Wahrscheinlichkeit und Zufall

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1 Wahrscheinlichkeit und Zufall Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 16. Juni 2009 Dr. Katja Krüger Universität Paderborn 1

2 Inhalt Ereignisse i und deren Wahrscheinlichkeit h hk i Laplace-Regel Baumdiagramm und Pfadregel 2

3 Vergleich von Ergebnissen und Ereignissen Aufgabenbeispiel Würfeln aus den KMK-Bildungsstandards für die Primarstufe 3

4 Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten vergleichen Aufgabenbeispiel Würfeln aus den KMK-Bildungsstandards für die Primarstufe 4

5 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit it 5

6 Mathematisierung zufallshaltiger Situationen: Ereignisse Oft interessiert i man sich nicht für einzelne Ausfälle eines Zufallsversuchs, sondern für mehrere Ausfälle, die alle eine bestimmte Eigenschaft haben. Durch Angabe der Eigenschaft werden die Ausfälle, die diese Eigenschaft haben, zu einer Menge zusammengefasst z.b. beim beim Würfeln mit zwei Würfeln: Pasch: A= {(1/1), (2/2),...(5/5), (6/6)}. Augensumme 10: B= {(5/5), (6/4), (4/6)}. Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge Ω. A Ω B 6

7 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten beim zweifachen Würfeln p(augensumme 10) = 3/36 Neue Wege 6 (2006), S. 221 p(pasch)=6/36 Man addiert die Wahrscheinlichkeiten der Ausfälle, die zu einem Ereignis gehören. 7

8 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Kennt man die Wahrscheinlichkeit h hk it für jeden Ausfall, der zu dem Ereignis gehört, dann kann man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A angeben: Man addiert die Wahrscheinlichkeiten der Ausfälle, die zu A gehören. P ( A) = P( ω) ω Aω A z.b. die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch beim zweifachen Würfeln P("P Pasch") = = p ((1/1) ) + p( ((2 / 2) ) +... p( (6 / 6) ) = =

9 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Sonderfälle Sonderfälle: Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses : P( ) = 0 Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses Ω: P(Ω) = 1 9

10 Wahrscheinlichkeiten des Gegenereignisses Ā A A Ω Ein Ereignis A umfasst alle Ausfälle der Ergebnismenge, die eine bestimmte Eigenschaft haben. Alle Ausfälle, die diese Eigenschaft nicht haben, bilden das Gegenereignis Ā. Da alle Ausfälle entweder zum Ereignis oder zu seinem Gegenereignis gehören, müssen die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse zusammen gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ausfälle, also gleich 1 sein. Die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses A und seines Gegenereignisses Ā ergänzen sich zu 1. P ( A) + P( A) = 1 z.b. die Wahrscheinlichkeit für keinen Pasch beim zweifachen Würfeln P(Pasch) = = P(kein Pasch) = =

11 Grundeigenschaften der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen Ω A B 11

12 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten it n 12

13 Laplace-Versuche Wahrscheinlichkeiten h hk it lassen sich leicht berechnen, wenn alle Ausfälle der jeweiligen Ergebnismenge gleichwahrscheinlich sind. Solche Zufallsversuche nennt man auch Laplace-Versuche nach Pierre Simon Laplace ( ), einem berühmten französischen Mathematiker und Physiker. Für Laplace-Versuche Versuche, aber auch nur für diese, lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses p(e) nach einer einfachen Regel berechnen, der Laplace-Regel: p( E) = Anzahl der für das Ereignis günstigen Fälle Anzahl aller möglichen Fälle Die Laplace-Regel gilt nur im Falle der Gleichwahrscheinlichkeit der möglichen Ausfälle! 13

14 Théorie analytiques des probabilités von Pierre Simon de Laplace (1812) Die Theorie des Zufalls ermittelt die gesuchte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch Zurückführung aller Ereignisse derselben Art auf eine gewisse Anzahl gleich möglicher Fälle und durch Bestimmung der dem Ereignis günstigen Fälle. Das Verhältnis dieser Zahl zu der aller möglichen Fälle ist das Maß dieser Wahrscheinlichkeit, die also nichts anderes als ein Bruch ist, dessen Zähler die Zahl der günstigen Fälle und dessen Nenner die Zahl aller möglichen Fälle ist. Zitiert nach Kütting 2008, S. 26 p( E) = Anzahl der für das Ereignis günstigen Fälle Anzahl aller möglichen ölih Fälle 14

15 Beispiel 1: Einfache Urnenziehung Aus einer Urne mit zwei roten und drei weißen Kugeln wird eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie weiß ist? 1. Modellierung Ω = {r, w}. Für das Ereignis "eine weiße Kugel ziehen" gibt es einen ("günstigen") Ausfall, nämlich w. Aber die Wahrscheinlichkeit h hk it hierfür ist keineswegs 0,5. 2. Modellierung: Ω = { r1, r2, w1, w2, w3} Wir können diesen Zufallsversuch künstlich zu einem Laplace-Versuch machen, indem wir die Kugeln durchnummerieren. Nun besteht beim Zufallsversuch "einmaliges Ziehen" die Ergebnismenge aus 5 Ausfällen. Für das Ereignis "eine weiße Kugel ziehen" gibt es 3 günstige Ausfälle, nämlich w1, w2, w3. Das Ereignis hat also die Wahrscheinlichkeit p(weiße Kugel)=3/5=0,6. 15

16 Wahl eines/r geeigneten Stichprobenraumes /Ergebnismenge 16

17 Beispiel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensummen beim Werfen zweier Würfel 1. Modellierung Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Bei dieser Ergebnismenge sind nicht alle Augensummen gleichwahrscheinlich. Fasst man die einzelnen Augensummen als Ereignisse auf, so kann man deren Wahrscheinlichkeit mit der Laplace- Regel nur berechnen, wenn alle Ausfälle der zugrunde liegenden Ergebnismenge g gleichwahrscheinlich sind. 2. Welche Modellierung eignet sich zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten? h hk it Zufallsversuch Einen gelben und einen blauen Würfel werfen Ergebnismenge g Ω = {11, 12, 13..., 16, 21, 22, 23,..., 61, 62,..., 66} Zwei Würfel werfen ohne Ω = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 22, 23, Beachtung der Reihenfolge...,26, 33, 34, 56, 66} 17

18 Beispiel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensummen beim Werfen zweier Würfel p(augensumme 9) = 4/36 p(augensumme 10) = 3/36 ω p(ω)

19 Beispiel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensummen beim Werfen zweier Würfel 0,18 0,16 Wah hrscheinlichke eit 0,14 0,12 0,1 0, ,06 0,04 0, Augensumme ω p(ω)

20 Häufigkeitsverteilung der Augensummen beim Werfen zweier Würfel (n = 180 Versuche) 20

21 Häufigkeitsverteilung der Augensummen beim Werfen zweier Würfel (n = 1800) 21

22 Baumdiagramme mm und Pfadregeln 22

23 Ergebnismengen g im Baumdiagramm beim Würfeln mit zwei Würfeln Zur Darstellung von Ergebnismengen bei mehrstufigen Zufallsversuchen lassen sich Baumdiagramme einsetzen. Man schreibt dabei an die Knoten des Baumes die Ergebnisse (oder Ereignisse) und an die Kanten die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man von einem Knoten zu einem nächsten Knoten gelangt. An den Enden der Pfade eines Baumdiagramms können die dem Zufallsexperiment zugeordneten Ergebnisse angegeben werden. Diese bilden die Ergebnismenge Ω. In diesem Baumdiagramm haben alle Pfade bzw. Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/6 1/6 = 1/36, da es sich um einen Laplace-Versuch handelt. 23

24 Ergebnismenge g und Baumdiagramm beim dreifachen Münzwurf 2 3 =8 Ergebnisse (Z ; Z ; Z) (Z ; Z ; W) Zahl (Z ; W ; Z) (Z ; W ; W) (W ; Z ; Z) Wappen (W ; Z ; W) (W; W ; Z) (W ; W ; W) 24

25 Beispiel 3: Urnenziehung Aus einer Urne mit zwei roten und drei weißen Kugeln werden zwei Kugeln mit einem Griff gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide rot sind? 1. Modellierung : Statt mit einem Griff wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen und die Reihenfolge nicht berücksichtigt. Die natürliche Ergebnismenge ist dann W = {rr, rw, ww}. p(rr) ist jedoch nicht gleich ⅓, da die Ausfälle nicht gleichwahrscheinlich sind! 2. Modellierung: Wir erzeugen einen Laplace-Versuch durch künstliche Vervielfachung. Die Kugeln gleicher Farbe werden unterschieden (r1 und r2 sowie w1, w2 und w3). Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen und die Reihenfolge berücksichtigt. t 25

26 Beispiel 3: Urnenziehung Darstellung des Ziehungsprozesses in einem Baum Weil zwischen den Kugeln mit gleicher Farbe jetzt künstlich unterschieden wird, gibt es mehr Möglichkeiten beim Ziehen von zwei Kugeln. Wir erhalten eine Ergebnismenge mit 20 Ausfällen: Jeder Pfad entspricht einem möglichen Ausfall. Jeder Ausfall/Pfad ist gleichwahrscheinlich. Zum Ereignis A, "beide rot", gehören in diesem Baum zwei Pfade/ Ergebnisse, nämlich (r1,r2) und (r2,r1). Also ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A: 2 p( A) = =

27 Beispiel 3: Urnenziehung Alternative Darstellungen des Ziehungsprozesses in einem verkürzten Wahrscheinlichkeitsbaum p( A) = "ein Viertel von Zwei Fünftel" = = =

28 Beispiel 3: Urnenziehung Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung p ( ) p( ( r / r) ) = = = p( ( r / w) ) = = = p( ( w / r) ) = = = ( w / w) = = = p("beide Kugeln verschieden") = = 10 Multipliziere li i längs der Pfade und addiere die Pfadwahrscheinlichkeiten. h hk it 28

29 Rechenregeln für mehrstufige Zufallsversuche: Die Pfadregeln 1. Pfadmultiplikationsregel: Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines durch einen Pfad dargestellten Ereignisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades. 2. Pfadadditionsregel: Setzt sich bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ein Ereignis aus verschiedenen Pfaden zusammen, dann erhält man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses durch Addition der einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten. 29

30 Eine Aufgabe verschiedene Lösungen Drei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine '1' oder '2' ist (Ereignis E)? Wir stellen das dreistufige Zufallsexperiment im Baumdiagramm dar und wenden die Pfadregel an, die ja nicht nur für Laplace-Versuche gilt. Zum Ereignis E gehört nur ein einziger Pfad (rot). Nach der Pfadregel werden die Wahrscheinlichkeiten längs dieses Pfades multipliziert. p ( E) = =

31 Eine Aufgabe verschiedene Lösungen Drei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine '1' oder '2' ist (Ereignis E)? Wir stellen das dreistufige Zufallsexperiment im Baumdiagramm dar und wenden die Pfadregel an, die ja nicht nur für Laplace-Versuche gilt. Zum Ereignis E gehört nur ein einziger Pfad (rot). Nach der Pfadregel werden die Wahrscheinlichkeiten längs dieses Pfades multipliziert. p ( E) = 2 3 =

32 Eine Aufgabe verschiedene Lösungen Drei Würfel werden gleichzeitig i i geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine '1' oder '2' ist (Ereignis E)? Wir erzeugen einen Laplace-Versuch durch künstliche Vervielfachung : Man denke sich die drei Würfel in verschiedenen Farben und unterscheide dementsprechend auch die Augenzahlen dieser drei Würfel. Dann gibt es 6 3 (= 216) mögliche gleichwahrscheinliche Ausfälle (1/1/1),. (6/6/6). Jeder Würfel hat aber nur vier Augenzahlen, die für das Ereignis E günstig sind; insgesamt gibt es also 4 3 (= 64) günstige Ausfälle (3/3/3), (6/6/6). Nach der Laplace Formel gilt : Anzahl der günstigen Ergebnisse 64 p( E) = = = Anzahl der möglichen Ergebnisse

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