Mathematik für Informatiker III im WS 05/06 Musterlösung zur 4. Übung

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1 Mathematik für Informatiker III im WS 5/6 Musterlösung zur. Übung erstellt von K. Kriegel Aufgabe : Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum der Punkte P =(a, b) aus dem Einheitsquadrat [, ] [, ] mit der Gleichverteilung und die Zufallsvariable X, die jedem Punkt den sogennanten Manhattan-Abstand zum Koordinatenursprung zuordnet, d.h. X(a, b) = a + b. a) Bestimmen Sie die Werte der Verteilungsfunktion F X (.5), F X (), und F X (.5). Eine kleine Skizze sollte helfen! b) Geben Sie eine allgemeine Beschreibung der Verteilungsfunktion F X. c) Bestimmen Sie die Dichtefunktion f X der Zufallsvariablen X. d) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X). Überlegen Sie dazu, an welcher Stelle man das Integral zerlegen sollte. a) Die Zufallsvariable X kann Werte aus dem Intervall [, ] annehmen. Alle Punkte aus dem Einheitsquadrat mit gleichem Manhattan-Abstand zum Ursprung liegen auf einem Abschnitt der Geraden mit Anstieg, die durch den Punkt (,)verläuft (Abbildung, links). X = X <,5,5 Damit ergeben sich F X (.5), F X (), und F X (.5) als Flächen der weiter rechts dargestellten Figuren. F X (.5) =.5.5 =.5 F X () = =.5 F.5.5 X(.5) = =.875 b) Wie man an den Beispielen sieht, muss man die Verteilungsfunktion F X stückweise definieren. Für Werte aus dem Intervall [, ] ist F X () = und für Werte aus dem Intervall [, ] ist F X () = ( ) =. Für alle <istf X() = und für alle >istf X () =.

2 c) Die Dichtefunktion erhält man durch Ableitung der Verteilungsfunktion: falls < oder > f X () = falls [, ] falls (, ] d) Da die Dichtefunktion als Faktor im Integral auftaucht, muss man nur von bis integrieren und das Integral an der Stelle trennen: E(X) = f X ()d = ) = + ( = ( + 8 ) d + ( ) = d Aufgabe : Lösen Sie die Teilaufgaben b) bis d) aus der ersten Aufgabe noch einmal für zufällige gleichverteilte Punkte aus den Rechteck [, ] [, ]. Die Zufallsvariable X ist wieder durch X(a, b) =a + b definiert. Man kann den Lösungsweg der ersten Aufgabe nachvollziehen, muss aber dabei die folgenden Unterschiede beachten: Die Variable X hat Werte aus dem Bereich [, ]. Zur Beschreibung von Verteilung und Dichtefunktion müssen die Teilbereiche [, ], [, ], und [, ] betrachtet werden. Bei der Berechnung der Verteilung muss die Fläche der Punkte mit Abstand zum Ursprung durch die Gesamtfläche des Rechtecks geteilt werden. b) Offensichtlich ist F X () =für alle < und F X () =für alle >. Dazwischen ergibt sich der folgende Verlauf: 6 falls [, ].5+( ) F X () = =.5 falls [, ].5 ( ) = falls (, ]

3 c) Die Dichtefunktion erhält man durch Ableitung der Verteilungsfunktion: falls < oder > f X () = falls [, ] falls (, ] + falls (, ] d) Da die Dichtefunktion als Faktor im Integral auftaucht, muss man nur von bis integrieren und das Integral an den Stellen und trennen: E(X) = f X ()d = ( d + + ) d = d + ) ( 9 + = ( ) ( ) = Aufgabe : Wir betrachten den durch zwei unabhängige und gleichverteilte Würfel erzeugten diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Pr), d.h. jedes (a, b) Ω={,,...,6} {,,...,6} hat die Wahrscheinlichkeit. Wir definieren die Zufallsvariablen X, Y, Z wie folgt: X(a, b) = 6(a ) + b Y (a, b) = ma(a, b) Z(a, b) = a b Beschreiben Sie die diskreten Verteilungsfunktionen Pr X, Pr Y und Pr Z der drei Variablen und bestimmen Sie die Erwartungswerte E(X), E(Y ), E(Z). Die Variable X kann alle ganzzahligen Werte zwischen (bei a = b = ) und bei a = b = 6 annehmen und für jeden dieser Werte ist Pr X () =. Mit der Summenformel für eine arithmetische Reihe ergibt sich E(X) = 7 =8.5. ManaberauchdieLinearität der Erwartungswerte nutzen, indem man X als 6 (X )+X darstellt, wobei X und X Gleichverteilungen auf {,,...,6} sind: E(X) =6 E(X ) + E(X )=6 (.5 ) +.5 =5+.5 =8.5 Die Variable Y kann alle ganzzahligen Werte zwischen und 6 annehmen und durch Abzählen der Fälle erhält man die folgende diskrete Verteilungsfunktion: 5 6 Pr Y () 5 7 9

4 Daraus ergibt sich der folgende Erwartungswert: E(Y )= = 6 Die Variable Z kann die Werte,,,, 5, 6, 8, 9,,, 5, 6, 8,,, 5, und annehmen. Durch Abzählen der Fälle erhält man die folgende diskrete Verteilungsfunktion: Daraus ergibt sich der folgende Erwartungswert: E(Z) = = 8 Aufgabe : Es sei X eine Zufallsvariable, die gleichverteilt über dem Intervall Ω = [, ] ist (d.h. die Dichtefunktion von X ist.5 im Intervall [, ] und sonst). a) Bestimmen Sie für die Zufallsvariable Y = X den Erwartungswert E(Y ). b) Beschreiben Sie die Verteilung und die Dichtefunktion der Variable Y = X. c) Bestimmen Sie die Varianzen Var(X) und Var(Y ). d) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit Pr(Y ) mit der Markow-Ungleichung ab. e) Bestimmen Sie den eakten Wert von Pr(Y ). Das Ergebnis ist ein arithmetischer Ausdruck zu dessen Auswertung Sie (ausnahmsweise) einen Taschenrechner gut verwenden können. a) E(Y )= f X ()d =.5 d = = 6 =. b) Die Variable hat hat Werte aus dem Bereich [, ]. Zur Bestimmung der Verteilung und Dichte von Y verwendet man die folgende Äquivalenz: Y (a) (X(a)) X(a) X(a) [, ] Daraus folgt F Y () =Pr(Y ) = = für alle [, ]. Die Dichtefunktion ergibt sich als Ableitung: f Y () = für alle [, ] und sonst. c) Für die Varianz von X kennt man bereits E(X) = und E(X )=E(Y)=. Damit ist Var(X) =E(X ) (E(X)) =. Für die Varianz von Y muss noch E(Y ) bestimmt werden: E(Y )= f Y ()d = d = d = 5 = =.

5 Damit ist Var(Y )=E(Y ) (E(Y )) =. 6 9 =. d) Da die Variable Y nur Werte aus R annimmt, kann man die Markow-Ungleichung anwenden: Pr(Y ) E(Y ) = = =. 6 e) Die Abschätzung mit der Markow-Ungleichung ist relativ schwach. Die genaue Wahrscheinlichkeit für das Ereignis (Y ) erhält man durch eine ähnliche Betrachtung, wie bei der Bestimmung der Verteilung von Y : Y (a) (X(a)) X(a) X(a) [, ) (, ] Damit ist Pr(Y ) = ( ) = ( ) =.98...