium zum Medium vor dem Medium avancierte, konnte sie den strengen Auflagen des deduktiven Schließens genügen. Al-Uqlidisi, dessen Name verrät, dass er sein Geld mit Euklidübersetzungen verdient, klagt über staubige Finger. 8 Euklid selbst hingegen verliert kein Wort über Dreck und Staub der Tafel. Er ignoriert die Materialität der Tafel. Nur der vorletzte Platz unter den Definitionen und die Schiefseitigkeit ihrer Form lassen erkennen, unter welchen Bedingungen die Tafel ihr Dasein in den Elementen fristet als Ausschuss- und Restkategorie der vierseitigen Figuren. Nichts verweist darauf, dass die Idealität der Tafel selbst zur Zeit Euklids kaum älter als 140 Jahre ist. Der Grund, auf dem die deduktive Mathematik entsteht und auf dem sie ihre ersten Schritte ins Land der geraden Ebene wagt, besteht aus nicht viel mehr als aus einer viereckigen Fläche. Sie kann schiefwinklig und notdürftig zusammengezimmert sein. Die Materialität der Tafel stört ihren Gebrauch nicht. Stattdessen wird sie zum Werkzeug einer neuen Operabilität, die ein einziges Trapez zeichnet und alle Vierecke ohne gleiche Seiten und Winkel meint. Sie ist das Medium von Idealität und Abstraktion. Dieses windschiefe Viereck, das bei Euklid fast verwaist ist, ist einer der letzten Zeugen, die auf die Medien der Mathematik verweisen. Dabei ist entscheidend, dass die Tafel gleichermaßen das Medium der Geometrie und der Arithmetik ist. Die Tafel nimmt die ersten Linien auf und ermöglicht zugleich auch die ersten Zähl- und Rechenschritte, die Bündelung und den Zehnerübertrag, aber auch die erste Zahltheorie, die Lehre vom Geraden und Ungeraden. Das beschriftete Diagramm, das die griechische Geometrie um 440 einführt, entsteht genau an den Nahtstellen zwischen den arithmetischen und geometrischen Kulturtechniken. Wahrscheinlich ging alles von den Operationen des Rechenbretts aus von jenen Zahlen, die eine Lage haben. Ein Rechenbrett ist eine ebene Fläche oder eine Steintafel, auf der mit Steinen, die die Griechen psephoi nennen, gerechnet wird. Doch was sind ihre Vorläufer? Ob die Ägypter ein Rechenbrett gekannt haben, ist unklar. Sein Gebrauch wird jedenfalls mit keinem Wort er- 8 Vgl. Abu al-hasan Ahmad ibn Ibrahim al-uqlidisi, Kitab al-fusul fi al-hisab al-hindi. The Arithmetic of Al-Uqlidisi. Saidan, A.S. (Hrsg.). Dordrecht & Boiston Einleitung 1.1.

7 ÜBER DIE TAFEL 67 wähnt, mit keiner Abbildung bestätigt. Doch was ist mit den Skizzen, die um flüchtig auf die Rückseite von Papyri geworfen werden? Sie enthalten Punkte, die mehr oder minder quadratisch angeordnet sind und durch eine Mittellinie halbiert werden [vgl. Fig. 4]. Man könnte meinen, dass gerade das Raster dieser Punkte auf den Gebrauch von Rechentafeln verweisen. Doch die Punktdiagramme bezeugen nur, dass die Ägypter Halbierung und Verdopplung zu den elementarsten Rechenoperationen zählen. Ein Rechenbrett mit Zehnerkodierung hingegen bannt nur 9 Einheiten in eine Zeile, weil nach der zehnten der Übertrag erfolgt. So funktionieren jene Skizzen, die rein äußerlich den Rechensteinen recht nahe kommen, nur in der Schrift, die wohl bei den Ägyptern das einzige Mittel zur Ausführung von Rechenoperationen gewesen sein mag. 9 Ganz anders verhält es sich bei den Babyloniern. Sie besitzen zumindest Wörter, die nahe legen, dass Rechenbretter zum Alltag gehören. So taucht im -2. Jahrtausend in den altbabylonischen Lu-Listen ein Mann mit Gewichten, ein Mann mit den Tonsteinen und ein Mann mit einem Registrierbrett auf, so dass sich vermuten lässt, dass es zumindest eine Art Zählbrett gegeben haben muss. Ein weiteres Indiz spricht dafür: Zwischenergebnisse sind nirgendwo notiert. Die Lösungen der Aufgaben scheinen den Schülern so leicht von der Hand gegangen zu sein, dass sie ganz ohne Schmierzettel auskommen. Stattdessen findet sich häufig die Aufforderung: Lege es hin. Fig. 4 Verdopplung und Halbierung: Die Rückseite der Rechnung Wie kommen nun die Zählsteine zu den Pythagoreern? Der früheste literarische Fund stammt von Herodot, um Er schreibt: Die Griechen schreiben Buchstaben und rechnen mit Zählsteinen, indem sie die Hand von links nach rechts führen, die Ägypter von rechts nach links. 10 Herodot setzt offenbar das Legen der Zählsteine mit dem Schreiben ineins. Die Verschränkung von Schrift und Zahl setzt er fast beiläufig voraus. Von einem Abakus und einer Wechselbank spricht auch der Redner Lysias im 5. Jahrhundert. 11 Die frühesten Steintafeln, beschriftet oder unbeschriftet, stammen hingegen aus dem 6. Jahrhundert. Darunter befindet sich auch eine Tafel, die ein deutscher Archäologe 1975 auf der Insel Aegina nicht weit vom Nymphentempel gefunden hat Damerow, Peter, Lefevre, Wolfgang (Hrsg.), Rechenstein, Experiment, Sprache. Historische Fallstudien zur Entstehung der exakten Wissenschaften. Stuttgart S. 28. Herodot, Historien. München II 36. Pollux, Julius,Onomasticon X, 106. Stuttgart 1967.

8 68 GLORIA MEYNEN Sie trägt nur 11 Linien [Fig. 5]. Einzig ein Graffito lässt eine Schätzung zu: Sie ist spätestens um -510/500 entstanden. 12 Doch nur auf den Sitzen der BVG sind Graffitispuren ab Werk zu haben. Die Tafel hingegen ziert sich. Ihr Alter gibt sie nicht preis. Doch noch eine andere Unschärfe gerät in den Blick. Während in den Lu-Listen der Mann mit den Tonsteinen zählt und misst, ist die Verwendung dieser Tafel, die man in der Nähe eines Nymphentempels gefunden hat, keineswegs so eindeutig. Von den 11 Linien ist die Mittellinie durch einen Halbkreis hervorgehoben. 2 5 Linien Fig. 5 Spiel und Ökonomie: Abakus aus dem Heiligtum der Aphaia. braucht man für das 5- Linienspiel, 11 Linien für das Ludus duodecim scriptorum. Die Tafel bleibt gleich. Die Steine ebenso. Nur die Regeln, nach denen die Steine bewegt werden, sind andere. Ob die Tafeln als Rechentisch, zur Umrechnung von Münzen, für den Schulunterricht oder als Spieltisch verwendet werden, lässt sich nachträglich nicht mehr entscheiden. Die Linien lassen viele Verwendungen zu. Sicher ist nur, dass die Stellenwertordnung der psephoi für die Griechen so offensichtlich ist, dass Zahlen immer schon eine Lage besitzen. Man rechnete, indem man Figuren legte und diese nach bestimmten Regeln ineinander überführen konnte. Die griechischen Zahlensysteme waren auf die Fläche angewiesen. Weil sie mit der Fläche rechnete, war die Rechenkunde in dieser Hinsicht schon immer geometrisch. Erst das dezimale Stellenwertsystem der indisch-arabischen Ziffern verlagerte die Zehnercodierung in die Zahlennotation. Sie machte sie zu einer Funktion der Symbole. Bei den Griechen aber sind die Überträge zwischen den Diagrammen der Geometrie und der Rechenkunst fast vorprogrammiert. Wenn Zählen, Zeigen und Spielen auf ein und derselben Tafel stattfinden, sind sie unvermeidbar. Das macht den Abakus zum Schauplatz von Neuerungen und Zäsuren. Auf dem Rechenbrett fanden vermutlich fast nebenbei und spielerisch die ersten Gehversuche einer Zahlentheorie statt, die nur eine Unterscheidung kennt: gerade und ungerade. Aus ihr entwickelten die Pythagoreer die geometrischen Reihen, ihre induktiven Rechensteinbeweise und die Proportionenlehre. Sie gibt den Rhythmus der Säulentrommeln vor, die Maße für die Tempelmauern und die Proportionen der Saiten auf der Harfe und Kithara. Die Proportionen finden im Satz des Pythagoras und in einer Theorie der Parallelen ihren Nie- 12 Lieberman, Stephen, Of Clay Pebbles, Hollow Clay Balls, and Writing: A Sumerian View. In: American Journal of Archaeology (1980) 84. S. 349.

9 ÜBER DIE TAFEL 69 derschlag. Sie zielen auf eine Geometrie der Flächen, die das diskrete Planiversum des Rechenbretts verlässt und die kontinuierlichen Linien des Diagramms zum Agenten der deduktiven Geometrie macht. 3. Der Gnomon wirft zwei Schatten Will man verfolgen, wie die diskrete Ordnung des Rechenbretts auf das Diagramm durchschlägt, dann kommt ein Gegenstand in den Blick, der ebenso vielseitig wie die Tafel ist. Er überträgt die Ordnung des Himmels auf die Schreib- und Bildflächen der Geometrie und macht auf beiden Seiten der Tafel Karriere auf dem Rechenbrett und den Bildflächen der Geometrie: Es ist der Gnomon. Auf beiden Seiten taucht er als Winkelhaken auf. Auf der Seite der Geometrie tritt er zunächst in Gestalt eines Winkelmaßes in Erscheinung. Der Schattenstab führt den rechten Winkel als Grundmaß ein. Der rechte Winkel ermöglicht es, allgemeinere Aussagen über das Verhältnis zwischen Flächen oder Winkeln zu formulieren. Der Gnomon markiert damit eine Grenze, die historisch nur unscharf zu fassen ist. Denn die Frage, wann der Schattenstab zum ersten Mal auf den Bildflächen der Geometrie auftaucht, wer ihn zuerst vom Raum auf die Fläche übertragen hat, kann nur schwer beantwortet werden. Was er hingegen dort ausrichtet, tritt spätestens bei den ersten induktiven Rechensteinbeweisen klar zutage. Das Winkelmaß wandelt die konkreten Größen geometrischer Objekte in Proportionen. Mit dem Gnomon kehrt die Geometrie ihren Blick von außen nach innen. Sie verdammt die Bildlichkeit der frühen Beweistechniken und postuliert die Idealität geometrischer Objekte. Auf der Seite der Arithmetik ist der Gnomon nicht minder wirkungsmächtig. Er tritt dort als Ergänzung der Vielseiter auf [Fig. 6]. Auf diese Art ermöglicht es der Gnomon, mit einer einzigen Unterscheidung, gerade/ungerade, Zahlenreihen zu bilden. Der Gnomon wechselt immer wieder die Seiten, aber er knüpft auch ein festes Band zwischen Geometrie, Arithmetik und Astronomie. Er sorgt dafür, dass in der griechischen Mathematik Zählbarkeit und Abstraktion untrennbar miteinander verbunden sind. Fig. 6 Verschiedene Winkelhaken in der Geometrie, der Kunst der Flächenanlegung, und bei den figurierten Zahlen der pythagoreischen Arithmetik.

10 70 GLORIA MEYNEN 4. Der Schattenstab wandert aus, vom Raum auf die Fläche Der Weg, den der Gnomon von der Astronomie der Babylonier und Ägypter in die Arithmetik der Pythagoreer zurückgelegt hat, ist lang. Ich möchte zwei Punkte erwähnen, doch nur einen genauer ausführen. Der Gnomon hat einen maßgeblichen Anteil an der Formierung der geraden Ebene, weil er eine räumliche Kulturtechnik auf die Schreibfläche überträgt. Das betrifft zwei Bereiche, die zusammen wirken, weil sie mit den Namen Anaximanders verbunden sind: die Astronomie und die Aufrissverfahren der Tempel. Auf den Fundamenten der Tempel werden Proportionen im 6. Jahrhundert zum ersten Mal zählbar. An einem Artemistempel auf Samos zeigen sich zum ersten Mal die Proportionen der Tetraktys [Fig. 7]. 13 Bevor Philolaos die Vollkommenheit der Zehnzahl preisen konnte 14, sah Pythagoras ihre Proportionen in Stein gebaut. Die Säulentrommel wird hier nicht nur zum Modulus des Tempelbaus. 15 Die Verhältniszahlen des Artemistempels 1:2, 2:3, 3:4 beruhen auf einer einfachen Unterscheidung: gerade/ungerade. Mit ihr wird es möglich, maßlos mit Maßen zu operieren. Die Geometrisierung der Zahl ermöglicht so einen abstrakteren Umgang mit Zahlen. Die staublose Tafel kommt hingegen auf einem geradlinigeren Weg in die Geometrie. Bis sie bei Euklid als Trapez idealisiert wird, fungiert sie als Geld- Bauteil Faktor Proanos 1 11 Fuß Hof 2 11 Fuß Proanos+Hof 3 11 Fuß Proanos+Hof+Ringhalle 4 11 Fuß Fig. 7 Zahlentheorie im Artemistempels und Zahltisch auf der Agora. Sie ist ein Brett, das jeder Kaufmann bei sich führt. Die Ordnung der Zeilen und Spalten kann aber ebenso einfach auf jeder halbwegs ebenen Fläche dargestellt werden. Die Tafel ist überall gegenwärtig und deshalb vielleicht auch so unsichtbar. Wie kommt also die Tafel in die Geometrie? Alles begann am Zahltisch der Abakisten oder genauer mit den Zeilen und Spalten des Abakus. Zahlen auf dem Abakus sind nicht ortlos, unsichtbar oder ohne Lage. Sie sind Figuren. Jede Rechenoperation auf dem Abakus geht mit einer Manipulation der Figuren einher. Niemand muß zählen, der Abakus richtete sich eher an das Auge und die Motorik der Hand. Rechnen war eine Geometrie ganz eigener Art. Bei der Manipulation von Figuren spielte der Gnomon eine besondere Rolle. Mit ihm formulierten die Griechen die ersten Gesetze einer Zahlentheorie, die abstrakt Zum Maßsystem des Artemision C s. Wilfried Schaber, Die archaischen Tempel der Artemis von Ephesis. Entwurfsprinzipien und Rekonstruktion. Waldsassen S Philolaos zur Vollkommenheit der Zehnzahl s. DK 44 B11. Dazu ausführlich in meiner Dissertation Büro das Kapitel Abstraktion und Zählbarkeit. S (Typoskript). Berlin 2004.

11 ÜBER DIE TAFEL 71 und gegenständlich zugleich war. Der Gnomon ermöglichte es, formaler mit Rechensteinen zu operieren. Diese Geschichte der Abstraktion, die auf der Modellierung von Figuren beruht, möchte ich anhand des Gnomons skizzieren. Der Gnomon ist weniger das Medium von Licht und Schatten als von Maß und Zahl. Denn die Abstraktion, die die figurierten Zahlen in den ersten induktiven Beweisverfahren in Gang setzen, beruht auf Zählbarkeit. Die Zählbarkeit ebnet der deduktiven Geometrie den Weg. Doch wie sieht der Gnomon aus? Er ist nicht nur ein Schattenstab, der sich halbwegs senkrecht zum Himmel entgegenstreckt. Mit Gnomon wird auch eine Hilfskonstruktion für Sonnenuhren bezeichnet, der es auch bei Streulicht ermöglicht, die Uhrzeit genau abzulesen. Gewöhnliche Sonnenuhren arbeiten nur genau, wenn die Sonne hoch am Himmel steht, d.h. nur mittags oder in den Sommermonaten. An trüben Tagen hingegen, wenn sie tief steht, droht Halbschatten. Er unterbricht den Lauf der Sonnenuhren. Selbst wenn der Stab die höchsten Wolkenschichten durchbräche, würfe er keine deutlicheren Schattenlinien. Im Gegenteil: Je höher der Stab ist, desto unschärfer ist sein Schatten. Darum sind auch Pyramiden und Obelisken als Sonnenuhren nur bedingt geeignet. Abhilfe verschafft ein bewegliches Winkelmaß, das den Sonnenstab als Achse nutzt und ihn im rechten Winkel ergänzt [Fig. 8]. Auch diese Ergänzung heißt Gnomon. Diesen kleinen Gnomon richtet man nach den Sonnenstrahlen aus und fängt so selbst den Schatten des Streulichts ein. Michel Serres erwähnt ihn nicht. Doch es ist nicht allein der Schattenstab, sondern erst seine gleichnamige rechtwinklige Ergänzung, die zum Ursprung der ersten mechanischen Erkenntnis wird. Wie wird dieses Hilfsgerät zum Ursprung der ersten Beweise? Wie entsteht im Schatten des Streulichts die mechanische Erkenntnis? Fig. 8 Der Gnomon als Hilfskonstruktion Die Spitze des Gnomons ist die Quelle der einfachsten geometrischen Objekte. Punkt, Kreis, Linie, Diagonale und Winkel gehen von ihr aus. Aber auch Kegel und Zylinder werden drehend erzeugt. Doch nicht nur die Beschränkung auf Zirkel und Lineal, sondern auch die klassischen mathematischen Probleme, die lösbaren und die unlösbaren, nehmen vom Gnomon ihren Ausgang. Aufgaben wie die Quadratur des Kreises, die Verdopplung des Quadrates oder das Delische Problem der Würfelverdopplung gründen auf der Apparatur der Sonnenuhr. Die Karriere, die der Gnomon jenseits der Astronomie in der Arithmetik und Geometrie vollzieht, geht von dieser Grundanordnung von Kreis und Quadrat aus. Auch die Trigonometrie verdankt sich nicht viel mehr als dem Einfall eines Sonnenstrahls, den die Hilfskonstruktion des Gnomons sichtbar macht. Denn die irrationalen Zahlen und die Proportionslehre schreiben sich in

12 72 GLORIA MEYNEN... Fig. 9 Die Summenformel für die Reihe der ungeraden Zahlen die Gegenseite und in die Diagonalen der Vierecke ein. Wie sehr der Gnomon die Schreib- und Bildflächen prägt, möchte ich am Satz des Pythagoras zeigen, der sich auch bei Euklid findet. 16 Dieser Satz besteht aus einem Winkelmaß und einer Gegenseite : Elemente, die direkt aus der Geometrie des Schattenstabs ausgelesen worden sind. Doch ich werde hier auf die früheren, pythagoreischen Beweise eingehen, weil sie den Übergang von den induktiven zu den deduktiven Beweisen verdeutlichen. In diesem Zwielicht lässt sich recht gut beobachten, wie sich die Ausschlüsse der Geometrie formieren. Die pythagoreische Beweisführung entsteht aus dem Legen von Winkeln und Rechteckzahlen. Jede Quadratzahl kann um ein Winkelmaß, einen Gnomon, ergänzt werden, ohne dass sich die Seitenverhältnisse ändern. Aristoteles, der diese Rechenpraxis den Pythagoreern zuschreibt, notiert dazu:...es gibt manches, das zunimmt ohne verändert zu werden; so nimmt ein Quadrat, wenn man ein Gnomon hinzufügt, zwar zu, aber es ist dadurch nicht verändert. 17 Aus der Summe der ungeraden Zahlen entsteht die Reihe der Quadratzahlen. Denn jede quadratische Zahl lässt sich bis zum letzten Stein in eine Summe von Winkelhaken zerlegen [vgl. Fig. 9]. Das, was in die Mathematikgeschichte als Satz des Pythagoras eingegangen ist, ist schon bei den Babyloniern um mit Zahlentripeln belegt worden. 18 Pythagoras Lehrsatz gründet auf der Summenformel der ungeraden Zahlen: Er läßt sich mit dem Gnomon beweisen [Fig. 10]. Wiederum ergibt sich der Beweis aus der Unterscheidung gerade/ungerade: Wählt man eine gerade Zahl n und eine ungerade Quadratzahl m, so kann die Gleichung über den Winkelhaken gelöst werden. Zunächst muß man den Winkelhaken legen. Das kann nur mit einer ungeraden Anzahl von Rechensteinen geschehen. Die Eins bleibt außen vor. Denn sie ist für die Pythagoreer keine Zahl, sondern das Gesetz der Zahlen die Einheit, aus der alle Zahlen bestehen. 19 In dieser Hinsicht ist es nur folgerichtig, daß man mit einem Rechenstein keinen Winkelhaken legen kann. Da zudem m zugleich eine Quadratzahl sein muss, kann das kleinste Winkelmaß erst mit 9 Rechensteinen gelegt werden. In einem zweiten Schritt wird das Winkelmaß mit Rechensteinen gefüllt. Am Ende müssen die Rechensteine nur noch ge Euklid, Elemente I 47. Aristoteles, Kategorien a 30 Vgl. das babylonische Tafelfragment Plimpton 322, das vermutlich pythagoreische Tripel enthält und u.a. Damerow, Peter, Kannten die Babylonier den Satz des Pythagoras? Epistemologische Anmerkungen zur Natur der babylonischen Mathematik. In: Ders., Høyrup, Jens (Hrsg.), Changing Views on Ancient Near Eastern Mathematics. Berliner Beiträge zum Vorderen Orient. Band 19. Berlin Vgl. Nicomachus v. Gerasa, Introductions to Arithmetic. II 6, 3. New York 1926.

13 ÜBER DIE TAFEL 73 zählt werden. Der Gnomon gibt das Maß vor. Aus Gnomon und Quadrat ergeben sich die Werte. Da die Anzahl der Rechensteine, die den Gnomon bilden, eine Quadratzahl bilden, kann der Winkelhaken erneut zu einem Quadrat gelegt werden. Aus dem ehemals großen Quadrat entstehen zwei kleinere Quadrate. Die Steine zeigen es sogleich. Die Bilanz ist ausgeglichen. Kein Stein bleibt übrig [Vgl. Fig. 10]. Der Beweis des Pythagoras muss von derselben brachialen visuellen Überzeugungskraft gewesen sein. Der Gnomon ist eine Leerform, aus der sich der Beweis entfaltet. +1 = Fig. 10 Ein induktiver Rechensteinbeweis zum Satz des Pythagoras + Eine zweite Variante, die sich bei Proklos findet und Pythagoras zugeschrieben wird, funktionalisiert den Eckstein. Wie Nicomachos von Gerasa ausführt, nimmt er in der Lehre vom Geraden und Ungeraden eine entscheidende Position ein, weil er zwischen gerade und ungerade unterscheidet. Nicomachus schreibt: Das Gerade zerfällt in zwei gleiche Teile, ohne dass es durch eine Einheit in der Mitte geteilt wird; das Ungerade kann nicht in zwei Teile fallen. Es benötigt eine Einheit, die es in der Mitte teilt. 20 Die Routine, die Proklos Pythagoras zuschreibt, beruht auf dieser Einheit. Sie verdankt sich der Einheit in der Mitte. Die pythagoreische [Lösung] geht von den ungeraden Zahlen aus. Nimmt nämlich die gegebene ungerade Zahl als die kleinere Kathete an, bildet hiervon das Quadrat, subtrahiert davon 1 von 9 und nimmt die Hälfte des Restbetrags als die größere Kathete: addiert sie aber 1 dazu, so bildet sie die dritte Seite, die Hypotenuse. 1. Schritt: ungerade Kathete quadrieren Schritt: gerade Kathete als Gnomon Eckstein ist nicht gesetzt Fig. 11 Der induktive Rechensteinbeweis bei Proklos Schritt: Hypotenuse als Gnomon Eckstein ist gesetzt Die Rechensteinbeweise zum Satz des Pythagoras weichen im Detail ab. Doch zeigen sie alle eins ganz deutlich: Die Arithmetik des rechtwinkligen Dreiecks ist weniger Rechenkunde. Sie ist immer noch Anzahlenkunde : die Kunst des 20 Nicomachus v. Gerasa, Introduction to Arithmetic. New York & London I 7,2.

14 74 GLORIA MEYNEN richtigen Zählens [Fig. 11]. In beiden vorgeführten Fällen ist der Rechensteinbeweis induktiv. Er kann die rechtwinkligen Dreiecke nicht mit einer unendlichen Anzahl von Tripeln belegen. Das Verhältnis der Seiten bleibt abzählbar und immer gleich. Eine Seite mit einer Länge von 2 wird man nur schwer mit Rechensteinen legen können. Schon allein weil die irrationalen Zahlen weder gerade, noch ungerade sind, diese Unterscheidung aber wesentlich für das Legen der figurierten Zahlen ist, muss dieser Versuch mißlingen. Die irrationalen Zahlen bezeichneten die Pythagoreer auch mit dem Wort alogos. Dieses Wort heißt soviel wie widersinnig, nicht zu berechnen und sprachlos. Der Sprung zu den inkommensurablen Größen, den Verhältnissen, die nicht mehr mit ganzen Zahlen darstellbar sind, war mit den ersten induktiven Rechensteinbeweisen nicht zu bewältigen. Eine Diagonale in einem Quadrat mit ganzzahliger Seitenlänge war nicht berechenbar. Erst eine Geometrie, die nicht mehr zählend beweist, sondern Zeigen und Beweisen zusammen denkt, kann die widersinnigen Größen bezeichnen. Proklos führt die Verdopplung des Quadrates an, um den Unterschied zwischen den alten induktiven Rechensteinbeweisen und den deduktiven Beweisen zu demonstrieren. Dieses Beispiel findet sich auch in Platons Menon. Kannst du mir wohl sagen, Sokrates, ob die Tugend gelehrt werden kann? 21 diese Frage legt Menon Sokrates vor. Sokrates kontert mit einer Gegenfrage. Er bittet den Sklaven Menons, einen Würfel mit der Kantenlänge 2 zu verdoppeln. Gewußtes Wissen, so lautet die Lektion von Sokrates, ist Nichtwissen. Erst wenn der Sklave vergißt, was er weiß, und die eingeborenen Ideen freilegt, kann er die richtige Antwort finden. So kann man beobachten, wie Sokrates erst einmal Menons Sklaven in den Schwitzkasten nimmt. Doch entscheidender ist, daß Sokrates sich auf die Mathematik bezieht. Das legt nahe, daß Nichtwissen und die Technik, angelerntes Wissen zu entäußern, direkt in den Reinraum der Mathematik führen. Der Menondialog demonstriert, wie Wissen von jeder Materialität gereinigt wird. Er führt geradewegs von den Medien zu den Medien vor den Medien. Zunächst wendet der Sklave gelerntes Wissen an. Die Antwort des Sklaven gründet auf den induktiven Rechensteinbeweisen. Er verdoppelt jede Seite, indem er das zweifüßige Quadrat durch zwei Winkelhaken ergänzt. Die Nachzählung ergibt jedoch die vierfache Menge. Er hat also das Quadrat nicht verdoppelt, sondern seine Fläche vervierfacht. Beim zweiten Versuch glaubt der Sklave deshalb, dass der einfache Gnomon nun endlich die Verdopplung bewerkstellige. Er denkt noch immer in der Logik der Rechensteine. Es scheint, als sei der Sklave geradewegs bei den Pythagoreern in die Schule gegangen. Vielleicht hat er dort von der Summenformel der ungeraden Zahlen gehört. Sokrates beschreibt die Verdopplung mit folgenden Worten: 21 Platon, Menon 70 a.

15 ÜBER DIE TAFEL 75 Ich meine... ein solches [Viereck] nicht etwa, was hier lang ist, dort aber kurz; sondern es soll nach allen Seiten gleich sein, wie dieses hier, aber das zweifache von diesem. 22 Der Sklave meint die Lösung zu kennen. Sie schreit nach dem Winkelhaken. Nicht eine Wiedererinnerung der Seele führt also den Sklaven zur Lösung, sondern die Aktualisierung des Schulstoffs. Und dennoch ist die Häme von Sokrates groß: Der Sklave glaubt nicht wissend zu wissen. 23 Das Wissen von den Zählsteinen und der Gebrauch des Winkelhakens, jenes anschauliche Denken, ist unbrauchbar. 24 Es ist kontaminiert. Sogleich zeigt sich, dass die Lösung zwischen 1 und 2 liegt. Die Seite des doppelten Quadrates ist also mit den psephoi dem Vorrat der natürlichen Zahlen nicht zu bestimmen. Bei Platon muss der Sklave auf den erlösenden Hinweis von Sokrates warten: Von welcher [Seite] also, das versuche doch uns genau zu bestimmen; und wenn du es nicht durch Zählen willst, so zeige uns nur, von welcher. 25 Die geometrische Lösung beruht weniger auf Verdopplung als auf Halbierung. Das vierfüßige Quadrat, das der Sklave zunächst gefunden, aber dann durch Sokrates Geschwätzigkeit wieder aus dem Blick verloren hatte, bildet den Ausgangspunkt. Halbiert wird jedoch nicht die Seite bzw. die Anzahl ihrer Steine. Jedes der 4 Quadrate, die das vierfüßige Quadrat bilden, wird durch eine Diagonale halbiert. Anstelle der Seite wird der Winkel halbiert. Die Lösung ist geometrisch konstruiert. Und es ist symptomatisch, dass sie für die Verdopplung aller Quadrate gilt [Fig. 12] Versuch...es soll nach allen Seiten gleich sein..., aber das zweifache von diesem, also achtfüßig Menon 83 a 2. Versuch Diesmal wählt der Sklave einen einfachen Gnomon, da der erste Versuch die zweifache Verdopplung ergab. 3. Versuch: Von der Verdopplung der Seite zur Diagonale...und wenn du es nicht durch zählen willst, dann zeige uns von welcher Menon 84 a Sokrates glaubt, dass sich die Seele hier der Ideen erinnert. 27 Und Proklos schreibt mit Platon, daß die Geometrie das Auge der Seele reinigt und sie frei Platon, Menon 83 a. Ebd. 84 c. Ebd. 84 b. Ebd. 84 a Ebd. 85 b. Ebd 86 b.

