Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG

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1 Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger Lennéstraße 43, 1. OG September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

2 Ein paar Tipps vorab Be gritty : Perseverance and passion for long-term goals Ausdauer Leidenschaft Langfristige Ziele (Marathon vs. Sprint) Wichtiger als IQ! Start early and space it out! JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

3 Ein paar Tipps vorab Eigenverantwortung Welcher Lerntyp bin ich? Bücher lesen Lernmaterial beschaffen Aufgaben machen Lerngruppen!!!! Hilfe bei Tutoren suchen Die ist Ihre letzte Chance einige Grundregeln der Mathematik zu verinnerlichen JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

4 Was kann ich sonst noch machen? Virtuelles Eingangstutorium Mathematik des Landes NRW Gut geeignet zum Selbststudium Tutorium machen und Aufgaben beantworten JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

5 Literatur Sydsæter / Hammond / Strøm Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug (4. Auflage/4. aktualisierte und erweiterte Auflage) Aufgaben (+Lösungen) im Buch ISBN: ISBN: JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

6 Vorläufige Zeiteinteilung Kapitel Die reellen Zahlen, Potenzen mit ganzzahligen Exponenten, Regeln der Algebra, Brüche, Potenzen mit gebrochenen Exponenten, Ungleichungen, Intervalle und Absolutbeträge Kapitel Lösen einfacher Gleichungen, Gleichungen mit Parametern, Quadratische Gleichungen, Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten, Nichtlineare Gleichungen Kapitel Summennotation, Regeln für Summen, Newtons Binomische Formeln, Doppelsummen, Einige Aspekte der Logik, Mathematische Beweise, Wesentliches aus der Mengenlehre, Mathematische Induktion Kapitel Einführung in Funktionen mit einer Variable, Grundlegende Definitionen, Graphen von Funktionen, Lineare Funktionen, Lineare Modelle, Quadratische Funktionen, Polynome, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen Kapitel Verschieben von Graphen, Verknüpfungen von Funktionen, Inverse Funktionen, Graphen von Gleichungen, Abstand in der Ebene, Allgemeine Funktionen JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

7 Literatur Kennenlernen mit und von Pingo Zugangsnummer: JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

8 Kapitel 1 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

9 Überblick 1. Die reellen Zahlen 2. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 3. Regeln der Algebra 4. Brüche 5. Potenzen mit gebrochenen Exponenten 6. Ungleichungen 7. Intervalle und Absolutbeträge JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

10 Ganze und Rationale Zahlen Natürliche Zahlen: 1, 2, 3, 4,... Auch: Positive Zahlen JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

11 Ganze und Rationale Zahlen Natürliche Zahlen: 1, 2, 3, 4,... Auch: Positive Zahlen Ganze Zahlen: 0, ±1, ±2, ±3, ±4,... Darstellung auf der Zahlengeraden: JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

12 Ganze und Rationale Zahlen Natürliche Zahlen: 1, 2, 3, 4,... Auch: Positive Zahlen Ganze Zahlen: 0, ±1, ±2, ±3, ±4,... Darstellung auf der Zahlengeraden: Rationale Zahlen: a/b, wobei a und b ganze Zahlen (b 0) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

13 Ganze und Rationale Zahlen Zwischen den rationalen Zahlen gibt es Lücken auf der Zahlengraden. Es gibt keine ganzen Zahlen a und b, so dass 2 = a/b; d.h. 2 ist keine rationale Zahl. 2 gehört zu den irrationalen Zahlen - dazu später mehr. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

14 Dezimalsystem, Zehnersystem Jede natürliche Zahl kann mit den Ziffern 0, 1, 2,..., 9 geschrieben werden = Jede natürliche Zahl kann eindeutig in dieser Form, d.h. als Linearkombination von Potenzen zur Basis 10, geschrieben werden. Mit den Zeichen + und kann jede ganze Zahl in dieser Form geschrieben werden. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

15 Dezimalbrüche Rationale Zahlen können mit Dezimalpunkt geschrieben werden: = 2 + 4/ / / /10 4 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

16 Dezimalbrüche Rationale Zahlen können mit Dezimalpunkt geschrieben werden: = 2 + 4/ / / /10 4 Braucht man nur endlich viele Dezimalstellen, spricht man von endlichen Dezimalbrüchen. Jeder endliche Dezimalbruch ist eine rationale Zahl. Nicht jede rationale Zahl kann als endlicher Dezimalbruch geschrieben werden. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

17 Rationale Dezimalbrüche Ein rationaler Dezimalbruch ist immer periodisch, d.h. entweder endlich oder eine endliche Folge von Ziffern wiederholt sich unendlich oft. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

18 Rationale Dezimalbrüche Ein rationaler Dezimalbruch ist immer periodisch, d.h. entweder endlich oder eine endliche Folge von Ziffern wiederholt sich unendlich oft. 1/8 = endlich 5/7 = }{{} }{{} 7... unendlich JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

19 Reelle Zahlen Eine reelle Zahl ist ein beliebiger unendlicher Dezimalbruch x = ±m.α 1 α 2 α 3... Dabei ist m eine nicht-negative ganze Zahl und α n (n = 1, 2,...) ist eine unendliche Folge von Ziffern aus dem Bereich 0 bis 9. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

20 Irrationale Zahlen Nichtperiodische Dezimalbrüche heißen irrationale Zahlen. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

21 Irrationale Zahlen Nichtperiodische Dezimalbrüche heißen irrationale Zahlen. Beispiele: 2 5 π Kreiszahl: JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

22 Vier arithmetische Grundoperationen (Grundrechenarten) 1. Addition + 2. Subtraktion 3. Multiplikation 4. Division / oder Wendet man diese vier Operationen auf zwei reelle Zahlen an, ist das Ergebnis wieder eine reelle Zahl. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

23 Rechnen mit der Null 1. Addition a + 0 = 0 + a = a 2. Subtraktion a 0 = a 0 a = a 3. Multiplikation a 0 = 0 a = 0 4. Division 0/a = 0 für a 0 a/0 ist nicht definiert! 0/0 ist nicht definiert! JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

24 Pingo Wiederholungsaufgabe 1.1 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

25 n-te Potenz von a 2 2 = = a n = a a... a }{{} n Faktoren a Basis n Exponent a wird n-mal mit sich selbst multipliziert JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

26 n-te Potenz von a 2 2 = = a n = a a... a }{{} n Faktoren a Basis n Exponent a wird n-mal mit sich selbst multipliziert Beispiele: a 1 = a a 2 = a a x 4 = x } x {{ x x} 4 Faktoren a = p/q, n = 5 : ( p q )5 = p q p q p q p q p q JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

27 Null als Exponent Definition a 0 = 1 für a 0 ABER: 0 0 ist NICHT definiert!!! JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

28 Potenzen mit negativen Exponenten 3 2 =???? JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

29 Potenzen mit negativen Exponenten 3 2 =???? Antwort: 3 2 = 1/3 2 = 1/9 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

30 Potenzen mit negativen Exponenten 3 2 =???? Antwort: 3 2 = 1/3 2 = 1/9 Definition a n = 1 a n für natürliche Zahl n und a 0 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

31 Eigenschaften von Potenzen bei gleicher Basis a r a s = a r+s Exponenten addieren Basis bleibt (a r ) s = a rs Exponenten multiplizieren Basis bleibt a r a s = ar s Exponenten subtrahieren Basis bleibt JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

32 Eigenschaften von Potenzen bei gleicher Basis (ab) r = a r b r ( a b )r = a b a b a b... a = }{{ b} r Faktoren r Faktoren {}}{ a a... a b b... b }{{} r Faktoren = ar b r = a r b r (abcde) r = a r b r c r d r e r JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

33 Potenz einer Summe (a + b) r =??? Im allgemeinen gilt: (a + b) r a r + b r JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

34 Zinseszinsrechnung Anfangskapital: K Euro, Zinssatz p% Guthaben nach einem Jahr K + K p/100 = K(1 + p/100) Wachstumsfaktor pro Jahr: 1 + p/100 Guthaben nach t Jahren: K ( 1 + p ) t 100 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

35 Endbestand bei konstanter jährlicher Wachstumsrate Eine Größe K, die pro Jahr um p% wächst, steigt in t Jahren an auf K ( 1 + p ) t 100 Dabei heißt 1 + p 100 von p%. der Wachstumsfaktor für ein Wachstum JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

36 Endbestand bei konstanter jährlicher Abnahme Eine Größe K, die pro Jahr um p% abnimmt, fällt in t Jahren auf K ( 1 p ) t 100 Dabei heißt 1 p 100 von p%. der Wachstumsfaktor für eine Abnahme JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

37 Brauchen wir wirklich negative Exponenten? Wieviel Geld x hätte man vor 5 Jahren bei einem Zinssatz von 8% anlegen müssen, um heute 1000 Euro zu erhalten? JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

38 Brauchen wir wirklich negative Exponenten? Wieviel Geld x hätte man vor 5 Jahren bei einem Zinssatz von 8% anlegen müssen, um heute 1000 Euro zu erhalten? x (1.08) 5 = 1000 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

39 Brauchen wir wirklich negative Exponenten? Wieviel Geld x hätte man vor 5 Jahren bei einem Zinssatz von 8% anlegen müssen, um heute 1000 Euro zu erhalten? x (1.08) 5 = 1000 x = 1000 (1.08) 5 = 1000 (1.08) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

40 Brauchen wir wirklich negative Exponenten? Wieviel Geld x hätte man vor 5 Jahren bei einem Zinssatz von 8% anlegen müssen, um heute 1000 Euro zu erhalten? x (1.08) 5 = 1000 x = 1000 (1.08) 5 = 1000 (1.08) Allgemein: Man hätte vor t Jahren P(1 + p/100) t Euro zu einem festen Zinssatz von p% pro Jahr anlegen müssen, um heute P Euro zu erhalten. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

41 Pingo Wiederholungsaufgabe 1.2a und 1.2b JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

42 Elementare Regeln (a) a + b = b + a JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

43 Elementare Regeln (a) a + b = b + a (b) (a + b) + c = a + (b + c) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

44 Elementare Regeln (a) a + b = b + a (b) (a + b) + c = a + (b + c) (c) a + 0 = a JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

45 Elementare Regeln (a) a + b = b + a (b) (a + b) + c = a + (b + c) (c) a + 0 = a (d) a + ( a) = 0 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

46 Elementare Regeln (a) a + b = b + a (b) (a + b) + c = a + (b + c) (c) a + 0 = a (d) a + ( a) = 0 (e) ab = ba JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

47 Elementare Regeln (a) a + b = b + a (b) (a + b) + c = a + (b + c) (c) a + 0 = a (d) a + ( a) = 0 (e) ab = ba (f) (ab)c = a(bc) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

48 Elementare Regeln (a) a + b = b + a (g) 1 a = a (b) (a + b) + c = a + (b + c) (c) a + 0 = a (d) a + ( a) = 0 (e) ab = ba (f) (ab)c = a(bc) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

49 Elementare Regeln (a) a + b = b + a (b) (a + b) + c = a + (b + c) (g) 1 a = a (h) aa 1 = 1 für a 0 (c) a + 0 = a (d) a + ( a) = 0 (e) ab = ba (f) (ab)c = a(bc) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

50 Elementare Regeln (a) a + b = b + a (b) (a + b) + c = a + (b + c) (c) a + 0 = a (g) 1 a = a (h) aa 1 = 1 für a 0 (i) ( a)b = a( b) = ab (d) a + ( a) = 0 (e) ab = ba (f) (ab)c = a(bc) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

51 Elementare Regeln (a) a + b = b + a (b) (a + b) + c = a + (b + c) (c) a + 0 = a (d) a + ( a) = 0 (g) 1 a = a (h) aa 1 = 1 für a 0 (i) ( a)b = a( b) = ab (j) ( a)( b) = ab (e) ab = ba (f) (ab)c = a(bc) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

52 Elementare Regeln (a) a + b = b + a (b) (a + b) + c = a + (b + c) (c) a + 0 = a (d) a + ( a) = 0 (e) ab = ba (g) 1 a = a (h) aa 1 = 1 für a 0 (i) ( a)b = a( b) = ab (j) ( a)( b) = ab (k) a(b + c) = ab + ac (f) (ab)c = a(bc) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

53 Elementare Regeln (a) a + b = b + a (b) (a + b) + c = a + (b + c) (c) a + 0 = a (d) a + ( a) = 0 (e) ab = ba (f) (ab)c = a(bc) (g) 1 a = a (h) aa 1 = 1 für a 0 (i) ( a)b = a( b) = ab (j) ( a)( b) = ab (k) a(b + c) = ab + ac (l) (a + b)c = ac + bc JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

54 Einfache Folgerungen aus den elementaren Regeln a(b c) = a[b + ( c)] = ab + a( c) = ab ac x(a + b c + d) = xa + xb xc + xd JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

55 Einfache Folgerungen aus den elementaren Regeln a(b c) = a[b + ( c)] = ab + a( c) = ab ac x(a + b c + d) = xa + xb xc + xd (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

56 Binomische Formeln (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab + b 2 (a b) 2 = (a b)(a b) = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a 2 b 2 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

57 Binomische Formeln (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab + b 2 (a b) 2 = (a b)(a b) = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a 2 b 2 Formel für die Differenz von Quadraten = (12 + 7)(12 7) = 19 5 = 95 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

58 Algebraische Ausdrücke 3xy 5x 2 y 3 + 2xy + 6y 3 x 2 3x + 5yx + 8 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

59 Algebraische Ausdrücke 3xy 5x 2 y 3 + 2xy + 6y 3 x 2 3x + 5yx + 8 Terme: 3xy, 5x 2 y 3, 2xy, 6y 3 x 2, 3x, 5yx, 8 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

60 Algebraische Ausdrücke 3xy 5x 2 y 3 + 2xy + 6y 3 x 2 3x + 5yx + 8 Terme: 3xy, 5x 2 y 3, 2xy, 6y 3 x 2, 3x, 5yx, 8 Numerische Koeffizienten: 3, 5, 2, 6, 3, 5 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

61 Algebraische Ausdrücke 3xy 5x 2 y 3 + 2xy + 6y 3 x 2 3x + 5yx + 8 Terme: 3xy, 5x 2 y 3, 2xy, 6y 3 x 2, 3x, 5yx, 8 Numerische Koeffizienten: 3, 5, 2, 6, 3, 5 Terme vom selben Typ: 3xy, 2xy, 5yx und 5x 2 y 3, 6y 3 x 2 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

62 Vereinfachung der algebraischen Ausdrücke 1. Terme vom selben Typ sammeln 2. Numerische Koeffizienten an den Anfang 3. Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge 4. Höhere Potenzen nach vorn 5. Mehr Faktoren nach vorn JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

63 Vereinfachung der algebraischen Ausdrücke, Beispiel 3xy 5x 2 y 3 + 2xy + 6y 3 x 2 3x + 5yx xy + 2xy + 5xy 5x 2 y 3 + 6y 3 x 2 3x Schon erledigt 3. 3xy + 2xy + 5xy 5x y 3 + 6x 2 y 3 3x + 8 }{{}}{{} =10xy =x 2 y 3 4. x 2 y xy 3x Schon erledigt JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

64 Faktorzerlegung 49 = = Einen Ausdruck in Faktoren zerlegen beudeutet, ihn als Produkt von einfacheren Faktoren zu schreiben. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

65 Faktorzerlegung 49 = = Einen Ausdruck in Faktoren zerlegen beudeutet, ihn als Produkt von einfacheren Faktoren zu schreiben. Beispiele: 6x 2 y = 2 3 x x y 5x 2 y 3 15xy 2 = 5 x y y(xy 3) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

66 Faktorzerlegung 49 = = Einen Ausdruck in Faktoren zerlegen beudeutet, ihn als Produkt von einfacheren Faktoren zu schreiben. Beispiele: 6x 2 y = 2 3 x x y 5x 2 y 3 15xy 2 = 5 x y y(xy 3) Binomische Formeln (in umgekehrter Reihenfolge) sind oft hilfreich zur Bildung der Faktoren. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

67 Pingo Wiederholungsaufgabe 1.3 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

68 Definitionen a b = a/b = a b a Zähler b Nenner JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

69 Definitionen a b = a/b = a b a Zähler b Nenner 5/8 ist ein echter Bruch, da 5 kleiner ist als 8. 19/8 ist ein unechter Bruch, da 19 größer ist als 8. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

70 Definitionen a b = a/b = a b a Zähler b Nenner 5/8 ist ein echter Bruch, da 5 kleiner ist als 8. 19/8 ist ein unechter Bruch, da 19 größer ist als 8. Unechte Brüche können als gemischte Zahlen geschrieben werden: 19 8 = = = 23 8 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

71 Regeln für die Bruchrechnung, Kürzen a c b c = a b (b 0 und c 0) (1) = = 7 5 Kürzen! Definition Kürzen: Vereinfachen von Brüchen; Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen und gemeinsame Faktoren herausstreichen. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

72 Regeln für die Bruchrechnung a b = a b 5 6 = a b = ( 1) a b = ( 1)a b = a b = a b a c + b c = a + b c = a b + c d = a d + b c b d = JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

73 Regeln für die Bruchrechnung a b = a b 5 6 = 5 6 a b = ( 1) a b = ( 1)a b = a b = a b a c + b c = a + b c = 18 3 = 6 a b + c d = a d + b c b d = = JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

74 Regeln für die Bruchrechnung a + b c = a c + b c = a b c = a b c = a b c d = a c b d = a b c d = a b d c = a d b c = JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

75 Regeln für die Bruchrechnung a + b c = a c + b c = = 28 5 a b c = a b c = = 21 5 a b c d = a c b d = = = 5 14 a b c d = a b d c = a d b c = = = 7 8 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

76 Pingo Wiederholungsaufgabe 1.4 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

77 Kapitel 1.5 Potenzen mit gebrochenen Exponenten JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

78 Quadratwurzel Definition Quadratwurzel aus a ist diejenige nichtnegative Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt. a 1/2 = a falls a 0 Denn: a 1/2 a 1/2 = a 1/2+1/2 = a 1 = a bzw.: (a 1/2 ) 2 = a (1/2) 2 = a 1 = a JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

79 Rechenregeln für Quadratwurzeln ab = a b a, b 0 a b = a b a 0, b > 0 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

80 Rechenregeln für Quadratwurzeln FALSCH: (a + b) r a r + b r Für r = 1/2 bedeutet das: a + b a + b (im allgemeinen) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

81 Quadratwurzel ist nichtnegativ!!! ( 2) 2 = 4 und 2 2 = 4 d.h. x = 2 und x = 2 sind Lösungen der Gleichung x 2 = 4: x 2 = 4 x = ± 4 = ±2 Jedoch: 4 = 2 und NICHT 2 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

82 Dritte oder kubische Wurzel Was bedeutet a 1/n, wenn a > 0 und n eine natürliche Zahl ist? 5 1/3 =??? JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

83 Dritte oder kubische Wurzel Was bedeutet a 1/n, wenn a > 0 und n eine natürliche Zahl ist? 5 1/3 =??? (a r ) s = a rs (5 1/3 ) 3 = 5 1 = 5 5 1/3 muss Lösung der Gleichung x 3 = 5 sein: (5 1/3 ) := 3 5 Eindeutige positive Lösung: die kubische Wurzel. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

84 n-te Wurzel (a 1/n ) n = a 1 = a a 1/n ist Lösung von x n = a x n = a hat eine eindeutige positive Lösung, die mit n a, bzw. n-te Wurzel aus a bezeichnet wird: a 1/n = n a JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

85 n-te Wurzel Wenn a > 0 und n eine natürliche Zahl, so ist a 1/n = n a die eindeutig bestimmte positive Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. a 1/n ist diejenige positive Zahl, die n-mal mit sich selbst multipliziert a ergibt. (a 1/n ) n = ( n a) n = n a n a... n a = a }{{} n-mal JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

86 Potenzen mit gebrochenen Exponenten a p/q =??? p ganze Zahl, q natürliche Zahl und a > 0 5 2/3 = (5 1/3 ) 2 = ( 3 5) 2 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

87 Potenzen mit gebrochenen Exponenten a p/q =??? p ganze Zahl, q natürliche Zahl und a > 0 5 2/3 = (5 1/3 ) 2 = ( 3 5) 2 Definition a p/q = (a 1/q ) p = ( q a) p JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

88 Potenzen mit gebrochenen Exponenten Definition a p/q = (a 1/q ) p = ( q a) p Folgerung a p/q = (a 1/q ) p = a (1/q) p = a p (1/q) = (a p ) 1/q = q a p JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

89 Häufige Fehler Warnungen: (1 r) r 20 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

90 Häufige Fehler Warnungen: (1 r) r 20 u = 9 + x 1/2 u 2 = 81 + x u = 9 + x 1/2 u 2 = x + x JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

91 Häufige Fehler Warnungen: (1 r) r 20 u = 9 + x 1/2 u 2 = 81 + x u = 9 + x 1/2 u 2 = x + x (e x e x ) p e xp e xp (Es sei denn p = 1) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

92 Negative Basis Wenn q ungerade und p eine ganze Zahl, kann a p/q auch für a < 0 definiert werden, z.b. ( 8) 1/3 = 3 8 = 2 da ( 2) 3 = 8 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

93 Pingo Wiederholungsaufgabe 1.5a-d JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

94 Was heißt 3 ist größer als 2? Definition Die Zahl a ist größer als die Zahl b, wenn a b positiv ist. Wir schreiben dann: a > b oder b < a JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

95 Strikte und Schwache Ungleichungen a > b a ist strikt größer als b Wenn a > b oder a = b, d.h. a ist größer oder gleich b, schreiben wir a b. a b bedeutet a b 0 > und < Strikte Ungleichung und Schwache Ungleichung JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

96 Rechenregeln für Ungleichungen a > 0 und b > 0 a + b > 0 und a b > 0 (1) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

97 Rechenregeln für Ungleichungen a > 0 und b > 0 a + b > 0 und a b > 0 (1) a > b a + c > b + c für alle c (2) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

98 Rechenregeln für Ungleichungen a > 0 und b > 0 a + b > 0 und a b > 0 (1) a > b a + c > b + c für alle c (2) a > b und b > c a > c (3) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

99 Rechenregeln für Ungleichungen a > 0 und b > 0 a + b > 0 und a b > 0 (1) a > b a + c > b + c für alle c (2) a > b und b > c a > c (3) a > b und c > 0 ac > bc (4) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

100 Rechenregeln für Ungleichungen a > 0 und b > 0 a + b > 0 und a b > 0 (1) a > b a + c > b + c für alle c (2) a > b und b > c a > c (3) a > b und c > 0 ac > bc (4) a > b und c < 0 ac < bc (5) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

101 Rechenregeln für Ungleichungen a > 0 und b > 0 a + b > 0 und a b > 0 (1) a > b a + c > b + c für alle c (2) a > b und b > c a > c (3) a > b und c > 0 ac > bc (4) a > b und c < 0 ac < bc (5) a > b und c > d a + c > b + d (6) Dasselbe gilt für statt >. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

102 Multiplikation einer Ungleichung mit einer Zahl 4. Wenn beide Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert werden, bleibt die Richtung der Ungleichung erhalten. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

103 Multiplikation einer Ungleichung mit einer Zahl 4. Wenn beide Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert werden, bleibt die Richtung der Ungleichung erhalten. 5. Wenn beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert werden, kehrt sich die Richtung der Ungleichungen um. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

104 Pingo Wiederholungsaufgabe 1.6a JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

105 Vorzeichendiagramme, Beispiel Für welche Werte von x gilt: (x 1)(3 x) > 0?? Die Ungleichung gilt für 1 < x < 3. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

106 Vorzeichendiagramme, Beispiel Für welche Werte von p gilt: 2p 3 p 1 > 3 p Pingo Wiederholungsaufgabe 1.6b JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

107 Vorzeichendiagramme, Beispiel Für welche Werte von p gilt: 2p 3 p 1 > 3 p?? JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

108 Vorzeichendiagramme, Beispiel Für welche Werte von p gilt: 2p 3 p 1 > 3 p?? 2p 3 p 1 > 3 p 2p 3 2p 3 + (p 3)(p 1) + p 3 > 0 > 0 p 1 p 1... p(p 2) p 1 > 0 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

109 Vorzeichendiagramme, Beispiel Für welche Werte von p gilt: 2p 3 p 1 > 3 p?? 2p 3 p 1 > 3 p 2p 3 2p 3 + (p 3)(p 1) + p 3 > 0 > 0 p 1 p 1... p(p 2) p 1 > 0 Die Ungleichung gilt genau dann, wenn 0 < p < 1 oder p > 2. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

110 Doppel-Ungleichungen Wenn a z und z < b, d.h. a ist kleiner oder gleich z und gleichzeitig ist z kleiner als b, dann schreiben wir: a z < b JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

111 Doppel-Ungleichungen Wenn a z und z < b, d.h. a ist kleiner oder gleich z und gleichzeitig ist z kleiner als b, dann schreiben wir: a z < b Ungleichheitszeichen nur in einer Richtung erlaubt! Nicht erlaubt ist: a z > b JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

112 Definition: Intervalle Notation Name Enthält x mit: (a, b) Offenes Intervall von a bis b a<x<b [a, b] Abgeschlossenes Intervall von a bis b a x b (a, b] Halboffenes Intervall von a bis b a<x b [a, b) Halboffenes Intervall von a bis b a x <b Die Länge aller Intervalle ist b a. Alle Intervalle sind beschränkt. A = [ 4, 2], B = [0, 1), C = (2, 5) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

113 Das Symbol für Unendlich Symbol für Unendlich ist keine Zahl sondern ein Symbol. Übliche Rechenregeln gelten NICHT für. JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

114 Unbeschränkte Intervalle [a, ) = alle Zahlen x mit x a (, b) = alle Zahlen x mit x < b Das Intervall [a, ) hat keine obere Schranke. Das Intervall (, b) hat keine untere Schranke. Die Menge aller reellen Zahlen ist: (, ) JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

115 Absolutbetrag Sei a Zahl auf der reellen Zahlengeraden. Der Abstand zwischen a und 0 heißt Absolutbetrag von a und wird mit a bezeichnet. Definition a = { a falls a 0 a falls a < 0 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

116 Abstand zwischen Punkten auf der Zahlengeraden Abstand zwischen x 1 und x 2 x 1 x 2 wenn x 1 x 2 (x 1 x 2 ) wenn x 1 < x 2 D.h. Abstand zwischen x 1 und x 2 ist: x 1 x 2 = x 2 x 1 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

117 Ungleichungen mit Absolutbeträgen x < a bedeutet a < x < a x a bedeutet a x a JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74

118 Pingo Wiederholungsaufgabe 1.7 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober / 74