2. Generieren Sie deskriptive Statistiken (Mittelwert, Standardabweichung) für earny3 und kidsunder6yr3 und kommentieren Sie diese kurz.

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1 Statistik II Übung : Einfache lineare Regression Diese Übung beschäftigt sich mit dem Zusammenhang zwischen dem Lohneinkommen von sozial benachteiligten Individuen (6-24 Jahre alt) und der Anzahl der unter 6-jährigen Kinder, die im selben Haushalt wie die Individuen leben. Verwenden Sie dazu den Datensatz Job Corps data.sav. Die abhängige Variable earny3 gibt das wöchentliche Lohneinkommen (in US Dollar) an, die unabhängige Variable kidsunder6yr3 die Anzahl der unter 6-jährigen Kinder im Haushalt. Bitte bearbeiten Sie Aufgaben -5 in Gruppen von bis zu 4 Studierenden (vergessen Sie nicht die amen!) und reichen Sie die Lösungen VOR der. PC Übung ein.. Argumentieren Sie, warum das Vorhandensein kleiner Kinder überhaupt einen Einfluss auf Lohneinkommen (und Erwerbsleben) haben könnte. (Hinweis: es gibt hier keine strikt richtigen oder falschen Antworten.) Eltern oder ältere Geschwister könnten entweder weniger arbeiten, um Kinder zu beaufsichtigen, oder mehr, um mehr Einkommen für den (grösseren) Haushalt zu erzielen. 2. Generieren Sie deskriptive Statistiken (Mittelwert, Standardabweichung) für earny3 und kidsunder6yr3 und kommentieren Sie diese kurz. Analysieren> Deskriptive Statistiken> Deskriptive Statistik Deskriptive Statistik Minimum Maximum Mittelwert Standardabwei chung earny kidsunder6yr Gültige Werte (Listenweise) 46 Das durchschnittliche wöchentliche Einkommen von sozial benachteiligten Individuen (6-24 Jahren) liegt bei 7.98 US$. Die Standardabweichung sagt uns wie weit unsere Werte um den Mittelwert verteilt sind. Bei der Variablen earny3 beträgt die Standardabweichung US$. Die durchschnittliche Anzahl an Kinder im Haushalt beträgt 0.4. Die Variable kidsunder6yr3 hat eine Standardabweichung von

2 3. Untersuchen Sie den Zusammenhang zwischen earny3 und kidsunder6yr3 visuell anhand eines Streudiagramms (mit earny3 auf der Y-Achse und kidsunder6yr3 auf der X-Achse). Welchen Zusammenhang können Sie erkennen? Grafik>Diagramerstellung > Streu-/Punktdiagram > Simple Scatter > Y Axis: earny3 > X Axis: kidsunder6yr3 Zwischen dem wöchentlichen Lohneinkommen (earny3) und der Anzahl der Kinder unter 6 Jahren (kidsunder6years3) lässt sich ein negativer Zusammenhang erkennen. 4 Fügen Sie eine lineare Regressionslinie zu Ihrem Streudiagramm hinzu und kommentieren Sie diese kurz. Doppelklicken mit der linken Maustaste auf das Grafikfeld, um den Diagrammeditor zu öffnen. Wählen das passende Symbol für die Regressionsgerade. Schliessen Sie das Fenster des Diagrammeditors, die Regressionsgerade erscheint in der Grafik.

3 Die Regressionsgerade schneidet die y-achse bei.79e2 (Interzept) und hat eine negative Steigung von E2 ist eine wissenschaftliche otation und bedeutet multipliziert mit dem Faktor 00. In unserem Sample ist die Regressiongerade also: y=79-3.7x. Daraus folgt, dass Haushalte ohne Kinder unter 6 Jahren ein wöchentliches Einkommen von 79 US$ erzielen. Ein zusätzliches Kind führt zu einer Einkommensabnahme von 3,70 US$. 5 Regressieren Sie earny3 (linear) auf kidsunder6yr3 und interpretieren Sie die Regressionskoeffizienten. Analysieren > Regression > Linear >Abhängige Variable : earny3 > Unabhängige Variable: kidsunder6yr3 a icht standardisierte Standardisierte Modell Regressionsko effizientb Standardfehler Beta T Sig. (Konstante) kidsunder6yr a. Abhängige Variable: earny3

