Würfel (1) Würfel werden im Kasino und bei vielen Gesellschaftsspielen verwendet.

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1 Würfel (1) Aufgbennummer: B_078 Technologieeinstz: möglich erforderlich Würfel werden im Ksino und bei vielen Gesellschftsspielen verwendet. ) Die Mthemtiker Blise Pscl und Pierre de Fermt beschäftigten sich in einem Briefwechsel mit der folgenden Frge: Ws ist whrscheinlicher: Bei 4 Würfen mit einem Würfel mindestens einen Sechser zu werfen oder bei 4 Würfen mit Würfeln mindestens einen Doppelsechser? Dbei wird mit einem herkömmlichen Spielwürfel gewürfelt, wobei die Augenzhlen 1 bis 6 jeweils mit gleicher Whrscheinlichkeit uftreten. Überprüfen Sie die Frgestellung durch Berechnung der jeweiligen Whrscheinlichkeiten. b) Ein Betrieb plnt, eine spezielle Art von Würfeln für Gesellschftsspiele uf den Mrkt zu bringen. Der montliche Abstz von Würfeln ist nnähernd normlverteilt. Ein Mrktforschungsinstitut ermittelt us dem montlichen Abstz der Würfel n n verschiedenen Stndorten ein zweiseitiges 95-%-Konfidenzintervll, um den durchschnittlichen montlichen Abstz zu schätzen. Dokumentieren Sie in einzelnen Schritten, wie dieses zweiseitige Konfidenzintervll ermittelt wird. Interpretieren Sie die Bedeutung des zweiseitigen Konfidenzintervlls. c) Bei einem Spiel wird mit zwei 6-seitigen Würfeln gewürfelt, wobei die Augenzhlen 1 bis 6 jeweils mit gleicher Whrscheinlichkeit uftreten. Die Zufllsvrible X ist die Summe der gewürfelten Augenzhlen. Kreuzen Sie die zutreffende Aussge n. [1 us 5] Die Whrscheinlichkeit, die Augensumme 8 zu werfen, ist m größten. P(X = 6) = P(X = 9) P(X 4) = 1 P(X < 5) Die Whrscheinlichkeit, die Augensumme zu werfen, ist. 6 P(X = ) = P(X = 11)

2 Würfel (1) d) Ein 8-seitiger Würfel ht die Form eines regelmäßigen Okteders. Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens V des Okteders in Abhängigkeit von seiner Kntenlänge. Der bgebildete Okteder ht eine Kntenlänge = 15 mm und eine Msse m =,4 g. Berechnen Sie seine Dichte in g/cm³. Erklären Sie, ws eine Verdoppelung der Kntenlänge für ds Volumen des Okteders bedeutet. Hinweis zur Aufgbe: Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klr erkennbr sein. Ergebnisse sind mit pssenden Mßeinheiten nzugeben.

3 Würfel (1) ) X... Anzhl der Sechser Möglicher Lösungsweg P(X 1) = 1 P(X = 0) = = 0, ,8 % X Anzhl der Doppelsechser P(X 1) = 1 P(X = 0) = = 0, ,1 % Es ist whrscheinlicher, bei 4 Würfen mit 1 Würfel mindestens 1 Sechser zu würfeln ls bei 4 Würfen mit Würfeln mindestens 1 Doppelsechser. b) Es werden zuerst der Mittelwert x und die Stndrdbweichung s der Stichprobe ermittelt. Mithilfe der Tbelle der t-verteilung oder mittels Technologieeinstz ermittelt mn t α = t 1 ; n 1 0,975; n 1, wobei n die Anzhl der Werte in der Stichprobe ist. c) Die Grenzen des Konfidenzintervlls für µ sind dnn x ± t s α 1 ; n 1. n Führt mn die Ermittlung des Konfidenzintervlls mit unterschiedlichen Stichproben sehr oft durch, enthlten im Mittel 95 % der Konfidenzintervlle den whren Erwrtungswert, lso den durchschnittlichen montlichen Abstz n Würfeln. Ebenflls zulässig: Die Whrscheinlichkeit, dss der ttsächliche Erwrtungswert für den montlichen Abstz der Würfel im ermittelten Konfidenzintervll liegt, beträgt 95 %. P(X = ) = P(X = 11)

4 Würfel (1) 4 d) h = = h h h = h = 4 4 = (Die beiden obigen Formeln können uch dem Formelheft entnommen werden.) V = h V = 15 = = = 1590,990 mm = 1,5909 cm³ ρ = m V =,4 1,59099 = 1,5084 g cm 1,51 g cm Bei einer Verdoppelung von wird ds Volumen des Okteders 8-ml so groß.

5 Würfel (1) 5 Klssifiktion Teil A Teil B Wesentlicher Bereich der Inhltsdimension: ) 5 Stochstik b) 5 Stochstik c) 5 Stochstik d) Algebr und Geometrie Nebeninhltsdimension: ) b) c) d) 1 Zhlen und Mße Wesentlicher Bereich der Hndlungsdimension: ) B Operieren und Technologieeinstz b) C Interpretieren und Dokumentieren c) C Interpretieren und Dokumentieren d) A Modellieren und Trnsferieren Nebenhndlungsdimension: ) A Modellieren und Trnsferieren b) A Modellieren und Trnsferieren c) d) B Operieren und Technologieeinstz, D Argumentieren und Kommunizieren Schwierigkeitsgrd: Punktenzhl: ) leicht ) b) mittel b) c) leicht c) 1 d) mittel d) 4 Them: Alltg Quelle: