Statgraphics - Anleitung. Institut für Stochastik

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1 Statgraphics - Anleitung Institut für Stochastik Sommer 2013

2 Inhaltsverzeichnis 1 Installation 4 2 Erste Schritte 6 3 Beschreibende Statistik Eindimensionale Daten Histogramm Lageparamter und Streumaße für metrisch skalierte Daten Box-Plot Balkendiagramm Tortendiagramm Zweidimensionale Daten Streudiagramm Kontigenztafel Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie Diskrete Verteilungen Geometrische Verteilung Hypergeometrische Verteilung Binomialverteilung Poissonverteilung Negative Binomialverteilung Stetige Verteilungen Normalverteilung Exponentialverteilung Weibullverteilung Gammaverteilung Lognormalverteilung Gleichverteilung logistische Verteilung Chi-Quadrat-Verteilung F-Verteilung t-verteilung Bearbeiten der Graphiken Grundlagen des statistischen Schließens Parameterschätzungen Konfidenzschätzungen für die Parameter einer Normalverteilung Konfidenzschätzungen für eine (unbekannte) Wahrscheinlichkeit p Tests

3 5.2.1 Wichtige Tests bei normalverteilten Grundgesamtheiten - eine Stichprobe Wichtige Tests bei normalverteilten Grundgesamtheiten - zwei verbundene Stichproben Wichtige Tests bei normalverteilten Grundgesamtheiten - zwei unabhängige Stichproben Beispiele sogenannter verteilungsfreier Tests Monte-Carlo-Tests Nichtparametrische Tests Test auf Vorliegen einer bestimmten Verteilung Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale (Kontigenztafeln) Stichprobenpläne zur Qualitätskontrolle (n,c)-stichprobenplan Laufende Kontrolle - Mittelwertkarte Sequentieller Stichprobenplan Varianzanalyse Einfache Klassifikation F-Test Kruskal-Wallis-Test Zweifache Klassifikation F-Test Zweifache Varianzanalyse mit Mehrfachbesetzungen und Wechselwirkungen Mehrfaktorenanalyse Korrelationsanalyse Zwei Merkmale Einfache Korrelation Rangkorrelation Mehrere Merkmale empirische Korrelationsmatrix kanonische Korrelation multiple Korrelation partielle Korrelation Regressionsanalyse Einfache lineare Regression Kleinste-Quadrate Methode Tukey-Ausgleichsgerade Zeitreihen - Schätzung der Saisonkomponente und Saisonbereinigung Zeitreihen - Trendschätzng, Trendabspaltung Multiple parameterlineare Regression Regression bei qualitativen Merkmalen

4 8.3.1 Probit-Modell Logit-Modell

5 KAPITEL 1 Installation Die Installationsdatei finden Sie unter Wählen Sie dann bei Primary Language die setup?????_german.exe aus, falls Sie ein 32-bit Betriebssystem besitzen. Bei einem 64-bit Betriebssystem nehmen Sie die setup16118_x64_german.exe. Wenn Sie sich nicht sicher sind ob Sie ein 32-bit oder 64- bit Betriebssystem haben, dann wählen Sie die 32-bit Variante. Wenn die Download-Box erscheint, drücken sie Save. Der Download kann einige Minuten dauern, die Dateigröße beträgt zwischen 55 und 85 MB. Führen Sie dann die exe-datei mit einem Doppelklick aus. Der InstallShield Wizard leitet Sie dann durch die weitere Installation. Es ist außerdem möglich ein englisches Zusatpaket (Additional Language) setup16118_english Sup.exe oder setup16118_x64_english Sup.exe zu installieren. Starten Sie das Programm. Es sollte folgendes Fenster erscheinen. Wählen Sie nun Aktivieren. Dann taucht folgendes Fenster auf. 4

6 Geben Sie hier ihre Daten ein. Die Seriennummer ist beim Übungsleiter oder direkt bei Dr. Andreas Wünsche andreas-wuensche zu erfragen. Bei Ihrer -Adresse wird nur die der TU Bergakademie Freiberg akzeptiert. Der Produktschlüssel erscheint nachdem Sie die Seriennummer eingegeben haben. Desweiteren sollten Sie bei Schritt 2 nur die zweite Variante (Sendung mittels ) verwenden. Bei der ersten Variante kann es passieren, dass man einen ungültigen Aktivierungskode erhält. Geben Sie danach bei Schritt 3 den per erhaltenen Aktivierungskode ein und drücken Sie Aktivieren. 5

7 KAPITEL 2 Erste Schritte Beim Start von Statgraphics öffnet sich automatisch der StatWizard. Dieser dient dazu Einsteigern die Arbeit mit Statgraphics zu erleichtern und beim Auffinden der gewünschten Funktionalität behilflich zu sein. Durch Entfernen des Häkchens im Feld Show the StatWizard at Setup erreicht man, dass dieser nicht mehr automatisch beim Start geöffnet wird. Nach Auswahl der entsprechenden Menüpunkte öffnet Statgraphics die jeweilige Prozedur. In dieser Anleitung wird auf die Verwendung des StatWizards verzichtet und die Auswahl der Prozeduren über das normale Hauptmenü vorgenommen. In Statgraphics gibt es zwei Varianten des Hauptmenüs: Six Sigma Menu und Standard Menu. In dieser Anleitung werden immer die Wege im Standard Menu beschrieben. Ein Wechsel zwischen den Menüarten ist unter Edit Preferences... möglich. Wenn in der Registerkarte General unter System Options Use Six Sigma Menu ausgewählt wird, wird das Six Sigma Menu verwendet. Sonst wird das Standard Menu benutzt. Unter Preferences können außerdem weitere Einstellungen vorgenommen werden. Es können zum Beispiel die Default-Werte für einige Prozeduren eingestellt werden. Das Statgraphics Fenster ist im Wesentlichen in zwei Teile eingeteilt. Auf der linken Seite werden die einzelnen Teile eines Projekts angezeigt. Das DataBook enthält alle eingegebenen oder aus externen Quellen eingelesenen Daten. Der StatAdvisor soll helfen die Ergebnisse der statistischen Prozeduren zu erklären. In die Stat- Gallery können mehrere Grafiken aufgenommen werden um sie gegenüberstellend zu vergleichen oder um sie zu überlagern. Im StatReporter können Dokumentationen aus den Berechnungen erstellt und als rtf - Datei gespeichert werden. Unter StatFolio Comments können Beschreibungen des StatFolios abgelegt werden Die rechte Seite entspricht der eigentlichen Arbeitsfläche. Diese hat eine eigene Menüleiste mit folgenden für uns im Weiteren wichtigen Schaltflächen: Es sind nur die jeweils für alle im aktiven Fenster angezeigten Felder gültigen Schaltflächen anklickbar. Einzelne Felder in einem Fenster können durch Doppelklick in das entsprechende Feld maximiert werden. Durch nochmaligen Doppelklick gelangt man zur Ausgangsansicht zurück werden. DataBook Das DataBook enthält die Daten mit denen später gearbeitet werden soll. Diese können in die 10 Tabellen (A-J) entweder per Hand eingegeben oder aus einer Datenquelle eingelesen werden. Um Daten aus einer Datenquelle einzulesen die Tabelle auswählen, in 6

8 die die Daten eingefügt werden sollen. Nun im Menü File Open Open Data Source... auswählen. Um mit Statgraphics erzeugte Daten einzulesen STATGRAPHICS Data File wählen. Um die Aufgaben aus der Übung zu bearbeiten, wählen Sie auf der Seite die SG- Datenfiles aus und laden diese herunter. In Excel gespeicherte Daten werden nach Auswahl von External Data File eingelesen. Es können auch Daten mittels einiger Funktionen erzeugt werden, hierfür die Spalte markieren und im Menü Edit Generate Data wählen. Bei Operators die gewünschten Operatoren auswählen und die? jeweils durch die gewünschten Werte ersetzen. Nachdem man die Spalte markiert, gelangt man auch durch Rechtsklick in das Kontextmenü und kann auch dort Generate Data wählen. Man kann die Daten auch einfach in die gewünschte Tabelle eingeben. Um Einstellungen bezüglich des Datentyps vorzunehmen auf den Spaltennamen doppelklicken. Nun kann ausgewählt werden, von welchem Datentyp die eingegebenen Werte sind. Außerdem kann nun auch der Name der Spalte geändert werden (Name) oder ein Kommentar zur Spalte, welcher später unter dem Spaltennamen angezeigt wird, eingegeben werden (Comment). Um die Daten im DataBook zu sichern im Menü File Save As Save Data File As... auswählen. StatGallery Die StatGallery hat mehrere Seiten, zwischen denen mit Hilfe der Buttons Next Page, Prev Page, First Page und Last Page hin und her gewechselt werden kann. Standardmäßig hat jede Seite der StatGallery 4 Felder. Man kann die Anzahl und die Anordnung der Felder jedoch verändern, indem man im Kontextmenü, welches sich nach Rechtsklick in die StatGallery öffnet, Arrange Panes auswählt. Nun kann man das gewünschte Layout auswählen. Dieses Layout gilt nur für die aktuelle Seite. Um eine in die StatGallery einzufügen, diese irgendwo in Statgraphics kopieren. Rechtsklick in das Feld, in welches die Graphik eingefügt werden soll und Paste bzw. Paste Link wählen. Wird Paste Link gewählt wird die Grafik mit ihrem Ursprungspunkt verknüpft (funktioniert nur bei gespeicherten StatFolios) und ändert sich automatisch, wenn dort eine Änderung auftritt. Um mehrere Graphiken zu überlagern eine Graphik in ein Feld einfügen in dem schon eine Graphik vorhanden ist und im sich öffnenden Dialog Overlay wählen. Um den Inhalt der StatGallery zu speichern im Hauptmenü File Save As Save StatGallery As... auswählen (*.sgg Format). Eine Speicherung in anderen Graphikformaten ist nicht möglich. StatReporter Der StatReporter soll die Erstellung von Dokumentationen in Statgraphics vereinfachen. Er ist nach dem Vorbild von Microsoft WordPad aufgebaut und liefert als Ergebnis rtf-dateien. Tabellen und Graphiken können mittels Copy und Paste in den StatReporter übernommen werden. Spätere Änderungen werden nicht berücksichtigt. Text kann wie in einer Textverarbeitung üblich hinzugefügt und die entsprechenden Einstellungen daran vorgenommen werden. Um den Inhalt des StatReporters zu speichern im Hauptmenü File Save As Save StatReporter As... auswählen. Um Alles zusammen abzuspeichern File Save As Save StatFolio As... auswählen. Dabei wird das gesamte aktuelle Projekt abgespeichert. Das sind neben den Daten, der Gallery und den Reporter auch 7

9 die statistischen Auswertungen. Die Daten, die Gallery und der Reporter müssen dabei vorher extra abgespeichert werden. Dateneingabe und Speichern der Beispieldaten Im DataBook in Blatt A in der ersten mit dem Namen Spalte Col_1 die Daten eintragen, jede Zahl bekommt eine eigene Spalte. 14, 21, 19, 14, 19, 16, 12, 14, 16, 16, 12, 15, 18, 16, 16, 16, 22, 19, 12, 11, 16, 10, 19, 6, 16, 18, 18, 18, 13, 14 Dann auf den Spaltenkopf doppelklicken und bei Name Beispielzahlen1 eintragen. Bei Type Numeric auswählen. Im Menü File Save As Save Data File as... auswählen. Als Namen beispiele.sgd wählen und abspeichern. Um die Daten wieder ins DataBook zu laden wählen Sie File Open Data Source, wählen Sie dann STATGRAPHICS Data File aus und laden sie die Datei mit dem Namen Beispielzahlen1. 8

10 KAPITEL 3 Beschreibende Statistik 3.1 Eindimensionale Daten Histogramm Wählen Sie Plot Exploratory Plots Frequency Histogram. Auf der linken Seite des Dialogfels den Namen der Spalte, die die Daten mit denen das Histogramm erstellt werden soll, enthält, auswählen und diesen mit Klick auf den Pfeil unter Data oder durch Doppelklick übertragen. Der Name der Spalte kann auch direkt eingegben werden. Optionale Felder, hier Select, werden in Klammer geschrieben. Dort können Eintragungen vorgenommen werden. Nach dem Klick auf OK wird das Histogramm erstellt. Änderungen am Histogramm können Sie mit einem Rechtsklick im Histogramm und Auswahl von Pane Options erreichen. Bei Number of Classes kann man die gewünschte Anzahl an Klassen eingeben. Mit Lower Limit ist die untere Grenze des ersten Intervalls und mit Upper Limit die obere Grenze des letzten Intervalls einstellbar. Wenn bei Counts ein Häkchen bei Relative gemacht wird, werden die relativen anstatt der absoluten Häufigkeiten eingezeichnet. Cumulative kumuliert die einzelnen Häufigkeiten. Unter Plot Type kann man wählen ob das Histogramm als Säulendiagramm (Histogram) oder als Polygonzug (Polygon) dargestellt werden soll. Unter Graphic Options kann man die Graphiken nach seinem eigenen Geschmack gestalten Lageparamter und Streumaße für metrisch skalierte Daten Wählen Sie Describe Numeric Data One Variable Analysis. Bei Data den Namen der Spalte eingeben, welche die Werte enthält, die betrachtet werden sollen. Falls die Summary Statistics noch nicht angezeigt werden, ein Häkchen hierfür in der Tables- Schaltfläche setzen. Mit einem Rechtsklick in das Feld mit der Summary Statistics klicken und Pane Options auswählen. In der nun geöffneten Liste können Sie nun wählen was alles berechnet werden soll. Um die Quantile anzeigen zu lassen, wählen Sie in der Tables- Schaltfläche Percentiles. Unter Pane Options im Feld mit den Quantilen kann man die zu berechnenden Quantile angeben. Hierfür bei Percentiles die gewünschten Werte für α eingeben. 9

