Kapitel 1.5 und 1.6. Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik

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1 Kapitel 1.5 und 1.6 Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik Teil 1: Kalküle und Beweisbarkeit und die Korrektheit des Shoenfield-Kalküls Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 1 / 18

2 Syntaktischer Folgerungsbegriff: Beweisbarkeit Wir stellen nun dem semantischen Folgerungsbegriff einen syntaktischen Folgerungsbegriff, die Beweisbarkeit, gegenüber. Hierzu führen wir zunächst allgemein den Begriff eines Kalküls oder Axiomensystems sowie die zugehörigen Beweis- und Beweisbarkeitsbegriffe ein. Wir geben dann einen Kalkül der Aussagenlogik an (den Shoenfield-Kalkül S) und zeigen, dass Beweisbarkeit in diesem Kalkül mit dem semantischen Folgerungsbegriff zusammenfällt. Da der Beweisbegriff rein syntaktisch beschrieben ist, liefert dies die gewünschte syntaktische Charakterisierung des Folgerungsbegriffs. Da Folgerungen aus der leeren Menge mit der Allgemeingültigkeit (al. Wahrheit) zusammenfallen, erhalten wir mit der Beweisbarkeit insbesondere eine rein syntaktische Charakterisierung der aussagenlogischen Wahrheit. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 2 / 18

3 Kalküle (Axiomensysteme) Ein (formaler) Kalkül K wird durch folgende Komponenten bestimmt: 1 die Sprache von K, die durch das (i.a. abzählbare) Alphabet von K festgelegt ist 2 die Menge der Formeln von K, wobei diese eine Teilmenge der endlichen Folgen (d.h. der Wörter) über dem Alphabet von K ist 3 die Menge der Axiome von K, wobei diese eine Teilmenge der Menge der Formeln von K ist 4 die Menge der Regeln von K, wobei jede Regel R die Gestalt (R) ϕ 1,..., ϕ n ϕ hat, wobei n 1 und ϕ 1,..., ϕ n, ϕ Formeln von K sind. ϕ 1,..., ϕ n sind die Prämissen, ϕ die Konklusion von R. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 3 / 18

4 Anforderungen an einen Kalkül: Sprache (Alphabet) I.a. wird man bei einem unendlichen Alphabet verlangen, dass man die Zeichen des Alphabets effektiv generieren kann. Im Falle der Aussagenlogik würde man z.b. das Alphabet {A 0, A 1,...,,,,,, (, )} wählen. Wie wir bereits gesehen haben, kann man die Aussagenvariablen A n effektiv generieren, indem man diese als Wörter über dem endlichen Alphabet {A, 1} darstellt. Man könnte statt der Junktoren,,,, auch irgendeinen anderen Satz von Junktoren wählen, so lange die zugehörigen Booleschen Funktionen eine Basis bilden. Konkret werden wir hier einen Kalkül mit Alphabet {A 0, A 1,...,,, (, )} (also mit dem Junktorensatz {, }) betrachten. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 4 / 18

5 Anforderungen an einen Kalkül: Formeln Hier erwartet man, dass Formeln durch deren Form bestimmt sind, also syntaktisch charakterisiert sind. Dabei verlangt man i.a., dass insbesondere entscheidbar ist, ob ein Wort über dem Alphabet des Kalküls eine Formel ist oder nicht. Interpretiert werden Formeln als Aussagen (Sätze) oder Aussageformen (Satzformen). Im Falle der Aussagenlogik würde man bei Zugrundelegung des Alphabets {A 0, A 1,...,,,,,, (, )} die al. Formeln als Formelmenge wählen. Legt man einen anderen Junktorensatz zugrunde, sind die Formeln entsprechend definiert. Bei Alphabet {A 0, A 1,...,,, (, )} werden z.b. die Formeln induktiv definiert durch: Jede Aussagenvariable ist eine Formel. Ist ϕ eine Formel, so auch ϕ. Sind ϕ und ψ Formeln, so auch (ϕ ψ). Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 5 / 18

6 Anforderungen an einen Kalkül: Axiome Auch hier erwartet man, dass die Axiome durch deren Form bestimmt sind, also syntaktisch charakterisiert sind, und dass es entscheidbar ist, ob eine Formel ein Axiom ist. Ist die Axiomenmenge unendlich, so liegen in der Regel endlich viele Axiomenschemata vor, wobei jedes Axiomenschema eine (unendliche) Menge von Formeln mit einer gemeinsamen syntaktischen Eigenschaft ist. Interpretiert werden Axiome als wahre Aussagen (Sätze) oder wahre Aussageformen (Satzformen). Beispiele für mögliche Axiomenschemata im Falle der Aussagenlogik sind oder (ϕ ϕ) (ϕ ϕ) wobei ϕ eine beliebige Formel (bzgl. der zugehörigen Sprache) ist. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 6 / 18

7 Anforderungen an einen Kalkül: Regeln Auch hier erwartet man wie bei Formeln und Axiomen, dass die Regeln durch deren Form bestimmt sind, also syntaktisch charakterisiert sind, und dass es entscheidbar ist, ob eine Formelfolge eine Regel ist. Ist die Regelmenge unendlich, so geht man entsprechend wie bei den Axiomen davon aus, dass endlich viele Regelschemata vorliegen, wobei jedes Regelschema eine (unendliche) Menge von Formelfolgen (fester endlicher Länge) mit einer gemeinsamen syntaktischen Eigenschaft ist. Interpretiert werden Regeln als zulässige Folgerungen. Beispiele für mögliche Regelschemata im Falle der Aussagenlogik sind ϕ ϕ oder ϕ, ϕ ψ ψ (modus ponens) Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 7 / 18

8 Kalküle: Beweise und Beweisbarkeit DEFINITION. Sei K ein Kalkül. Ein (K-) Beweis der (K-) Formel ϕ (oder eine (K-) Herleitung von ϕ) ist eine endliche Folge ψ 1,..., ψ n von (K-) Formeln, sodass folgendes gilt: ϕ ψ n Jede Formel ψ m (1 m n) ist ein (K-) Axiom oder die Konklusion einer (K-) Regel R, deren Prämisse(n) in {ψ 1,..., ψ m 1 } liegen. n ist die Länge des Beweises ψ 1,..., ψ n. DEFINITION. Eine (K-) Formel ϕ is (K-) beweisbar, wenn es einen (K-) Beweis von ϕ gibt. NB: Jedes (K-) Axiom ϕ ist ein (K-) Beweis (der Länge 1) und damit (K-) beweisbar. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 8 / 18

9 Kalküle: Beweise und Beweisbarkeit aus T DEFINITION. Sei K ein Kalkül und T eine Menge von (K-) Formeln. Ein (K-) Beweis der (K-) Formel ϕ aus T ist eine endliche Folge ψ 1,..., ψ n von (K-) Formeln, sodass folgendes gilt: ϕ ψ n Jede Formel ψ m (1 m n) ist ein (K-) Axiom oder eine Formel aus der Formelmenge T oder die Konklusion einer (K-) Regel R, deren Prämisse(n) in {ψ 1,..., ψ m 1 } liegen. n ist die Länge des Beweises ψ 1,..., ψ n. DEFINITION. Eine (K-) Formel ϕ is (K-) beweisbar aus T, wenn es einen (K-) Beweis von ϕ aus T gibt. NB: Jede Formel ϕ T ist ein (K-) Beweis (der Länge 1) aus T und damit (K-) beweisbar aus T. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 9 / 18

10 Beweisbarkeit: Widerspruchsfreiheit Im Folgenden sei K ein Kalkül, T eine Menge von K-Formeln und ϕ eine K-Formel. SCHREIBWEISE: T K ϕ : ϕ is K-beweisbar aus T K ϕ : K ϕ ϕ is K-beweisbar Ist K aus dem Kontext bekannt, so schreiben wir statt K. DEFINITION. Der Kalkül K is widerspruchsfrei, falls es eine K-Formel ψ mit ψ gibt. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 10 / 18

11 Beweisbarkeit: einfache Eigenschaften Im Folgenden sei K ein Kalkül, T, T Mengen von K-Formeln und ϕ eine K-Formel. MONOTONIELEMMA FÜR. Falls T T und T ϕ, so gilt auch T ϕ. BEWEIS. Aus T T folgt, dass jeder T -Beweis auch ein T -Beweis ist. TRANSITIVITÄTSLEMMA FÜR. Gelte T ϕ und gelte weiter T ψ für alle ψ T. Dann gilt T ϕ. BEWEISIDEE. Nach Annahme gibt es einen Beweis ϕ = ϕ 1,..., ϕ n 1, ϕ von ϕ aus T und für jedes ψ T einen Beweis ψ = ψ 1,..., ψ m 1, ψ von ψ aus T. Ersetzt man nun jede Formel ψ T, die in dem Beweis ϕ von ϕ aus T vorkommt, durch deren Beweis ψ aus T, so erhält man einen Beweis von ϕ aus T. (Formal zeigt man die Behauptung durch Herleitungsinduktion, d.h. durch Induktion nach der Länge n des Beweises ϕ = ϕ 1,..., ϕ n 1, ϕ n von ϕ aus T, wobei man im Induktionsschritt (Übergang von < m zu m) obige Beobachtung anwendet (falls ϕ m T ).) NB: Man beachte, dass die entsprechenden Aussagen auch für den semantischen Folgerungsbegriff gelten! Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 11 / 18

12 Beweisbarkeit: einfache Eigenschaften (Fortsetzung) ENDLICHKEITSSATZ FÜR. Falls T ϕ gilt, so gibt es eine endliche Teilmenge T 0 von T mit T 0 ϕ. BEWEIS. Es gelte T ϕ. Dann gibt es einen Beweis von ϕ aus T. Setze T 0 = T {ϕ 1,..., ϕ n }. ϕ = ϕ 1,..., ϕ n = ϕ 1,..., ϕ n 1, ϕ Offensichtlich ist T 0 eine endliche Teilmenge von T. Weiter ist ϕ ein Beweis von ϕ aus T 0. Also T 0 ϕ. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 12 / 18

13 Kalküle der Aussagenlogik: Korrektheit und Vollständigkeit Im Folgenden nennen wir einen Kalkül K einen Kalkül der Aussagenlogik, wenn die Sprache von K auf dem Alphabet {A 0, A 1,..., j 1,..., j k, (, )} basiert, wobei die Junktoren j 1,..., j k eine Basis der Booleschen Funktionen definieren, und die Formeln wie üblich (s.o.) gebildet sind. DEFINITION. Sei K ein Kalkül der Aussagenlogik. K ist korrekt bzgl. der Allgemeingültigkeit, falls jede K-beweisbare Formel ϕ allgemeingültig ist, also K ϕ ϕ für alle K-Formeln ϕ gilt. K ist korrekt bzgl. Folgerungen, falls jede aus einer Formelmenge T K-beweisbare Formel ϕ aus T (semantisch) folgt, also T K ϕ T ϕ für alle K-Formelmengen T und alle K-Formeln ϕ gilt. K ist vollständig bzgl. der Allgemeingültigkeit, falls jede allgemeingültige Formel ϕ K-beweisbar ist, also ϕ K ϕ für alle K-Formeln ϕ gilt. K ist vollständig bzgl. Folgerungen, falls jede aus einer Formelmenge T folgende Formel ϕ aus T K-beweisbar ist, also T ϕ T K ϕ für alle K-Formelmengen T und alle K-Formeln ϕ gilt. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 13 / 18

14 Korrektheit und Vollständigkeit (Fortsetzung) Wegen K ϕ K ϕ und ϕ ϕ impliziert Korrektheit (Vollständigkeit) bzgl. Folgerungen auch Korrektheit (Vollständigkeit) bzgl. der Allgemeingültigkeit. Im Folgenden sagen wir kurz Korrektheit (Vollständigkeit) anstelle von Korrektheit (Vollständigkeit) bzgl. Folgerungen und wir nennen einen Kalkül K der Aussagenlogik adäquat, wenn K korrekt und vollständig ist, also stets gilt. T K ϕ T ϕ Der syntaktische Beweisbarkeitsbegriff in einem adäquaten Kalkül der Aussagenlogik fällt also gerade mit dem semantischen Folgerungsbegriff zusammen (und die beweisbaren Formeln sind gerade die allgemeingültigen Formeln). Im Folgenden werden wir einen Kalkül der Aussagenlogik angeben und von ihm zeigen, dass er adäquat ist. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 14 / 18

15 Shoenfields Kalkül S der Aussagenlogik: Sprache und Formeln Der Shoenfield-Kalkül S basiert auf der Basis {, }. Die Sprache von S ist also durch das Alphabet {A 0, A 1,...,,, (, )} gegeben. Wie bereits oben ausgeführt führt dies zu folgender induktiver Definition der Formeln: Jede Aussagenvariable ist eine Formel. Ist ϕ eine Formel, so auch ϕ. Sind ϕ und ψ Formeln, so auch (ϕ ψ). Aussagenlogische Formeln, die nicht von diesem Typ sind, fassen wir als Abkürzungen von S-Formeln auf, wobei wir folgende Identitäten verwenden: (ϕ ψ) ( ϕ ψ) (ϕ ψ) ( ϕ ψ) (ϕ ψ) ((ϕ ψ) (ψ ϕ)) wobei hier und noch wie oben angegeben zu ersetzen sind. Zur Erhöhung der Lesbarkeit verwenden wir wie bei den al. Formeln die früher eingeführten Regeln zur Klammerersparnis. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 15 / 18

16 Shoenfields Kalkül S der Aussagenlogik: Axiome und Regeln Der Schoenfield-Kalkül besitzt ein Axiomenschema und vier Regelschemata: AXIOME ϕ ϕ ( ϕ ϕ) tertium non datur (Ax) REGELN ψ ϕ ψ Expansion (E) ϕ (ψ δ) (ϕ ψ) δ Assoziativität (A) ϕ ϕ ϕ Kürzung (Kü) ϕ ψ, ϕ δ ψ δ Schnitt (S) Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 16 / 18

17 Korrektheit des Shoenfield-Kalküls S KORREKTHEITSSATZ. Der Schoenfield-Kalkül S ist korrekt (bzgl. Folgerungen): T S ϕ T ϕ Zum Beweis zeigen wir: KORREKTHEITSLEMMA. Sei K ein Kalkül der Aussagenlogik, dessen Axiome allgemeingültig sind und dessen Regeln korrekt bzgl. Folgerungen sind. Dann ist K korrekt bzgl. Folgerungen. Da (wie man leicht sieht und wie wir zum großen Teil bereits gezeigt haben) die Axiome des Shoenfield-Kalküls allgemeingültig und die Regeln bzgl. Folgerungen korrekt sind, folgt der Korrektheitssatz direkt aus dem Korrektheitslemma. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 17 / 18

18 Beweis des Korrektheitslemmas Es gelte T ϕ. Zu zeigen: T ϕ. Sei ϕ 0,..., ϕ n ein Beweis von ϕ aus T. Wegen ϕ ϕ n genügt es T ϕ i für i n durch Ind(i) zu zeigen (= Herleitungsinduktion). Zum Nachweis von T ϕ i unterscheide die folgenden drei möglichen Fälle: ϕi Axiom: Dann ist (nach Annahme) ϕ i allgemeingültig weshalb insbesondere T ϕ i gilt. ϕ i T : Dann gilt trivialerweise T ϕ i. ϕ i ist mit Hilfe einer Regel R aus ϕ j0,..., ϕ jk mit j 0,..., j k < i erschlossen. Dann gilt nach I.V. T ϕ jm für m k. Da R nach Annahme korrekt bzgl. Folgerungen ist, folgt T ϕ i (mit Transitivität von ). Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 18 / 18