Software Engineering Ergänzung zur Vorlesung

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1 Ergänzung zur Vorlesung Prof. Dr. Markus Müller-Olm WS Endliche und reguläre Sprachen Endliche und reguläre Sprache: fundamental in vielen Bereichen der Informatik: theorie Formale Sprachen Compilerbau Automatische Verifikation... Definition 1 Ein nicht-deterministischer endlicher Automat 1 A = (Q, Σ, δ, q 0, F) besteht aus: einer endlichen Menge Q von Zuständen einem endlichen Alphabet Σ, d.h. einer endlichen Menge von Symbolen eine Transitionsrelation 2 δ Q Σ Q einem Anfangszustand q 0 Q einer Menge F Q von Endzuständen getext von Julia Wolters 1 NEA 2 Übergangsfunktion 1

2 Vorlesung WS Prof. Dr. Markus Müller-Olm Darstellung durch Graphen: Zustände sind die Knoten, dargestellt duch Kreise. kurzer Pfeil zeigt auf q 0 jeder Endzustand wird dargestellt durch 2 geschachtelte Kreise jeder Zustandsübergang (q, a, a ) δ wird durch mit a beschrifteten Pfeil von q nach q dargestellt Beispiel 1: entspricht: A = (Q, Σ, δ, q 0, F) Q = {s 0, s 1, s 2, s 3 } Σ = {a, b} δ = {(s 0, a, s 1 ), (s 1, b, s 2 ), (s 2, a, s 1 ), (s 0, b, s 3 ), (s 3, b, s 3 )} q 0 = s 0 F = {s 1, s r } Definition 2 Ein NEA A = (Q, Σ, δ, q 0, F) heißt deterministisch 3 gdw 4 gilt: zu jedem q Q, a Σ gibt es höchstens ein q Q mit (q, a, q ) δ. Formal: q, q, q Q, a Σ : (q, a, q ) δ und (q, a, q ) δ q = q Beispiel 2: Der Automat aus Bsp 1 ist deterministisch Bemerkung: a) Für ein DEA A = (Q, Σ, δ, q 0, F) kann man statt einer Übergangsrelation δ Q Σ Q auch eine partiell def. Übergangsfunktion δ : Q Σ partiell Q verwenden. (Die Bezeichnung zur δ und δ ist (q, a, q ) δ (q, a) Definitionsbereich von δ δ (q, a) = q ) 3 determ. endl. Automat, DEA 4 genau dann wenn 2 getext: Julia Wolters

3 Prof. Dr. Markus Müller-Olm Vorlesung WS b) Für DEA unterscheidet man diese äquivalente Darstellung nicht. c) Für DEA kann man die Übergangsfunktion durch eine Übergangsmatrix darstellen. Beispiel 3: q \Σ a b s 0 s 1 s 3 s 1 s 2 s 2 s 1 s 3 s 3 Definition 3 Sei Σ ein Alphabet: Ein Wort über Σ ist eine Folge von Symbolen aus Σ Σ ist die Menge alle Wörter über Σ ε ist das leere Wort Sprache L über Σ ist eine Teilmenge L Σ Definition 4 Sei w = a 1,...,a k Σ (mit a i Σ ein Wort über Σ und A = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein endl. Automat: a) Ein Lauf von A über w (zu q) ist eine Zustandsfolge π = s 0...s k, so dass gilt: s 0 = q 0, (s i, a i+q, s i+q ) δ i = 0,...k 1(und s k = q b) ein Lauf heißt akzeptierend, falls s k F c) Die Sprache des A ist L(A) := {w Σ es existiert ein akzeptierender Lauf} Σ d) Eine Sprache L Σ heißt regulär, wenn es einen gibt, mit L = L(A) Beispiel 4: Im aus Bsp 1 ist π 1 = s 0, s 1, s 2, s 1 ist ein Lauf über w 1 = aba π 2 = s 0, s 1, s 2 ist ein Lauf über w 2 = ab π 3 = s 0, s 3, s 3 ist ein Lauf über w 3 = bbb π 1, π 2 sind akzeptierend, π 2 nicht akzeptierend. getext: Julia Wolters 3

4 Vorlesung WS Prof. Dr. Markus Müller-Olm Die Sprache des ist L(A) = a(ba) b + := a(ba)...(ba) n N 0 }{{} b...b }{{} n N n mal n mal Beispiel 5: Sei Σ ein Alphabeth und m = a 1,..., a k Σ ast (a 1 Σ), Ein Wort (das Muster ). Gesucht: Automat, der genau die Wörter w Σ akzeptiert, die m als Teilwert enthaten, d.h. A mit L(A) = {w Σ u, v Σ : w = umv } Lösung: A ist nicht-deterministisch Die Sprache der Wörter 2m = { w Σ /ast u, v Σ /ast : w = u + v } ist regulär Beispiel 6: Q = {q 0, 0, 1}, Σ = {0, 1} A 1 akzeptiert genau die Binärzahlen > 0, die mit 0 enden, also durch 2 teilbar sind. Reguläre Sprachen haben viele schöne Eigenschaften. Einige besonders wichtige: Satz 5 Sei A = (Q, Σ, δ, q 0, F) a) Das Leerheitsproblem ist entscheidbar für regul. Sprachen, d.h. Ist A ein NEA, so ist alg. entscheidbar, ob L(A) leer ist (keinen Wert enthält) oder nicht. Beweis: Die Sprache von A ist nicht leer gdw es in zugehörigen Transitionen (?) einen Pfad von q 0 zu einem Endzustand q f F gib. Dies kann man alg. überprüfen. 4 getext: Julia Wolters

5 Prof. Dr. Markus Müller-Olm Vorlesung WS b) Das Wortproblem ist entscheidbar für reg. Sprachen, d.h. Ist A ein NEA über Σ und w Σ, so ist alg. entscheidbar, ob w L(A) Beweis: Sei w Σ, dann ist w L(A) gdw, es im zugehörigen Graphen einen Pfad von q 0 zu einem Endzustand q f F gibtm auf dem w gelesen wird. Dies kann man alg. überprüfen. c) Gegeben sei NEA A 1, A 2. Dann kann man effektiv NEAs N, N, N c konstruieren mit L(A ) = L(A 1 ) L(A 2 ) L(A ) = L(A 1 ) L(A 2 ) L(A C ) = L(A 1 ) c = Σ \ L(A 1 ) Beweis: Betrachten hier nur die Konstruktion für Schritte. Seien A 1 = (Q 1, Σ, δ 1, q 1 0, I 1), A 2 = (Q 2, Σ, δ 2, q 2 0, I 2) mit L 1 = L(A 1 ), L 2 = L(A 2 ). Def. dann den sogenannten Produktautomaten A n = (Q, Σ, δ, q 0, F) durch Q = Q 1 Q 2 δ = {((q 1, q 2 ),a, (q 1, q 2 )) (q 1, a, q 1 ) δ 1, (q 2, a, q 2 ) δ 2 } q 0 = (q 1 0, q2 0 ) F = F 1 F 2 ( )Zeige induktiv über die Länge von Läufern, dass gilt: Ein Lauf über w Σ zu (q 1, q 2 ) Q exisitert in A genau dann wenn: in A 1 ein Lauf über w nach q 1 und in A 2 ein Lauf über w nach q 2 existiert. Aus ( ) folgt L (A ) = L (A ) L (A 2 ) = L 1 L 2 Sei w L (A 1 ) Dann existiert ein Lauf über w in A nd nach (q 1, q 2 ) F Nach ( ) existiert ein Lauf in A 1 über w nach q 1 w L (A 1 ) ein Lauf in A 2 über w nach q 2 w L (A 2 ) es folgt w L (A 1 ) L (A 2 ) Sei w L (A 1 ) L (A 2 ), also w L (A 1 ) und w L (A 2 ). Dann ex. Lauf über w in A 1 zu einem Endzustand q 1 F 1 und Lauf über w in A 2 zu Endzustand q 2 F 2. Nach ( ) existiert dann ein Lauf über w in A nach (q 1, q 2 ) F 1 F 2 = F. Also w L (A ) getext: Julia Wolters 5

6 Vorlesung WS Prof. Dr. Markus Müller-Olm Beispiel 6 Teil II: b, 0 = b 2 b, 1 = b 2+ Konstruktionsabschnitt: δ = {(q 0, 1, 1)} {(n, 0, m) 2n = m mod 3}. Ein Wort w {0, 1}, w / ε hat genau dann einen Lauf zu i, wenn w hat Rest i bei Division durch 3. Der Produktautomat von A 1 und A 2 : Der Produktionsautomat erkennt genau die Binärzeichen, die durch 2 und 3 teilbar sind, also durch 6 teilbar sind. d) Die regulären Sprachen sind abgeschlossen unter Schnitt, Vereinigung und Komplementbildung, d.g. sind L 1, L 2 Σ reguläre Sprachen (über Σ) so sind auch L 1 L 2, L 1 L 2, L c 1 := Σ \ L 1 regulär Beweis: folgt sofort aus c) e) Für eine Sprache L Σ ist äquivalent a) es gibt einen NEA A mit L = L(A) b) es gibt einen DEA A mit L = L(A ) In diesem System sagt man auch: NEA und DEA sind äquivalent Beweis: Übung 6 getext: Julia Wolters

7 Prof. Dr. Markus Müller-Olm Vorlesung WS Ausblick: Es gibt viele Erweiterungen endl. auf endl. Wörtern, u.a. zum Erkennen sog. regulärer megen in endl. Bäumen: Baumstrukturen unendl. Wörtern: w- unendliche Bäume... Die Sprache eines erfasst nicht alles, was für das Verhalten eines Systems, das auch intelligent ist, relevant. Beispiel: A 1 = A 2 = Die Sprache von A 1 und A 2 ist gleich: L (A 1 ) = L (A 2 ) = { Münze, Kaffee, Münze, Tee } Aber: A 1 modeliert Getränkeautomat, bei dem der Benutzer nach Einwurf der Münze wählt, ob Kaffee oder Tee ausgegeben wird, A 2 modeliert Getränkeautomat, bei dem der Automat nach Einwurf der Münze wählt, ob Kaffee oder Tee ausgegeben wird. getext: Julia Wolters 7