16 76 GLORIA MEYNEN macht von den Hindernissen, die von den Sinneswahrnehmungen herrühren. 28 Denken heißt Erinnern. Doch die Erinnerung ist sehr speziell. Die Wiedererinnerung der Seele zielt auf eine Technik, die das Vergessen funktionalisiert. Sie zielt auf ein Wissen, das jede Außenreferenz eliminiert. So muß die Materialität der Rechensteine draußen bleiben. Erst als der Sklave die Zahl vergißt, kann er die Fläche des Quadrates verdoppeln. Das neue Wissen ist sprachlos. Seine Anhänger läßt es erstarren, so als habe sie der Schlag eines Zitterrochens gelähmt. 29 Am Ende ist die Eloquenz des Sklaven verschwunden. Nicht mehr zählend, sondern stumm verweist er auf die Seite des verdoppelten Quadrats. Das neue Wissen ist gereinigt. Und dennoch kann es seine Herkunft nicht vollständig verbergen. Auch der Sklave zählt, nämlich die Anzahl der rechtwinkligen Dreiecke. Deshalb mag man den Worten von Sokrates auch wenig trauen. Hier erinnert sich nicht die Seele an göttliche Ideen. Die Lösung braucht die Götter nicht. Sie funktioniert auch ohne jeden Verweis. Das Diagramm kommt ohne Buchstaben aus. Denn diese Geometrie ist immer noch Anzahlenkunde. Leicht vorstellbar ist es deshalb, dass schon die Pythagoreer die Rechensteine gegen Dreiecke eingetauscht haben, um mit ihnen mannigfaltige Figuren zu legen. Der Irrationalität kann so zunächst mit alten Mitteln begegnet werden: die figurierten Zahlen werden durch figurierte Rechensteine abgelöst, durch Rechensteine, die die Form des Dreiecks tragen. Platons Wissen ist also weder neu, noch alt. Es ist ein Wissen im Übergang, ein zwielichtiges Wissen. Der Computerbeweis von Appel und Haken kehrt in gewisser Hinsicht zur Endlichkeit der Rechensteine zurück. Er rechnet und zählt und hat sich so im Halbschatten des Nichtwissens eingerichtet. Doch schon das neue Wissen des 5. Jahrhunderts hat die Sonne niemals gesehen. Die neuen deduktiven Beweistechniken sind gereinigt, und dennoch kontaminiert. 5. Saiten und Gegenseiten Bei Platon ist das sichtbare Kennzeichen der neuen Beweistechniken die Diagonale. Sie steht für den Übergang von einer diskreten Technik des Zählens zum Kontinuum der geraden Linie. Auch sie entspringt einer Geometrie, die gegenüber ihren Wurzeln blind ist. Sie gründet eher auf dem Dreieck als auf dem Viereck. Im Dreieck heißt sie Hypotenuse und tritt als Gegenseite auf. Hypotenousa aber verweist noch als Substantiv auf einen Vorgang. Die Hypotenuse ist die Hinuntergespannte. 30 Das Wort wurde ursprünglich in der Musik verwendet. Dort bezeichnet es das Aufziehen der Saite. Das Aufziehen Proklus Diadochus, Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen. A.a.O. S. 182 [Vorrede, 1. Teil]. Platon über den Zitterrochen Menon 80 a-c. Schmidt, Max, Terminologische Studien. 2, verbesserte Aufl., Leipzig

17 ÜBER DIE TAFEL 77 der Saite kann man sich ganz bildlich vorstellen. Das Instrument wurde senkrecht aufgestellt. Die Saite am unteren Ende befestigt und über den Resonanzraum von unten nach oben gezogen. Hypoteinein chordén bezeichnet genau diesen Vorgang. 31 Aber welches Instrument ist gemeint? Welche Saite steht in einem so engen Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras, dass Pythagoras sie zum allgemeinen Begriff der Gegenseite machen kann? Auf der Lyra oder Kithara wird die Tonhöhe überwiegend über die Spannung der Saiten erzeugt. Die Harfe hingegen wird nicht durch Spannung gestimmt. Die Tonhöhe ergibt sich direkt aus der Länge der Saiten. Das Gestell der Harfe gleicht zuweilen einem Dreieck. Die Hypotenuse spannt sich zwischen den zwei Armen der Harfe. Die dreieckigen Harfen stammen aus Ägypten. Sie finden im 6. Jahrhundert ihren Weg nach Samos und an die kleinasiatische Küste Griechenlands. Alkman, der zur Zeit von Thales gelebt hat, ist ihr erster Zeuge. Doch wie kommt Pythagoras an diesen Begriff und welche Umdeutung erfährt er? So genau weiß man das nicht: Auf seinen Reisen oder noch auf Samos, jedenfalls kurz vor seiner Flucht, scheint er auf die ägyptischen Harfen gestoßen zu sein. Für die Anfänge der deduktiven Geometrie, die immer noch von der Anschaulichkeit zehrt, ist die Harfe mit ihren unterschiedlichen Saitenlängen sprechender als Lyra und Kithara. Nicht die unsichtbare Spannung, sondern der Zusammenhang von Tonhöhe und Saitenlänge führt direkt zu den klassischen geometrischen Problemen: zur Frage nach der Diagonale im Quadrat und nach dem Verhältnis der Seiten im Dreieck. Die Saiten der Harfe stehen aber zugleich auch am Anfang einer Theorie der Parallelen. So können zwei Saiten alle Lehrsätze veranschaulichen, die die Parallelität von Seiten mit der Gleichheit der Wechselwinkel beweisen. 32 Einem Lehrsatz, I 32, ist diese Herkunft noch am deutlichsten zu entnehmen [Fig. 14]. Zwei Seiten zeigen, dass in jedem Dreieck der Außenwinkel den beiden Innenwinkeln gleich ist bzw. dass die Winkelsumme im Dreieck zwei Rechte beträgt. Auch die Entdeckung dieses Satzes schreibt Eudemos den Pythagoreern zu. Die pythagoreische Form des Beweises [Fig. 15] findet sich bei Proklos: Es sei ABC das Dreieck, und man ziehe durch A die Parallele DE zu BC. Da nun BC und DE parallel, und die Wechselwinkel [vgl. I 23] gleich sind, so ist also Winkel DAB = Winkel ABC, und Winkel EAC= Winkel ACB. Dazu fügt man den gemeinsamen Winkel BAC. Die Winkel DAB, BAC und CAE, das sind die Winkel DAB+BAE, das sind die 2 Rechten, sind also gleich den drei Winkeln des Dreiecks ABC Vgl. auch den Eintrag im Wortverzeichnis von Ferdinand Rudio, das er seiner Hippokrates- Ausgabe angehängt hat (Der Bericht des Simplicius über die Quadraturen des Antiphon und Hippokrates. Rudio, Ferdinand(Hrsg.). Leipzig S. 178). Vgl. Euklid, Elemente I 27- I 33. Proklos Diadochus: Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen. A.a.O. I 32.

18 78 GLORIA MEYNEN Man könnte meinen, der Beweis von Proklos funktioniere wie eine doppelte Buchführung. Die Wechselwinkel wandeln die Innenwinkel der Nebenseiten in Außenwinkel. Nur ein Winkel findet keinen Wechselwinkel: BAC der Winkel der Gegenseite, der Winkel der Hypotenuse. Der Winkel der Gegenseite wird zweimal herangezogen. Über ihn wird die Bilanz vollzogen. Im ersten Fall erzeugt er die Winkelsumme über die zwei Außenwinkel der Nebenseiten. Im zweiten Fall stellt er Fig. 13 Eine ägyptische Harfe Fig. 14 Euklid I 32. Fig. 15 Die pythagoreische Form von I 32 sie über die korrespondierenden Innenwinkel her. Die eigentliche Dimension des Lehrsatzes liegt nicht nur in der Form des Vollzugs, sondern auch in ihrem Ergebnis den zwei rechten Winkeln. Während der Sklave noch die Dreiecke zählte, wird hier stumm gemessen. Kein Winkel wird einzeln vermessen. Und dennoch beziehen sich alle Winkel auf ein gemeinsames Maß den rechten Winkel. An die Stelle der Zahl tritt der rechte Winkel. Er ist die zahllose Einheit der Winkelsumme. Erst wenn der Gnomon sich von der Zahl löst, kann er zum Werkzeug der deduktiven Geometrie werden. Doch der Gnomon rektifiziert nicht nur, sondern führt über den rechten Winkel alle Vielecke auf Dreiecke zurück. Jedes n- seitige Vieleck, so schließt Proklos, läßt sich in n 2 Dreiecke zerlegen. 34 Bei der Winkelsumme des Dreiecks ist der Übertrag zwischen Innen- und Außenwinkel von entscheidender Bedeutung. Er sorgt dafür, dass die Bilanz zwischen den drei Winkeln des Dreiecks immer ausgeglichen bleibt, dass sie immer 2 Rechte beträgt. Proklos führt dies an einem beweglichen Dreieck vor, dass aus zwei Schattenstäben gebildet wird: Denken wir uns... eine Gerade und an ihren Endpunkten irgendwelche Senkrechte, die sich dann zur Bildung eines Dreiecks zusammenneigen, die Rechten, die sie mit der Geraden bildeten, vermindern. Was sie also dort wegnahmen, gewinnen sie durch die Vereinigung in der Spitze wieder dazu, und so bilden sie notwendigerweise die drei Winkel gleich 2 Rechten. 35 Diese Sätze lesen sich wie eine Einführung zu I Der Satz des Pythagoras braucht weder Sterne noch Böschung. Denn die Kopplung von Parallelogramm und Dreieck wird durch die Harfe ermöglicht. Die Theoreme zur Proklos Diadochus, Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen. A.a.O. I 32. Ebd. I 32. Vgl. auch ebd. S (Vorrede zum zweiten Teil der Lehrsätze).

