Übungsblatt 02. Elektrizitätslehre und Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik

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1 Übungsblatt 0 Elektrizitätslehre und Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik Aufgaben. Berechnen Sie, ausgehend vom Coulomb-Gesetz, das elektrische Feld um einen geladenen Draht Linienladungsdichte λ lim ). Der Draht sei unendlich lange und liege auf der q x-achse. s 0 s. Die Ladungen +Q 0 seien bei x x 0 4n + ), nɛz Die Ladungen Q 0 seien bei x x 0 4n ), Berechnen Sie das elektrische Feld bei x 0. nɛz. Im Abstand D sind an zwei isolierten massefreien Fäden der Länge l zwei identische Kugeln aus einem Material der Dichte ρ und dem Durchmesser d aufgehängt. Die eine Kugel wird mit der Ladung q versehen, die zweite mit q. In welchen Winkeln α und α stehen die beiden Kugeln von der Senkrechten ab? Lösen Sie mit den Werten ρ 0 kg, g 9, 8 m, d 5mm, D 0, 05m, ε m s 0 8, 85 0 q 0nC und q 8nC die Gleichung grafisch nach α auf! C m N, l 0, m, 4. An den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit 7 mm Kantenlänge befinden sich drei negative Ladungen von q 60nC. a) Berechnen Sie Betrag und Richtung der Kräfte, die auf die Ladungen an den Ecken wirken. b) Wie gross muss eine in der Mitte des Dreiecks angebrachte Ladung sein, damit die Ladungen an den Ecken kräftefrei sind? 5. An den Ecken eines gleichseitigen Tetraeders mit 8 mm Kantenlänge befinden sich vier positive Ladungen von q 50nC. a) Berechnen Sie Betrag und Richtung der Kräfte, die auf die Ladungen an den Ecken wirken. b) Wie gross muss eine in der Mitte des Tetraeders angebrachte Ladung sein, damit die Ladungen an den Ecken kräftefrei sind? 6. Auf einen elektrischen Dipol wirkt in einem homogenen elektrischen Feld E 0 5 V m ein Drehmoment von T 5zNm Tip: machen sie sich über Einheitenvorsätze kundig!). Der Dipol steht in einem Winkel von α 0.6 zum elektrischen Feld. Welchen Abstand haben die Ladungen des Dipols voneinander, wenn es sich um einfache Elementarladungen handelt? 7. Im Gebiet r < r 0 um dem Nullpunkt ist die Ladungsdichte durch ρ el A r Ladung im gegebenen Gebiet. In Kugelkoordinaten ist dv r sin θdθdϕdr. gegeben. Berechnen Sie die 8. An den Punkten P 0, 4 m; 0, m; 0, m) und P 0, 4 m; 0, m; 0, m) befinden sich je eine Ladung q q nc. Wie gross muss eine Ladung q bei P 0, 4 m; 0, m; 0) sein, damit das elektrische Feld im Punkte 0 0; 0; 0) gleich null ist?

2 Lösungen. Aus Symetriegründen darf das elektrische Feld nur Komponenten in der yz-ebene haben. Weiter ist das elektrische Feld bezüglich der x-achse zylindersymmetrisch. Wir müssen nur die z-komponente berechnen. Jedes Längenelement dx liefert den Beitrag an der Stelle 0,0,z) Bronstein Nr. 06 de z x, 0, z) E z 0, 0, z) λz X x + a E z 0, 0, z) x lim x + z lim x u 0 λdx z x + z ) + dx X dx x + z ) x a X λz x z x + z lim u + z u E z λz )) λ z + u 0 + u z πε 0 z. Das elektrische Feld hat an der Stelle 0; 0; 0) aus Symmetriegründen nur eine x-komponente. Die Ladungen Q 0 bei 4n + ) x 0 ergeben an der Stelle 0; 0; 0) das Feld n 0 E + x 0 ) Q 0 0 x 0 0 x 0 ) Q 0 x 0 n E + 5x 0 ) Q 0 0 5x 0 0 5x 0 ) Q 0 x 0 n E + x 0 ) Q 0 0 x 0 x 0 0 )) Q 0 x 9 0 Für die Ladungen Q 0 ergibt sich n 0 E x 0 ) Q 0 0 x 0 ) 0 x 0 )) Q 0 x 0 n E +x 0 ) Q 0 0 x 0 x 0 0 ) Q 0 x 9 0 n E 5x 0 ) Q 0 0 5x 0 5x 0 ) 0 )) Q 0 x 0 Wir fassen die Paare bei ±x 0, ± x 0, ± 5x 0 usw. zusammen ±x 0 : E x 0 ) Q 0 x 0 ±x 0 : E x 0 ) + Q 0 x 0 9 ±5x 0 : E 5x 0 ) Q 0 x 0 5 Es gibt einen gemeinsamen Vorfaktor Q 0. Die Summe aller variablen Beiträge ist x S ) n n + ) K n0 K 0,

3 K heisst Catalansche Konstante siehe z.b. Maple-Hilfetext). Man weiss nicht, ob K rational oder irrational ist. Also ist E x 0) KQ 0 πε 0 x 0. Da Kraft Gegenkraft ist, ist α α. Die resultierende Kraft aus Gravitation und Coulombkraft muss entlang der Fäden laufen. Masse einer Kugel: m π 6 ρd Verhältnis Coulombkraft zu Gravitationskraft: F C Fg Abstand: r D + l sin α Kräftegleichgewicht: F g tan α q q D + l sin α) tan α π 6 ρ d g tan α q q D + l sin α) q q D + l D sin α) π ε 0 ρg d D tan α q q + l D sin α) Diese Gleichung muss grafisch gelöst werden. Wir setzen die Werte ein und erhalten tan α + 8 sin α) Wir zeichnen tan α gegen +8 sin α) auf. Der Schnittpunkt der beiden Kurven ergibt das Resultat α Die numerische Lösung wäre α a) Alle drei Ladungen sind äquivalent. Die Ladungen und erzeugen eine Kraft auf die Ladung drei in Richtung der +z-achse. F z, q a sin π q a da der Abstand von und vektoriell geschrieben r a cosπ/); sinπ/)) ist. den gegebenen Werten: Weg von der Mitte des Dreiecks. F.44N b) Die Mitte des gleichseitigen Dreiecks teilt die Winkelhalbierende im Verhältnis :. Länge der Winkelhalbierenden: l w l a. Mit

4 Kräftefrei heisst: F + F 0 0 F 0 q q 0 l q a q 0 q l a q 0 q l a q q 0 4, 64nC 5. Zuerst berechnen wir die Koordinaten der Ecken. Dazu legen wir ein gleichseitiges Dreieck in die xy-ebene. a ) P ; 0; 0 P a ) ) a ; 0; 0 P 0; ; 0 Die Spitze des Tetraeders liegt über der Mitte des Grund-Dreiecks. M B P + P + P ) ) 0; a; 0 Die Spitze ist bei mit der Seitenlänge und damit Wir haben P 4 P4 P ) a ) 0; a; z ) a ; a; z a 4 + a + z z a a 4 a a a P 4 0; ) a; a Die Mitte des Tetraeders liegt bei M P + P 4 + P + P ) ) a 6 4 0; ; a Der Abstand einer Ecke zur Mitte ist l P M a 4 + a + 6a 44 Die z-komponente des Einheitsvektors P4 P ) / P4 P ) z a a ist 6 4 a a) Die z-komponente der Kraft der Ladungen bis auf die Ladung 4 ist die x- und y-komponenten sind null) q 6q F z,4 a a Mit den angegebenen Werten bekommen wir F z, N. 4

5 b) Kräftefrei heisst: F + F 0 0 F 0 q q 0 l q 0 6q l a 6q a q 0 6q l a 6q 6 6 q 0, nc 6 8 q 6. Die Ladungen q und q sind im Abstand a voneinander. Im homogenen Feld wirkt auf die Ladung q die Kraft F und auf q die Kraft F. Wir haben ein Kräftepaar, dessen Verbindungslinie im Winkel α zur Kraft steht. T a F sin α oder mit der Definition des elektrischen Feldes F qe und q e Die Werte eingesetzt erhalten wir a T F sin α T e E sin α a 5zNm 0, 60aC 00 kn C sin0.6) 0.558µm 7. Q ρ el r) dv Gebiet dv r sin θdθdϕdr 0 θ π 0 ϕ π 0 r r 0 Q r 0 π π r 0 π 0 0 r 0 0 A r r sin θdθdϕdr A r r dϕdr 4πArdr πar r 0 0 πar 0 8. Wir drehen das Koordinatensystem so um die z-achse, dass x durch P und 0 geht. Dann liegt P bei 0, 5m; 0; 0, m), P bei 0, 5m; 0; 0, m) und P bei 0, 5m; 0; 0). 5

6 Die x -Komponente des Feldes von q und q ist E x 0) 0 9 C 0, 5 + 0, ) m 0, 5m) 57, 577 V m 57, 577N C Wir brauchen eine positive Ladung mit q 0, 5m) 0, 5m) 57, 577N C q, 6nC 6

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