GEOMETRISCHE OPTIK. Kapitel 16

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1 Kapitel 16 GEMETRISHE PTIK 3 K = J A F J E - A J H = A J E I? D A 9 A A F J E A F J E A J H E I? D A Die geometrische ptik ist die erste Näherung zur Wahrheit Lichtrahlen werden definiert als dünne ündel von Licht, die sich in isotropen Medien geradlinig ausbreiten, normal zur Phasenfläche Anschaulich, aber auf Grund von eugungseffekten nicht richtig für den Rand der Lichtbündel Die G ist eine gute Näherung, solange das Strahlbündel groß ist gegen λ Man ordnet dem Lichtstrahl bestimmte Welleneigenschaften zu (Wellenlänge, Phasengeschwindigkeit, Intensität, Polarisation, ) und verwendet die Postulate der geometrischen ptik: Lichtstrahlen verlaufen in einem homogenen Medium als Gerade Das Medium ist durch den reellen rechungsindex n 1 charakterisiert Die Laufzeit für die Strecke d ist d n/c Das Produkt d n bezeichnet man als die optische Weglänge in einem inhomogenen Medium ist die optische Weglänge A n( r)ds Das Prinzip von Fermat gilt für Strahlen die von Punkt A nach Punkt laufen: Die Laufzeit ist ein Minimum dh die Variation der optischen Weglänge ist Null δ n( r) ds = 0 (161) A Daraus folgt, dass an Grenzflächen die Strahlen dem rechungsgesetz von Snellius folgen bzw dass Einfallswinkel und Ausfallswinkel gleich sind Überkreuzende Strahlenbündel beeinflussen sich nicht 1 1 Interferenz ist Teil der Wellenoptik 141

2 = > 142 KAPITEL 16 GEMETRISHE PTIK Ausbreitung in homogenen Medien: im homogenen durchsichtigen Medium läuft Licht entlang von geraden Linien - E = I A > A A Reflexion an Spiegeloberflächen: reflektierter Strahl liegt in der Einfallsebene, Reflexionswinkel = Einfallswinkel H = A F E A A > A H? D A H = A Reflexion und rechung: gebrochener Strahl in der Einfallsebene Snellius gilt: n sin ϕ =const 161 ptische Abbildung mit Reflexion mit Spiegel 5 F mit Lochkamera d = a + b

3 > PTISHE AILDUNG MIT REFLEXIN 143 ebener Spiegel elliptischer Spiegel parabolischer Spiegel y 2 = 2px sphärischer Spiegel x 2 + y 2 = R 2 Paraxialstrahlen (achsennahe) im sphärischen Hohlspiegel Für kleine Winkel ϕ gilt ϕ 1 + ϕ 2 = 2 ϕ 0, wobei ϕ 0 tan ϕ 0 = y/r 1 z z 2 2 R In dieser Näherung ist die rennweite des Spiegels 4 f = R 2 Abbildung mit konkavem sphärischen Spiegel (Paraxialnäherung)

4 144 KAPITEL 16 GEMETRISHE PTIK 2 2 Reelle bzw virtuelle ilder Abbildungsmaßstab: y 2 /y 1 = z 2 /z Ebene Grenzflächen n 1 < n 2 ϕ 1 > ϕ 2 n 1 > n 2 ϕ 1 < ϕ 2 Für Paraxialstrahlen gilt die Näherung n 1 ϕ 1 n 2 ϕ 2 Für n 2 < n 1 tritt Totalreflexion auf, wenn ϕ 2 90 o Der Grenzwinkel für Totalreflexion ist sin ϕ g = n 2 /n 1 Prisma laues Licht wird stärker gebrochen als rotes, wenn normale Dispersion vorliegt (dn/dλ < 0) und das Prisma ein Medium mit höherem Index ist als die Umgebung ist (z konventionelles Glasprisma in Luft) Die kleinste Ablenkung erfolgt bei symmetrischem Strahlengang α 1 = α 2

5 > 163 SPHÄRISHE GRENZFLÄHEN 145 δ = α 1 + α 2 γ δ min = 2α γ " # = "! # E $ # " $ & = Die Effizienz von Strahlteilern wird durch den rechungsindexsprung an den Grenzflächen, bzw über optische eschichtung mit λ/4 bzw λ/2 Schichten bestimmt Die Effizient hängt im allgemeinen stark von der Wellenlänge und vom Polarisationszustand (s oder p ab ) 4 F = H J E A ) 4 ) Sphärische Grenzflächen werden auf Grund der einfachen Herstellung oft für Spiegel, Linsen verwendet Für paraxiale Strahlen ist das Gesetz von Snellius näherungsweise gleich = > n 1 α n 2 β 4 = In dieser Näherung ist die rennweite f 2 = R n 2 n 2 n 1 Für dünne Linsen ist der Abstand zwischen den Grenzflächen klein gegen die rennweite (im eispiel: bikonvex mit gleichen Krümmungsradien) Die Abbildungsgleichung ist 1 g + 1 b = 1 f Linsentypen

6 @ 4 D 146 KAPITEL 16 GEMETRISHE PTIK E L A N F = L A N L A N = L > E = L F = = L = I F D H E I? D Für dicke Linsen führt man Hauptebenen ein An diesen verhalten sich einfallende Strahlen wie in der Näherung für dünne Linsen D > 164 Linsenfehler Die chromatische Abberation (rt des Fokus ist wegen der Dispersion für unterschiedliche Farbe verschieden) kann durch Achromate verhindert werden Mit sphärischer Abberation bezeichnet man den Umstand, dass der rt des Fokus wegen der Kugeloberfläche für achsenferne Strahlen anders liegt als für achsennahe F = H = N E = H H J H )? D H = J Auf Grund des Astigmatismus werden Gegenstandspunkte, die weit von der Achse liegen, verzerrt abgebildet Die einfallenden Strahlen sehen sagittal bzw

7 N N N 165 LIHTLEITER 147 meridional andere Krümmungsradien und werden an unterschiedlichen rennpunkten fokussiert Der Einfluß ist umso größer, je schiefer das Lichtbündel einfällt ildfeldwölbung 165 Lichtleiter funktionieren mit Linsen oder Spiegeln, aber mit geringsten Verlusten unter Verwendung von Glasfasern Diese nutzen die Totalreflektion aus Die numerische Apertur einer optischen Faser beschreibt den maximalen Winkel unter dem ein Lichtstrahl in eine Faser eintreten kann, um der Totalreflexion zu unterliegen: NA = sin θ a = n 2 1 n2 2 Typisch für Glasfasern sind Werte n 1 = 1475 und n 2 = 1460 Daraus folgt ein Wert von NA = 02, bzw θ a = 12 o 3 = A H 0 A In Graded-Index ptiken (GRIN) liegt eine kontinuierliche Variation von n(r) vor Damit folgen die Lichtstrahlen gekrümmten Trajektorien

8 @ H H 148 KAPITEL 16 GEMETRISHE PTIK,, 166 Geometrische ptik der Erdatmosphäre Scheinbare Sternposition: Da die atmosphärische Dichte ρ mit der Höhe abnimmt, und in guter Näherung n 1 ρ = ρ 0 exp( r/83km) ist, verhält sich die Atmospäre wie ein GRIN Medium Der Fehler in der Position des Sternes nimmt mit dem Winkel vom Zenith zu Erweiterung der Sichtweite: ebenfalls auf Grund der Dichteabnahme mit der Höhe über dem Erdboden Fata Morgana: Auf Grund starker Temperaturgradienten in odennähe wird der Strahlengang verkrümmt und das gesehene bjekt erscheint an anderer Stelle Da Wellenfronten Punkte gleicher Phase verbinden und der Ausbreitungsvektor senkrecht auf die Wellenfront liegt, kann man folgenden Ansatz für den Krümmungsradius der Lichtbahn machen: E? D J I J H = I 2 D = I A? D I, E A K J E I J E A D A M H A Eine ahn verläuft in einem ereich mit rechungsindex n über eine Wegstrecke r dϕ Ein benachbarter ereich hat den rechungsindex n + dn dr dr Diese ahn durchquert zwischen zwei Phasenflächen die geometrische Strecke (r + dr) dϕ Da zwischen benachbarten Phasenflächen die optischen Wegstrecken gleich sind, muss gelten: n r dϕ = (n + dn dr) (r + dr) dϕ dr In der Näherung, dass der Term mit dr 2 vernachlässigbar ist, ergibt sich für den Krümmungsradius r = n dn/dr (162)

9 ) + *, ) + * 166 GEMETRISHE PTIK DER ERDATMSPHÄRE 149 im homogenen Fall wird also der Radius Regenbogen: eim Durchgang eines Lichtstrahls durch ein Wassertröpfchen in der Nähe des geometrischen Zentrums kommt es zu einer geringen Stahlablenkung In diesem ereich wird Licht im wesentlichen in Vorwärtsrichtung gestreut Mit steigendem Abstand vom Zentrum erhöht sich die Ablenkung und gleichzeitig steigt der beim Austritt ins Tröpchen zurückreflektierte Anteil der Strahlung Strahlen, die nach einmaliger Reflexion aus dem Tröpchen austreten, konzentrieren sich im wesentlichen um Ablenkwinkel von 180 o 42 o, nach zweimaliger Reflexion (und auf Grund des zusätzlichen Reflexionsverlustes schwächer) um Ablenkwinkel von 180 o 51 o Der exakte Winkel hängt auf Grund der Dispersion des Wassers von der Farbe ab Unter diesen Winkeln sehen wir (vorausgesetzt die Sonne steht hinter uns) zwei Regenbögen Die Dispersion erscheint in den beiden ögen entgegengesetzt, innen rot Eine genauere ehandlung (Airy 1838) zeigt, dass in die Erscheinung des Regenbogens auf Grund von eugung die Größe des Tröpchens eingeht und die Interferenz der austretenden Strahlen berücksichtigt werden muss 5 A I J H = D 5 A I J H = D " " #! # 42 o austic austics Im ild links ist die Intensität jedes einzelnen gebrochenen Strahles als gleich angenommen In Wirklichkeit betonen die Fresnelschen edingungen (siehe Seite 131) die Konzentration von intensiven Strahlen in den Ablenkbereich von noch stärker, als es bereits durch die Kaustik geschieht