11 Unter Graphs sind noch weitere Graphiken wählbar. Im Beispiel wählen Sie File Open Data Source, machen Sie dann bei STATGRA- PHICS Data File ein Häkchen und laden sie die Datei mit dem Namen Beispielzahlen1. Wählen Sie danachdescribe Numeric Data One Variable Analysis. Bei Data Beispielzahlen1 eintragen und mit OK bestätigen. Nach Treffen der folgenden Auswahl im Feld Summary Statistics und beibehalten der voreingestellten Werte im Feld Percentiles, erhäl man die untenstehenden Ergebnisse Box-Plot Wählen Sie Plot Exploratory Plots Box-and-Whisker-Plots One Sample. Verwenden Sie hier wieder die Beispielzahlen1. 10

12 Es ist auch möglich ein 95 % Konfidenzintervall für den Median anzugeben. Hierfür rechtsklicken Sie in den Box-Plot und wählen unter Pane Options Median Notch aus Balkendiagramm Wählen Sie Plot Business Charts Barchart. Bei Counts den Datensatz eingeben den Sie als Balkendiagramm darstellen wollen, unter Labels können Sie dann die Beschriftung für die Spalten angeben. Unter Pane Options können Sie dann unter Chart Type auswählen ob die Säulen wie im Beispiel dargestellt werden sollen (Clustered) oder direkt aufeinander gestapelt (Stacked). Unter Scaling können Sie entscheiden welchen Maßstab die Achse haben soll, entweder prozenutal (Percentages) oder die absoluten Häufigkeiten (Frequencies). Unter Direction können Sie entscheiden ob die Balken horizontal oder vertikal geplottet werden. Für das mehrfache Balkendiagramm wählen Sie Plot Business Charts Multiple Barchart. Hier können Sie dann mehrere Daten eingeben. Verwenden Sie die Daten aus der 3. Übung des Sommersemesters, so erhalten Sie 11

13 Es entsteht dann folgende Graphik. Achtung! Man kann nicht alles als Balkendiagramm darstellen, zum einen muss der Datentyp Numeric sein und zum anderen darf die Klassenanzahl nicht größer als 20 sein Tortendiagramm Wählen Sie Plot Business Charts Piechart. Unter Counts die Daten eingeben die Sie plotten wollen, unter Labels die Bezeichnung für die Tortenstücke ändern. Wenn Sie im Tortendiagramm wieder unter rechtsklicken und Pane Options auswählen haben Sie nun die Möglichkeit die Beschriftung der Legende und die Beschriftung der Bezeichnung zu verändern. Achtung! Man kann wieder nicht alles als Kuchendiagramm darstellen, zum einen muss der Datentyp Numeric sein und zum anderen darf die Klassenanzahl nicht größer als 20 sein. 12

14 3.2 Zweidimensionale Daten Streudiagramm Wählen Sie Plot Scatterplots X-Y Plot. In den Feldern X und Y die Namen der Spalten mit den zu betrachtenden Daten eingeben. Nach Bestätigung mit OK wird ein Streudiagramm erstellt. Für die Daten aus der 3. Übung des Sommersemesters ergibt sich Kontigenztafel Sehen Sie hierfür bei Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale (Kontigenztafeln) nach. 13

15 KAPITEL 4 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie Im Folgenden Kapitel werden die wichtigsten Verteilungen dargestellt. Für die Verteilungen wählen Sie Plot Probability Distributions aus. 4.1 Diskrete Verteilungen Geometrische Verteilung Die Geometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung für unabhängige Bernoulli-Experimente. Die Zufallsgröße X kann die Werte k = 0, 1, 2,... annehmen. Der Parameter p liegt zwischen 0 und 1. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit lautet p k = P (X = k) = p(1 p) k, k = 0, 1, 2,... Achtung! Es gibt zwei verschiedene Varianten die Zufallsgröße X zu interpretieren, zum einen als Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Versuche n N die notwendig sind um einen Erfolg zu haben und zum anderen als Anzahl der Fehlversuche vor dem ersten Erfolg, hier ist n N 0. Diese Variante wird von Statgraphics verwendet. Die beiden Interpretationsmöglichkeiten haben verschiedene Erwartungswerte und Varianzen. 14

16 Zum Plotten in der Liste Geometric auswählen. Die Eintrittswahrscheinlichkeit für den Erfolg p kann unter Event Prob. festgelegt werden Hypergeometrische Verteilung Bei der Hypergeometrischen Verteilung wird von einer dichotomen Grundgesamtheit N ausgegangen, unter diesen N Stück finden sich M Besondere. Dieser Grundgesamtheit werden zufällig n Elemente nacheinander und ohne Zurücklegen entnommen. Mit einer hypergeometrisch verteilten Zufallsgröße X beschreibt man dann die Anzahl i der besonderen Elemente unter den n gezogenen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten lauten ( )( ) M N M i n i p i = P (X = i) = ( ) N n In der Liste Hypergeometric auswählen. Bei Hypergeometric Options kann nun die Eintrittswahrscheinlichkeit p = M/N (Event Prob.), die Anzahl der Versuche n (Trials) und die Losgröße N (Pop. Size) eingegeben werden. Achtung! Leider kann man M nicht direkt eingeben. Sie müssen zuerst p = M/N berechnen. Statgraphics berechnet dann mit Hilfe von N den Wert von M. Es kann deshalb zu Fehlermeldungen kommen, falls der Wert von M nicht exakt berechnet wird. Zum Beispiel reicht es nicht aus bei N = 7 und M = 4 als Wahrscheinlichkeit p = 0, einzugeben, es wird eine noch größere Genauigkeit benötigt, achten Sie deshalb hierauf bei der Eingabe der Werte Binomialverteilung Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Serie von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils zwei Ausgänge (Erfolg und Misserfolg) haben. Die Anzahl der Versuche wird durch n N beschrieben, p ist die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg. Es gilt für die Wahrscheinlichkeiten ( ) n p i = P (X = i) = p i (1 p) n i, i = 0, 1, 2,..., n i In der Liste Binomial auswählen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist Event. Prob, die Anzahl der Versuche n ist Trials Poissonverteilung Die Poissonverteilung kann als ein Spezialfall der Binomialverteilung angesehen werden. Insbesondere in der Versicherungsmathematik findet sie Anwendung, hier beschreibt sie 15

17 z. B. die Anzahl der Schadensfälle in festen Zeitintervallen. Der Parameter der Verteilung ist λ > 0, diese Zahl stellt zugleich den Erwartungswert und die Varianz dar. Es gilt p k = P (X = k) = λk k! e λ, k = 0, 1, 2,... In der Liste Poisson auswählen. Bei Mean den Wert von λ eingeben Negative Binomialverteilung Bei der Negativen Binomialverteilung wird die Anzahl der benötigten Versuche beschrieben um eine in einem Bernoulli-Prozess vorgegebene Anzahl von Erfolgen betrachtet. Es handelt sich also um eine Verallgemeinerung der Geometrischen Verteilung. Die Parameter lauten nun r (Anzahl der benötigten Erfolge) und p (Erfolgswahrscheinlichkeit). Dann gilt ( ) k 1 P (X = k) = p r (1 p) k r, k = r, r + 1,... r 1 Achtung! In Statgraphics wird jedoch nicht die Anzahl der benötigten Versuche beschrieben, sondern die Anzahl der Misserfolge bis zum r-ten Erfolg. Die Erfolge werden also nicht mitgezählt, es gilt folgende Modifikation obiger Formel ( k + r 1 P (X = k) = k ) p r (1 p) k, k = 0, 1, 2,... In der Liste Negative Binomial auswählen. Event Prob. ist die Erfolgswahrscheinlichkeit p und bei Successes die Anzahl der benötigten Erfolge r eingeben. 4.2 Stetige Verteilungen Normalverteilung Die wohl wichtigste Verteilung ist die Normalverteilung. Unter dem Namen Gauß- Verteilung ist sie auch bekannt. Die Abweichungen der Messwerte vieler Vorgänge in den Natur-, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften lassen sich durch die Normalverteilung in sehr guter Näherung beschreiben. Wichtig ist die Normalverteilung auch, wenn man den Zentralen Grenzwertsatz betrachtet, der besagt, dass die Summe von n unabhängig, identisch verteilten Zufallsgrößen bei Übergang von n normalverteilt ist. Die beiden Paramter der Verteilung sind µ R als Erwartungswert und σ 2 > 0 als Varianz. Für die Dichtefunktion f X (x) gilt f X (x) = 1 2πσ exp ( ) (x µ)2 2σ 2 Gilt µ = 0 und σ 2 = 1, so spricht man von einer Standardnormalverteilung. In der Liste Normal auswählen, Mean enstpricht dem Erwartungswert µ, Std. Dev. ist die Standardabweichung σ. 16

18 4.2.2 Exponentialverteilung Eine wichtige Verteilung bei der Betrachtung von Lebensdauern stellt die Exponentialverteilung dar. Jedoch sollten hierbei nur äußere Bedingungen Einfluss haben und der Alterungsprozess sollte vernachlässigbar sein. Der Paramter λ > 0 steht für die Anzahl der erwarteten Ereignisse pro Einheitsintervall. Die Dichtefunktion f X (x) lautet { 0 für x < 0 f X (x) = λ exp( λx) für x 0 In der Liste Exponential auswählen, Mean entspricht hier 1/λ. Falls Sie Exponential 2-parameter auswählen gibt es noch die Möglichkeit, die Verteilung um den Nullpunkt zu verschieben, dies geschieht durch Eingabe eines Wertes bei Treshold Weibullverteilung Die Weibullverteilung kann als Grenzverteilung für das Minimum einer großen Zahl von unabhängigen Zufallsgrößen auftreten, deswegen wird sie auch manchmal als die Verteilung des schwächsten Kettengliedes bezeichnet. Die Dichtefunktion f X (x) hat folgende Form 0 fürx < c ( ) ( f X (x) = b 1 ( ) ) b b x c x c exp für x c a a a Der Parameter a > 0 heißt Skalenparameter (Scale), b > 0 heißt Formparameter (Shape), c R sorgt für eine Verschiebung des Nullpunkts (Treshold). Falls von einer zweiparametrigen Weibullverteilung gesprochen wird, so ist c = 0. In der Liste Weibull (3-parameter) auswählen und die Werte für die Parameter eingeben Gammaverteilung Die Gammaverteilung ist auch eine Lebensdauerverteilung, sie ist jedoch flexibler im Vergleich zur Exponentialverteilung. Die Dichtefunktion f X (x) lautet 0 für x < 0 f X (x) = λ p Γ(p) xp 1 exp( λx) für x > 0 Die Gammafunktion Γ(p) = 0 exp( t)t p 1 dt für p > 0 hat folgende Eigenschaften: Γ(1) = 1, Γ(p) = (p 1)Γ(p 1) und Γ(n) = n! für n N. Die Parameter der Gammaverteilung sind der Skalenparameter λ > 0 (Scale) und der Formparameter p > 0 (Shape). In der Liste Gamma auswählen und die Parameter eintragen. Wenn Sie Gamma 3-parameter auswählen, können Sie unter Treshold eine Verschiebung des Nullpunkts erreichen. 17

19 4.2.5 Lognormalverteilung Die Lognormalverteilung taucht bei Zeitstudien und Lebensdaueranalysen in ökonomischen, technischen und biologischen Vorgängen auf. Für die Dichtefunktion f X (x) gilt 0 ) für x < 0 f X (x) = 1 exp ( für x > 0 2πσx (ln x µ)2 2σ 2 In der Liste Lognormal auswählen, den Wert für den Parameter µ (Mean) und für die Standardabweichung σ (Std. Dev.) eingeben. Falls Sie Lognormal 3-parameter auswählen und Sie für Treshold einen Wert ungleich Null eingeben, findet wieder eine Nullpunktverschiebung statt Gleichverteilung Die stetige Gleichverteilung oder auch ihrer Form entsprechend Rechteckverteilung genannt besitzt als Paramter das Intervall [a, b] R. Die Dichtefunktion f X (x) sieht folgendermaßen aus 1 für a x b f X (x) = b a 0 sonst In der Liste Uniform auswählen. Lower Limit ist a und Upper Limit ist b logistische Verteilung Die logistische Verteilung findet vor allem bei Wachstumsprozessen mit einer Sättigungstendenz Anwendung. Die beiden Paramter lauten α R und β > 0, α ist zugleich der Erwartungswert und der Median der Verteilung. Die Dichtefunktion lautet ( ) f(t) = β exp ( 1 + exp t α β ( t α β In der Liste Logistic auswählen. Es dient wieder Mean als Erwartungswert und Std. Dev. als Standardabweichung Chi-Quadrat-Verteilung Die Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden (χ 2 n-verteilung) beschreibt die Verteilung der Summe von n unabhängigen quadrierten und standardnormalverteilten Zufallsgrößen. In der Liste Chi-Square auswählen und die Anzahl der Freiheitsgrade D.F. eingeben. )) 2 18

20 4.2.9 F-Verteilung Die F-Verteilung ergibt sich als Quotient zweier Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen. Diese werden durch die Größe ihrer Freiheitsgrade n bestimmt. Die F-Verteilung besitzt also zwei unabhängige Paramter. In der Liste F (Variance Ratio auswählen. Num. D.F. stellt hierbei die Anzahl der Freiheitsgrade des Nenners da, Denom. D.F. ist die Anzahl der Freiheitsgrade des Zählers t-verteilung Für statistische Fragestellungen wird die t-verteilung, oder auch Studentsche t-verteilung, benötigt. Diese hat auch wieder n Freiheitsgrade. In der Liste Student s t auswählen und die Anzahl der Freiheitsgrade D.F. eingeben. 4.3 Bearbeiten der Graphiken In Statgraphics ist es möglich die Graphiken zu bearbeiten. Wenn Sie eine Verteilung erzeugen erscheint folgendes Fenster. Falls die Verteilungs- oder die Dichtefunktion nicht angezeigt werden in der Schaltfläche CDF für die Verteilungsfunktion bzw. Density/Mass Function für die Dichtefunktion auswählen. Für stetige Verteilungen ist es möglich, bestimmte Bereiche der Verteilung zu schattieren. Hierzu in der Graphik der Dichtefunktion rechtsklicken und unter Pane Options die gewünschte Einstellung übernehmen. Für alle Verteilungen kann man die Graphiken noch weiter bearbeiten, sei es um die Achsen umzubenennen, die Dicke der Striche bzw. die Form der Punkte zu ändern oder um Farbe ins Spiel zu bringen, hierfür rechtsklickt man in der Graphik, Sie können dann unter Graphics Options die gewünschten Einstellungen treffen. Unter Analysis Options können Sie die Grundeinstellungen für die Verteilung ändern. Um Wahrscheinlichkeiten der gewählten Verteilung zu bestimmen, wählen Sie die Cumulative Distribution aus. Mit einem Rechtsklick in das zugehörige Feld können Sie unter Pane Options die Werte unter Random Variable ändern. Wenn man Quantile bestimmen möchte, klickt man auf Inverse CDF. Im Normalfall werden die 0.01, 0.1, 0.5, 0.9 und 0.99 Quantile der Verteilung angezeigt. Möchten Sie 19

21 den Wert für ein anderes Quantil wissen, einfach rechtsklicken und unter Pane Options das gewünschte Quantil eingeben. Zum Erzeugen von Zufallszahlen Random Numbers auswählen. Um die Anzahl der zu erzeugenden Zufallszahlen zu ändern mit der rechten Maustaste in das Feld klicken und Pane Options auswählen, danach tragen kann man einen Wert eintragen. Zum Erzeugen der Zufallszahlen auf die Save Results Schaltfläche klicken, im Fenster ein Häkchen vor Random Numbers for Dist. 1 setzen. Bei Datasheet kann das Blatt ausgewählt werden, in welches die Zufallszahlen im DataBook eingetragen werden sollen. Bei Target Variables wird der Name eingegeben, den die Spalte mit den Zufallsvariablen erhalten soll. Wird ein bereits existierender Spaltenname verwendet, fragt Statgraphics ob es die bisherigen Werte in dieser Spalte ersetzen soll. 20

22 KAPITEL 5 Grundlagen des statistischen Schließens 5.1 Parameterschätzungen Konfidenzschätzungen für die Parameter einer Normalverteilung Wählen Sie Describe Numeric Data One Variable Analysis. Die Spalte mit den gewünschten Daten auswählen und bestätigen. Falls die Konfidenzintervalle nicht mit angezeigt werden die Tables-Schaltfläche anklicken und Confidence Intervalls auswählen. Es werden die Konfindenzintervalle für Erwartungswert und Standardabweichung für eine normalverteilte Stichpropbe ausgegeben. In beiden Fällen wird der jeweils andere Parameter aus der Stichprobe geschätzt. Einstellungen können unter Pane Options im Fenster mit den Konfidenzintervallen vorgenommen werden. Im Eingabefeld Confidence Level kann das Konfidenzniveau 1 α geändert werden. Bei Interval Type kann ausgewählt werden, ob das zentrale Konfidenzintervall (Two-Sided), die obere (Upper Bound) oder die untere Konfidenzgrene (Lower Bound) berechnet werden soll Konfidenzschätzungen für eine (unbekannte) Wahrscheinlichkeit p Wählen Sie Describe Numeric Data Hypothesis Test. Unter Parameter wählen Sie Binomial Proportion. Weiter gibt man unter Sample Size den Stichprobenumfang n an und im Feld Sample Proportion die relative Häufigkeit (k/n) an. Unter Analysis Options können Sie zwischen den möglichen Alternativhypothesen und ein Niveau Alpha (das Konfidenzniveau) ist 1 Alpha) wählen. Man erhält das zur Testalternative zugehörige Konfidenzintervall. 21

23 5.2 Tests Wichtige Tests bei normalverteilten Grundgesamtheiten - eine Stichprobe Mittelwerttest - Signifikanztest für den Erwartungswert µ (t-test) Wählen Sie Describe Numeric Data One Variable Analysis. Die Spalten mit den gewünschten Daten auswählen und bestätigen. Falls die Tests nicht mit angezeigt werden, die Tables-Schaltfläche auswählen und Hypothesis Test auswählen. Die nötigen Einstellungen kann man im Pane Options-Menü im Feld mit den Tests vornehmen. Unter Normalverteilungsvorraussetzung sollte t-test gewählt werden. Bei Mean/Median wird der Erwartungswert eingetragen, bei Alpha kann das Signifikanzniveau in Prozent angegeben werden und die Auswahl der Alternativhypothese erfolgt unter Alt. Hypothesis: Die drei Möglichkeiten Not Equal µ µ 0, Less Than µ < µ 0 und Greater Than µ > µ 0. Wenn Sie die Daten aus der 1. Übung des Wintersemesters verwenden, ergibt sich für den Benzinverbrauch Man kann bei den Tests auch den Vorzeichentest (Sign Test) bzw. den Wilcoxon- Vorzeichen-Rangtest (Signed Rank Test) wählen. Streuungstest - Signifikanztest für die Standardabweichung σ Das Vorgehen ist wie beim Signifikanztest für den Erwartungswert µ. Nur wählt man hier im Pane Options-Menü im Feld Dispersion den Chi-Squared-Test und gibt die Standardabweichung (Standard Deviation) ein Wichtige Tests bei normalverteilten Grundgesamtheiten - zwei verbundene Stichproben Die Tests bei zwei verbundenen Stichproben funktionieren wie die bei einer Stichprobe. Seien X und Y zwei verbundene Stichproben, dann wendet man die Tests auf die Differenz Z = X Y an. 22

24 Sie können auch Compare Two Samples Paired Samples wählen und eine Analyse durchführen Wichtige Tests bei normalverteilten Grundgesamtheiten - zwei unabhängige Stichproben Mittelwertvergleich bei gleichen (unbekannten) Varianzen (doppelter t-test) Wählen Sie Compare Two Samples Independent Samples. Bei Sample 1 und Sample 2 die Namen der Spalten mit den zu betrachtenden Werten eingeben und bei Input Two Data Columns auswählen. Falls noch nicht angezeigt, wählen Sie in der Tables-Schaltfläche Comparisons of Means aus. Im Menü Pane Options diesen Feldes können die weiteren Einstellungen vorgenommen werden. Bei Null Hypothesis wird die angenommene Differenz der beiden Mittelwerte = µ 1 µ 2 angegeben. Die Auwahl der Alternativhypothese erfolgt unter Alt. Hypothesis. Bei Alpha das Signifikanzniveau in Prozent angeben. Für den doppelten t Test muss das Häkchen vor Assume Equal Sigmas gesetzt sein. Nehmen wir Aufgabe 1a) aus der 2. Übung des Wintersemesters und vergleichen Technologie A mit Technolgie B, so ergibt sich Mittelwertvergleich bei möglicherweise ungleichen Varianzen (Welch-Test) Wählen Sie Compare Two Samples Independent Samples. Die Vorgehensweise ist wie beim doppelten t-test, nur dass das Häkchen vor Assume Equal Sigmas nicht gesetzt wird Beispiele sogenannter verteilungsfreier Tests Vorzeichentest Wählen Sie Compare Two Samples Paired Samples. Die Wertepaare so eingeben, dass die jeweils zusammengehörigen Werte nebeneinander stehen. Bei Sample 1 und Sample 2 die Spaltennamen der beiden Spalten mit den Werten 23

25 eingeben und bestätigen.nun auf die Tables-Schaltfläche klicken und Hypothesis Tests auswählen. Der Sign Test entspricht dem Vorzeichentest, wie in der Vorlesung vorgestellt. Falls das Ergebnis des Sign Tests noch nicht angezeigt wird, Pane Options auswählen und ein Häkchen vor Sign Test setzen. Mann kann hier außerdem unter Alt. Hypothesis die gewünsche Alternativhypothese auswählen und unter Alpha das Signifikanzniveau in Prozent eingeben. Rangtest nach Wilcoxon Wählen Sie Compare Two Samples Independent Samples. Bei Sample 1 und Sample 2 die Spaltennamen der beiden Spalten mit den Werten eingeben und bestätigen. Nun auf die Tables-Schaltfläche klicken und Comparison of Medians auswählen. Unter Pane Options kann bei Alt. Hypothesis die gewünschte Alternativhypothese ausgewählt und unter Alpha das Signifikanzniveau in Prozent eingeben werden. Achtung! Da Statgraphics eine andere Teststatistik verwendet, weichen die ausgegebenen Zahlenwerte von den nach dem Muster der Vorlesung und Übung berechneten ab. Die Testentscheidung ist jedoch bei beiden Methoden gleich Monte-Carlo-Tests Der Monte-Carlo-Test wird anhand eines kleinen Beispiels erklärt. Wählen Sie Plot Probability Distributions. In der Liste Exponential auswählen und bestätigen. Klicken Sie dann auf die Tables-Schaltfläche und wählen Random Numbers aus. Mit der rechten Taste in das Feld klicken und Pane Options auswählen. Sie können nun einstellen, wieviele Zufallszahlen erzeugt werden sollen (1000). Unter Analysis Options können Sie den Erwartungswert (Mean) der zu erzeugenden Stichprobe, also 1/λ 0 eingeben. Zum Erzeugen der Zufallszahlen auf die Save results-schaltfläche klicken und ein Häkchen vor Random Numbers for Dist. 1 setzen. Bei Datasheet kann das Blatt ausgewählt werden, in welches die Zufallszahlen im Data Book eingetragen werden sollen. Bei Target Variables wird der Name eingegen, den die Spalte mit den Zufallszahlen erhalten soll. Wird ein bereits existierender Spaltenname verwendet, fragt Statgraphics ob es die bisherigen Werte in dieser Spalte ersetzen soll. Nun die nächste Spalte im Data Book markieren, mit der rechten Maustaste anklicken und im Kontextmenü Generate Data wählen. Hier bei Expression: Rep(Count(1;1000;1);10) eingeben. Es werden die Zahlen von 1 bis 1000 mit einer Schrittweite von 1 bis 1000 mit einer Schrittweite von 1 erstellt, wobei jede Zahl zehnmal hintereinander aufgeführt wird. Eine Stichprobe entspricht jetzt den zehn exponentialverteilten Zufallszahlen, denen in der zweiten Spalte die gleiche Zahl zugeordnet ist. Um die Mittelwerte der 1000 Stichproben zu berechnen, wählen Sie im Menü Describe Numeric Data Subset Analysis aus. Bei Data den Namen der Spalte eingeben, die die exponentialverteilten Zufallszahlen enthält, den Namen der Spalte, welche die Nummerierung enthält, bei Codes eintragen. Nach Erstellung der Analyse wieder auf die 24

26 Save results-schaltfläche klicken. Bei Save setzen Sie ein Häkchen vor Means und bei Datasheet das Datenblatt auswählen, welchem die Werte hinzugefügt werden sollen. Bei Target Variables steht der Name, den die Spalte erhält, in welcher die Mittelwerte gespeichert werden. Hier wird der Name dieser Spalte also MEAN. Um jetzt das Histogramm und die Quantilstabelle zu erstellen, im Menü Describe Numeric Data One-Variable Analysis auswählen. Bei Data 1/MEAN eingeben. Nun wählen Sie Percentiles und Graphs Frequency Histogramm aus. 5.3 Nichtparametrische Tests Test auf Vorliegen einer bestimmten Verteilung χ 2 Anpassungstest Wählen Sie Describe Distribution Fitting Fitting Uncensored Data. Bei Data den Namen der Spalte eingeben, welche die zu überprüfenden Werte enthält. Analysis Options auswählen und im nun geöffneten Dialogfenster auswählen auf welche Verteilungen hin die Stichprobe überprüft werden soll. Anschließend auf die Tables-Schaltfläche klicken und Goodness-of-Fit Tests auswählen, falls diese noch nicht angezeigt werden. Rechtsklick in dieses Feld und Pane Options auswählen. Hier kann das durchzuführende Testverfahren ausgewählt werden. Chi-squared ist der χ 2 Anpassungstest. Falls man use equiprobable classes auswählt, wird die Klasseneinteilung so vorgenommen, dass alle Klassen gleichwahrscheinlich sind. Nach Klick auf die Graphs-Schaltläche können verschiedene Graphiken ausgewählt werden. Kolmogorov-Smirnov-Test Wählen Sie Describe Distribution Fitting Fitting Uncensored Data. Bei Data den Namen der Spalte eingeben, welche die zu überprüfenden Werte enthält. Analysis Options auswählen und im nun geöffneten Dialogfenster auswählen auf welche Verteilungen hin die Stichprobe überprüft werden soll. Anschließend auf die Tables-Schaltfläche klicken und Goodness-of-Fit Tests auswählen, falls diese noch nicht angezeigt werden. Rechtsklick in dieses Feld und Pane Options auswählen. Hier kann das durchzuführende Testverfahren ausgewählt werden. Chi-squared ist der χ 2 Anpassungstest. Shapiro-Wilk-Test Das Vorgehen ist wie beim Kolmogorov-Smirnov-Test. In der Tables-Schaltfläche auf Test for Normality klicken, um das Ergebnis des Shapiro-Wilk-Tests anzeigen zu lassen. 25

27 5.3.2 Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale (Kontigenztafeln) Wählen Sie Describe Categorial Data Contigency Tables. Bei Columns die Namen von zwei oder mehr Spalten eingeben, die den Spalten der Datentabelle entsprechen. Falls die Kontigenztafel noch nicht angezeigt wird, auf die Tables-Schaltfläche klicken und Frequency Tables auswählen. Die Realisierung der Teststatistik und den p-value erhält man durch Wählen von Tests of Independence. Weitere Einstellungen können unter Pane Options im Feld mit der Kontigenztafel vorgenommen werden. Für das Weinbeispiel aus der Übung ergibt sich Den Mosaikplot erhält man, wenn man ein Häkchen in der Tables-Schaltfläche bei Mosaic Plot setzt. Den Unabhängigkeitstest erhält man, wenn man ein Häkchen bei Tests of Independence setzt. 26

28 5.4 Stichprobenpläne zur Qualitätskontrolle (n,c)-stichprobenplan Wählen Sie SPC Acceptance Sampling Attributes. Bei Action Create OC Plan wählen. Den gesamten Lieferumfang bei Lot Size eintragen, unter Desired Features können Sie das Produzentenrisiko α (Producer s Risk) und das Konsumentenrisiko β (Consumer s Risk) eingeben. Bei Quality Levels werden p α (Acceptance quality level, AQL) und p β (Lot tolerance percent defective, LPTD) eintragen. Falls die OC-Funktion noch nicht angezeigt wird, auf die Graphs- Schaltfläche klicken und OC Curve auswählen. Achtung! Statgraphics rechnet mit der Hypergeometrischen Verteilung und nicht mit einer Poisson- bzw. Normalverteilungsapproximation. Mit den obigen Werten ergibt sich Wählen Sie Analyze existing plan, so wird ein bereits bestehender Plan mit Stichprobengröße n und Akzeptanzzahl c untersucht. 27

29 5.4.2 Laufende Kontrolle - Mittelwertkarte Wählen Sie SPC Control Charts Basic Variables Charts X-bar and R. Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten: 1. In eine Spalte die Werte aus allen zu betrachtenden Teilstichproben eingeben. Dabei müssen die Werte, die zu einer Teilstichprobe gehören untereinander stehen. Aus der Teilstichprobe sollen jeweils die Mittelwerte berechnet werden. Bei Data - Observations den Namen dieser Spalte eintragen. Bei Date/Time/Labels or Size geben Sie den Namen der Spalte ein, der die einzelnen Teilstichproben unterscheidet. 2. Die Werte, die zu einer Teilstichprobe gehören, werden in mehreren Spalten nebeneinander geschrieben. Die Werte der nächsten Teilstichprobe darunter usw. Bei Data - Observations werden die Namen der Spalte eingetragen. Statgraphics fasst jetzt alle Werte, die in einer Zeile stehen zu einer Teilstichprobe zusammen. Das weitere Vorgehen ist für beide Möglichkeiten gleich. Wählen Sie dann bei Type of Study die Control to Standard Variante aus. Bei Specify Parameters geben Sie den Sollwert (Mean) und die Standardabweichung (Std. Dev.) ein. Eine andere Möglichkeit die Eingriffslinien einzugeben ist unter Specify Control Limits möglich. Klicken Sie dann auf OK. Die Mittelwertkarte erhält man, indem man auf die Graphs-Schaltfläche klickt und X-bar Chart auswählt. Mit den Daten zur Schichtdicke aus Aufgabe 7 ergibt sich Sequentieller Stichprobenplan Wählen Sie Describe Numeric Data Sequential Sampling. Bei Data variable die bisher gesammelten Daten eingeben. Unter Sequential Sampling 28

30 Options können Sie nun weitere Einstellungen bezüglich des Stichprobenplans treffen. Verwenden Sie beispielsweise die Daten aus der Übung zum Sequentiellen Stichprobenplan, ergibt sich für Lieferung 1 Zur besseren Darstellung des Cumulative Plot kann man die Achsen unter Graphics Options einstellen. 29

31 Für den ASN-Plot erhält man 30

32 KAPITEL 6 Varianzanalyse Die Varianzanalyse gestattet es, den Einfluss eines qualitativen Merkmals (Faktor), auf ein quantitatives bzw. messbares Merkmal zu untersuchen. 6.1 Einfache Klassifikation F-Test Wählen Sie Compare Analysis of Variance One-Way Anova. Bei Dependent Variabls die Spalte mit den Werten des zufälligen Merkmals eintragen und bei Factor die Spalte mit den Werten des Faktors. Falls die ANOVA-Tafel noch nicht angezeigt wird, auf die Tables-Schaltfläche klicken und ANOVA Table auswählen. Für den Fußballdatensatz ergibt sich beispielsweise 31

33 Es ergibt sich folgende Varianzanalysetabelle Kruskal-Wallis-Test Wählen Sie Compare Analysis of Variance One-Way Anova. Wie beim F-Test in die Spalte bei Dependent Variables die Werte des zufälligen Merkmals eintragen und bei Factor die Werte des Faktors. Unter der Tables-Schaltfläche den Kruskal-Wallis-Test auswählen. Das Ergebnis lautet 6.2 Zweifache Klassifikation Bei der zweifachen Varianzanalyse wird die Abhängigkeit eines Merkmals X von zwei Faktoren A und B untersucht F-Test Wählen Sie Compare Analysis of Variance Multifactor Anova. Bei Dependent Variable den Namen der Spalte mit den Werten des zufälligen Merkmals eintragen, bei Factors die Namen der beiden Spalten, welche die Werte der Faktoren enthalten, eingeben. Für den Datensatz über das Kaufverhalten ergibt sich Den Typ können Sie unter Pane Options einstellen, außerdem können Sie dort auch andere Fehlerterme auswählen. 32

34 6.2.2 Zweifache Varianzanalyse mit Mehrfachbesetzungen und Wechselwirkungen Möchte man Wechselwirkungen betrachten, so wählt man wie oben die Anova-Tafel aus. Unter Analysis Options geben Sie dann bei Maximum Order Interaction 2 ein. Als Ergebnis erhalten Sie beispielsweise Den Interaction Plot wählen Sie in der Tables-Schaltfläche aus. 6.3 Mehrfaktorenanalyse Bei der Mehrfaktorenanalyse gehen Sie genauso vor wie bei der zweifachen Klassifikation. Im Feld Factors werden jetzt mehr als zwei Spaltennamen eingegeben. Beim Auftreten 33

35 von Wechselwirkungen bei Maximum Order Interaction die Anzahl der Faktoren eintragen, wenn alle Wechselwirkungen untersucht werden sollen. Für 3 Faktoren ergibt sich beispielsweise folgende Untersuchung in Abhängigkeit von Maximum Order Interaction: Maximum Order Interaction: 1 A, B, C Maximum Order Interaction: 2 A, B, C, AB, AC, BC Maximum Order Interaction: 3 A, B, C, AB, AC, BC, ABC 34

36 KAPITEL 7 Korrelationsanalyse Mit Hilfe der Korrelationsanalyse sollen statistisch gesicherte Aussagen über bestimmte Aspekte des Zusammenhangs von mehreren Merkmalen getroffen werden. 7.1 Zwei Merkmale Einfache Korrelation Wählen Sie Describe Numeric Data Multiple Variable Analysis. Bei Data die Namen der beiden Spalten mit den Werten der zu analysierenden Merkmale eingeben. Falls das Feld mit der Korrelation noch nicht angezeigt wrid, auf die Tables-Schaltfläche klicken und Correlations auswählen. Wenn Sie beispielsweise Dollars und Miles aus der Übung zur American Express Company vergleichen ergibt sich für die Korrelation und den dazugehörigen Box-Plot Rangkorrelation Für Aussagen über den Zusammenhang zweier nichtnormalverteilter Merkmale treffen, kann man den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten oder den von Kendall nutzen. Wählen Sie Describe Numeric Data Multiple Variable Analysis. Bei Data die Namen der beiden Spalten mit den Werten der zu analysierenden Merkmale eingeben. In der Tables-Schaltfläche klicken und Rank Correlations auswählen. Zwischen Spearman und Kendall können Sie wechseln, wenn Sie mit der rechten Maustaste in das Feld mit der Rangkorrelation klicken und Pane Options auswählen. Mit dem Datensatz zur Weinanalyse ergibt sich 35