19 ÜBER DIE TAFEL 79 Gleichheit der Wechselwinkel hingegen sind das erste Indiz, dass eine musikalische Technik, das Aufspannen paralleler Saiten, auf die Schreibfläche des Diagramms projiziert worden ist. So wird immer deutlicher, dass die ägyptische Harfe als Vorbild für den Monochord gedient haben muß. 37 Sie ist somit der erste Gegenstand, an dem die Proportionen zum Klingen gebracht, das Verhältnis der Seiten und Saiten errechnet worden ist. Und dennoch darf die Bedeutung der Musikinstrumente nicht überschätzt werden. Denn in der Praxis moduliert nicht ein Merkmal, sondern ein ganzes Bündel den Ton. So herrscht bei der Harfe zwar die Seitenlänge vor und dennoch sind Saitendicke, Saitenspannung und Temperatur unberechnete Störgrößen. 38 So kann man nur annehmen, daß die zahlentheoretischen Überlegungen von der Harfe ihren Ausgang nahmen und dann ein mathematisches Eigenleben führen. Der Weg von der dreieckigen Harfe führt zu den figurierten Zahlen und den Anfängen der griechischen Zahlentheorie und ist dennoch denkbar kurz. Die Kopplung von Vierseit und Dreiseit, von Winkeln und Seiten, geht so auf ein Instrument zurück, das von den Pythagoreern zum Rechnen und Beweisen verwendet worden ist. Dort wo Größen nicht mehr abzählbar waren, entsteht ein Wissen, das Zeigen, Verweisen und Beweisen in eins setzt. Zuerst wird die Harfe ihres Klanges beraubt, doch noch die frühen induktiven Rechensteinbeweise werden von einem Murmeln und Summen begleitet. Denn fortwährend wird gezählt 1, 2, 3, Den Pythagoreern wird, so geht zumindest die Sage, das rechnende Beweisen mit den Zählsteinen sogar zum Schwur. Erst die Anfänge des deduktiven Beweises lassen die Mathematiker verstummen. Das Schweigen von Menons Sklaven spricht hier Bände. So könnte man fast meinen, dem Sprung von den induktiven zu den deduktiven Beweisen liege eine Unterscheidung zwischen lautem und leisem Wissen zugrunde. Das Zählen verharrt auf der Seite des Lauts, der Einheit von Alphabet, Dichtung und Gesang. Es zehrt von den akustischen Experimenten und zeugt von der mündlichen Tradierung des Wissens. Die Pythagoreer destillieren aus dem Wissen über die Musik zugleich eine akustische Form der Gefolgschaft. Ihre Schule war Hörerschaft. Lehre und Musik waren so eng verknüpft, daß das Hören erst gelernt werden mußte. So galt es, jeden Tag von neuem durch eine besondere Abfolge von Gesang und Saitenspiel die Ohren für die Lehre empfänglich zu machen. 39 Das stumme Wissen hingegen ist nicht nur ein Lehrbuchwissen. Es Vgl. die posthum erschienene Habilitationsschrift von Wille, Günther, Akroasis. Der akustische Sinnesbereich in der griechischen Literatur bis zum Ende der klassischen Zeit, Tübingen 2001/1958, Bd. 1, S Über die musiktheoretische Bedeutung von Harfe, Syrinx und Aulos vgl. Burkert, Walter, Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon. Nürnberg S Zur Einheit von Lernen, Gesang und Musik und ihre Bedeutung für die pythagoreische Zahlen- und Musiktheorie vgl. Kittler, Friedrich, Musik und Mathematik. München S und 236.

20 80 GLORIA MEYNEN ermöglicht nicht nur massenhafte Verbreitung des Wissens, sondern auch seine Verallgemeinerung. Aussagen werden nunmehr in einer so großen Allgemeinheit formuliert, daß sie vom Sichtbaren auf das Unsichtbare, vom Zählbaren auf das Unzählbare und vom Sagbaren auf das Unsagbare verweisen können. Galt es vorher das Hören zu hören, gilt es nunmehr das Sehen zu sehen. Fortan muß das Auge geschult, das stumme Zeigen nicht ohne jeden Zwang trainiert werden. Die Harfensaite trennt die induktiven Beweisverfahren der Rechensteine von den deduktiven Beweisen der Gegenseite. Nachdem die Saite als Gegenseite sich etabliert hat, bleibt auch der Gnomon nicht mehr derselbe. Wie die Null es ermöglicht, Zahlenbewegungen zu protokollieren, besitzt auch die Gegenseite eine Codierungsmacht, die jedes geometrische Objekt zum Stellvertreter seiner Klasse macht. Mit dem Auftritt der Hypotenuse wandeln sich Schattenstab und Horizont zu Nebenseiten, die ebenso wenig wie diese sich noch der Abzählbarkeit beugen müssen. So findet der Übertrag vom Rechenbrett zum Diagramm einen Protagonisten: die Gegenseite. 6. Die Kunst der Flächenanlegung Auch wenn sich zuletzt nicht vollständig nachweisen lässt, welchen Beweis die Pythagoreer vollzogen haben, und der Gebrauch des Gnomon daraufhin unbestimmt bleiben muss, so kann an anderer Stelle sein geometrischer Gebrauch mit großer Gewissheit den Pythagoreern nachgewiesen werden. Das zweite Buch der Elemente trägt die Handschrift der Pythagoreer. Dort wird der Gnomon als Winkelmaß der Vierecke Teil der Geometrie. Er wird zum Werkzeug der geometrischen Algebra. Diese geometrische Lösung von quadratischen Gleichungen wird mit Quadraten und Rechtecken hergestellt, die sie über einer gegebenen Linie errichtet werden. Das Anlegen von Flächen wird über die Schule des Eudemos der pythagoreischen Muse zugeschrieben. 40 Die Namen der Kegelschnitte, Parabel, Hyperbel und Ellipse tauchen in diesem Zusammenhang zum ersten Mal auf. Eine einfache Flächenanlegung heißt Parabel. Ist die Länge der Fläche größer als die Linie, heißt sie Hyperbel (=überschüssige Flächenanlegung). Ist sie kleiner, erhält sie den Namen Ellipse (=Flächenanlegung mit Mangel). 41 Mit diesen geometrischen Techniken werden von den Pythagoreern bis zu al- Hwarizmi und Fibonaccis Liber quadratorum Gleichungen angeschrieben und gelöst. Sie rechnen nicht mehr mit Zählsteinen, sondern mit Flächen. Die Arithmetik der Flächen macht aus dem Gnomon vollständig ein Instrument Proklos Diadochus, Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen. A.a.O. I 44. Vgl. Ebd.

Was ist Mathematik? Eine Strukturwissenschaft, eine Geisteswissenschaft, aber keine Naturwissenschaft.

Was ist Mathematik? Eine Strukturwissenschaft, eine Geisteswissenschaft, aber keine Naturwissenschaft. Vorlesung 1 Einführung 1.1 Praktisches Zeiten: 10:00-12:00 Uhr Vorlesung 12:00-13:00 Uhr Mittagspause 13:00-14:30 Uhr Präsenzübung 14:30-16:00 Uhr Übungsgruppen Material: Papier und Stift wacher Verstand

Mehr

Quadratwurzel. Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen?

Quadratwurzel. Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen? 1. Zahlenpartner Quadratwurzel Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen? Quelle: Schnittpunkt 9 (1995) Variationen: (a) einfachere Zahlen (b) ein weiteres

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Sprechen wir über Zahlen (Karl-Heinz Wolff)

Sprechen wir über Zahlen (Karl-Heinz Wolff) Sprechen wir über Zahlen (Karl-Heinz Wolff) Die Überschrift ist insoweit irreführend, als der Autor ja schreibt und nicht mit dem Leser spricht. Was Mathematik im allgemeinen und Zahlen im besonderen betrifft,

Mehr

Falten regelmäßiger Vielecke

Falten regelmäßiger Vielecke Blatt 1 Gleichseitige Dreiecke Ausgehend von einem quadratischen Stück Papier kann man ohne weiteres Werkzeug viele interessante geometrische Figuren nur mit den Mitteln des Papierfaltens (Origami) erzeugen.

