1. Grundlagen: t r (t): r = Ortsvektor, v = Schnelligkeit
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- Helene Egger
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1 1. Grundlagen: Freiheitsgrad = mindestens benötigte Anzahl Lagekoordinaten: f = n b Starrer Körper hat Freiheitsgrad 6 in 3D resp. 3 in D: FG aller Körper - # unabh. indungsgl. t r (t): r = Ortsvektor, v = Schnelligkeit 1. r = xe x + ye y + ze z, v = x e x + y e y + z e z, v = x + y + z. r = ρe ρ + ze z, v = ρ e ρ + ρe ρ + z e z = ρ e ρ + ρφ e φ + z e z, v = ρ + ρ φ + z e ρ = cos φ e x + sin φ e y e φ = sin φ e x + cos φ e y e x = cos φ e ρ sin φ e φ e y = sin φ e ρ + cos φ e φ 3. r = re r, v = r e r + rφ e φ (φ für Winkelgeschwindigkeit) 1./1.3 Starre Körper / Ebene ewegungen(nicht deformierbar): Satz der projizierten Geschwindigkeit: v Q = v P Ebene momentane ewegung ist 1. Translation: v Q = v P. Rotation um Momentanzentrum M: v P r PM, v Q r QM, ω Ebene v P = ω r P, v Q = ω r Q ω=rotationsschnelligkeit Momentanzentrum ist ein ruhender Punkt ahn des Momentanzentrums: Feste und bewegliche Polbahn bei bewegendem Körper ei System von mehreren starren Körpern muss man das Momentanzentrum und die Rotationsgeschwindigkeit für jeden einzelnen Körper bestimmen. Translation entspricht einer Rotation mit unendlich weit entferntem Momentanzentrum 1.4 Räumliche ewegungen: Kreiselung (=momentane Rotation): v P = ω r P (ω unabhängig vom ezugssystem) Umrechnungsformel v P = v + ω r P ( ω ist Rotationsgeschwindigkeit) Kinemate: {v, ω }, beschreibt die Charakteristik einer ewegung Invarianten: I 1 = ω, I = ω v (v ist entweder senkrecht oder parallel zu ω ) 1. Translation: ω = 0. Rotation: ω 0 I = 0 (ω v ) um eine (imaginäre) Achse 3. Schraubung: I 0 (ω v ) 1.5 Kraft und Moment (Moment senkrecht zum Kraft- und Ortsvektor): M O = r F [m]=[m s - kg] (Moment immer bezüglich eines Punktes ) M O = r F sin φ = df (d ist Hebelarm und senkrecht zur Wirkungslinie von F ) M bezüglich einer Achse: Kraft ormalebene zur Achse projizieren, den etrag der Projektion mit ihrem Abstand von der Achse multiplizieren und das richtige Vorzeichen setzen (Korken) 1.6 Leistung: = F v [W]=[Js -1 ]=[ s -1 m], falls = 0 leistungslos ei reiner Rotation: = M O ω Gesamtleistung mehrerer Kräften i i : entweder direkt = F v einsetzen oder Rotation und Translation separat berechnen Seite 1 von 7
2 . Statik:.1 Äquivalenz und Reduktion von Kräftegruppen F, ı {G } ı Resultierende von {F i } = F 1, F,, F : R = i=1 F i unabhängig vom ezugspunkt Resultierendes Moment bezüglich O: M O = i=1 r i F i abhängig vom ezugspunkt Gesamtleistung: = i=1 F i v i Starrkörperbewegungen: = R v + M ω Stat. Äquivalent: F i = ( G i ) Starrkörperbewegungen Innerhalb statischer Äquivalenz dürfen Kräfte längs ihrer Wirkungslinie verschoben werden Kräftegruppen sind statisch äquivalent, wenn R F i = R G i M P F i = M P G i Kräfte sind genau dann statisch äquivalent, wenn sie vektoriell gleich und sind ihre Wirkungslinie übereinstimmen Am starren Körper ist die Kraft ein linienflüchtiger Vektor. ullsystem: R F ı = M F ı = 0 Zentrale Kräftegruppe: R = i=1 F i und M O = 0 (Wirkungslinien gehen durch denselben Pt.) Kräftepaar: R = 0 und M = r F (nur hier ist das Moment unabhängig vom ezugspunkt) M = d F Dyname: {R, M O } beschreibt die Charakteristik einer Kraft Transformationsregel: M P = M O + r PO R Invarianten: I 1 = R, I = R M O 1. ullsystem: R = 0 M O = 0. Kräftepaar(Moment): R = 0 M O 0 3. Einzelkraft: R 0 I = R M P = 0 (R M P ) 4. Schraube: R 0 I = R M P 0 (R M P ). Kräfte- und Massenmittelpunkt: Resultierende im Fall von paralleler Kräftegruppe: R = F i = R e, wobei R = F i M O = ( i=1 F r i ) e i Moment lässt sich auf eine Einzelkraft reduzieren 1. R=0 Dipolmoment der Kräftegruppe: M = e mit = i=1 F i r i Dipolmoment der Punkladegruppe: P = i=1 q i r i = EP (E ist hom. Elektr. Feld) M = e = EP e = P E. R 0 statisch äquivalent zur Einzelkraft r c = 1 F R i=1 i r i mit R = F i (C ist der Kräftemittelpunkt) Schwer-/Massenmittelpunkt: r c = 1 m eim homogenen Körper: r c = 1 V K r dv r dm 3D (: mat. ereich, m: Gesamtmasse) oft helfen Symmetrien! r c = 1 A r da D dann komponentenweise K A r c = 1 L r ds 1C integrieren K L Gesamtgewicht eines ganzen Körpers: Gr c = G i r ı (G i Gewicht des i-ten Körpers) Seite von 7
3 .3 Prinzip der virtuellen Leistung (PdvL): {v, 0 ω } Ein virtueller ewegungszustand ist ein gedachter Zustand, der nicht real sein muss. Er kann indungen verletzen. Ein System befindet sich dann in Ruhelage, wenn = (i) + (a) = 0 {v } gilt. = (i) + (a) = 0, {v } (i) für innere Kräfte und (a) für äussere Kräfte.4 Hauptsatz der Statik (HS): In einer Ruhelage eines Systems müssen alle (äusseren) Kräfte im Gleichgewicht sein: R = O und M O = O oder = R v O + M O ω = 0, {v O, ω } = 0 (PdvL) Ruhelage R = O und M O = O (ein beliebiges System) (6 Gleichungen im Raum, R = O und M O = O (einem starren Körper) 3 Gleichungen in der Ebene pro starren Körper).5 indungen: Lagerkräfte/-momente, Reaktionen indungen schränken ewegungsfreiheit eines Körpers ein In jeder indung muss vorerst eine vollständige Dyname eingeführt werden falls gewisse zulässige ewegungen reibungsfrei sind Kraft- bzw. Momentkomponente weglassen Systeme mit mehr indungen als Gleichungen können evtl. getrennt werden, wenn diese reibungsfrei miteinander verbunden sind, Reaktionsprinzip ist zu beachten Statisch unbestimmt, falls mehr indungen als Gleichungen vorhanden sind #indungen - #Gleichungen = Grad der Unbestimmtheit Alternativ: Grad = #entfernte indungen, damit das System zur Ruhe gezwungen wird Kinematisch unbestimmt, falls auf Grund Lagerung zulässige ewegungen möglich sind. Statisch bestimmt: Lagerkräfte und momente lassen sich eindeutig aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnen ormalkräfte stehen senkrecht zur erührungsebene Auflager (einseitig) Auflager (beidseitig) Auflager (beidseitig) Gelenk Gelenk ( Stäbe) Einspannung Faden / Seil Pendelstütze (keine Kräfte am Stab) Längs- und kurzes Querlager Langes Querlager Seite 3 von 7
4 .6 Analytische Statik: Falls bei einem System nur wenige Kräfte gesucht sind PdvL mit geschicktem v, ω Falls man viele/alle indungskräfte sucht, lohnt sich die Trennung des Systems und die Anwendung des Hauptsatzes der Statik auf alle Teile. Moment in der Ebene verschwindet nur dann, wenn alle Kräfte durch denselben Punkt gehen (nützlich, um Position einer unbekannten ormalkraft abzuschätzen) Lösungsschritte für PdvL: 1. Stab entfernen und Stabkraft auf beiden Enden als Zugkraft einführen. Einen geschickten virtuellen ewegungszustand und die nötigen Kinemate bestimmen 3. Leistungen der angreifenden Kräfte aufsummieren und gleich null setzen (PdvL) 4. ach Stabkraft auflösen: Zugstab (+), Druckstab (-) 5. Diskussion (Zug-/Druckstab, ormalkraft in richtige Richtung, Fadenkräfte gespannt, Distanz von ormalkraft bis zum Mittelpunkt <= Länge/ ) Lösungsschritte für Hauptsatz der Statik: 1. System freischneiden (Kräfte statt Lager) neue Skizze. Äussere Lasten und indungskräfte einführen 3. Koordinatensystem wählen 4. Gleichungen und Unbekannte abzählen statisch bestimmt? 5. Komponentenweise Formulierung der Gleichgewichtsgedingungen (Moment bezüglich des Punktes, wo möglichst viele Unbekannte verschwinden, z.. an Lagerpunkten) 6. Falls nötig: System trennen (Schnittkräfte oder Momente einführen) 7. Gleichungen auflösen 8. Diskussion (Zug-/Druckstab, ormalkraft in richtige Richtung, Fadenkräfte gespannt, ) F R μ 0 sonst gleiten, M μ, F Seil 0, F 0, Angriffspunkt F am Körper, Kontaktkräfte > 0?.7 Reibung (ideal rau: μ 0 = und μ = 0): Def: indungskräfte/-momente in Richtung der zulässigen ewegungen: v Kraft, ω Moment (kann meist weggelassen werden) Haftreibung: F μ 0, μ 0 heisst Haftreibungskoeffizient v = 0 Liefert ein Kriterium dafür, dass Ruhe wirklich möglich ist Pkt. 8 vom Arbeitsweg Gleitreibung: F = μ 1, μ 1 heisst Gleitreibungskoeffizien, für v 0 F = μ 1 v b Dieses Gesetz liefert eine zusätzliche Gleichung! v b Rollreibungsgesetz: M f μ für ω =0, Kriterium für Ruhe Pkt. 8 M f = μ für ω 0, liefert eine zusätzliche Gleichung M f ist umgekehrt gerichtet zu ω, μ [m] heisst Rollreibungslänge Lagerreibung: Fall der Ruhe: M f μ 0 r 1 A +, A, sind Zapfenkräfte ewegung: M f = ±μ 0 r 1 A +, r 1 ist Lagerradius Allgemein: μ 0 μ 1 Reibungsfrei: keine Reaktion in Richtung der zulässigen ewegung Seite 4 von 7
5 3. Dynamik 3.1 eschleunigung t r (t), φ(t), ρ(t), z(t) 1. r = xe x + ye y + ze z, v = x e x + y e y + z e z, a = x e x + y e y + z e z. r = ρe ρ + ze z, v = ρ e ρ + ρφ e φ + z e z, a = (ρ ρφ )e ρ + (ρφ + ρ φ )e φ + z e z e ρ = cos φ e x + sin φ e y e φ = sin φ e x + cos φ e y e x = cos φ e ρ sin φ e φ e y = sin φ e ρ + cos φ e φ 3. r = re r, v = r e r + rφ e φ, a = (r rφ )e r + (rφ + r φ )e φ radial tangential Kreisbewegung (r=konst): v = rφ e φ a = rφ e r + rφ e φ v r = rφ (als etrag) 3. Trägheitskräfte (für beschleunigte ewegungen): Trägheitskraftdichte: f (t) = ρa, mit ρ=spezifische Dichte Trägheitskraft: df (t) = ρa dv = a dm PdvL: = (i) + (a) + (t) = 0, {v } mit (t) = v df (t), v a Trägheitskräfte sind fiktive Kräfte und verletzen das Reaktionsprinzip! 3.3 ewtonsches ewegungsgesetz: Massenpunkt: 1. Eventuelle Rotation und Deformation interessieren uns nicht. Eventuelle Rotation und Deformation haben keinen Einfluss auf die Resultierende R = ma (a in Richtung von R ) ewtons etrachtung: d dt (mv) = p = R In diesem Kontext gibt es keine Trägheitskräfte mehr! Federaufgaben: Allgemeine Lage immer im 1. Quadrant Wenn die Feder in der Ebene eingespannt ist, ist die x-komponente proportional zu x und die y-komponente proportional zu y. Allgemein: F = cδl mit c=federkonstante Tipp: Koordinatenursprung bei der ungespannten Lage der Feder wählen. Seite 5 von 7
6 Lösungsschritte für Kinetik-Aufgaben: 1. System freischneiden, abgrenzen und evtl. trennen. System in einer allgemeinen Lage (nicht Anfangslage!) zeichnen 3. Geeignete Koordinaten wählen, besteht evtl. eine kinematische Relation? 4. Kräfte einführen, ewegungsdifferentialgleichungen für alle Komponenten formulieren 5. Anfangsbedingungen formulieren und nach gesuchten Grössen auflösen 6. Diskussion um Resultate (ormalkraft, Fadenkräfte gespannt) 7. Ruhelagen: x = x = 0 = k ω Lineare ewegungs-differenzialgleichungen: DGL Ansatz x = k x(t) = k t + C 1 t + C x + ω x = 0 x(t) = C 1 cos ωt + C sin ωt x + ω x = k x(t) = C 1 cos ωt + C sin ωt + k ω x λ x = 0 x(t) = C 1 e λt + C e λt k, λ, C 1, C, ω sind Konstanten ω heisst Kreisfrequenz, Tω=π, C 1 und C Amplitude 3.5 Impulssatz: ω = 0, v O 0 Impuls: p = v dm [s] Impulssatz : p = R R = a dm d Massenmittelpunktsatz : (mv dt c) = ma c = R Das ewtonsche Gesetz gilt somit nicht nur für Massenpunkte, sondern auch für Massenmittelpunkte! sp: Stoss zweier Körper: vollkommen inelastischer Stoss: v 1 =v =v m 1v 1+m v =(m 1+m )v v = m 1v 1 + m v m 1 + m - m 1>>m v = v 1 - kleine Masse wird auf die Geschwindigkeit der grossen Masse beschleunigt (abywagen MW X1) - Stosszahl = 0 Impulserhaltung beim Stoss wenn p = 0: m 1v 1+m v =m 1v 1 +m v elastischer Stoss: (kin. Energie bleibt erhalten): 1 (m 1v 1 + m v ) = 1 (m 1v 1 + m v ) v 1 = m 1 m m 1 + m v 1 + m m 1 + m v v = m 1 v m 1 + m 1 m 1 m v m 1 + m - Relativgeschwindigkeit ändert ihr Vorzeichen v -v 1 = v 1-v - m 1>>m v 1 =v 1, v =v 1-v - wenn kleine Masse stillsteht, fliegt er nach Stoss mit doppelter Geschwindigkeit weg (!!) - Stosszahl = 1 Seite 6 von 7
7 3.5 Drallsatz: ω 0, v O = 0 Drall: L O = r v dm = r p (bezüglich O!) Moment: M O = r a dm Drallsatz bezüglich O: L O = M O (nur bezüglich eines inertialen Punktes!) Umrechnungsformel zwischen dem Drall eines ortsfesten Punktes und dem des Massenmittelpunktes: L O = r c p + L c = r c mv c + L c Drallsatz bezüglich Massenmittelpunktes: L c = M c Der Drallsatz gilt nur bezüglich eines inertialen Punktes oder für den relativen Drall bezüglich des Massenmittelpnktes C. icht bezüglich beliebiger bewegter Punkte! 3.6 Kinetik von ebenen ewegungen: Drall in der Ebene: L O = I O ω mit I O = r dm = Massenträgheitsmoment Drallsatz für ebene Rotation: L O = I O ω = M O (Drall/φ & Moment haben selbe pos. Richtung) Drall bez. Massenmittelpunkt: L c = I c ω Drallsatz bez. MassenMittelPt: L c = I c ω = M c wenn keine Rotation um ortsfesten Punkt O vorliegt: L O = ±mdv c + L c Einige Massenträgheitsmomente I: Massenpunkt: I O = mr Homogener Stab: I O = ml (bezüglich eines Endpunktes) 3 Homogener Stab: I c = ml (bezüglich Massenmittelpunkt) 1 Homogene Kreisscheibe: I O = mr (bezüglich Massenmittelpunkt) Ring: I x = 1 m(r a + r i ) mr Massive Kugel: I = 5 mr Kugelschale: I = 3 mr Steiner: I p = I Schwerpunkt + mr, r = PS Vektorprodukt a x a y b x b y c = a b = = a z b z sin, cos, tan: a y b z a z b x a x b y a z b y a x b z, a y b x c x c y c z c = a b sin φ = a x a y a z b x b y b z sin α cos α tan α Seite 7 von 7
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