Mathematik für Biologen

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1 Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 23. Dezember 2011

2 1 Stetige Zufallsvariable, Normalverteilungen Der zentrale Grenzwertsatz und die 3-Sigma Regel Normalapproximation Exponentialverteilung

3 Der zentrale Grenzwertsatz Wenn man nur genügend große Stichproben hat, dann ist alles normalverteilt. Präziser: X 1,..., X n unabhängig, alle mit derselben Verteilung µ = E(X 1 ) = = E(X n ) und σ 2 = Var(X 1 ) = = Var(X n ) Bilde die standardisierte Summenvariable n j=1 Z n = (X j µ) σ n Wenn n ausreichend groß ist, gilt für jede reelle Zahl x P(Z n x) = Φ(x)

4 Beispiel zur Versuchsplanung Experiment zum Blinkreflex: Die Reaktionszeit eines Probanden soll auf 2ms genau bestimmt werden Die Frage macht keinen Sinn: Deterministische Begrenzung des Fehlers ist unmöglich Wir wollen zu 90% sicher sein, dass wir die Reaktionszeit auf 2ms genau bestimmt haben Wir erwarten eine mittlere Reaktionszeit von ungefähr 40ms und eine Streuung von ungefähr 15ms Wie viele Versuche sollen gemacht werden?

5 Versuchsplanung, Fortsetzung X j gibt das Ergebnis des j-ten Versuchs an Y n = 1 n X j n j=1 Schätzwerte E(X j ) = µ = 40 und Var(X j ) = σ 2 = 225 Wir wollen erreichen, dass P( Y n µ 2) = 0.90 Das bedeutet P(µ 2 Y n µ + 2) = 0.90 Standardisierung von Y n Z n = 1 σ n Gesucht ist n mit ( 2 n P σ n (X j µ) = j=1 n σ (Y n µ) Z n 2 ) n = 0.90 σ

6 Versuchsplanung, Fortsetzung ( 2 n P Z n 2 ) n σ σ Diese Zahl soll gleich 0.9 sein. Also ( ) 2 n Φ = 0.95 σ ) ( ) 2 n 2 n = Φ( Φ σ σ ( ) ( ( )) 2 n 2 n = Φ 1 Φ σ σ ( ) 2 n = 2Φ 1 σ

7 Versuchsplanung, Fortsetzung Tabelle (ausgeteilt) Φ(u) u ( ) Φ 2 n = 0.95 bedeutet also Also σ n = σ n σ = = = Man sollte wenigstens 153 = Versuchswiederholungen einplanen.

8 Die 3σ-Regel X 1,..., X n unabhängig, alle mit derselben Verteilung µ = E(X 1 ) = = E(X n ) und σ 2 = Var(X 1 ) = = Var(X n ) Arithmetisches Mittel der X j Y = 1 n (X 1 + X X n ) n ausreichend groß, dann näherungsweise ( Y σ ) P µ n 2 3 ( Y 2σ ) P µ 0.95 n ( Y 3σ ) P µ 0.99 n Die 3σ-Regel ist nur eine Faustregel.

9 3σ-Regel, Zeichnung 67% µ σ µ µ +σ 95% µ 2σ µ µ +2σ 99% µ 3σ µ µ +3σ

10 3σ-Regel, Beispiel Der Wirkstoffgehalt von Düngetabletten wird gemessen (in mg). Die Streuung betrage 8mg Wie viele Messungen schreibt die 3σ-Regel vor, um mit 95% Wahrscheinlichkeit einen Messfehler von weniger als 4mg zu haben? Wir brauchen 4 = 2σ n Also 4 = 2 8 n Das bedeutet n = 16

11 Normalapproximation Die Zufallsvariable X sei B(n, p)-verteilt E(X ) = n p und Var(X ) = n p (1 p) Die standardisierte Zufallsvariable zu X ist Y = X n p n p (1 p) Der zentrale Grenzwertsatz sagt aus, dass Y für große n annähernd standardnormalverteilt ist groß bedeutet n p (1 p) > 9

12 Normalapproximation: Formel Die Zufallsvariable X sei B(n, p)-verteilt mit n p (1 p) > 9 Dann gilt näherungsweise für natürliche Zahlen a < b ( P(a X b) = b Φ n p ( a 1 2 ) Φ n p ) n p (1 p) n p (1 p) Wenn a = 0 oder b = n ist, braucht man nur einen Term ( P(a X ) = a Φ n p ) n p (1 p) ( P(X b) = b Φ n p ) n p (1 p) Die Terme 1 2 in den Formeln bezeichnet man als Stetigkeitskorrektur

13 Beispiel zur Normalapproximation Heilversuch mit 94 Fischen; Heilerfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall p = 0.85 Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 80 Fische geheilt? Die Anwendung der Normalapproximation ist gerechtfertigt, denn n p (1 p) = = Also ( ) P(X 80) = Φ = 1 Φ( ) = Φ(0.1155) = Φ(0.12) = Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 80 Fische geheilt werden, beträgt ungefähr 55%

14 Stetigkeitskorrektur: grafische Erklärung P(80 X 81) Verteilungsfunktion von B 94, 0.85 Verteilungsfunktion von N(79.9, 12.0)

15 Normalapproximation zur Bestimmung eines Stichprobenumfangs Zwei Würfel: Einer ist fair, einer gezinkt; bei dem gezinkten ist die Wahrscheinlichkeit einer 6 gleich 1 5 Will herausbekommen, welchen ich in der Hand habe Die Anzahl n der nötigen Würfe soll bestimmt werden Wahrscheinlichkeit, den fairen Würfel für gezinkt zu halten, soll höchstens 1% betragen Wahrscheinlichkeit, den gezinkten Würfel für fair zu halten, soll höchstens 5% betragen

16 Fortsetzung: der faire Würfel X zähle die Sechsen beim n-fachen Wurf des fairen Würfels X ist verteilt gemäß B n, 1/6 bei mehr als a Sechsen glauben wir, dass der gezinkte Würfel vorliegt Ziel: bestimme a mit P(X > a) = 0.01 Normalapproximation (ohne Stetigkeitskorrektur) P(X > a) = 1 Φ a n 6 = 0.01 n Das bedeutet ( ) a n Φ = n 6

17 Fortsetzung: der faire Würfel Aus der Tabelle: Φ(2.326) = 0.99, also a n 6 5n 6 = a = n + n 6 Wenn in n Würfen mehr als a Sechsen fallen, glauben wir, dass der Würfel gezinkt ist

18 Fortsetzung: der gezinkte Würfel Y zähle die Sechsen beim gezinkten Würfel Y ist verteilt gemäß B n, 1/5 Ziel: bestimme n so, dass P(Y a) = 0.05 Normalapproximation (ohne Stetigkeitskorrektur) P(Y a) = Φ a n 5 = 0.05 n Das bedeutet a n 5 2 n 5 = 1.645

19 Fortsetzung: Bestimmung von n den Wert für a einsetzen n n = n Die Gleichung lösen 2 5 n n = n n 30 = n n = n = 2093 a = = Wenn von 2093 Würfen mindestens 389 Sechsen fallen, dann ist der Würfel mit der geforderten Sicherheit gezinkt

20 Exponentialverteilung Die Exponentialverteilung zum Parameter λ besitzt die Dichte { λe λ x, x > 0 f (x) = 0, x 0 Ihre Verteilungsfunktion ist { 1 e λ x, x > 0 F (x) = 0, x 0

21 Dichte und Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung λ = 1 2 λ =1 λ = Verteilungsfunktionen (durchgezogene Linien) und Dichten (gestrichelt) von Exponentialverteilungen

22 Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung Die Zufallsvariable X sei exponentialverteilt zum Parameter λ E(X ) = 1 λ Var(X ) = 1 λ 2 Die Exponentialverteilung wird benutzt, um Wartezeiten zu modellieren. In diesem Fall ist der Parameter λ der Kehrwert der mittleren Wartezeit

23 Beispiel: Glühbirne Eine Glühbirne hält im Schnitt 750h X = Lebensdauer der Glühbirne X exponentialverteilt zum Parameter λ = 1/750 = Die Wahrscheinlichkeit, dass die Glühbirne mindestens 1000h hält, ist gleich P(X > 1000) = 1 P(X 1000) = 1 F (1000) = 1 (1 e ) = e 1.33 = 0.26

24 Eine bedingte Wahrscheinlichkeit X sei exponentialverteilt zum Parameter λ Bestimme P(X > a + b X > a) P(X > a + b) = 1 P(0 < X a + b) = 1 (e λ 0 e λ (a+b) ) = 1 (1 e λ (a+b) ) = e λ (a+b) {X > a + b} {X > a} = {X > a + b} P(X > a + b X > a) = P(X > a + b) P(X > a) = e λ (a+b) e λ a = e λ b = P(X > b)

25 Exponentialverteilte Wartezeiten Bei einer exponentialverteilten Wartezeit ist die Wahrscheinlichkeit, noch b Zeiteinheiten warten zu müssen, unabhängig davon, wie lange schon gewartet worden ist

26 Poissonscher Strom Poissonscher Strom ist Folge von Ereignissen, so dass Wartezeit zwischen Ereignis und seinem Nachfolger exponentialverteilt ist Beispiel: Teilchenstrahl aus α-strahler Bei einem Poissonschen Strom erlaubt die Vergangenheit keine Schlüsse über das zukünftige Verhalten Ein solches Modell heißt Markoffsch