Quad-trees. Benjamin Niedermann Übung Algorithmische Geometrie

Transkript

1 Übung Algorithmische Geometrie Quad-trees LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Benjamin Niedermann

2 Übersicht Übungsblatt 11 - Quadtrees

3 Motivation: Meshing von Platinenlayouts Zur Simulation der Hitzeentwicklung auf Platinen kann man die finite Elemente Methode (FEM) einsetzen: zerlege die Platine in kleine homogene Elemente (z.b. Dreiecke) Mesh eigene Hitzeentwicklung und Einfluss auf Nachbarn je Element bekannt approximiere numerisch die gesamte Hitzeentwicklung der Platine

4 Motivation: Meshing von Platinenlayouts Zur Simulation der Hitzeentwicklung auf Platinen kann man die finite Elemente Methode (FEM) einsetzen: zerlege die Platine in kleine homogene Elemente (z.b. Dreiecke) Mesh eigene Hitzeentwicklung und Einfluss auf Nachbarn je Element bekannt approximiere numerisch die gesamte Hitzeentwicklung der Platine Qualitätseigenschaften von FEM: je feiner das Mesh desto besser die Approximation je gröber das Mesh desto schneller die Berechnung je kompakter die Elemente desto schneller die Konvergenz

5 Motivation: Meshing von Platinenlayouts Zur Simulation der Hitzeentwicklung auf Platinen kann man die finite Elemente Methode (FEM) einsetzen: zerlege die Platine in kleine homogene Elemente (z.b. Dreiecke) Mesh eigene Hitzeentwicklung und Einfluss auf Nachbarn je Element bekannt approximiere numerisch die gesamte Hitzeentwicklung der Platine Qualitätseigenschaften von FEM: je feiner das Mesh desto besser die Approximation je gröber das Mesh desto schneller die Berechnung je kompakter die Elemente desto schneller die Konvergenz Ziel: adaptive Meshgröße (klein an Materialgrenzen, sonst gröber) wohlgeformte Dreiecke (nicht zu schmal)

6 Adaptive Dreiecksnetze Geg.: Quadrat Q = [0, U] [0, U] für Zweierpotenz U = 2 j mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren. Ges.: Dreiecksnetz für Q mit folgenden Eigenschaften

7 Adaptive Dreiecksnetze Geg.: Quadrat Q = [0, U] [0, U] für Zweierpotenz U = 2 j mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren. unzulässige Dreiecksknoten Ges.: Dreiecksnetz für Q mit folgenden Eigenschaften keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten

8 Adaptive Dreiecksnetze Geg.: Quadrat Q = [0, U] [0, U] für Zweierpotenz U = 2 j mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren. nicht Teil des Dreiecksnetzes Ges.: Dreiecksnetz für Q mit folgenden Eigenschaften keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten Eingabekanten müssen Teil des Dreiecksnetzes sein

9 Adaptive Dreiecksnetze Geg.: Quadrat Q = [0, U] [0, U] für Zweierpotenz U = 2 j mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren. unzulässige Winkel Ges.: Dreiecksnetz für Q mit folgenden Eigenschaften gültig { keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten Eingabekanten müssen Teil des Dreiecksnetzes sein Dreieckswinkel zwischen 45 und 90

10 Adaptive Dreiecksnetze Geg.: Quadrat Q = [0, U] [0, U] für Zweierpotenz U = 2 j mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren. uniformes Dreiecksnetz Ges.: Dreiecksnetz für Q mit folgenden Eigenschaften gültig { keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten Eingabekanten müssen Teil des Dreiecksnetzes sein Dreieckswinkel zwischen 45 und 90 adaptiv, d.h. fein an den Polygonkanten, sonst gröber

11 Adaptive Dreiecksnetze Geg.: Quadrat Q = [0, U] [0, U] für Zweierpotenz U = 2 j mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren. Ges.: Dreiecksnetz für Q mit folgenden Eigenschaften gültig { uniformes Dreiecksnetz keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten Eingabekanten müssen Teil des Dreiecksnetzes sein Dreieckswinkel zwischen 45 und 90 adaptiv, d.h. fein an den Polygonkanten, sonst gröber Kennen wir schon sinnvolle Triangulierungen für Q?

12 Aufgabe 1 Delaunay Triangulierung Meshing Meshing aus der Vorlesung liefert ausschließlich Dreiecke die ausschließich nicht-stumpfe Winkel besitzen, d.h., keinen Winkel > 90.

13 Aufgabe 1 Delaunay Triangulierung Meshing Meshing aus der Vorlesung liefert ausschließlich Dreiecke die ausschließich nicht-stumpfe Winkel besitzen, d.h., keinen Winkel > 90.

