III. Geometrie 1 /

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1 III. Geometrie 1/

2 1. D R E I E C K E Was haben wir in der Schule über Dreiecke gelernt? Auf diese Frage folgt nach einiger Überlegung meist: Den Satz des Pythagoras: a²+b²=c² Das Quadrat der Diagonalenlänge eines Rechtecks ist gleich der Summe der Quadrate von dessen Länge und Breite! Für das kleinste Dreieck mit natürlichen Seitenlängen 3,4 und 5 gilt: 3²+4²=5² 2/

3 Die Fläche eines Dreiecks ist das halbe Produkt aus Grundseite und Höhe. Aber wie bekommt man die Höhe, wenn man etwa nur eine Seite uns zwei Winkel kennt, oder wenn man alle drei Seiten kennt? Durch Abmessen!? Aber das Abmessen ist doch ungenau und die Mathematik erhebt doch immer den Anspruch die Perfektion von Genauigkeit zu sein! Oder man berechnet in der Schule die Höhe über den Sinus oder Cosinus eines Winkels, aber diese Werte sind doch oft auch sehr ungenau und möglicherweise sogar transzendent! Dabei ergeben sich doch als Flächeninhalt immer exakt entweder natürliche Zahlen oder Halbzahlen (genau in der Mitte zwischen zwei benachbarten Natürlichen liegend!), wenn die Koordinaten der Eckpunkte ganzzahlig sind! Das gilt sogar noch für sämtliche Gitterpolygone 1. Dieses Dreiek hat einen inneren und sechs Randgitterpunkte 1+6/2-1 = 3 (Basis 3 Höhe 2 ergibt A = 3) 1 Mann spricht auch von einem Gittervieleck, wenn die Absziss3en und Ordinaten aller Ecken ganze Zahlen sind: Pick s Theorem unter Zugabe: Gitterpunkte 3/

4 Überlagerung von Gitterpunktsystemen 2 links 45 und rechts zwei mal 30 2 Symmetry von Hans Walser Translated from the original German by Peter Hilton, with the assistance of Jean Pedersen Published and Distributed by MAA ( THE MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA ) 4/

5 Ein Gitterwechsel (Drehen des Koordinatensystems) ändert zwar die Verteilung bzw. die Anzahlen der inneren (hier drei) und auf der Grenze liegenden Gitterpunkte (hier keine), aber der Inhalt bleibt natürlich gleich: A = 3 5/

6 Beinhaltet ein Dreieck p innere Gitterpunkte und q Randgitterpunkte, so ist sein Inhalt genau A = p-1 + ½q Wenn man Gitterpunktdreiecke hat, - die Koordinaten der Ecken also ganze Zahlen sind-, dann ist der Flächeninhalt immer rational! Mehr noch, das Doppelte des Flächeninhalts ist sogar immer eine natürliche Zahl! 6/

7 Ist p die Anzahl der inneren Gitterpunkte und q die Anzahl der auf dem begrenzenden Rand liegenden, dann ist die Fläche 3 A = p-1 + ½q Mann kann nämlich die Gitterecken in ein umrahmendes Rechteck einbeschreiben (siehe obige Abbildung 7² - 3,5-9,5 10,5 = 49-26), dessen Flächenmaßzahl natürlich ist, und von dem man die umrahmenden rechtwinkligen Dreiecksstücke abziehen muss, deren Inhalt ganzzahlig oder halbzahlig ist (genau zwischen zwei natürlichen Zahlen liegt). Interessant ist an diesem Satz von Pick, dass man den Flächeninhalt durch die Anzahl von Punkten im Innern bestimmen kann: Der Schüler sieht explizit, dass der Inhalt etwas mit der Anzahl von diversen Punkten zu tun hat, (man kann Einheitsquadrate um diese Punkte legen) und dass die Gitterpunkte an den Grenzen zwischen dem Inneren und Äußeren genau halb so viel zählen! 3 Für den n-raum bzw. das eingeschlossene Volumen gilt wohl V = p-1 + q/n 7/

8 Dieses stumpfwinklige Dreieck hat die Seitenlängen 4, 13 und 15 mit dem Inhalt A = 24 Es ist das kleinste nicht-rechtwinklige, rationale Dreieck! Der Satz des Pythagoras mit Gitterpunkten 4 4 Die Ankreise gehen durch vier Gitterpunkte: Gibt es Kreislinien mit n Gitterpunkten? Ja. Allerdings geht die Exponentialkurve y = e hoch x nur durch einen einzigen Gitterpunkt, nämlich (0,1) und sonst durch keinen 8/

9 4 innere und 12 Randgitterpunte ergibt A = 4+ 12/2-1 = 9 = 3² 9 innere und 16 Randgitterpunte ergibt A = 9+ 16/2-1 = 16 = 4² 24 innere und 4 Randgitterpunte ergibt A = 24+ 4/2-1 = 25 = 5² weiteren algebraischen Punkt (d.h. nicht beide Koordinaten sind algebraisch), ähnlich wie auch y = sin x nur den Ursprung als Gitterpunkt und sonst keinen weiteren algebraischen Punkt hat. Heinrich Dörrie, Triumpf der Mathematik; Hirt, Breslau /

10 Wir stellen also fest, dass man mit schulischen Mitteln die Dreiecksflächen oft nicht exakt berechnen kann! Alternativ könnte man sich noch mit folgendem Satz aus der Patsche ziehen: Jedes rationale Dreieck lässt sich (additiv oder subtraktiv) aus zwei rationalen Rechtwinkligen zusammensetzen! Der exakte Flächeninhalt für das Dreieck ABC mit den natürlichen Seiten 13,14 und 15 ist 14x12/2 = 84 Das Dreieck A BC ist übrigens das zweitkleinste Dreieck mit natürlichen Seitenlängen ( 4, 13 und 15 ) und der Fläche ½ (9-5)x12 = 24 Als Beispiel diene die Abbildung für zwei rationale Dreiecke, die additiv zusammengesetzt sind: 13, 14, 15 aus 3x(3,4 und 5) und 5, 12 und /

11 bzw. subtraktiv zu 13, 4 und 15 Wenn alle drei Seiten bekannt sind, dann ist der Flächeninhalt A des Dreiecks, wie schon die Alten (Griechen und Chinesen) wussten A = ¼ {(a²+b²+c²)² - 2(a²+b²+c²) } Beispiel A BC der obigen Abbildung A = ¼ {(15²+13²+4²)² - 2(15²+13²+4²)} = ¼ (410² - 2x79442) = ¼ 9216 = 96/4 = 24 Für die exakte Länge der Höhe ergäbe sich h c = 2A/c = ½ [( a i ²)²-2 a i ²]/c Wie kann man nun die Höhe noch nur aus den Seiten berechnen? In Anlehnung an den verallgemeinerten Höhensatz des Euklid 5 ist : h c ² = pq + ab cosγ p und q sind dabei die durch die Höhe erzeugten Abschhnitte auf der Grundseite c p = (a²+c² - b²)/(2c) und q = (b²+c²-a²)/(2c) 5 Der Winkel setzt sich aus den beiden Winkeln γ 1 und γ 2 rechtwinkliger Dreiecke zusammen: γ = γ 1 + γ 2 Dabei ist sin γ 1 = p /a und cos γ 1 = h /a sin γ 2 = q/b und cos γ 2 = h /b Das ergibt nach dem Additionstheorem für cos γ = h² / (ab) pq / (ab) Wegen dem über c² = a²sin²γ + (b a cos γ)² erhaltene Kosinussatz ist cos γ = (a²+b²-c²)/(2ab), Es wird weshalb daraus h² = pq + ½ (a²+b²-c²) 11/

12 Beispiel: 1.) In der obigen Abbildung, in der das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten 13, 14 und 15 das rechtwinklige mit 5, 12 und 13 angefügt wurde, ist die Grundseite c=14 in die Abschnitte 9 und 5 zerlegt. cos γ = 33/65 2.) Setzten wir an ein diagonal-halbiertes Quadrat ein halbes gleichseitiges Dreieck an, so dass der Winkel von = 75 entsteht, dann erhält man für cos 75 = ( 3 1) / (2 2) Übrigens ist das auch der sin 15 = ½ [2-3] = ¼( 6-2) Man bekommt über den Cosinussatz für die Höhe h c = {pq + ½(a²+b²-c²)} Beispiel der obigen Abbildung: h c = {5x9 + ½(13²+15²-14²)} = (45+99) = 144 = 12 (p = (15²+14² - 13²)/(2x14) = 252/28 = 9 und q= 14-9 = 5) Für das Dreieck mit a=15, b=13 und c=4 ergibt sich p negativ als -5 und q=9 h c = {5x9 + ½(13²+15²-4²)} = ( ) = 144 = 12 Da für rechtwinklige Dreiecke die dem rechten Winkel gegenüberliegende Hypotenuse c (dem größten Winkel liegt ja stets die größte Seite gegenüber) gerade der Durchmesser 2R des Umkreises (=Thaleskreis) ist, gilt für die Summe aller Seitenquadrate: a² + b² +c² = 8R² 12/

13 Was gilt nun bei beliebigen Dreiecken für die Quadratsumme aller Seiten? a²+b²+c² = 8R²[1+ cos α i ] Für rechtwinklige verschwindet das Produkt aller Cosinen: cos α i = 0 Aber es gibt noch mehr Formeln für die Summe der Seitenquadrate: Die Seitenquadratessumme Σa i ² für i = 1,2 und 3 ist a²+b²+c² = 2(ab+ac+cb) (16rR + 4r²) = ½(a+b+c)² - 8rR - 2r² = 4R² Σsin α i ² = 2R Σ(a i sin α i ) =2Σa i a k cos α l (i k l) = 4A Σcot α i Hierbei ist r der Inkreisradius und R der Umkreisradius Natürlich gibt es noch viel mehr Formeln wie beispielsweise a²+b²+c² = 2 (h a AH + h b BH + h c CH ) (h i ist die Höhe auf der Seite i und H der Höhenschnittpunkt) oder a²+b²+c² = 2[x²+y²+z²+4rR+r²] 13/

14 Hier sind x, y und z die sog. Tangentenabschnitte; das sind die durch den Berührpunkt des Inkreises geteilten Seitenstücke. Beispielsweise sind diese beim kleinsten natürlichen Dreieck 1, 2 und 3, denn dann ergeben sich die Dreieckseiten zu 1+2=3, 1+3=4 und 2+3=5 (folgende Abb.). Allgemein ist x = ½(a+b -c) y= ½(a+c -b) z = ½(b+c -a) und ihre Summe ist der halbe Dreiecksumfang x+y+z = ½u Das Quadrat des Inkreisradius r² ist der Quotient aus dem Produkt und der Summe der Tangentenabschnitte 14/

15 Nehmen wir als Beispiel das kleinste Dreieck natürlicher Seitenlängen, das nichtrechtwinklig ist: a=4, b=13 und c=15 Es hat die Tangentenabschnitte x = ½( ) = 1, y = ½( ) = 3 und z = 12, es ist 1+3 = 4 und 1+12 = 13 sowie 3+12 = 15 Ihr Produkt ist 3x12=36 und dividiert durch den halbe Umfang 16 ergingt 9/4, weshalb der Inkreisradius r= 3/2 = 1,5 ist. 15/

16 Wie hat man in der Schule den Inkreisradius r eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmt? Dabei ist es so einfach, denn es ist der kleinste Tangentenabschnitt x = ½(a+b -c). Die um die Hypotenuse c verminderte Summe a+b der Katheten ist sein Inkreisdurchmesser 2r. Und seine Fläche ½ab ist einerseits das Produkt der beiden größeren Tangentenabschnitte, die die Hypotenuse teilen: A = yz = (a-r)(b-r) Und andrerseits ist sie gerade die Summe des Quadrats des Inkreisradius und dem doppelten Produkt der In- und Umkreisradien: A = r²+2rr Natürlich gibt es mit den Tangentenabschnitten noch mehr Formeln wie beispielsweise eine einfache Bestimmung der Ankreisradien 6, die sich als eine Division der Dreiecksfläche durch einen Tangentenabschnitt erweist. r i = A/x i Für rechtwinklige Dreiecke ist übrigens der äußere Küsskreisradius x+y+z = ½u wie ja Σx i = ½u für jedes beliebige Dreieck ist, und und ihr Produkt x i = Ar 6 Englisch: Excenter 16/

17 r² = x i / Σx i A = { x i Σx i } x²+y²+z² = ¼u² - 2r(4R+r) xy+xz+yz = 4rR+r² Trigonometrische Funktionen: sin α = 2xr/(x²+r²) sin ½α = r/ (x²+r²) cos α = (x²-r²)/(x²+r²) cos ½α = x/ (x²+r²) tan α = 2xr/(x²-r²) tan ½α = r/x cot ½α = x/r Folgende Summierungen immer nur über i k Σx i ²x k = u(2rr-r²)= 2A(2R-r) Σ (i k) x i ²x k ² =(4rR)² +8r³R + r²- 2A² = r² [(4R)²+ r²+8rr - ½u²] 17/