Einführung in die Informatik mit Java

Transkript

1 Vorlesung vom

2 Übersicht 1 Polygonzüge und Anfangswertprobleme 2 Das Diffusionsmodell nach Bass 3 Erweiterung des Modells 4 Ein Parameteranpassungsproblem

3 Polygonzüge und Anfangswertprobleme 1 Polygonzüge und Anfangswertprobleme 2 Das Diffusionsmodell nach Bass 3 Erweiterung des Modells 4 Ein Parameteranpassungsproblem

4 Polygonzüge Polygonzüge sind stückweise lineare Funktionen p : [a, b] R. y (t 1, y 1 ) (t n, y n ) (t 0, y 0 ) t Sie sind durch ihre Stützstellen t 0 < t 1 <... < t n und ihre Stützwerte y 0, y 1,...,y n eindeutig bestimmt.

5 Polygonzüge Die Einschränkung eines Polygonzugs auf ein Teilintervall [t i 1, t i ] ist von folgender Form p [ti 1,t i ](t) = t i t t i t i 1 y i 1 + t t i 1 t i t i 1 y i y (t i 1, y i 1 ) (t i, y i ) t

6 Beispiel Ein Polygonzug p habe die Stützpunkte (1, 3) und (2, 2). Aufgabe: Geben Sie die Einschränkung des Polygonzugs auf das Teilintervall [t i 1, t i ] = [1, 2] in der Form p [ti 1,t i ](t) = t i t t i t i 1 y i 1 + t t i 1 t i t i 1 y i an. Welchen Wert hat der Polygonzug p an der Stelle t = 1.5? Lösung: p [1,2] (t) = (2 t)3 + (t 1)2, p(1.5) = p [1,2] (1.5) = 2.5

7 Anfangswertprobleme Ein Anfangswertproblem (AWP) ist ein Problem, bei dem eine differenzierbare Funktion y : R R gesucht ist, die { y (t) = f (t, y(t)), y(0) = η erfüllt. Dabei ist f eine vorgegebene Funktion von zwei Veränderlichen, genannt rechte Seite, und η ein vorgegebener Anfangswert ist.

8 Eulersches Polygonzugverfahren Das Eulersche Polygonzugverfahren konstruiert einen Polygonzug y h, der die Lösung y eines Anfangswertproblems { y (t) = f (t, y(t)) für alle t [a, b] annähert. y(a) = η y y(0) y h (t) y(t) t

9 Eulersches Polygonzugverfahren Die Stütztstellen t 0 < t 1 <... < t n und die Stützwerte y 0, y 1,...,y n der Näherungslösung y h werden nach folgenden Vorschriften berechnet. Stützstellen: t i := ih i = 0,...,n Stützwerte: { yi = y i 1 + hf (t i 1, y i 1 ) i = 1,...,n y 0 := η Dabei ist h = b a n die Schrittweite des Verfahrens.

10 Einfluss der Schrittweite Je kleiner die Schrittweite h, desto genauer nähert y h die Lösung y des Anfangswertproblems an. y y h = 1 h = 0.5 t t

11 Das Diffusionsmodell nach Bass 1 Polygonzüge und Anfangswertprobleme 2 Das Diffusionsmodell nach Bass 3 Erweiterung des Modells 4 Ein Parameteranpassungsproblem

12 Fragestellung Diffusion Der Begriff Diffusion bezeichnet hier die Gesamtheit aller Prozesse, die dazu führen, dass sich neue Produkte, Technologien oder Ideen innerhalb einer sozialen Gruppe ausbreiten und von den Individuen der Gruppe angenommen werden. Im folgenden soll es um die Verbreitung eines neuen Produktes auf einem Mark von Käufern gehen.

13 Das Diffusionsmodell nach Bass Das Bass Modell Das hier vorgestellte Modell wurde 1969 vom amerikanischen Marketing Professor Frank M. Bass entwickelt [1] und von diesem und anderen 1994 erweitert [2]. Mit diesem Modell konnten die Verkaufszahlen bestimmter Produkte gut simuliert werden. Betrachtet wurden beispielsweise die Verkaufszahlen von Tiefkühltruhen [1] Schwarzweiß Fernsehgeräten [1] Klimaanlagen [2]

14 Innovatoren und Immitatoren Das Diffusionsmodell nach Bass unterscheidet zwei Käufertypen, die ein neues Produkt annehmen: 1 Innovatoren entscheiden sich zum Kauf des neuen Produkts unabhängig von der Kaufentscheidung anderer. 2 Imitatoren entscheiden sich zum Kauf des neuen Produkts aufgrund von sozialem Druck, der dadurch entsteht, dass andere sich bereits zum Kauf des Produkts entschieden haben.

15 Innovatoren Innovatoren kaufen das neue Produkt typischerweise, weil sie sich davon einen Vorteil gegenüber anderen versprechen. um sich von anderen abzusetzen. weil sie die Möglichkeiten erkannt haben, die ihnen das neue Produkt bietet.

16 Innovatoren Nach Everett M. Rogers [3] zeichnen sich Innovatoren durch folgende Eigenschaften aus: sie sind eher optimistisch und risikofreudig. sie sind gebildet. sie verwenden mehrere Informationsquellen, bevor sie eine Entscheidung treffen.

17 Imitatoren Imitatoren kaufen das neue Produkt typischerweise, weil ihre Bekannten das Produkt ebenfalls gekauft haben. um mitreden zu können. weil das neue Produkt ein ihnen bekanntes Produkt vom Markt verdrängt hat.

18 Innovatoren Nach Everett M. Rogers [3] zeichnen sich Imitatoren durch folgende Eigenschaften aus: sie sind eher skeptisch und traditionsbewusst. sie sind weniger gebildet. sie verwenden vor allem den Rat von Bekannten, bevor sie Entscheidungen treffen.

19 Modellierung des Verhaltens Basierend auf den Charakterisierungen von Innovatoren und Imitatoren macht das Diffusionsmodell nach Bass folgende Annahmen: 1 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Imitator das neue Produkt kauft, verhält sich proportional zur Anzahl der bereits verkauften Produkte. 2 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Innovator das neue Produkt kauft, hängt zunächst nicht von der Anzahl der bereits verkauften Produkte ab. Sie sinkt jedoch mit der Anzahl der verkauften Produkte.

20 Mathematische Formulierung des Bass Modells Wir modellieren die Verbreitung des neuen Produkts relativ zum gesamten Markt durch eine differenzierbare Funktion y : [0, ) [0, 1] Wir interpretieren y(t) als die momentane Verbreitung des Produkts zum Zeitpunkt t. Damit kann y (t) als die momentane Verkaufsrate des Produkts zum Zeitpunkt t interpretiert werden.

21 Mathematische Formulierung des Bass Modells Modellgleichung Das Diffusionsmodell nach Bass stellt folgenden Zusammenhang zwischen der Verkaufsrate y und der Verbreitung y her: y (t) = (p + qy(t))(1 y(t)) p q wird Innovationskoeffizient genannt wird Imitationskoeffizient genannt

22 Interpretation der Modellgleichung Es gilt y (t) = (p + qy(t))(1 y(t)) = p (1 y(t)) +q y(t)(1 y(t)) }{{}}{{} (a) (b) (a) Verhalten der Innovatoren: p entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass ein Innovator das neue Produkt kauft. (b) Verhalten der Imitatoren: q entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass ein Imitator das neue Produkt kauft.

23 Anfangswertproblem Bass Modell Nach dem Bass Modell kann die Verbreitung eines neues Produkts durch folgendes Anfangswertproblem beschrieben werden { y (t) = (p + qy(t))(1 y(t)) für t 0, y(0) = 0. Werte für p und q werden aus empirischen Studien abgeleitet. Typischerweise gilt p 0.01, q 0.5.

24 Lösung des Anfangswertproblems Die Verbreitung eines neuen Produkts zeigt überlicherweise folgenden Verlauf 1 y t

25 Erweiterung des Modells 1 Polygonzüge und Anfangswertprobleme 2 Das Diffusionsmodell nach Bass 3 Erweiterung des Modells 4 Ein Parameteranpassungsproblem

26 Erweiterung des Modells Das Bass Modell kann erweitert werden, indem man einen so genannten Marketingkoeffizienten x > 0 einführt [2]. Bass Modell Nach dem erweiterten Bass Modell kann die Verbreitung eines neues Produkts durch folgendes Anfangswertproblem beschrieben werden { y (t) = (p + qy(t))(1 y(t))x für t 0, y(0) = 0.

27 Der Marketingkoeffizient Der Marketingkoeffizient x soll den Aufwand beschreiben, den ein Produzent betreibt, um sein Produkt am Markt zu plazieren. Einfluss auf diesen Koeffizienten können beispielsweise folgende Maßnahmen haben Werbekampagnen Sonderpreiskampagnen Kosten In der Regel führt eine Erhöhung des Marketingkoeffizienten zu erhöhten Kosten für den Produzenten!

28 Einfluss des Marketingkoeffizienten Für die Verkaufsrate im erweiterten Bass Modell gilt y (t) = (p + qy(t))(1 y(t))x Für x = 1 erhält man das gewöhnliche Bass Modell Für x < 1 ist die Verkaufsrate niedriger als im gewöhnlichen Bass Modell: Das Produkt verbreitet sich langsamer. Für x > 1 ist die Verkaufsrate höher als im gewöhnlichen Bass Modell: Das Produkt verbreitet sich schneller.

29 Einfluss des Marketingkoeffizienten Sei y x die Lösung des Anfangswertproblems aus dem erweiterten Bass Modell, d.h. y x erfülle { y x (t) = (p + qy x (t))(1 y x (t))x für t 0, y x (0) = 0. für einen fest gewählten Marketingkoeffizienten x. Einfluss des Markingkoeffizienten Sei t > 0 ein fest gewählter Zeitpunkt. Dann ist die Abbildung x y x (t) streng monoton wachsend.

30 Fragestellung Wie groß muss man den Marketingkoeffizienten x mindestens wählen, um zu einem gegebenen Zeitpunkt t > 0 eine bestimmte Verbreitung y x (t) des neues Produkts zu erreichen?

31 Quellen F. M. Bass. A new product growth model for consumer durables. Management Science, 15: , F. M. B. et. al. Why the bass model fits without decision variables. Marketing Science, 13: , E. M. Rogers. New product adoption and diffusion. Journal of Consumer Research, 2: , 1976.

32 Ein Parameteranpassungsproblem 1 Polygonzüge und Anfangswertprobleme 2 Das Diffusionsmodell nach Bass 3 Erweiterung des Modells 4 Ein Parameteranpassungsproblem

33 Parameteranpassungsproblem Definition Ein Parameteranpassungsproblem ist ein mathematisches Problem, bei dem eine Zielfunktion J : R R gegeben ist, die von einem Parameter x R abhängt. Es werden Parameter x 1, x 2,... gesucht, für die J(x) = ζ gilt, wobei ζ ein vorgegebener Zielwert ist.

34 Behandlung von Parameteranpassungsproblemen Offenbar gilt genau dann, wenn J(x) = ζ J(x) ζ = 0 gilt. Nullstellenproblem Jedes Parameteranpassungsproblem kann in ein Nullstellenproblem für die Funktion F(x) = J(x) ζ umformuliert werden.

35 Im Fall des Bass Modells Fragestellung Wie groß muss man den Marketingkoeffizienten x mindestens wählen, um zum Zeitpunkt t = 10 eine Verbreitung y x von 50% zu erreichen? Zielfunktion: J(x) = y x (10) y x,h (10) (Polygonzugverfahren) Zielwert: ζ = 0.5 Nullstellenproblem für die Funktion F(x) = y x,h (10) ζ

36 Das wars... Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!