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs. 09.02. Klausur (08-10 Uhr Audimax, HS 1)

Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs. 09.02. Klausur (08-10 Uhr Audimax, HS 1) Vorlesungsübersicht Wintersemester 2015/16 Di 08-10 Audimax Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 19

Beispiellösungen zu Blatt 19 µathematischer κorrespondenz- zirkel Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufgabe 1 Beispiellösungen zu Blatt 19 a) In dem Buch der Wahrheit stehen merkwürdige Dinge: Auf der ersten

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

Die Zeit und Veränderung nach Aristoteles

Die Zeit und Veränderung nach Aristoteles Lieferung 4 Hilfsgerüst zum Thema: Die Zeit und Veränderung nach Aristoteles 1. Anfang der Untersuchung: Anzweiflung Aristoteles: Es reiht sich an das bisher Versprochene, über die Zeit zu handeln. Zuerst

Mehr

Eignungstest Mathematik

Eignungstest Mathematik Eignungstest Mathematik Klasse 4 Datum: Name: Von Punkten wurden Punkte erreicht Zensur: 1. Schreibe in folgende Figuren die Bezeichnungen für die jeweilige Figur! Für eine Rechteck gibt ein R ein, für

Mehr

Arbeitsblatt 2 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/

Arbeitsblatt 2 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/ 14. November 2006 Arbeitsblatt 2 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/07 31.10.06 Präsenzaufgaben: 1) Welche rationale

Mehr

Grundregeln der Perspektive und ihre elementargeometrische Herleitung

Grundregeln der Perspektive und ihre elementargeometrische Herleitung Vortrag zu Mathematik, Geometrie und Perspektive von Prof. Dr. Bodo Pareigis am 15.10.2007 im Vorlesungszyklus Naturwissenschaften und Mathematische Wissenschaften im Rahmen des Seniorenstudiums der LMU.

Mehr

Vorlesung Analysis I / Lehramt

Vorlesung Analysis I / Lehramt Vorlesung Analysis I / Lehramt TU Dortmund, Wintersemester 2012/ 13 Winfried Kaballo Die Vorlesung Analysis I für Lehramtsstudiengänge im Wintersemester 2012/13 an der TU Dortmund basiert auf meinem Buch

Mehr

Y b 2 - a 2 = p 2 - q 2 (*)

Y b 2 - a 2 = p 2 - q 2 (*) Um den Flächeninhalt eines Dreieckes zu bestimmen, das keinen rechten Winkel besitzt, muss man bekanntlich die Längen einer Seite mit der dazugehörigen Höhe kennen Wir setzen voraus, dass uns alle 3 Seitenlängen

Mehr

Zeichnet man nun über die Seiten des Dreiecks die Quadrate der jeweiligen Seiten, dann ergibt sich folgendes Bild:

Zeichnet man nun über die Seiten des Dreiecks die Quadrate der jeweiligen Seiten, dann ergibt sich folgendes Bild: 9. Lehrsatz von Pythagoras Pythagoras von Samos war ein griechischer Philosoph und Mathematiker, der von ca. 570 v.chr. bis 510 n.chr lebte. Obwohl es über seine gesallschaftliche Stellung verschiedene

Mehr

3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung

3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung Source coding is what Alice uses to save money on her telephone bills. It is usually used for data compression, in other words, to make messages shorter. John Gordon 3 Quellencodierung 3. Einleitung Im

Mehr

Geometrie. Umfang/Fläche (eckige Körper)

Geometrie. Umfang/Fläche (eckige Körper) Seite 1 Hier lernst du, Umfänge und Flächen bei folgenden geometrischen Flächen zu ermitteln: Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Dreieck, Trapez Und einfache zusammengesetzte Formen Prinzipielle Grundlagen

Mehr

Materialien zur Mathematik II

Materialien zur Mathematik II Joachim Stiller Materialien zur Mathematik II Die Quadratur des Kreises Alle Rechte vorbehalten Euklidische Geometrie Die Griechen kannten innerhalb der Euklidischen Geometrie drei Probleme, die auf direktem

Mehr

Literatur zu geometrischen Konstruktionen

Literatur zu geometrischen Konstruktionen Literatur zu geometrischen Konstruktionen Hadlock, Charles Robert, Field theory and its classical problems. Carus Mathematical Monographs, 19. Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1978.

Mehr

Jenseits der Endlichkeit. Eine Einführung in die cantorsche Unendlichkeitslehre. Diplom-Informatiker Peter Weigel

Jenseits der Endlichkeit. Eine Einführung in die cantorsche Unendlichkeitslehre. Diplom-Informatiker Peter Weigel Jenseits der Endlichkeit. Eine Einführung in die cantorsche Unendlichkeitslehre. Diplom-Informatiker Peter Weigel Januar 2010 Peter Weigel. Jenseits der Endlichkeit. Eine Einführung in die cantorsche Unendlichkeitslehre.

Mehr

Der Satz des Pythagoras. Kein Darwinscher Zufall

Der Satz des Pythagoras. Kein Darwinscher Zufall Der Satz des Pythagoras. Kein Darwinscher Zufall Detlef Dürr duerr@rz.mathematik.uni-muenchen.de 1. Mai 2012 1 Zahlen-Verhältnisse Die Grunderkenntnis der Gesetzmäßigkeit in der Natur ist Harmonie. Heute

Mehr

Arbeitsblätter zum Thema Papierfalten und Algebra für den Unterricht Hochbegabter in der Sekundarstufe II

Arbeitsblätter zum Thema Papierfalten und Algebra für den Unterricht Hochbegabter in der Sekundarstufe II Arbeitsblätter zum Thema Papierfalten und Algebra für den Unterricht Hochbegabter in der Sekundarstufe II Robert Geretschläger Graz, Österreich, 2009 Blatt 1 Lösen quadratischer Gleichungen mit Zirkel

Mehr

Basteln und Zeichnen

Basteln und Zeichnen Titel des Arbeitsblatts Seite Inhalt 1 Falte eine Hexentreppe 2 Falte eine Ziehharmonika 3 Die Schatzinsel 4 Das Quadrat und seine Winkel 5 Senkrechte und parallele Linien 6 Ein Scherenschnitt 7 Bastle

Mehr

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006 Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 25. November 2006 Das Wythoff-Nim-Spiel Wir wollen uns ein Spiel für zwei Personen ansehen, welches sich W.A.Wythoff 1907 ausgedacht hat: Vor den Spielern liegen zwei

Mehr

Staatlich geprüfte Techniker

Staatlich geprüfte Techniker Auszug aus dem Lernmaterial ortbildungslehrgang Staatlich geprüfte Techniker Auszug aus dem Lernmaterial Maschinenbautechnische Grundlagen DAA-Technikum Essen / www.daa-technikum.de, Infoline: 001 83 16

Mehr

Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke

Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke 1 Zuerst zum Gebrauch des Wortes unendlich Es wird in der Mathematik in zwei unterschiedlichen Bedeutungen benutzt Erstens im Zusammenhang mit Funktionen

Mehr

Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das ägyptische Dreieck

Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das ägyptische Dreieck Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das ägyptische Dreieck Horst Steibl TU Braunschweig GDM-Tagung Berlin 2007 1 Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das ägyptische Dreieck Wie Tim und Tom, die

Mehr

3 Vom Zählen zur Induktion

3 Vom Zählen zur Induktion 7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,

Mehr

194 Beweis eines Satzes von Tschebyschef. Von P. E RDŐS in Budapest. Für den zuerst von T SCHEBYSCHEF bewiesenen Satz, laut dessen es zwischen einer natürlichen Zahl und ihrer zweifachen stets wenigstens

Mehr

Aufgabe 1: Der Weidezaun

Aufgabe 1: Der Weidezaun Aufgabe 1: Der Weidezaun Eine quadratische Viehweide mit der Fläche 870 m² soll eingezäunt werden. Dabei sollen 3 m für ein Tor freigelassen werden. Wie viel Meter Zaun werden benötigt? Informative Figur:

Mehr

Hubert Kupper. Farben statt Töne. 4 Thesen zur pythagoreischen Gedankenwelt. disserta Verlag

Hubert Kupper. Farben statt Töne. 4 Thesen zur pythagoreischen Gedankenwelt. disserta Verlag Hubert Kupper Farben statt Töne 4 Thesen zur pythagoreischen Gedankenwelt disserta Verlag Hubert Kupper Farben statt Töne 4 Thesen zur pythagoreischen Gedankenwelt Kupper, Hubert: Farben statt Töne. 4

Mehr

1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m)

1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m) Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: Ttm (, ) = ( t 5+ 6) 20+ m (ausgesprochen: T von t und m) Ein Term besteht aus

Mehr

6 Conways Chequerboard-Armee

6 Conways Chequerboard-Armee 6 Conways Chequerboard-Armee Spiele gehören zu den interessantesten Schöpfungen des menschlichen Geistes und die Analyse ihrer Struktur ist voller Abenteuer und Überraschungen. James R. Newman Es ist sehr

Mehr

der die und in den von zu das mit sich des auf für ist im dem nicht ein eine als auch es an werden aus er hat daß sie nach wird bei

der die und in den von zu das mit sich des auf für ist im dem nicht ein eine als auch es an werden aus er hat daß sie nach wird bei der die und in den von zu das mit sich des auf für ist im dem nicht ein eine als auch es an werden aus er hat daß sie nach wird bei einer um am sind noch wie einem über einen so zum war haben nur oder

Mehr

Geometrie. Homepage zur Veranstaltung: Lehre Geometrie

Geometrie. Homepage zur Veranstaltung:  Lehre Geometrie Geometrie 4.1 Geometrie Homepage zur Veranstaltung: http://www.juergen-roth.de Lehre Geometrie Geometrie 4.2 Inhaltsverzeichnis Geometrie 1 Axiome der Elementargeometrie 2 Kongruenzabbildungen 3 Längen-,

Mehr

Bilder von Zahlen - Arithmetik und Algebra geometrisch darstellen. Rauter Bianca ( ) Graz, am 10. Dezember 2014

Bilder von Zahlen - Arithmetik und Algebra geometrisch darstellen. Rauter Bianca ( ) Graz, am 10. Dezember 2014 Bilder von Zahlen - Arithmetik und Algebra geometrisch darstellen Rauter Bianca (101038) Graz, am 10. Dezember 014 1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Abbildungen von Zahlen - Beweise durch Muster

Mehr

2. Propädeutische Geometrie Klasse 5/6. Für den Geometrieunterricht ausnützen!

2. Propädeutische Geometrie Klasse 5/6. Für den Geometrieunterricht ausnützen! 2. Propädeutische Geometrie Klasse 5/6 2.1 Zur Entwicklung der Schüler Kinder im Alter von 10-12 Jahren sind wissbegierig neugierig leicht zu motivieren anhänglich (Lehrperson ist Autorität) zum Spielen

Mehr

MATHEMATIKLEHRPLAN 4. SCHULJAHR SEKUNDARSTUFE

MATHEMATIKLEHRPLAN 4. SCHULJAHR SEKUNDARSTUFE Europäische Schulen Büro des Generalsekretärs Abteilung für pädagogische Entwicklung Ref.:2010-D-581-de-2 Orig.: EN MATHEMATIKLEHRPLAN 4. SCHULJAHR SEKUNDARSTUFE Kurs 4 Stunden/Woche VOM GEMISCHTER PÄDAGOGISCHER

Mehr

WENN SICH DAS GEHEIME VERBIRGT, DANN LIEGT VOR IHM ETWAS ANDERES

WENN SICH DAS GEHEIME VERBIRGT, DANN LIEGT VOR IHM ETWAS ANDERES WENN SICH DAS GEHEIME VERBIRGT, DANN LIEGT VOR IHM ETWAS ANDERES Ein kompositorischer Prozess C h r i s t o p h H e r n d l e r Was bedeutet GEGENTEIL? Ist MANN das Gegenteil von FRAU? Ist + das Gegenteil

Mehr

Daten erfassen und darstellen

Daten erfassen und darstellen MAT 05-01 Leitidee: Daten und Zufall Daten erfassen und darstellen Thema im Buch: Meine Klasse und ich - Zahlenangaben sammeln und vergleichen Daten in Ur-, Strichlisten und Häufigkeitstabellen zusammenfassen.

Mehr

INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN

INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN Liebe Schülerinnen und Schüler, wie schnell man einen bereits einmal gekonnten Stoff wieder vergisst, haben Sie sicherlich bereits schon

Mehr

Mathematik für Techniker

Mathematik für Techniker Mathematik für Techniker 5. Auflage mit 468 Bildern, 531 Beispielen und 577 Aufgaben mit Lösungen rs Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag Inhaltsverzeichnis 1 Rechenoperationen 15 1.1 Grundbegriffe

Mehr

Aufgabe 1 (4+8+8 Punkte). (a) Zeige, dass sich die folgende Figur (entlang der Linien) in vier kongruente Teilflächen zerlegen lässt.

Aufgabe 1 (4+8+8 Punkte). (a) Zeige, dass sich die folgende Figur (entlang der Linien) in vier kongruente Teilflächen zerlegen lässt. Fachbereich Mathematik Tag der Mathematik 0. Oktober 00 Klassenstufen 7, 8 Aufgabe (4+8+8 Punkte). (a) Zeige, dass sich die folgende Figur (entlang der Linien) in vier kongruente Teilflächen zerlegen lässt.

Mehr

3.2 Spiegelungen an zwei Spiegeln

3.2 Spiegelungen an zwei Spiegeln 3 Die Theorie des Spiegelbuches 45 sehen, wenn die Person uns direkt gegenüber steht. Denn dann hat sie eine Drehung um die senkrechte Achse gemacht und dabei links und rechts vertauscht. 3.2 Spiegelungen

Mehr

Wassily Kandinsky: Structure joyeuse. Beschreibe die Figuren und zeichne sie aus freier Hand in dein Heft.

Wassily Kandinsky: Structure joyeuse. Beschreibe die Figuren und zeichne sie aus freier Hand in dein Heft. 6 Flächen Wie heißen die Figuren? a) Dreiecke Viereck d) Quadrat b) Kreis Quadrate e) Dreiecke Rechteck c) Rechtecke Viereck f) Kreis Wassily Kandinsky: Structure joyeuse Lege Vierecke. a) Nimm vier gleich

Mehr

Das Wunderbare am Tod ist, dass Sie ganz alleine sterben dürfen. Endlich dürfen Sie etwas ganz alleine tun!

Das Wunderbare am Tod ist, dass Sie ganz alleine sterben dürfen. Endlich dürfen Sie etwas ganz alleine tun! unseren Vorstellungen Angst. Ich liebe, was ist: Ich liebe Krankheit und Gesundheit, Kommen und Gehen, Leben und Tod. Für mich sind Leben und Tod gleich. Die Wirklichkeit ist gut. Deshalb muss auch der

Mehr

1 Der Goldene Schnitt

1 Der Goldene Schnitt Goldener Schnitt 1 Der Goldene Schnitt 1 1.1 Das regelmäßige Zehneck 1 1. Ein anderer Name für den Goldenen Schnitt 4 1.3 Der Goldene Schnitt in Zahlen 6 1.4 Die Potenzen von und 8 1.5 Drei Beispiele 10

Mehr

1.2 Einführung der Zahl Dominik Schomas Clemens Blank

1.2 Einführung der Zahl Dominik Schomas Clemens Blank 1.2 Einführung der Zahl Dominik Schomas Clemens Blank Die Zahl wird über den konstanten Quotienten eingeführt. Der Umfang sowie der Durchmesser werden von den Schülern experimentell gemessen mit und in

Mehr

Eingangstest Mathematik Musterlösungen

Eingangstest Mathematik Musterlösungen Fakultät für Technik Eingangstest Mathematik Musterlösungen 00 Fakultät für Technik DHBW Mannheim . Arithmetik.. (4 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Ausklammern, Ausmultiplizieren und

Mehr

Multiplikationstafeln

Multiplikationstafeln Multiplikationstafeln Rechenintensive Arbeiten in der Landesvermessung und Astronomie, sowie im Handel, machten es in früheren Jahrhunderten wünschenswert, höhere Rechenarten auf niedrigere zurück zu führen.

Mehr

Bewegliche Geometrie mit dem Computer Was beobachtest Du? (Warum ist das so?)

Bewegliche Geometrie mit dem Computer Was beobachtest Du? (Warum ist das so?) Bewegliche Geometrie mit dem Computer Was beobachtest Du? (Warum ist das so?) 12.10.2009, Oliver Seif nach einer Vorlage von H.Hischer/A. Lambert 1 Das Werkzeug Computer (dynamische Geometriesoftware,

Mehr

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper In den bisherigen Kapiteln haben wir nur Gruppen, also insbesondere nur Mengen mit lediglich einer Verknüpfung, untersucht. In der Praxis gibt es aber natürlich

Mehr

IGS Robert-Schuman-Schule Frankenthal

IGS Robert-Schuman-Schule Frankenthal Thema: Gleichungen und Ungleichungen Zeitraum: September - November Terme Rechengesetze Umkehren von Rechenoperationen Systematisches Probieren Terme auswerten und interpretieren Terme aufstellen und für

Mehr

Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches

Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches Annelie Heuser, Jean-Luc Landvogt und Ditlef Meins im 1. Semester Komplexe Zahlen Will man nur addieren und subtrahieren, multiplizieren und dividieren, kommt man uneingeschränkt mit reellen Zahlen aus.

Mehr

Lernziele Matbu. ch 8

Lernziele Matbu. ch 8 Lernziele Matbu. ch 8 Beachte auch den Refernzrahmen des Stellwerk8 www. stellwerk- check. ch LU Priorität Grobziel (aus Mathbu.ch 8) Lernziele Begriffe 2 1 Mit gebrochenen Zahlen operieren: Gebrochene

Mehr

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1 M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

Basistext Geometrie Grundschule. Eine Strecke bezeichnet man einer direkte Verbindung zwischen zwei Punkten:

Basistext Geometrie Grundschule. Eine Strecke bezeichnet man einer direkte Verbindung zwischen zwei Punkten: Basistext Geometrie Grundschule Geometrische Figuren Strecke Eine Strecke bezeichnet man einer direkte Verbindung zwischen zwei Punkten: Gerade Eine Gerade ist eine Strecke ohne Endpunkte. Die Gerade geht

Mehr

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen 3 Zahlentheorie. Kongruenzen Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern

Mehr

Integration von Schülerinnen und Schülern mit einer Sehschädigung an Regelschulen

Integration von Schülerinnen und Schülern mit einer Sehschädigung an Regelschulen Integration von Schülerinnen und Schülern mit einer Sehschädigung an Regelschulen Didaktikpool Falttechniken zum Einsatz im Mathematikunterricht mit sehgeschädigten Kindern Emmy Csocsán / Christina Blackert

Mehr

http://www.olympiade-mathematik.de 7. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 12 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen

http://www.olympiade-mathematik.de 7. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 12 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen 7. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 12 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 7. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 12 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit

Mehr

MIT WÜRFELN BAUEN: ZAHLENFOLGEN ENTDECKEN

MIT WÜRFELN BAUEN: ZAHLENFOLGEN ENTDECKEN MIT WÜRFELN BAUEN: ZAHLENFOLGEN ENTDECKEN Thema: Zahlenfolgen (Dreieckszahlen, Quadratzahlen,...) geometrisch darstellen und in Wertetabellen beschreiben. Klassen: 3. bis 5. Klasse (z.b. zu Zahlenbuch

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5

Mehr

Achsensymmetrie. Konstruktionen. Mathematik-Grundwissen Klassenstufe 7

Achsensymmetrie. Konstruktionen. Mathematik-Grundwissen Klassenstufe 7 Wissen Achsensymmetrie Beispiel Figuren die an einer Achse a gespiegelt werden nennt man achsensymmetrisch bezüglich a. Die Verbindungsstrecke zwischen zwei achsensymmetrischen Punkten wird durch die Achse

Mehr

Geometrisches Wissen in der Grundschule Der Weg zu einer experimentellen Studie

Geometrisches Wissen in der Grundschule Der Weg zu einer experimentellen Studie Didaktisches Kolloquium Mathematik Institut für Didaktik der Mathematik und Elementarmathematik der TU Braunschweig 13. 12. 2011 Geometrisches Wissen in der Grundschule Der Weg zu einer experimentellen

Mehr

Grundwissen 9 Bereich 1: Rechnen mit reellen Zahlen

Grundwissen 9 Bereich 1: Rechnen mit reellen Zahlen Bereich 1: Rechnen mit reellen Zahlen Rechenregeln Berechne jeweils: Teilweises Radizieren a) = b) = c) Nenner rational machen a) = b) = c) Bereich 2: Quadratische Funktionen und Gleichungen Scheitelpunktform

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Vorbereitung auf die Gymiprüfung 2016 im Kanton Zürich. Mathematik. Primarschule, Teil 2. Übungsheft

Vorbereitung auf die Gymiprüfung 2016 im Kanton Zürich. Mathematik. Primarschule, Teil 2. Übungsheft Vorbereitung auf die Gymiprüfung 2016 im Kanton Zürich Mathematik Primarschule, Teil 2 Übungsheft Lektion 7 Umfangberechnungen Lektion 7 Umfangberechnungen 4. Miss alle Seiten und schreibe sie an, berechne

Mehr

Was war vor dem Startwert?

Was war vor dem Startwert? 63 Hans Walser Was war vor dem Startwert? Das mathematische Analogon zur Frage, was vor Adam und Eva war, ist die Frage, ob und wie Folgen und mathematische Strukturen, welche einen natürlichen Anfang

Mehr

Berufsreifeprüfung Studienberechtigung. Mathematik. Einstiegsniveau

Berufsreifeprüfung Studienberechtigung. Mathematik. Einstiegsniveau Berufsreifeprüfung Studienberechtigung Mathematik Einstiegsniveau Zusammenstellung von relevanten Unterstufenthemen, die als Einstiegsniveau für BRP /SBP Kurse Mathematik beherrscht werden sollten. /brp

Mehr

Schulcurriculum Mathematik, Klasse 05-06

Schulcurriculum Mathematik, Klasse 05-06 Schulcurriculum Mathematik, Klasse 05-06 Themen/Inhalte: Die Nummerierung schreibt keine verbindliche Abfolge vor. Fakultative/schulinterne Inhalte sind grau hinterlegt. Kompetenzen Leitideen (= inhaltsbezogene

Mehr

Logo-Aufgaben mit Verbindung zur Mathematik

Logo-Aufgaben mit Verbindung zur Mathematik Logo-Aufgaben mit Verbindung zur Mathematik Student: Dozent: Prof. Juraj Hromkovic Datum: 13.06.007 Logo-Kenntnisse Für die Lösung der Aufgaben werden folge Logo-Befehle benötigt: Arithmetik: +, -, *,

Mehr

Lektion 6: Prozeduren mit Parametern Übergabe von Werten

Lektion 6: Prozeduren mit Parametern Übergabe von Werten Lektion 6: Prozeduren mit Parametern Übergabe von Werten 29 Bearbeitet von Karoline Selbach In den vorherigen Abschnitten haben wir wichtige Befehle zur Turtlegeometrie kennen gelernt. Mit Hilfe dieser

Mehr

Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung

Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung Amina Duganhodzic Proseminar: Mathematisches Problemlösen Unter der Leitung von Privat Dozentin Dr. Natalia Grinberg 26. Juni

Mehr

SOKRATES ERKLÄRT EINEM SKLAVEN MATHE

SOKRATES ERKLÄRT EINEM SKLAVEN MATHE SOKRATES ERKLÄRT EINEM SKLAVEN MATHE *Abbruchfehler bei irrationalen Zahlen Reelle Zahlen 6/1 Und die Mathematik in der Geschicht...* Der griechische Philosoph Platon (428 348 v. Chr.) hat im Jahre 389

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

Das Mathematikabitur. Abiturvorbereitung Geometrie. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1

Das Mathematikabitur. Abiturvorbereitung Geometrie. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1 Das Mathematikabitur Abiturvorbereitung Geometrie Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1 Gliederung Was sind Vektoren/ ein Vektorraum? Wie misst man Abstände und Winkel? Welche geometrischen

Mehr

Test zur Geometrischen Kreativität (GCT-DE)

Test zur Geometrischen Kreativität (GCT-DE) Pädagogische Hochschule Schwäbisch Gmünd Institut für Mathematik und Informatik Abteilung Informatik Test zur Geometrischen Kreativität (GCT-DE) Erstellt von Mohamed El-Sayed Ahmed El-Demerdash Master

Mehr

Unabhängigkeit KAPITEL 4

Unabhängigkeit KAPITEL 4 KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht

Mehr

Tag der Mathematik 2007

Tag der Mathematik 2007 Tag der Mathematik 2007 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Speed-Wettbewerb Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner sind

Mehr

Kompetenzen. Mit dem Zinsfaktor rechnen. Vernetzen: Aktien Lernkontrolle. Schülerinnen und Schüler beschreiben geometrische Sachverhalte

Kompetenzen. Mit dem Zinsfaktor rechnen. Vernetzen: Aktien Lernkontrolle. Schülerinnen und Schüler beschreiben geometrische Sachverhalte 1. Zinsrechnung Sparen - früher und heute Geld sparen und leihen 5 Wochen Grundaufgaben der Zinsrechnung Tageszinsen Grundwissen: Zinsrechnung Üben und Vertiefen Kommunizieren und Präsentieren: Gruppenpuzzle

Mehr

Grundlegende Geometrie (Vorlesung mit integriertem Praxiskurs) Di 10 12 Audimax

Grundlegende Geometrie (Vorlesung mit integriertem Praxiskurs) Di 10 12 Audimax Renate Rasch WS 09/10 Grundlegende Geometrie (Vorlesung mit integriertem Praxiskurs) Di 10 12 Audimax Literatur: Franke M.: M:Didaktik der Geometrie. Zur Geometrievorlesung gehören praktische Übungen (Bitte

Mehr

Pythagoräische Zahlentripel und Kettenbrüche

Pythagoräische Zahlentripel und Kettenbrüche VSMP SSPMP SSIMF Pthagoräische Zahlentripel und Kettenbrüche René Fehlmann, Gmnasium Neufeld, rene.fehlmann@gmneufeld.ch Einleitung Bekanntlich schrieb Pierre de Fermat in seine Ausgabe der Arithmetika

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Analytische Geometrie Übungsaufgaben Punkte, Vektoren, Geradengleichungen Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com März 04 Aufgabe : Gegeben sind die Punkte O(0/0/0), A(6/6/0), B(/9/0),

Mehr

Primzahlzertifikat von Pratt

Primzahlzertifikat von Pratt Primzahlzertifikat von Pratt Daniela Steidl TU München 17. 04. 2008 Primzahltests in der Informatik "Dass das Problem, die Primzahlen von den Zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfaktoren

Mehr

http://www.olympiade-mathematik.de 2. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 7 Saison 1962/1963 Aufgaben und Lösungen

http://www.olympiade-mathematik.de 2. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 7 Saison 1962/1963 Aufgaben und Lösungen 2. Mathematik Olympiade Saison 1962/1963 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 2. Mathematik-Olympiade Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und

Mehr

Kapitel 0. Einführung. 0.1 Was ist Computergrafik? 0.2 Anwendungsgebiete

Kapitel 0. Einführung. 0.1 Was ist Computergrafik? 0.2 Anwendungsgebiete Kapitel 0 Einführung 0.1 Was ist Computergrafik? Software, die einen Computer dazu bringt, eine grafische Ausgabe (oder kurz gesagt: Bilder) zu produzieren. Bilder können sein: Fotos, Schaltpläne, Veranschaulichung

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Trägheit, Masse, Kraft Eine systematische Grundlegung der Dynamik

Trägheit, Masse, Kraft Eine systematische Grundlegung der Dynamik Trägheit, Masse, Kraft Eine systematische Grundlegung der Dynamik Die grundlegenden Gesetze der Physik sind Verallgemeinerungen (manchmal auch Extrapolationen) von hinreichend häufigen und zuverlässigen

Mehr

Q(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k.

Q(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k. 25 2 Kongruenzen Mit Hilfe der hier definierten Kongruenz können Aussagen über Teilbarkeit einfacher formuliert und bewiesen werden, und man erhält eine Differenzierung der Zahlen, die bezüglich einer

Mehr

Lernen an Stationen Thema: Flächenberechnung

Lernen an Stationen Thema: Flächenberechnung Lernen an Stationen Thema: Flächenberechnung 8. Jahrgang Mathematics is a way of thinking, not a collection of facts! Ausgehend von dieser grundsätzlichen Überzeugung sollte ein Unterricht zum Thema Flächenberechnung

Mehr

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind.

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind. 1 Sätze über Winkel Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, nennt man eine Geradenkreuzung. α α Nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel, sie β ergeben zusammen stets

Mehr

Vorlesung. Komplexe Zahlen

Vorlesung. Komplexe Zahlen Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems

Mehr

http://www.olympiade-mathematik.de 4. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 8 Saison 1964/1965 Aufgaben und Lösungen

http://www.olympiade-mathematik.de 4. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 8 Saison 1964/1965 Aufgaben und Lösungen 4. Mathematik Olympiade Saison 1964/1965 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 4. Mathematik-Olympiade Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr