Mathematik im Wandel. Anregungen zu einem fächerübergreifenden Mathematikunterricht Band 3. Michael Toepell (Hrsg.)

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1 Mathematik im Wandel Anregungen zu einem fächerübergreifenden Mathematikunterricht Band 3 Michael Toepell (Hrsg.)

2 Mathematikgeschichte und Unterricht IV Michael Toepell (Hrsg.) Mathematik im Wandel Anregungen zu einem fächerübergreifenden Mathematikunterricht Band 3 franzbecker

3 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Bibliographic information published by Die Deutsche Bibliothek Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data is available in the Internet at < Mathematikgeschichte und Unterricht IV Michael Toepell (Hrsg.): Mathematik im Wandel Anregungen zu einem fächerübergreifenden Mathematikunterricht Band 3 ISBN X ISBN neu: Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, insbesondere die der Vervielfältigung und Übertragung auch einzelner Textabschnitte, Bilder oder Zeichnungen vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Zustimmung des Verlages in irgendeiner Form reproduziert werden (Ausnahmen gem. 53, 54 URG). Das gilt sowohl für die Vervielfältigung durch Fotokopie oder irgendein anderes Verfahren als auch für die Übertragung auf Filme, Bänder, Platten, Transparente, Disketten und andere Medien by Verlag Franzbecker, Hildesheim, Berlin

4 Inhalt Seite Einführung... 1 Verzeichnis der Fachbezüge Mathematik... 7 Geschichte und weitere Fächer... 8 Renate Tobies: Die Mathematik und ihre Anwendungen "allseitig" entwickeln - Felix Klein zum 150. Geburtstag... 9 Michael Toepell: 100 Jahre "Grundlagen der Geometrie" - ein Blick in die Werkstatt von David Hilbert Peter Schreiber: Grundlagen der Geometrie von Hilbert bis heute Andreas Fuls: Astronomische Berechnungen in der Dresdner Mayahandschrift Barabara Schmidt-Thieme: Die ersten Leipziger Mathematikdrucke Ulrich Reich: Der Wittenberger Rechenmeister Johann Albert und seine Dortmunder Handschrift Eberhard Schröder: Sichtung und Wertung einiger bei Albrecht Dürer nachweisbarer geometrischer Konstruktionen Hans Wußing: Eine kleine "Coß" von Jakob Ries aus dem Jahre

5 IV Inhalt Dirk Steinmetz: Die Gregorianische Kalenderreform (1582) und ihre Vorgeschichte Eberhard Mittermayer: Die geometrische Lösung der Mercator-Abbildung der Kugel in die Ebene Karel Macák: Die Entstehung der Kombinatorik bei den Jesuiten Rüdiger Thiele: Die Tragweite der Teleologie- Betrachtungen zur Geschichte des Prinzips der kleinsten Aktion Erwin Deák: Ein grundsätzlich neuer didaktischer Weg zum Logarithmus-Begriff mit ausgeprägten historischen Bezügen Sibylle Ohly: Die Verwandlung eines mechanischen in ein rein geometrisches Problem bei Johann Bernoulli Witold Wieslaw: Reform of Mathematical Education in Poland in the second half of the XVIIIth century Tilman Krischer: Ernst Machs Verständnis von Mathematik als Denkökonomie in historischer Sicht Heinz Schumann: Zur Geschichte präformaler Extremwertbestimmung Peter Ullrich: Einige historische Anmerkungen zur Unterscheidung von Infimum und Minimum Jana Ludvíková: Pick s formula and Georg Pick in Prague

6 Inhalt V Karel Lepka: Matyáš Lerch and his contribution to the theory of Fermat Javier Legris: Paul Hertz s proof-theoretical Conception of Logical Consequence Helena Durnová: Otakar Boruvka ( ) and the Minimum Spanning Tree Hannelore Bernhardt: Zur Geschichte der Internationalen Mathematischen Unterrichtskommission IMUK (gegr. 1908) Zdeňka Crkalová: Mathematikunterricht an den Technischen Hochschulen in der Vergangenheit und heute Waltraud Voss: Dresdner Mathematiker während der Direktionszeit von Gustav Zeuner ( ) Györgyi Führer-Nagy: Über die Anfänge des Mathematikunterrichts für Techniker im 18.Jahrhundert an der Universität Sopron Thomas Riedrich: Oskar Schlömilch - Georg Helm - Erich Trefftz - Friedrich Willers: 100 Jahre anwendungsorientierte Mathematik an der TH Dresden Pavel Šišma: Mathematics at the German Technical University in Brno Ralf Krömer: Zur Geschichte des axiomatischen Vektorraumbegriffs Gerhard Kowol: Zur Geschichte der geometrischen Darstellung komplexer Zahlen und Funktionen Alphabetisches Autorenverzeichnis

7 Einführung Die Fachsektion Geschichte der Mathematik der Deutschen Mathematiker- Vereinigung (DMV) und der Arbeitskreis Mathematikgeschichte und Unterricht der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik veranstalten seit Jahren gemeinsame Fachtagungen zur Geschichte der Mathematik. Auch der vorliegende Band ist aus einer dieser Fachtagungen hervorgegangen. Sie stand am Jahrtausendübergang, der insbesondere die historische Dimension unserer Kultur in den Vordergrund rückte. Rückblicke und Ausblicke können zur geistigen Verankerung, zur eigenen Standortfindung, zur Vertrauensbildung gegenüber einem nicht immer leichten Schulfach in einer bildungspolitisch bewegten Zeit beitragen. Nach den Tagungen in Berlin, Wuppertal, Nürnberg ("Mathematik im Wandel 1") und Calw ("Mathematik im Wandel 2") war die Tagung in Schmochtitz bei Bautzen die fünfte Tagung der beim hundertjährigen Jubiläum der DMV in Bremen neugegründeten Fachsektion. Mit rund 75 Teilnehmern und nahezu 50 Vorträgen gehört diese interdisziplinäre Konferenz zu den größten regelmäßigen Fachtagungen zur Mathematikgeschichte im mitteleuropäischen Raum. Die Tagungsleitung lag in den Händen von Prof. Dr. STEFAN DESCHAUER (TU Dresden) unter Mitarbeit von Dr. WALTRAUD VOSS (TU Dresden). Ihnen ist für die durchdachte Organisation, das abwechslungsreiche Angebot und die reibungslose Durchführung der Tagung herzlich zu danken. Dazu trug auch die angenehme Atmosphäre im Bischof-Benno-Haus bei. Dieses ehemalige Priesterseminar in Bautzen-Schmochtitz ist heute eine überregionale Bildungsstätte, eingebettet in die landschaftlich reizvolle deutschsorbische Oberlausitz. Neben Mathematikhistorikern, an der Geschichte interessierten Mathematikern und Didaktikern gehörten zum Kreis der Teilnehmer Lehrer, Philosophen, Doktoranden und Studenten. Die geographische Lage und die großzügige Unterstützung durch das "Sächsische Staatsministerium für Wissenschaft und Kunst" und die "Gesellschaft von Freunden und Förderern der

8 2 Michael Toepell Technischen Universität Dresden" begünstigten den Besuch zahlreicher Gäste aus den benachbarten osteuropäischen Ländern. 19 Wissenschaftler kamen aus Tschechien, Polen und Ungarn. Anliegen des Arbeitskreises und der Fachsektion ist es unter anderem, mit diesen Tagungen die Mathematikgeschichte für Interessenten zu erschließen, ihre Bedeutung für Unterricht und Lehre erkennbar werden zu lassen. So wurde auf der Tagung über eigene Forschungsergebnisse ebenso vorgetragen wie etwa über Erfahrungen zum fachübergreifenden Unterricht oder auch über lokalgeschichtliche Themen. Geschichte kann so zu einem Bindeglied zwischen Schule und Hochschule werden. Zugleich wird damit die bildungspolitische Bedeutung der Mathematikgeschichte hervorgehoben. Wie die bereits erschienenen, so zeigt auch der vorliegende Band, daß das manchmal so unumstößlich erscheinende Schulfach Mathematik in seiner geschichtlichen Dimension einem steten Wandel unterworfen ist. Er mag zugleich dokumentieren, daß die sich historisch immer wieder verändernde Wissenschaft Mathematik unter Berücksichtigung ihrer kulturellen Einbettung manches zur Belebung, Bereicherung und zum Verständnis des gesamten Bildungsgutes an Schulen und Hochschulen beitragen kann. Die Vorträge dieser Tagung dokumentierten die ungewöhnliche Breite dieser Wissenschaftsdisziplin. Die ersten drei Vorträge waren den Jubiläen von FELIX KLEIN (150. Geburtstag) und DAVID HILBERT (100 Jahre "Grundlagen der Geometrie") gewidmet. Im Eröffnungsvortrag wurde u.a. deutlich, wie sehr Klein das Unterrichtswesen als eine Einheit, einen Organismus verstanden wissen wollte. Bezüglich Hilberts "Grundlagen der Geometrie" sei auf die im "Teubner-Archiv zur Mathematik" erschienene erheblich erweiterte Jubiläumsausgabe hingewiesen. Sie enthält einerseits Beiträge, die die Vorgeschichte und die Weiterentwicklung bis zur Gegenwart zusammenfassen, und andererseits Dokumente und Verzeichnisse, die das Werk vervollständigen und erschließen. Durch die Nähe zur TU Dresden bildete der Themenbereich "Mathematik an Technischen Hochschulen" ebenfalls einen gewissen Schwerpunkt der Tagung. Etwa ein Drittel der Vorträge stand in Beziehung zu elementarmathematischen, schulgeschichtlichen bzw. methodisch-didaktischen Fragestellungen.

9 Einführung 3 Die Veröffentlichung entspricht dem Wunsch, die Vortragsausarbeitungen nicht nur den Tagungsteilnehmern, sondern auch interessierten Mathematikern, Lehrern, Didaktikern und Historikern zugänglich zu machen. Folgende Vorträge wurden - in dieser Reihenfolge - auf der Tagung gehalten: Renate Tobies (Kaiserslautern): Die Mathematik und ihre Anwendungen "allseitig" entwickeln - Felix Klein zum 150. Geburtstag Michael Toepell (Leipzig): 100 Jahre "Grundlagen der Geometrie" - ein Blick in die Werkstatt von David Hilbert Peter Schreiber (Greifswald): Grundlagen der Geometrie von Hilbert bis heute Harald Boehme (Bremen): Zur Entstehung der sogenannten geometrischen Algebra Harald Gropp (Heidelberg): Bemerkungen zur Mathematik der Maya Andreas Fuls (Berlin): Die astronomischen Tafeln in der Mayahandschrift Codex Dresdensis Barbara Gärtner (Karlsruhe): Die ersten Leipziger Mathematikdrucke Ulrich Reich (Karlsruhe): Der Wittenberger Rechenmeister Johann Albert und seine Dortmunder Handschrift Eberhard Schröder (Hirschberg): Sichtung und Wertung einiger bei Dürer nachweisbarer geometrischer Konstruktionen Hans Wußing (Leipzig): Eine kleine "Coß" (1562) von Jakob Ries Erwin Deák (Budapest): Ein grundsätzlich neuer didaktischer Weg zum Logarithmus-Begriff mit ausgeprägten historischen Bezügen Eberhard Mittermayer (Berlin): Die geometrische Lösung der Mercator- Abbildung der Kugel in die Ebene Doris Kiekeben (Berlin): Individuum und Maschine (Aspekte der Unendlichkeit) Volker Peckhaus (Erlangen): Mathematik und Philosophie in Hilberts Göttingen - der Briefwechsel zwischen Leonard Nelson und Gerhard Hessenberg Jana Ludvíková (Prag): Pick s formula and Georg Pick in Prague Karel Lepka (Brünn): Matyáš Lerch s contribution to the theory of Fermat's Quotients

10 4 Michael Toepell Javier Legris (Erlangen): Paul Hertz beweistheoretische Auffassung der logischen Folgerung Dirk Steinmetz (Heidelberg): Die Gregorianische Kalenderreform (1582) Karel Macák (Liberec/Tschechien): Jesuiten und Entstehung der Kombinatorik Klaus Barner (Kassel): Wie alt wurde Pierre de Fermat? Heinz Schumann (Weingarten): Zur Geschichte präformaler Extremwertbestimmung Hans Becker (Göttingen): 1. Jahrbuchprojekt 2. Euler-Projekt Sibylle Ohly (Bielefeld): Die Verwandlung eines mechanischen in ein rein geometrisches Problem bei Johann Bernoulli Ingrid Hupp (Koblenz): Arithmetik- und Algebralehrbücher Würzburger Mathematiker des 18. Jahrhunderts Rüdiger Thiele (Leipzig): Die Tragweite der Teleologie? Betrachtungen zur Geschichte des Prinzips der kleinsten Aktion Witold Wieslaw (Wroclaw): Reform of Education in Poland in the second half of XVIIIth century (mathematics) Hans Wußing (Leipzig): Mathematik auf Briefmarken Helena Durnová (Brünn): Otakar Boruvka ( ) and the minimum spanning tree Renate Tobies (Kaiserslautern): Sensationelles Brieftagebuch zwischen Max Planck und Carl Runge Gerhard Betsch (Tübingen): Zur Frühgeschichte der axiomatischen Körpertheorie Ralf Krömer (Saarbrücken): Zur Geschichte des axiomatischen Vektorraumbegriffs Britta Habdank-Eichelsbacher (Bielefeld): Kurt Hensels neue Grundlagen der Arithmetik Gerhard Kowol (Wien): Zur Geschichte der geometrischen Darstellung komplexer Zahlen und Funktionen Roman Murawski (Poznan): Hilberts Programm heute Tilman Krischer (Berlin): Ernst Machs Verständnis von Mathematik als Denkökonomie in historischer Sicht

11 Einführung 5 Arne Schirrmacher (München): Vom zwingenden Beweis zur unbedingten Satisfaktion? Zur Geschichte der Mathematischen Vereine Hannelore Bernhardt (Berlin): Zur Geschichte der Internationalen Mathematischen Unterrichtskommission (gegr. 1908) Zdenka Crkalová (Prag): Unterricht in Mathematik an Technischen Hochschulen in der Vergangenheit und heute Karin Reich (Hamburg): Mathematik an technischen Hochschulen, z. B. Max Tolle in Karlsruhe Waltraud Voss (Dresden): Die Dresdner Mathematik während der Direktionszeit von Gustav Zeuner ( ) Peter Meinhold (Dresden): Die Mathematik an der TH Dresden in Umbruchzeiten Györgyi Führer-Nagy (Sopron): Über die Anfänge des Mathematikunterrichts an der Universität Sopron Thomas Riedrich (Dresden): Oskar Schlömilch - Georg Helm - Erich I. Trefftz - Friedrich A. Willers: 100 Jahre anwendungsorientierte Mathematik an der TH Dresden Joachim Scholz (Dresden): Zur Entwicklung der digitalen Rechenautomaten an der TH/TU Dresden Pavel Šišma (Brünn): Mathematics at the German Technical University in Brno Peter Ullrich (Münster): Einige historische Anmerkungen zur Unterscheidung von Infimum und Minimum Ein großer Teil dieser Vorträge wurde in den vorliegenden Band als Originalbeitrag aufgenommen. In einem Diskussionsforum der Tagung, das sich mit dem Thema "Mathematikhistorische Forschung und Lehre ein Jahrzehnt nach der Wende" beschäftigt hat, ging es um Veränderungen bezüglich der allgemeinen Anerkennung der Mathematikgeschichte und bezüglich ihrer Einbindung in die Lehrerbildung und darüberhinausgehende Universitätsstrukturen. Es ist manchmal geradezu erstaunlich, wie positiv die Geschichte das Bild von Mathematik in der Öffentlichkeit zu beeinflussen vermag. Eine Erfahrung, die vor allem im internationalen Rahmen beachtliche bildungspolitische Anerkennung findet.

12 6 Michael Toepell Entsprechend den anderen Bänden dieser Reihe haben auch hier die zahlreichen fachübergreifenden Bezüge der einzelnen Beiträge einen besonderen Stellenwert. Sie bieten sowohl dem Mathematiklehrer als auch dem Lehrer anderer Fächer Anregungen und bereichernde Ergänzungen seines Unterrichts. Exemplarisch werden dabei Zusammenhänge mit anderen Fächern vermittelt. Eine chronologische Anordnung unterliegt der Gefahr, neben der zeitlichen Dimension die sachbezogene Dimension zu vernachlässigen. Daher folgt auf diese Einführung auch im vorliegenden Band wiederum ein Sachverzeichnis, das in drei Übersichten mögliche Fachbezüge der einzelnen Beiträge erschließt (S.7-8). Die erste Übersicht kann dem Leser - und insbesondere dem Mathematiklehrer - das Auffinden von Beiträgen zu bestimmten Gebieten der Schulmathematik erleichtern. Ergänzend wurden hier auch die biographischen Untersuchungen aufgenommen. Da alle Beiträge natürlich Bezüge zur Geschichte besitzen, wurden in einer zweiten Übersicht auch außerhalb der genannten Schwerpunkte liegende historische Bereiche erfaßt. Schließlich macht die dritte Übersicht nicht nur Mathematiklehrer, sondern auch die Lehrerinnen und Lehrer anderer Schulfächer, die fachübergreifende Bezüge zur Mathematik suchen, auf mit anderen Fächern zusammenhängende Beiträge aufmerksam. Ein alphabetisches Verzeichnis der Autoren mit Seitenangaben ihrer Beiträge runden den Band ab. Schließlich möchte ich allen Autoren für die sorgfältige Ausarbeitung ihrer zum Teil satztechnisch und stilistisch anspruchsvollen Manuskripte, unserer Sekretärin Frau Mona Witzel (Leipzig) für die Transkription mehrerer Ausarbeitungen, meinen Mitarbeiterinnen Claudia Blanke, Anja Lange und Jessica Leonhardt für die Layouthilfen, Frau Dr. Friederike Boockmann (München) für die Unterstützung bei der Durchsicht der Beiträge und Herrn Dr. Walter Franzbecker (Hildesheim) und seinen Söhnen für die bereitwillige Aufnahme dieses Folgebandes in das Programm des Verlages Franzbecker KG herzlich danken. München, im Winter 2005/06 Michael Toepell

13 Verzeichnis der Fachbezüge Mathematik Arithmetik: Linienrechnen um 1500 [Schmidt-Thieme] Rechenbücher im 15. Jahrhundert [Reich] Geometrie: Grundlagen der Geometrie [Toepell] Geometrie im 20. Jahrhundert [Schreiber] Geometrie bei Dürer [Schröder] Mercator-Abbildung einer Kugel [Mittermayer] LEIBNIZsche Isochrone [Ohly] Axiomatischer Vektorraum [Krömer] Algebra: Coß bei Jacob Ries im 16.Jh. [Wußing] Historischer Logarithmusbegriff [Deák] Theory of Fermat's Quotients [Lepka] Graphentheorie [Durnová] Analsysis: Elementare Extremwertbestimmung [Schumann] Veranschaulichung komplexer Zahlen [Kowol] Stochastik: Kombinatorik bei den Jesuiten [Mačák] Didaktik: Logarithmusbegriff [Deák] Reform of education in Poland [Więsław] Int. Math. Unterrichtskommission [Bernhardt] Hochschuldidaktik an Techn. Univ. [Crkalová] MUnterricht für Techniker i.18.jh. [Führer-Nagy] Biographische Felix Klein [Tobies]... 9 Beiträge: David Hilbert [Toepell] Rechenmeister Johann Albert [Reich] Albrecht Dürer [Schröder] Familie Adam und Jacob Ries [Wußing] Chr.Clavius und Seb.Izquierdo [Mačák] Maupertuis - Euler [Thiele] Johann I. Bernoulli [Ohly] Ernst Mach [Krischer] Georg Alexander Pick - Einstein [Ludvíková] Der Zahlentheoretiker Matyáš Lerch [Lepka] Die Logiker Paul Hertz & G.Gentzen [Legris]

14 8 Fachbezüge Otakar Boruvka und die Graphentheorie [Durnová] 264 G.Zeuner - L.Burmester - A.Voss [Voß] Schlömilch - Helm - Trefftz - Willers [Riedrich] Peano - Wiener - Hilbert [Krömer] v.staudt - Klein - Lie - Locher [Kowol] Geschichte Maya-Kultur: Astronomie [Fuls] Neuzeit: Kalenderreform im Jh. [Steinmetz] Jesuiten-Mathematik [Mačák] Schellbach-Methode im 19. Jh. [Schumann] Institutionen- bzw. Universität Göttingen [Tobies]... 9 Universitäts- Leipziger Drucke um 1500 [Schmidt-Thieme] geschichte: Education in Poland 18 th cent. [Więsław] Universität Prag [Ludvíková, Lepka] , 248 Zur Geschichte der IMUK [Bernhardt] Mathematikunterricht an TUniv. [Crkalová] Dresdner Mathematiker im 19. Jh. [Voss] Mittelschul-MUnt. in Ungarn 18.Jh. [Führer-Nagy] 325 TH Dresden: Angew. Mathematik [Riedrich] German Technical University in Brno [Šišma] Weitere Fächer Philosophie/Ethik/ Axiomatik [Toepell] Wissenschafts- Mathematische Probleme [Schreiber] theorie: Götter und Zahlen [Fuls] Ernst Machs Verständnis von Math. [Krischer] Beweistheorie [Legris] Geographie: Mercator-Abbildung [Mittermayer] Physik/Technik: Prinzip der kleinsten Wirkung [Thiele] Mechanisch-geometrisches Problem [Ohly] Kunst: Dürer [Schröder] Astronomie: Astronomie in einer Mayahandschrift [Fuls] Gregorianische Kalenderreform [Steinmetz]

15 Die Mathematik und ihre Anwendungen "allseitig" entwickeln - Felix Klein zum 150. Geburtstag 1 Renate Tobies Der Vortrag soll Ihnen einen Mathematiker in seinem Streben nach Einheit und Vielseitigkeit näher bringen. Nehmen wir das Urteil des Physik- Nobelpreisträgers MAX BORN ( ) als Ausgangspunkt: "KLEIN umfaßte nicht nur die Mathematik als eine Einheit, sondern alle Naturwissenschaften. Durch seine machtvolle Persönlichkeit, unterstützt von einer schönen männlichen Erscheinung, wurde er führend in der Fakultät und der ganzen Universität. Eine der wesentlichsten Leistungen KLEINs war die Schaffung einer mathematischen Schule ersten Ranges durch Berufung anderer Mathematiker von Weltruhm. Daß er dies tat ohne den leisesten Anfall von Eifersucht, ist der beste Beweis seiner menschlichen Größe. Mit den Jahren wurde KLEIN immer mehr der Zeus, der über den anderen Olympiern thronte. Er hieß bei uns der große Felix und herrschte über unser Schicksal." Wie entwickelte sich KLEIN zu dieser Zeus-Figur? Auf dem Internationalen Mathematiker-Kongreß 1904 in Heidelberg prägte er den Leitspruch: "Zum Gedeihen der Wissenschaft ist ohne Zweifel die freie Entwicklung aller ihrer Teile erforderlich." Unter diesem Motto trachtete er danach, alle Seiten der Mathematik und ihres Unterrichts gleichermaßen zu fördern, die Mathematik, ihre Anwendungen wie auch ihre Geschichte zu pflegen, den mathematischen Unterricht vom Kindergarten bis zum Hochschulbetrieb zu reformieren; Mathematik für Deutsche, Ausländer und Frauen. Die Details dieses weitreichenden Programms sind im Verlaufe seines Weges nach und nach hinzugetreten, die Weite des Blickes, die Tendenz nach Vereinheitlichung, Überschau des Ganzen und nach sozialem Engagement zeichnete jedoch schon den jungen FELIX KLEIN aus, wie jüngst eingesehene Briefe an SOPHUS LIE beeindruckend dokumentieren. 1 Die Zitate sind in der angegebenen Literatur nachgewiesen.

16 10 Renate Tobies FELIX KLEIN wurde am 25. April 1849 in der Jägerhofstraße in Düsseldorf geboren. Seine Eltern - der Vater hatte es bis zum persönlichen Sekretär des Regierungspräsidenten gebracht und die Mutter entstammte einer Aachener Tuchhändlerfamilie - förderten die Ausbildung des Sohnes, waren zugleich streng und sparsam. Nach erster Ausbildung durch die Mutter und zweieinhalbjährigem Unterricht in einer Privatschule war FELIX KLEIN als achtjähriger in das achtklassige humanistische Gymnasium Düsseldorfs eingetreten. Somit konnte er bereits mit 16 Jahren das Abitur absolvieren. Seine Kenntnisse wurden in Deutsch und Religion mit befriedigend sowie in Mathematik, Geographie, Naturkunde, in Latein, Griechisch, Französisch, Hebräisch und Geschichte mit gut beurteilt. KLEINs Reifeprüfungsarbeit in Mathematik wurde im Jahre 1985 durch GERD FISCHER dankenswerterweise editiert. Es sei hier nur hervorgehoben, daß u.a. eine Aufgabe zu lösen war, die auf eine Gleichung 5. Grades führte. "Aufblühen der Gleichungen 5. Grades" notierte KLEIN zum 17. November 1876, als er diese Gleichungen zu einem Forschungsgegenstand gewählt hatte. KLEIN erzielte maßgebliche Erkenntnisse über den Zusammenhang dieser Gleichungen mit dem Ikosaeder, die er 1884 zusammenfassend in einem Buch präsentierte. Ich erwähne hier, daß PETER SLODOWY dieses Buch 1993 neu editiert und ausführlich kommentiert herausbrachte. Ab Herbst 1865 studierte KLEIN in Bonn, der damals nächstgelegendsten Universität. Bereits nach drei Jahren hatte er das Doktorexamen in der Tasche. Die Schnelligkeit des Studiums, verbunden mit einer bemerkenswerten Breite, müssen wir nicht zu sehr bewundern. Ich fand erst vor kurzem, was KLEIN darüber angab: "Im naturwissenschaftlichen Seminar in Bonn... trugen die Mitglieder abwechselnd ihre Abschnitte aus den damals geltenden allgemeinen Lehrbüchern vor. Es wurde in der Woche fünfmal von 4-5 Uhr über Chemie, Botanik, Physik, Zoologie und Mineralogie gesprochen. Nach heutigem Massstab war es ein ganz elementarer Betrieb. Die reiferen Kandidaten unterzogen sich dann innerhalb des Seminars einem Kolloquium, und darin bestand das ganze Oberlehrerexamen für die naturwissenschaftlichen Fächer! Auf diese Weise konnte man aber auch bequem in 3 Jahren mit seinem Studium fertig werden." [KLEIN 1910/11] Die Schnelligkeit des Studiums erklärt noch nicht KLEINs rasche Karriere. Es waren bedeutende Persönlichkeiten, die ihn lenkten, sowie deren früherer Tod, der zwang, Aufgaben zu übernehmen. JULIUS PLÜCKER, Ordinarius für Physik und Mathematik in Bonn, wählte KLEIN bereits in dessen zwei-

17 Felix Klein zum 150. Geburtstag 11 tem Semester zum Assistenten am physikalischen Kabinette und zog ihn zu seinen liniengeometrischen Forschungen heran. Als PLÜCKER im Mai 1868 starb, gab KLEIN im Auftrage der Familie PLÜCKER den 2. Band dessen Liniengeometrie heraus und fand ein Thema für seine Dissertation aus diesem Gebiet, die er im Dezember 1868 verteidigte. Hier wurde er in die Mathematik gedrängt: "Bis dahin hatte ich mich mit Vorliebe physikalischen Aufgaben zugewandt. Insbesondere hatte ich mich in der letzten Zeit mit der von der philosophischen Facultät zum 3ten August 1868, dem 50jährigen Jubiläum des Bestehens der Universität Bonn (noch von PLÜCKER) gestellten physikalischen Preisaufgabe... beschäftigt", eine Aufgabe, die eine historisch-kritische Frage nach der Richtung der Schwingungen in polarisierten Licht zu beantworten verlangte. KLEIN erhielt dafür den ausgesetzten Preis. Die Herausgabe der PLÜCKERschen Liniengeometrie brachte KLEIN mit seinem zweiten einflußreichen Lehrer in Verbindung: ALFRED CLEBSCH in Göttingen, der gerade mit CARL NEUMANN die "Mathematischen Annalen" gegründet hatte. KLEIN publizierte hierin bereits vor seiner Habilitation und sollte schließlich - nach CLEBSCHs frühem Tode im November zu einem der maßgeblichen Herausgeber dieser Zeitschrift werden, eine Tätigkeit, die Einblick/Überblick verlangte und zugleich förderte (Vgl. [Tobies/Rowe]). KLEIN war von dem Wunsche getragen, verschiedene Schulen kennenzulernen. Nach dem Aufenthalt bei CLEBSCH in Göttingen ab Neujahr 1869 wandte er sich nach Berlin und Paris; die Absicht, nach England weiterzureisen, wurde durch den Deutsch-Französischen Krieg vereitelt und erst 1873 nachgeholt. Während der Studien in Berlin und Paris gewann KLEIN den norwegischen Mathematiker SOPHUS LIE als wichtigsten Kooperationspartner, mit ihm publizierte er, diskutierte alle frühen Arbeiten, und 1886 zog er ihn als seinen Nachfolger nach Leipzig. In den jüngst eingesehenen Briefen an LIE ist das Wachsen von KLEINs berühmtem "Erlanger Programm" ersichtlich, mit dem er die verschiedenen, scheinbar divergierenden geometrischen Richtungen in ein einheitliches System zu bringen suchte. Bereits am 20. November 1871 hatte er an LIE geschrieben: