Physikalisches Grundlagenpraktikum Versuch Geometrische Optik

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1 Physikalisches Grundlagenpraktikum Versuch Name:... Matrikelnummer:... Gruppe:... Antestat Datum bestanden nicht Unterschrift Prüfer bestanden Termin Nachholtermin 1. Protokollabgabe Datum Unterschrift Studierender Testat bestanden Datum Unterschrift Prüfer ja nein beanstandet 2. Protokollabgabe Datum Unterschrift Studierender Testat bestanden Datum Unterschrift Prüfer ja nein beanstandet Testat eingetragen 1 Version: 16. März 2015

2 1 Ziel Die geometrische Optik ist die Grundlage für das Verständnis zahlreicher Apparate und Vorrichtungen wie Brillen, Mikroskope, Fernrohre oder Fotoapparate. In diesem Versuch werden grundlegende Kenntnisse zur geometrischen Optik, beginnend mit der Abbildung einer Lochkamera, über die Abbildung einer dünnen Konvexlinse bis hin zur Abbildung von einem Linsensystem vermittelt. 2 Grundlagen Licht ist eine der vielen Erscheinungsformen der Energie. Sind die Dimensionen von Hindernissen im Weg der Lichtausbreitung groß gegenüber der Wellenlänge des Lichtes, so darf die Welleneigenschaft (z.b. Beugung) des Lichtes vernachlässigt werden und man spricht dann von geometrischer Optik. Die geometrische Optik oder Strahlenoptik ist daher eine Näherung der Optik. In der geometrischen Optik wird das Licht aus Lichtstrahlen zusammengesetzt betrachtet. Lichtstrahlen sind aber nur eine mathematische Abstraktion und ein brauchbares Konstruktionshilfsmittel. Die Lichtstrahlen stehen senkrecht auf den Wellenfronten und folgen 4 Grundsätzen: Unabhängigkeit der Lichtstrahlen: Sie folgen dem Superpositionsprinzip, d.h. sie können sich gegenseitig durchdringen, ohne sich zu stören. In einem homogenen Medium breiten sich die Lichtstrahlen geradlinig aus. An Grenzflächen zwischen Medien mit verschiedener Brechzahl werden sie nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz gebrochen und partiell reflektiert (und somit in zwei Strahlen aufgespalten), oder sie werden total reflektiert. An verspiegelten Flächen werden sie nach dem Reflexionsgesetz reflektiert. Diese Gesetze genügen, um den Weg eines Lichtstrahls in einem beliebig vorgegebenen Medium vorauszusagen, wobei Reflexionsgesetz und Brechungsgesetz unter Umständen. mehrfach anzuwenden sind. 2.1 Fermat sches Prinzip Dass Licht immer den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten nimmt, war schon seit der Antike bekannt. Der französische Mathematiker Pierre de Fermat formulierte im 17. Jahrhundert das nach ihm benannte Fermatsche-Prinzip. Fermat fordert in diesem Prinzip, dass ein Lichtstrahl von A nach B den Weg nimmt (den sogenannten Lichtweg), auf dem er die kürzeste Zeit braucht. Aus diesem Ansatz ist das Reflexionsgesetz und das Snelliussche Brechungsgesetz ableitbar. Der Lichtweg oder die sogenannte optische Weglänge (OWL) ist das Produkt aus Brechungsindex n und geometrischem Weg l. Der Brechungsindex ist eine optische Materialeigenschaft. Diese dimensionslose physikalische Größe gibt an, um welchen 2 Version: 16. März 2015

3 Faktor die Wellenlänge und die Geschwindigkeit des Lichts kleiner sind als im Vakuum. Der Weg, den ein Lichtstrahl bei seiner Ausbreitung zwischen zwei Punkten A und B in einem optischen System nimmt, ist stets so, dass die optische Weglänge minimal ist. Bei einem sich stetig ändernden Brechungsindex n (l) gilt für die optische Weglänge folgender formale Zusammenhang: OWL = B A n (l) dl = Extremum (1) Um den Weg durch das Medium mit dem Brechungsindex n (l) zu durchlaufen, benötigt das Licht die Laufzeit t = OWL wobei c 0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. c 0 Bezüglich der Laufzeit ausgedrückt, lautet das Fermat sche Prinzip daher: t = 1 c 0 B A n (l) dl = Extremum (2) 2.2 Lochkamera Eine Lochkamera ist das einfachste Gerät, um optische Abbildungen zu erzeugen. Sie benötigt dafür keine optischen Linsen. Das Abbildungsprinzip einer Lochkamera besteht darin, dass durch eine Lochblende nahezu alle Lichtstrahlen, bis auf ein möglichst kleines Bündel in gerader Verbindung zwischen Objekt- und Bildpunkt, ausgeblendet werden. Abbildung 1: Schematische Darstellung einer Lochkamera. Quelle: (2) Alle Strahlen, die von einem Punkt P des Gegenstandes ausgehen, werden im Bild in eine elliptische Scheibe um Punkt P abgebildet, deren großer Durchmesser d sich nach dem Strahlensatz errechnet zu: d = a + b a d (3) 3 Version: 16. März 2015

