TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 Prof. Dr. M. Wolf Dr. M. Prähofer Aufgben TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik Mthemtik für Physiker 3 Anlysis ) Sommersemester Probeklusur Lösung) S 5.6.). Topologie [ Punkte] Sei X ein topologischer Rum. Eine Funktion f : X R, heißt lokl beschränkt, wenn es zu jedem x X eine Umgebung von x gibt, uf der f beschränkt ist. Zeigen Sie: ) Ist X kompkt, so ist jede lokl beschränkte Funktion beschränkt. b) Es gibt lokl beschränkte Funktionen, die nicht beschränkt sind. ) Zu x X sei U x offene Umgebung von x, uf der f beschränkt ist. [] U x ) x M ist lso eine offene Überdeckung von X. D X kompkt ist gibt es eine endliche offene Teilüberdeckung U i ) i=,...,n. Sei nun m i := sup fu i ) < für i =,..., N. [] Dnn ist sup fx) mx i <, lso ist f nch oben beschränkt. Nch unten i=,...,n beschränkt erhält mn nlog. b) R x x R.. Differenzierbrkeit [8 Punkte] Sei die Funktion f : R R definiert durch { xy, x, y), ), fx, y) = x +y, x, y) =, ). ) Für den Punkt =, ) und den Vektor v = v, v ) R berechne mn die Richtungsbleitung v f) und dmit die prtiellen Ableitungen x f), y f). b) Zeigen Sie, dss f im Ursprung nicht totl differenzierbr ist. ) Die Richtungsbleitung von f im Punkt in Richtung v ist f + tv) f) tv t v ) v f) = lim = lim t t t tt v + v ) = v v v +. v Wegen fx, ) = ist x f, ) = und wegen f, y) = ist y f, ) = b) Annhme: f ist im Ursprung differenzierbr. Dnn wäre mit ) f ) = x f) y f) ) =. Somit wäre,) f) = f ) ) = im Widerspruch zu ),,) f) =.

2 3. Ableitung einer Mtrixfunktion [ Punkte] Zeigen Sie, dss die Ableitung der Funktion fa) = l + A)l A), mit A R n n und l A invertierbr, gegeben ist durch f A)B) = l A) Bl A). Hinweis: Für ga) = A ist g A)B) = A BA, Produktregel, Kettenregel. fa) = ha)g ha)) mit ha) = l+a, h A)B) = B und ha) = l A, h A)B) = B. Also ist f differenzierbr mit f A)B) [3] = h A)B)gl A) ha)g ha)) h A)B)) = Bl A) + l + A) }{{} l A) Bl A) = l l A) = Bl A) + l A) Bl A) Bl A) [] = l A) Bl A), 4. Tylorentwicklung [8 Punkte] ) Geben Sie die Tylorentwicklung von fx, y) = im Ursprung bis zur dritten +x+y Ordnung n. jeder Term ein Punkt): [6] fx, y) = x + x y + xy x 3 +O x + y 4 ) b) Sei gx, y, z) = x y z. Wie lutet 5 x 8 y 3 z g,, )? 6! 5!8!3! 5!8!3! X 6! ) Für x + y < gilt fx, y) = + x + y = x y ) n = x y + x + y ) x + y ) 3 + n= = x + x y + xy x 3 + O x + y 4 ) α N 3 b) gx, y, z) = x y z = +x+y+z)+ +x+y+z)6 + = + 6 5,8,3)) x 5 y 8 z 3 +. gx, y, z) = α g) α! x, y, z) α = + 5 x y 8 z 3 g,,) 5!8!3! x 5 y 8 z 3 +. Koeffizientenvergleich ergibt ls Ergebnis 5 x 8 y 3 z g,, ) = 6!.

3 5. Lokle Extrem [ Punkte] Bestimmen und klssifizieren Sie lle sttionären Punkte von fx, y) = x 3 + y 3 3xy. Sttionäre Punkte sind gegeben durch grd fx, y) = 3x 3y 3y 3x) =, lso durch die beiden Gleichungen x = y, y = x. Eingesetzt ergibt sich y 4 = y, bzw., y = oder y =. Die sttionären Punkte ) sind lso, ) und, ). 6x 3 Die Hessemtrix ist H f x, y) =. 3 6y Klssifiktion: ) 3, ): H f, ) =, det H 3 f, ) = 9, die Eigenwerte hben lso unterschiedliches Vorzeichen., ) ist ein Sttelpunkt. ) 6 3, ): H f, ) =, det H 3 6 f, ) = 7, die Eigenwerte hben lso beide ds gleiche Vorzeichen wie die Digonleinträge, nämlich ein positives., ) ist lso ein lokles Minimum. 6. Stetigkeit, Anwendung des Stzes von Fubini [ Punkte] ) Zeigen Sie: f : R + R + R, fx, y) = x y lässt sich durch f, y) := uf R + R+ stetig fortsetzen. b) Berechnen Sie ds Integrl x b x ln x dx mit < < b. Hinweis: Schreiben Sie den Integrnden ls bestimmtes Integrl der Funktion y x y. ) Auf R + R + ist f offenbr stetig ls Kombintion stetiger Funktionen, denn es ist fx, y) = e y ln x. [] Stetigkeit bei, y), y > : Sei nun x n, y n ) eine beliebige Folge in R + R +, die gegen, y) konvergiert. [] Dnn gilt fx n, y n ) = e yn ln xn, d ln x n, lso uch y n ln x n, d y n > y > für n groß genug. f ist lso uch uf{} R + stetig. [] b) Für den Integrnden gilt xb x b ln x = Somit gilt x b x ln x dx = b x y dy. [] ) b x y Fubini [] dy dx = [] = ln + b) ln + ) = ln + b +. ) b x y dx dy [] = y + dy Fubini ist nwendbr, d die Funktion x, y) x y uf der Menge [, ] [, b] stetig ist, wenn mn wie in ) y = setzt für y >. []

4 7. Implizite Funktionen [4 Punkte] Seien f : R R, fx, y) = x 3 + y 3 3xy und M c := f {c}), c R. ) Bestimmen Sie lle kritischen Punkte und regulären Werte von f. b) Für welche c R ist M c eine Untermnnigfltigkeit? c) Bestimmen Sie lle Punkte der Menge {fx, y) = c}, c R, die sich nicht mit Hilfe des Stzes über implizite Funktionen lokl nch y uflösen lssen. d) Skizzieren Sie die Bereiche des R, in denen die durch fx, y) = c, c R, implizit definierte Funktion ŷx) streng monoton steigend, bzw., fllend ist. ) x, y) R ist ein kritischer Punkt von f, wenn f x, y) nicht vollen Rng ht, lso wenn f x, y) = ). [] Aus Aufgbe 6 erhält mn, ds, ) und, ) kritische Punkte sind. [] Somit sind lle Werte c R \ {, } regulär, d f, ) = und f, ) =. [] b) Ist c regulärer Wert von f, lso c R \ {, }, so ist M c = f {c}) eine eindimensionle Untermnnigfltigkeit des R c) Wenn f y x, y) = ist, dnn ist fx, y) = c nicht lokl uflösbr nch y, lso wenn y = x. Dies ist eine liegende Prbel. Eingesetzt in die Gleichung fx, y) = c ergibt sich y 6 y 3 c = oder [] y 3 = ± 4 + 4c = ± + c. Ist c < ist fx, y) = c lso immer uflösbr nch y. [] Ist c = ist fx, y) = c nur im Punkt, ) nicht nch y uflösbr. [] Ist c > so ist fx, y) = c in den beiden Punkten c, c) und 3 + c, 3 + c) nicht nch y uflösbr. d) Ds Vorzeichen von ŷ x) = f x x,y) = x y f mit y = ŷx) ersieht mn us dem y x,y) y x Vorzeichen von Zähler und Nenner

5 8. Extrem mit Nebenbedingungen [ Punkte] Bestimmen Sie die mximle Fläche eines rechteckigen Geheges mit den Seitenlängen, b, unter der Nebenbedingung, dss ein Zun, der drei Seiten des Geheges begrenzt, die feste Länge L > ht. Die vierte Seite mit der Länge verläuft entlng einer Muer.) Benutzen Sie die Methode der Lgrnge-Multipliktoren. Zu Mximieren ist die Funktion f, b) := b unter der Nebenbedingung g, b) := +b = L für, b. Die Lgrnge-Gleichungen luten bzw. grd f, b) = λgrd g, b), b = λ = λ zusmmen mit der Nebenbedingung + b = L. Setzt mn = λ, b = λ in die Nebenbedingung ein, erhält mn 4λ = L oder λ = L 4. Als einzigen Kndidten für einen Extremwert im Inneren von R + ) ergibt sich lso = L, b = 4 L. Die Menge, die die Nebenbedingung erfüllt, ist die Strecke zwischen den Punkten L, ) und, L ), die kompkt ist. f ist stetig, somit gibt es ein globles Mximum und ein globles Minimum. D f, b) > für, b > und f, ) = = f, b) wird ds globle Minimum n den Endpunkten der Strecke ngenommen, für ds Mximum bleibt nur der Punkt L, L 4 ) mit der Fläche L 8.