14 Aufgabe 1 Delaunay Triangulierung Meshing Meshing aus der Vorlesung liefert ausschließlich Dreiecke die ausschließich nicht-stumpfe Winkel besitzen, d.h., keinen Winkel > 90. Sei nun T eine Triangulierung einer endlichen Punktmenge P R 2, sodass jedes Dreieck nur nicht-stumpfe Winkel besitzt. Zeige, dass T eine Delaunay Triangulierung ist.

15 Charakterisierung Satz über Voronoi-Diagramme: Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten C P (q) P 3, der Bisektor b(p i, p j ) definiert eine Voronoi-Kante q b(p i, p j ) mit C P (q) P = {p i, p j }. VL Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten. Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette in DG(P ) Kreis durch p, q, r ist leer Kante pq ist in DG(P ) es gibt einen leeren Kreis C p,q durch p und q Satz 5: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P. T ist Delaunay-Triangulierung Umkreis jedes Dreiecks ist im Inneren leer.

16 Der Satz von Thales Satz 2: Alle Dreiecke aus den Endpunkten des Kreisdurchmessers und eines Halbkreispunktes sind rechtwinklig. Satz 2 : Alle Dreiecke aus den Endpunkten einer Sekante l = ab und eines Kreispunktes c auf der gleichen Seite von l haben den gleichen Winkel an c. Für Dreiecke abd mit d innerhalb des Kreises gilt adb > acd, für e außerhalb des Kreises gilt aeb < acd. e c c d a b VL a b aeb < acb = ac b < adb

17 Aufgabe 1 Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken, die keine Delaunay-Triangulierung ist.

18 Aufgabe 1 Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken, die keine Delaunay-Triangulierung ist. Es gibt Dreieck = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthält. C r m p q z

19 Aufgabe 1 Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken, die keine Delaunay-Triangulierung ist. Es gibt Dreieck = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthält. z kann so gewählt werden, dass mit mind. zwei Punkten von verbunden. r C m p q z

20 Aufgabe 1 Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken, die keine Delaunay-Triangulierung ist. Es gibt Dreieck = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthält. z kann so gewählt werden, dass mit mind. zwei Punkten von verbunden. 1. Fall: z liegt außerhalb von O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden. C r m p q z

21 Aufgabe 1 Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken, die keine Delaunay-Triangulierung ist. Es gibt Dreieck = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthält. z kann so gewählt werden, dass mit mind. zwei Punkten von verbunden. 1. Fall: z liegt außerhalb von O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden. r Sei C Kreis durch p und q Mittelpunkt m auf Hälfte von pq C p m m q C z

22 Aufgabe 1 Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken, die keine Delaunay-Triangulierung ist. Es gibt Dreieck = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthält. z kann so gewählt werden, dass mit mind. zwei Punkten von verbunden. 1. Fall: z liegt außerhalb von O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden. r Sei C Kreis durch p und q Mittelpunkt m auf Hälfte von pq Nach Satz 2 liegt r nicht im Inneren von C Da z in C liegt, muss z auch in C liegen. C p m m q C z

23 Aufgabe 1 Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken, die keine Delaunay-Triangulierung ist. Es gibt Dreieck = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthält. z kann so gewählt werden, dass mit mind. zwei Punkten von verbunden. 1. Fall: z liegt außerhalb von O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden. r Sei C Kreis durch p und q Mittelpunkt m auf Hälfte von pq Nach Satz 2 liegt r nicht im Inneren von C Da z in C liegt, muss z auch in C liegen. Nach Satz 2 ist Winkel an z größer 90 C p C m m z q

24 Aufgabe 1 Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken, die keine Delaunay-Triangulierung ist. Es gibt Dreieck = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthält. z kann so gewählt werden, dass mit mind. zwei Punkten von verbunden. 1. Fall: z liegt außerhalb von O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden. r Sei C Kreis durch p und q Mittelpunkt m auf Hälfte von pq C Nach Satz 2 liegt r nicht im Inneren von C Da z in C liegt, muss z auch in C liegen. Nach Satz 2 ist Winkel an z größer Fall: z liegt innerhalb von Ähnliche Argumentation. p C m m z q

25 Quadtrees Def.: Ein Quadtree ist ein Wurzelbaum, in dem jeder innere Knoten vier Kinder hat. Jeder Knoten entspricht einem Quadrat und die Quadrate der Blätter bilden eine Unterteilung des Wurzelquadrats. NO NW SW SO

26 Quadtrees Def.: Ein Quadtree ist ein Wurzelbaum, in dem jeder innere Knoten vier Kinder hat. Jeder Knoten entspricht einem Quadrat und die Quadrate der Blätter bilden eine Unterteilung des Wurzelquadrats. Kanten Seiten NO NW SW SO Ecken Nachbarn

27 Quadtrees Def.: Ein Quadtree ist ein Wurzelbaum, in dem jeder innere Knoten vier Kinder hat. Jeder Knoten entspricht einem Quadrat und die Quadrate der Blätter bilden eine Unterteilung des Wurzelquadrats. Def.: Für eine Punktmenge P in einem Quadrat Q = [x Q, x Q ] [y Q, y Q ] gilt für den Quadtree T (P ) ist P 1, so ist T (P ) ein Blatt, das P und Q speichert sonst sei x mid = x Q+x Q und y 2 mid = y Q+y Q und 2 P NO := {p P p x > x mid and p y > y mid } P NW := {p P p x x mid and p y > y mid } P SW := {p P p x x mid and p y y mid } P SO := {p P p x > x mid and p y y mid } T (P ) besteht aus Wurzel v, die Q speichert, mit vier Kindern für P i und Q i (i {NO, NW, SW, SO}).

28 Beispiel

29 Beispiel

30 Beispiel

31 Beispiel

32 Beispiel

33 Beispiel

34 Quadtree Eigenschaften Die rekursive Definition eines Quadtrees lässt sich direkt in einen Algorithmus zur Konstruktion umsetzen. Welche Tiefe hat ein Quadtree für n Punkte? Lemma 1: Die Tiefe von T (P ) ist höchstens log(s/c) + 3/2, wobei c der kleinste Abstand in P ist und s die Seitenlänge des Wurzelquadrats Q. Satz 1: Ein Quadtree T (P ) für n Punkte und mit Tiefe d hat O((d + 1)n) Knoten und kann in O((d + 1)n) Zeit konstruiert werden.

35 Aufgabe 2 Komprimierte Quadtrees

36 Aufgabe 2 Komprimierte Quadtrees NO NW SW SO

37 Aufgabe 2 Komprimierte Quadtrees NO NW SW SO

38 Aufgabe 2 Komprimierte Quadtrees NO NW SW SO

39 Aufgabe 2 Komprimierte Quadtrees NO NW SW SO

40 Aufgabe 2 Komprimierte Quadtrees NO NW SW SO

41 Aufgabe 2 Komprimierte Quadtrees NO NW SW SO

42 Aufgabe 2 Komprimierte Quadtrees NO NW SW SO Anzahl der Knoten jetzt O(n) (statt O((d + 1)n)) Laufzeit für Umwandlung? Aufwand für Konstruktion verringern?

43 Aufgabe 3 Balancierte Quadtrees

44 Balancierte Quadtrees Def.: Ein Quadtree heißt balanciert, wenn die Seitenlänge von je zwei Nachbarquadraten in der zugeh. Unterteilung sich um einen Faktor von höchstens 2 unterscheidet. VL

45 Quadtrees balancieren BalanceQuadtree(T ) Input: Quadtree T Output: balancierter Quadtree T L Liste aller Blätter von T ; while L nicht leer do µ extrahiere Blatt aus L; if µ.q zu groß then Teile µ.q in vier Teile und lege vier Blätter in T an; füge neue Blätter zu L hinzu; if µ.q hat jetzt zu große Nachbarn then füge sie zu L hinzu; return T Satz 3: Sei T ein Quadtree mit m Knoten und Tiefe d. Die balancierte Version T B von T hat O(m) Knoten und kann in O((d + 1)m) Zeit konstruiert werden.

46 Aufgabe 3 Balancierte Quadtrees Abänderung: Alle Rechtecke gleich groß

47 Aufgabe 3 Balancierte Quadtrees Abänderung: Alle Rechtecke gleich groß Frage: Wie viele Blätter?

48 Wiederholung: Bereichsanfrage Szenario: großer Straßengraph zeige nur einen kleinen Ausschnitt Problem: Bereichsanfrage Gegeben eine Punktmenge P (die Knoten in dem Straßengraph) sowie ein Rechteck R, finde alle Punkte aus P die in R liegen. Einfache Lösung: Teste für jeden Punkt p P, ob p in R liegt. Laufzeit O( P ), dabei werden ggf. sehr viel weniger Punkte angezeigt.

49 Aufgabe 4 Quadtrees für Range Queries? Wie kann man Quadtrees für Bereichsanfragen nutzen?

50 Bereichsabfrage in einem kd-tree p 4 p 5 p 2 p 1 p 3 p 3 p 1 p 2 p 12 p 13 p 8 p 10 9 p 11 p 7 p 6 p 4 p 5 p 11 p 12 p 13 p 6 SearchKdTree(v, R) if v Blatt then prüfe Punkt p in v auf p R; else if region(lc(v)) R then ReportSubtree(lc(v)); else VL if region(lc(v)) R then SearchKdTree(lc(v), R); if region(rc(v)) R then ReportSubtree(rc(v)); else if region(rc(v)) R then SearchKdTree(rc(v), R); p 7 p 8 p 9 p 10

51 Bereichsabfrage P NW P NO P SW P SO R

52 Bereichsabfrage P NW P NO P SW P SO Starte mit der Wurzel R

53 Bereichsabfrage P NW P NO P SW P SO Starte mit der Wurzel Rekursionsaufruf für alle vier Kinder R

54 Bereichsabfrage P NW P NO P SW P SO R Starte mit der Wurzel Rekursionsaufruf für alle vier Kinder Süd-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenen Punkte

55 Bereichsabfrage P NW P NO P SW P SO R Starte mit der Wurzel Rekursionsaufruf für alle vier Kinder Süd-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenen Punkte Süd-West-Knoten: Rekursionsaufruf für zwei Kinder Nord-West-Knoten: Rekursionsaufruf für ein Kind

56 Bereichsabfrage P NW P NO P SW P SO Starte mit der Wurzel Rekursionsaufruf für alle vier Kinder Süd-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenen Punkte Süd-West-Knoten: Rekursionsaufruf für zwei Kinder Nord-West-Knoten: Rekursionsaufruf für ein Kind Rekursionsende (Blätter erreicht): gib resultierende Knoten aus R

57 Bereichsabfrage P NW P NO P SW P SO Starte mit der Wurzel Wie geht das schnell? Rekursionsaufruf für alle vier Kinder Süd-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenen Punkte Süd-West-Knoten: Rekursionsaufruf für zwei Kinder Nord-West-Knoten: Rekursionsaufruf für ein Kind Rekursionsende (Blätter erreicht): gib resultierende Knoten aus R

58 Problem 3(b) Gegeben: gewurzelter Baum T bis zu ein Punkt in jedem Blatt von T ein Knoten v in T Gesucht: Punkte aller Nachfolgern von v v

59 Problem 3(b) Gegeben: gewurzelter Baum T bis zu ein Punkt in jedem Blatt von T ein Knoten v in T Gesucht: Punkte aller Nachfolgern von v T v v Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit traversiere Teilbaum T v O( T v )

60 Problem 3(b) Gegeben: gewurzelter Baum T bis zu ein Punkt in jedem Blatt von T ein Knoten v in T Gesucht: Punkte aller Nachfolgern von v T v v Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit traversiere Teilbaum T v speichere alle nachfolgenden Punkte O( T v )

61 Problem 3(b) Gegeben: gewurzelter Baum T bis zu ein Punkt in jedem Blatt von T ein Knoten v in T Gesucht: Punkte aller Nachfolgern von v T v v Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit traversiere Teilbaum T v speichere alle nachfolgenden Punkte O( T v ) O(k) O(d P ) O(d P ) (k = Anzahl gefundener Punkte)

62 Problem 3(b) Gegeben: gewurzelter Baum T bis zu ein Punkt in jedem Blatt von T ein Knoten v in T Gesucht: Punkte aller Nachfolgern von v T v v Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit traversiere Teilbaum T v speichere alle nachfolgenden Punkte speichere Start und Ende in Punktliste O( T v ) O(k) O(d P ) O(d P ) (k = Anzahl gefundener Punkte)

63 Problem 3(b) Gegeben: gewurzelter Baum T bis zu ein Punkt in jedem Blatt von T ein Knoten v in T Gesucht: Punkte aller Nachfolgern von v T v v Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit traversiere Teilbaum T v speichere alle nachfolgenden Punkte speichere Start und Ende in Punktliste O( T v ) O(k) O(d P ) O(d P ) (k = Anzahl gefundener Punkte) O(k) O( T ) O( T )

64 Aufgabe 4 Quadtrees für Range Queries? Welchen Aufwand hat das Verfahren?

65 Aufgabe 4 Quadtrees für Range Queries? Welchen Aufwand hat das Verfahren?

66 Aufgabe 4 Quadtrees für Range Queries? Welchen Aufwand hat das Verfahren?

67 Aufgabe 4 Quadtrees für Range Queries? Welchen Aufwand hat das Verfahren?

68 Aufgabe 4 Quadtrees für Range Queries? Welchen Aufwand hat das Verfahren?

69 Aufgabe 4 Quadtrees für Range Queries? Welchen Aufwand hat das Verfahren?

70 Aufgabe 4 Quadtrees für Range Queries? Welchen Aufwand hat das Verfahren?

71 Aufgabe 4 Was, wenn Anfragebereich eine durch eine vertikale Gerade begrenzte Halbebene ist?

72 Aufgabe 4 Was, wenn Anfragebereich eine durch eine vertikale Gerade begrenzte Halbebene ist?