37 7.2 Mehrere Merkmale empirische Korrelationsmatrix Werden p > 2 Merkmale, modelliert durch Zufallsgrößen X 1,..., X p untersucht, so können für alle Paare X i X j mit i, j = 1,..., p die entsprechenden Korrelationskoeffizienten berechnet werden. Diese Korrelationskoeffizieten werden zu einer Korrelationsmatrix zusammengefasst. Wählen Sie Describe Numeric Data Multiple Variable Analysis. Bei Data die Namen der Spalten mit den Werten der zu analysierenden Merkmale eingeben. Die Korrelationsmatrix können Sie anzeigen lassen, indem Sie in der Tables-Schaltfläche Correlations auswählen. Die Korrelationsmatrix für das Verkaufsbeispiel lautet kanonische Korrelation Der kanonische Korrelationskoeffizient dient der Berechnung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Gruppen von Merkmalen. Wählen Sie Describe Multivariate Methods Canonical Correlatiosn. Die Namen der Spalten mit den Merkmalen einer Gruppe sind bei First Set of Variables einzutragen, die der anderen Gruppe bei Second Set of Variables. Falls es in den Gruppen eine unterschiedliche Anzahl von Merkmalen gibt, sind die Namen der Spalten, die die 36

38 Merkmale aus der größeren Gruppe enthalten, bei First Set of Variables einzugeben. Für das Verkaufsbeispiel ergibt sich multiple Korrelation Bei der multiplen Korrelation handelt es sich um einen Spezialfall der kanonischen Korrelation. Der multiple Korrelationskoeffizient ist der betragsmäßig größte kanonische Korrelationskoeffizient. 37

39 7.2.4 partielle Korrelation Eine Korrelation zwischen zwei Zufallsgrößen X und Y kann möglicherweise auf einen gemeinsamen (linearen) Einfluss einer dritten Zufallsgröße U zurückgeführt werden. Die partielle Korrelation zwischen X und Y ist die Korrelation zwischen X und Y unter Ausschaltung des Einflusses von U. Wählen Sie Describe Numeric Data Multiple Variable Analysis. Bei Data die Namen der Spalten mit den Werten der zu analysierenden Merkmale eingeben. In der Tables-Schaltfläche Partial Correlations anzeigen lassen. Für das Verkaufsbeispiel erhält man 38

40 KAPITEL 8 Regressionsanalyse 8.1 Einfache lineare Regression Kleinste-Quadrate Methode Wählen Sie Relate One Factor Simple Regression. Den Namen der Spalte mit Wirkgröße bei Y und den der Spalte mit der Einflussgröße bei X eingeben und mit OK bestätigen. Im darauffolgenden Fenster wählen Sie Linear aus. Wie Sie sicherlich feststellen gibt es eine Vielzahl von Regressionsmodellen, wir entscheiden uns für die einfache Linear Variante. Setzen Sie ein Häkchen unter Include constant, falls Sie die Regression mit einer Konstanten bestimmen wollen. Bei Alternative Fit können Sie verschiedene Varianten der Minimierung auswählen, wobei sich die Least-Squares oder Kleinste-Quadrate Methode als sehr nützlich erwiesen hat. 39

41 In der Graphs-Schaltfläche die folgenden Einstellungen treffen. Als AnalysisSummary erhält man dann 40

42 Sie erhalten folgende Graphik mit Konfidenz- und Prognoseschlauch. Für den Residual Plot gibt es zwei Möglichkeiten das Residuum zu berechnen. Wählen Sie hierfür unter Pane Options bei Residual Plot entweder Residuals oder Studentized Residuals. Man kann auch Vorhersagen treffen, rechtsklicken Sie hierfür in die Forecast-Graphik. Wählen Sie unter Pane Options die Werte aus, für die Sie die Vorhersagen treffen wollen, außerdem können Sie das Konfidenzintervall ändern sowie die Art der Grenze unter Type of Limits Tukey-Ausgleichsgerade Wählen Sie Relate One Factor Simple Regression. Den Namen der Spalte mit Zielgröße bei Y und den der Spalte mit der Einflussgröße bei X eingeben und bestätigen. Das Analysis Options-Menü öffnen. Bei Type of Model Linear und bei Alternative Fit Use Medians of 3 groups wählen. Im Plot of Fitted Model wird nun auch die Tukey-Ausgleichsgerade angezeigt. Möchten Sie nur die Tukey-Ausgleichsgerade anzeigen lassen, dann wählen Sie unter Pane Options Alternative Fit Only aus. 41

43 8.2 Zeitreihen - Schätzung der Saisonkomponente und Saisonbereinigung Wählen Sie Describe Time Series Seasonal Decomposition. Bei Data den Namen der Spalte eingeben, welche die zu betrachtenden Daten enthält, hier wieder die Beispielzahlen1. Unter Once Every: wird eingetragen, wie oft die Daten erhoben wurden. Es kann ausgewählt werden ob dies jährlich (Year(s), 4-digit), vierteljährlich (Quarter(s)), monatlich (Month(s)), täglich (Day(s)), stündlich (Hour(s)), minütlich (Minute(s)), sekündlich (Second(s)) oder auf sonstige Art (Other) geschehen ist. Bei Starting At wird der Startzeitpunkt der Erhebung angegeben. Unter Seasonality schließlich wird die Saisonalität eingetragen. In dem Fenster können Sie nun noch einmal wählen. Unter Math werden die Daten je nach der angeklickten mathematischen Operation verändert, es reicht jedoch oftmals aus, wenn Sie None auswählen. Unter Inflation können Sie noch die Inflationsrate auswählen und zu welchem Zeitpunkt sie angewendet werden soll. Im Beispiel werden die Werte von Beispielzahlen1 verwendet, die von 2008 einmal jährlich erhoben wurden und eine Periode von 5 aufweisen. Es findet keine Transformation der Daten statt und die Inflation wird auf 0, 0 gesetzt. Unter Pane Options bei Method Additive wählen. Sie erhalten die folgende Graphik. 42

44 Unter der Graphs-Schaltfläche Seasonal Indices wählen. Wenn Sie sich auch hier wieder unter Pane Options für die Additive Variante entscheiden sollte die Graphik erscheinen Zeitreihen - Trendschätzng, Trendabspaltung Glättung Wählen Sie Describe Time Series Smoothing. Bei Data den Namen der Spalte mit den Zeitreihendaten eingeben und bestätigen. Bei Length of Moving Average kann man die gewünsche Fensterlänge für die gleitenden Durchschnitte ändern, je größer diese Zahl ist, desto glatter ist das Ergebnis. Die dazugehörigen Daten kann man sich anzeigen lassen, indem man auf die Tables-Schaltfläche klickt und Data Table auswählt. 43