4 Wie im Streudiagramm in der Aufgabe zuvor kann man auch in der Regressionstabelle das Interzept und die Steigung der Regressionsgerade ablesen. Das Interzept gibt uns darüber Auskunft, dass der Haushalt über ein wöchentliches Einkommen von 79 $ verfügt, wenn kein Kind unter 6 Jahren im Haushalt lebt. Der Regressionskoeffizient der kidsunder6yr3 Variable sagt uns, dass ein zusätzliches Kind zu einer Abnahme des wöchentlichen Einkommens um 3,70 US$ führt. 6 Erklären Sie das Konzept Unverzerrtheit Unverzerrtheit ist unter bestimmten Annahmen eine Eigenschaft des OLS-Schätzers und besagt, dass der Schätzer im Durchschnitt den wahren Wert trifft: E( ˆ ). 7 Diskutieren Sie, unter welchen Annahmen der Regressionskoeffizient von kidsunder6yr3 ein unverzerrter Schätzer des kausalen Effekts der Anzahl der unter 6- jährigen Kinder auf das wöchentliche Lohneinkommen ist (und nicht nur eine Korrelation widerspiegelt). Sind diese Annahmen realistischerweise erfüllt? Annahme : Lineares Modell Die Regressionsgerade beschreibt einen konstanten Effekt von der Anzahl der Kinder auf das Lohneinkommen, egal wie hoch die Anzahl der Kinder ist. Annahme 2: Zufällige Stichprobe Die gezogene Stichprobe ist zufällig ausgewählt und repräsentativ für die Grundgesamtheit. Annahme 3: E(u x)=0 Exogenität Die Exogenitäts-Annahme besagt, dass andere Faktoren, die im Modell nicht beobachtet werden, aber die abhängige Variable beeinflussen, im Durchschnitt keinen Zusammenhang mit der erklärenden Variable x aufweisen. Diese Annahme ist nicht realistisch, da die Entscheidung für Kinder nicht zufällig ist und Faktoren, die die Kinderentscheidung beeinflussen auch die Arbeitsentscheidung beeinflussen können, zb berufliche Perspektiven, Motivation, Präferenz für Familie oder Arbeit ); Annahme 4: Variation in x, ist in diesem Fall vorhanden, denn die Anzahl der Kinder nimmt mehrere Werte an in unserer Stichprobe ein. Da Annahme 3 nicht erfüllt ist, kein unverzerrter Schätzer 8 Erklären Sie das Konzept von Effizienz Ein Schätzer hat die kleinstmögliche Varianz.

5 9 Inwiefern hängt die Stichprobenvarianz des OLS Schätzers von der Varianz des Fehlerterms und der erklärenden Variable ab? Varianz steigt mit steigender Varianz im unerklärten Teil u i Varianz fällt mir steigender Varianz in der erklärenden Variablen x i 0 Interpretieren Sie die p-werte hinsichtlich statistischer Signifikanz. Inwiefern hängen die p-werte mit dem Standardfehler des Schätzers zusammen? Der Koeffizient der Variablen kidsunder6yr3 ist statistisch signifikant auf dem % iveau. Grosser Standardfehler => viel Unsicherheit => ceteris paribus kleine t-statistik => grosser p-wert Was versteht man unter dem R 2 und was sagt es aus? Kommentieren Sie das R 2 der Regression aus Aufgabe 5. Das R2 ist ein Mass dafür, wie gut die unabhängige Variable x die abhängige Variable y erklärt: Anteil der Stichprobenvariation in y der durch x erklärt wird. Modellzusammenfassung Modell R R-Quadrat Korrigiertes R-Quadrat Standardfehler des Schätzers.065 a a. Einflußvariablen : (Konstante), kidsunder6yr3 Das R 2 (0.4%) ist in diesem Fall gering (x hat einen geringen Erklärungsgehalt für y) 2 Was würde ein R 2 von bedeuten, was ein R 2 von 0? : x erklärt y perfekt; 0: x erklärt y überhaupt nicht 3 Was versteht man unter den Residuen in einer Regressionsanalyse? Geben Sie eine intuitive Erklärung. Jener Teil von y der nicht von x erklärt wird. Abweichungen vom Mittelwert von y für ein bestimmtes iveau von x.

6 4 Stellen Sie die Residuen (auf der Y-Achse) und die vorhergesagten Werte von earny3 (auf der X-Achse) grafisch dar. Kommentieren Sie die Grafik hinsichtlich Homoskedastizität. Was würde eine Verletzung der Homoskedastizität für unsere lineare Regression implizieren? Analysieren > Regression > Linear >Abhängige Variable : earny3 > Unabhängige Variable: kidsunder6yr3 > Diagramme > Y: ZRESID > X: ZPRED > Weiter> OK wobei ZRESID standardisierte Residuen (regression standardized residuals) sind (wobei ein Residuum wie folgt definiert ist: û = y ŷ) und ZPRED standardisierte vorhergesagte Werte (standardized predicted values) von y, d.h. ŷ, sind. Die Verletzung der Homoskedastizität führt dazu, dass der Schätzer nicht effizient ist.

7 5 Überprüfen Sie die ormalverteilung der Residuen anhand eines Histogramms und eines ormalverteilungsdiagramms (normal probability plot). Analysieren > Regression > Linear >Abhängige Variable : earny3 > Unabhängige Variable: kidsunder6yr3 > Diagramme > Y: ZRESID; X: ZPRED; > Histogram > ormalverteilungsdiagramm > Weiter> OK Die Residuen sind nicht normalverteilt, da die Häufigkeit des standardisierten Residuums bei - häufiger vorkommt, als in der ormalverteilung vorgesehen.

8 Die dicke Linie des Probability-Probability-Plots (P-P-Plot) vergleicht zwei kumulative Verteilungsfunktionen: die empirische Verteilung der Residuen (d.h. deren Verteilung in der Stichprobe) und die ormalverteilung. Die (dünne) 45-Grad-Linie entspricht einer perfekten Übereinstimmung der empirische Verteilung der Residuen und der ormalverteilung. Falls die dicke Linie oberhalb (unterhalb) der 45-Grad-Linie liegt, ist die kumulative Wahrscheinlichkeit der empirischen Verteilung niedriger (höher) als jene der ormalverteilung für einen bestimmten Wert der Residuen. Bspw. bei jenem Wert der Residuen, der 5% der kumulativen ormalverteilung entspricht, beobachten wir eine empirische Wahrscheinlichkeit von 0. 6 Was ergibt die Summe der geschätzten Residuen und warum. Ergibt 0, weil Regressionsgerade so gelegt wird, dass sich die Abweichungen genau aufheben (wird durch Minimierung der quadrierten Abweichungen erreicht) 7 Regressieren Sie earny3 (linear) auf kidsunder6yr3 in getrennten Stichproben für Frauen und Männer und interpretieren Sie die Regressionskoeffizienten. Daten > Fälle auswählen > Falls Bedingung trifft > Falls > female > = (oder female=0) > Weiter > ok Analysieren > Regression > Linear >Abhängige Variable : earny3 > Unabhängige Variable: kidsunder6yr3 Female= Modellzusammenfassung b Modell R R-Quadrat Korrigiertes R-Quadrat Standardfehler des Schätzers.05 a a. Einflußvariablen : (Konstante), kidsunder6yr3 b. Abhängige Variable: earny3 a icht standardisierte Standardisierte Modell Regressionsko effizientb Standardfehler Beta T Sig. (Konstante) kidsunder6yr a. Abhängige Variable: earny3

9 If female =0 Modellzusammenfassung b Modell R R-Quadrat Korrigiertes R-Quadrat Standardfehler des Schätzers.067 a a. Einflußvariablen : (Konstante), kidsunder6yr3 b. Abhängige Variable: earny3 a icht standardisierte Standardisierte Modell Regressionsko effizientb Standardfehler Beta T Sig. (Konstante) kidsunder6yr a. Abhängige Variable: earny3 Aus der Regressionsanalyse schliessen wir, dass die Anzahl der Kinder unterschiedliche Zusammenhänge mit dem Lohn von Frauen und Männern aufweist. Bei Frauen geht das wöchentliche Lohneinkommen mit einem zusätzlichen Kind um ungefähr 6 Dollar zurück. Bei Männern ist der Zusammenhang zwischen der Anzahl der Kinder und dem wöchentlichen Lohneinkommen positiv. Pro zusätzliches Kind steigt das durchschnittliche wöchentliche Lohneinkommen von Männern um ungefähr 20 Dollar. Die Ergebnisse könnten durch eine traditionelle Rollenverteilung in der Familie begründet sein: Während Frauen mit mehr Kindern ihren Beschäftigungsgrad reduzieren könnten, um sich verstärkt der Kindererziehung zu widmen, könnten Männer mit mehr Kindern mehr arbeiten, um die Familie finanzieren zu können.

10 8 Berechnen Sie β 0 und β in der folgenden Stichprobe. Zeigen Sie jeden einzelnen Berchnungsschritt: y x y = x = y i i= = i= x i = = 9 3 = 3 = 8 3 = 6 β = i= (x i x ) 2 = = (x i x ) 2 i= (3 3)(7 6) + ( 3)(2 6) + (5 3)(9 6) (3 3) 2 + ( 3) 2 + (5 3) 2 = 0 + ( 2)( 4) ( 2) = = 4 8 =,75 β 0 = y β x = = 0,75 Die geschätzte Regressionsgleichung: y i = 0,75 +,75 x i 9 Berechnen Sie β 0 und β in der folgenden Stichprobe. Zeigen Sie jeden einzelnen Berechnungsschritt: y x y = x = y i i= x i i= = = = 24 3 = 8 = 2 3 = 7 β = = i= (x i x ) 2 i=(x i x ) 2 = (0 7)(6 8) + (7 7)(8 8) + (4 7)(0 8) = (0 7) 2 + (7 7) 2 + (4 7) 2 = 2 8 = 2 3 0,67

11 β 0 = y β x = 8 ( 2 7) 2,67 3 Die geschätzte Regressionsgleichung: y i = 2,67 0,67 x i 20 Berechnen Sie β 0 und β in der folgenden Stichprobe. Zeigen Sie jeden einzelnen Berechnungsschritt: y x y = x = y i i= x i i= = = = 9 4 = 4,75 = 6 4 =,5 β = = i= (x i x ) 2 i=(x i x ) 2 (2,5)(6 4,75) + (3,5)(6 4,75) + (0,5)(2 4,75) + (,5)(5 4,75) = (2,5) 2 + (3,5) 2 + (0,5) 2 + (,5) 2 =,3 β 0 = y β x = 4,75,3,5 =2,8 Die geschätzte Regressionsgleichung: y i = 2,8 +,3 x i