4 2.3 Linsen Linsen sind durchsichtige Körper, die im einfachsten Fall von zwei Kugelflächen begrenzt werden, sogenannte sphärische Linsen. Zur Verminderung von Linsenfehlern werden häufig auch anders gekrümmte Grenzflächen eingesetzt, sogenannte asphärische Linsen. Einer hinreichend dünnen Linse kann man eine Ebene, die sogenannte Haupthebene zuordnen, von der aus die Abstände zu Gegenstand und Bild gemessen werden. Bei dünnen Linsen liegt die Hauptebene in der Mitte der Linse. Senkrecht zu ihr durch die Linsenmitte läuft die optische Achse. Alle Längen unterhalb der optischen Achse und links von der Hauptebene besitzen dabei negatives Vorzeichen! Parallel zur optischen Achse verlaufende Lichtstrahlen werden von der Linse in den Brennpunkt F abgelenkt. Dieser liegt auf der optischen Achse im Abstand der Brennweite f von der Hauptebene (siehe Abb. 2). Abbildung 2: Die wichtigsten Kenngrößen einer dünnen Linse. Quelle: (3) Eine wichtige Größe bei einer Abbildung durch eine Linse ist der Abbildungsmaßstab β. Er ist definiert als das Verhältnis zwischen Bildgröße y und Objektgröße y. Für eine Sammellinse gilt (siehe Abb. 2): β = y y = a a (4) Abbildung 3: Zur Herleitung der Abbildungsgleichung. Quelle: (1) Für die Längen in Abb. 3 ergeben sich folgende Gleichungen y + y a y + y = y f (5) a = y f (6) 4 Version: 16. März 2015

5 Befinden sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche Medium, dann sind die beiden Brennweiten f und f gleich lang und können durch f ersetzt werden. Durch Addition der beiden Gleichungen ergibt sich daraus die Abbildungsgleichung einer dünnen Linse: 1 f = 1 a + 1 a (7) Diese wird hauptpunktbezogene Abbildungsgleichung genannt, da Gegenstands- und Bildweite von der Hauptebene, bei einer dünnen Linsen also von der Linsenmitte aus gemessen werden. Man kann aber die jeweiligen Abstände z und z zwischen Gegenstand bzw. Bild zu dem zugehörigen Brennpunkt zur Berechnung der Brennweite benutzen. Daraus erhält man dann als brennpunktbezogene Abbildungsgleichung die sogenannte Newtonsche Abbildungsgleichung: z z = f 2 (8) Bei Sammellinsen und Hohlspiegeln ist die Brennweite als positiver Wert, bei Zerstreuungslinsen und Konvexspiegeln als negativer Wert definiert. Bei einzelnen Linsen wird der Kehrwert der Brennweite als Brechkraft D bezeichnet. Die Brechkraft D von optischen Systemen wird in der Maßeinheit Dioptrie angegeben. Ihr Einheitenzeichen in Deutschland ist dpt. Es gilt: 3 Linsensysteme 1dpt = 1m 1 Viele optische Systeme bestehen aus mehreren Linsen mit gemeinsamer optischer Achse. Der für eine optische Abbildung relevante Strahlenverlauf kann konstruiert bzw. berechnet werden, indem man nacheinander den Verlauf der Lichtstrahlen durch die einzelnen Linsen konstruiert bzw. berechnet. Beispielhaft wird der nachfolgende Versuch, ein Linsensystem bestehend aus 2 Sammellinsen, verwendet. Abbildung 4: Linsensystem bestehend aus 2 Sammellinsen Würde das Zwischenbild der ersten Linse mit dem gegenstandsseitigen Brennpunkt der zweiten Linse zusammenfallen, würde kein reelles Bild hinter der zweiten Linse enstehen. In diesem Falle würde sich das Linsensystem wie ein Mikroskop verhalten. 5 Version: 16. März 2015

6 4 Vorbereitende Aufgaben: 1. Wann spricht man von geometrischer Optik? 2. Was ist ein Lichtstrahl? 3. Was besagt das Fermantsche Prinzip? 4. Beweisen Sie das Reflexionsgesetz an einem ebenen Spiegel mit Hilfe des Fermatschen Prinzips. Abbildung 5: Fermantsches Prinzip bei der Reflexion an einer ebenen Grenzfläche. Quelle: (2) 5. Was versteht man unter der optischen Weglänge? 6. Was versteht man unter dem Brechnungsindex? 7. Zeichnen Sie den Strahlengang einer Lochkamera. 8. Berechnen Sie für die abgebildete Lochkamera aus den Größen a, b und d den Durchmesser d auf dem Schirm. Abbildung 6: Schematische Darstellung einer Lochkamera. Quelle: (2) 9. Wie ist die Gesamtvergrößerung des Mikroskops definiert? 10. Was versteht man unter der Brechkraft einer Linse? Nennen Sie die Einheit der Brechkraft! 11. Berechnen Sie mit Hilfe des Snelliusschen Brechungsgesetzes den Brechungswinkel für Licht, das unter einem Winkel von α = 5, 45, 85 auf eine Wasseroberfläche trifft (n = 1 für Luft, n = 1, 33 für Wasser). 6 Version: 16. März 2015

7 12. Das menschliche Auge hat unter der stark vereinfachenden Annahme, dass es aus einer einzigen Linse besteht, eine Brechkraft von ca. 59 dpt. Bei Ihrem Professor sind die Augäpfel um 2 mm verlängert. Sind seine Kontaktlinsen Sammel- oder Zerstreuungslinsen? Wie groß ist deren Brechkraft (in dpt)? Welche Brennweite haben die Kontaktlinsen? 13. Ein Linsensystem bestehe aus 2 Linsen mit den Brechkräften D 1 = 5 dpt und D 2 = 3 dpt. Welche Werte D ges hat das Gesamtsystem, wenn die Linsen im Abstand von l = 0 cm, 5 cm und 10 cm angeordnet werden? Welche Werte ergeben sich für zwei Linsen mit D 1 = 4 dpt und D 2 = 4 dpt bei den gleichen Abständen? 14. Die Abbildungsgleichung ist in der Geometrie bei der Mathematik ebenfalls bekannt. Wie lautet dort ihr Name und was sagt sie aus? 15. Leiten Sie die Gl. 12 f = d2 e 2 aus Kapitel 7.1 her. (Hinweis: Verwenden Sie 4 d dazu Gl. 9 bis Gl. 11 von Seite 13.) 16. Warum wird bei einem echten Mikroskop das Okular in der Entfernung seiner Brennweite f OKU vom Zwischenbild positioniert? 7 Version: 16. März 2015

8 Labor Technische Physik 5 Versuchsteil: Lochkamera 5.1 Versuchsbeschreibung In diesem Versuch soll zunächst der Einfluss der Blendenöffnung auf das Abbild der Lochkamera untersucht werden. Anschließend wird die Abbildungsgleichung der Lochkamera bestimmt. 5.2 Versuchsaufbau Im Versuch wird die Lochkamera auf einer optischen Bank aufgebaut. Abbildung 7: Schematischer Versuchsaufbau einer Lochkamera. Als Lichtquelle dient in allen Versuchen eine 15 W LED Lampe. Vorsicht: Die LED Lampe leuchtet sehr hell. Nicht direkt in die Lampe schauen. Abbildung 8: LED Lampe mit seitlichem Drehregler zur Regulierung der Helligkeit. Als abzubildender Gegenstand dient eine Blende aus lichtdurchlässigen Punkten (siehe Abb. 9). Diese wird durch Ausleuchten mit der Lichtquelle selbst zum leuchtenden Gegenstand. Als Lochblende dient eine Irisblende mit verstellbarem Lochdurchmesser (siehe Abb. 9). Das Bild wird auf einer Mattscheibe aufgefangen. Beim Aufbau ist darauf zu achten, dass die Mitten von der LED Lampe, der Blende mit den lichtdurchlässigen Punkten und der Lochblende alle auf gleicher Höhe liegen. Alle 8 Version: 16. März 2015

9 Labor Technische Physik Bauteile im Strahlengang sind so auszurichten, dass sie senkrecht zum Strahlenverlauf stehen. Abbildung 9: Abzubildender Gegenstand und Lochblende. Um später die Abstände leichter einstellen zu können, sollten die Bauteile wie in Abb.10 zu sehen ist, auf der optischen Bank angeordnet werden. Abbildung 10: Anordnung der LED Lampe und der Blende mit den lichtdurchlässigen Punkten. 9 Version: 16. März 2015

10 5.3 Versuchsdurchführung 1. Stellen Sie eine Gegenstandsweite g = 10 cm zwischen der Blende mit den lichtdurchlässigen Punkten und der Lochblende sowie eine Bildweite b = 15 cm zwischen Lochblende und Schirm her und untersuchen Sie die Schärfe (Auflösung) des Bildes, indem Sie den Blendendurchmesser verändern. Notieren Sie ihre Beobachtungen in der Versuchsauswertung 9.1 auf Seite Für die in Tabelle 1 (Seite 18) aufgeführten Gegenstandsweiten g und Bildweiten b messen Sie Gegenstandsgröße G und Bildgröße B. Tragen Sie die Werte in Tabelle 1 ein. Anschließend bestimmen Sie die Verhältnisse b/g sowie B/G. 10 Version: 16. März 2015

11 Labor Technische Physik 6 Versuchsteil: Bestimmung der Brennweite einer dünnen Linse 6.1 Versuchsbeschreibung In diesem Versuchsteil wird ein Gegenstand mittels einer Bikonvexlinse unbekannter Brennweite f auf einem Schirm scharf abgebildet. Aus den gemessenen Abständen zwischen Gegenstand und Linse sowie zwischen Linse und Schirm kann dann die Brennweite der Linse berechnet werden. Abbildung 11: Schematischer Versuchsaufbau mit dünner Linse. Als Gegenstand wird eine Blende mit der Form eines Pfeils verwendet (siehe Abb. 12). Abbildung 12: Abzubildender Gegenstand. 11 Version: 16. März 2015

12 Labor Technische Physik 6.2 Versuchsaufbau Die Blende mit der Pfeilöffnung wird auf der optischen Bank an der Marke 10 cm positioniert. Durch Ausleuchten mit der Lichtquelle wird die Pfeilöffnung selbst zum leuchtenden Gegenstand. Als Gegenstandsweite g soll zunächst 11 cm eingestellt werden. Daher wird die Linse auf der optischen Bank an der Marke 21 cm positioniert. Abbildung 13: Positionierung der Bauteile. Das Bild der Linse soll auf einem Schirm abgebildet werden. Dazu wird der Schirm am gegenüberliegenden Ende der optischen Bank positioniert. Sein Abstand zur Linse wird nun so lange variiert bis sich ein scharfen Abbild des Pfeils ergibt (siehe Abb. 14). Wenn das Bild auf dem Schirm eine zu starke Helligkeit aufweist, kann mit dem Drehregler an der LED Lampe die Helligkeit variiert werden. Abbildung 14: (a) Unscharfes Abbild (b) Scharfes Abbild. 6.3 Versuchsdurchführung Messen Sie für die in Tabelle 2 auf Seite 19 angegebenen Gegenstandsweiten g die zugehörigen Bildweiten b und tragen Sie diese in die Tabelle ein. 12 Version: 16. März 2015

13 7 Versuchsteil: Ermittlung der Brennweite einer Bikonvexlinse mittels Bessel-Verfahren 7.1 Versuchsbeschreibung Zur Messung der Brennweite einer Linse kann man das sogenannte Bessel-Verfahren verwenden. Ist die gegebene feste Entfernung d zwischen Gegenstand und Bild größer als 4 f, so erhält man für zwei verschiedene Stellungen der Linse ein scharfes Bild, da Gegenstandsweite und Bildweite miteinander vertauscht werden. Diese beiden Linsenorte 1 und 2 liegen symmetrisch zur Mitte von d. Die Differenz zwischen den beiden Linsenstellungen sei e. Wegen der Umkehrbarkeit der Strahlengänge gilt: Abbildung 15: Schematische Versuchsanordnung zur Bestimmung einer Linsenbrennweite nach dem Besselverfahren. Außerdem gilt: g 1 = b 2 und g 2 = b 1 (9) g 1 + b 1 = g 2 + b 2 = d (10) g 1 b 1 = b 2 g 2 = e (11) Aus den beiden obigen Zusammenhängen, sowie aus der Abbildungsgleichung von dünnen Linsen erhält man für die Brennweite folgende Gleichung: f = d2 e 2 4 d (12) 13 Version: 16. März 2015

14 Labor Technische Physik Diese Gleichung gilt nur für dünne Linsen, bei denen der Abstand der beiden Linsenhauptebenen vernachlässigbar ist im Vergleich zur Brennweite der Linse. Ist dies der Fall, so fallen die beiden Hauptebenen der Linse mit ihrer Mittelebene zusammen. 7.2 Versuchsaufbau Als Lichtquelle wird die LED Lampe und als abzubildender Gegenstand die Blende mit der Pfeilöffnung verwendet. Die Blende wird auf der optischen Bank an der Marke 10 cm positioniert. Anschließend wird der Schirm im Abstand 70 cm entfernt von der Blende positioniert (siehe Abb. 16). Abbildung 16: Versuchsanordnung zur Bestimmung einer Linsenbrennweite nach dem Besselverfahren. 7.3 Versuchsdurchführung Es wird nun die Linse mit ihrem Halter zwischen Blende und Schirm auf die optische Bank eingebracht. Anschließen wird die Position der Linse auf der optischen Bank so lange variiert, bis eine scharfe, vergrößerte Abbildung des Gegenstandes auf dem 14 Version: 16. März 2015

15 Schirm zu erkennen ist. Der Abstand LS 1 der Linse zum Schirm wird gemessen und in Tabelle 3 auf Seite 21 eingetragen. Nun wird die Linse verschoben bis eine scharfe verkleinerte Abbildung des Gegenstandes auf dem Schirm zu erkennen ist. Gegebenenfalls muss die Helligkeit der LED vermindert werden. Der Abstand LS 2 der Linse zum Schirm wird gemessen und in Tabelle 3 auf Seite 21 eingetragen. Aus den beiden Abständen LS 1 und LS 2 zwischen Linsenposition und Schirm kann nun der benötigte Abstand e berechnet werden. 15 Version: 16. März 2015

16 Labor Technische Physik 8 Versuchsteil: Linsensystem 8.1 Versuchsbeschreibung In diesem Versuch soll die Funktionsweise eines Linsensystems bestehend aus zwei Sammellinsen (Objektiv und Okularlinse) untersucht werden. Mit Hilfe des Objektives wird der zu beobachtende Gegenstand zunächst als reelles Zwischenbild abgebildet. Das reelle Zwischenbild wird dann mit einer zweiten Linse (Okular) betrachtet. Abbildung 17: Schematische Darstellung des Linsensystems. 8.2 Versuchsaufbau Als Lichtquelle wird die LED Lampe und als abzubildender Gegenstand die Blende mit der Pfeilöffnung verwendet. Die Blende wird auf der optischen Bank an der Marke 10 cm positioniert. Abbildung 18: Versuchsaufbau des Linsensystems. 16 Version: 16. März 2015

17 Die Objektivlinse besitzt eine Brennweite von f = 100 mm und die Okularlinse eine Brennweite von f = 50 mm. 8.3 Versuchsdurchführung Positionieren Sie die Objektivlinse so, dass die Gegenstandsweite g Obj = 17 cm beträgt. Bilden Sie den Gegenstand scharf auf dem transparenten Schirm ab und notieren Sie den Wert der Bildweite b Obj in Tabelle 4 auf Seite 22. Das Bild der Objektivlinse dient als Zwischenbild, d.h als Gegenstand für die Okularlinse. Stellen Sie nun den transparenten Schirm 70 cm entfernt von der Objektivlinse auf. Bringen Sie die Okularlinse in den Strahlengang (ca. 40 cm vor dem Schirm) und verschieben Sie diese, bis Sie ein scharfes Bild auf dem Schirm erkennen. Bestimmen Sie die Gegenstandsweite g Oku von Okularlinse zum Zwischenbild und die Bildweite b Oku. Notieren Sie die beiden Werte in Tabelle 4 auf Seite Version: 16. März 2015

18 9 Versuchsauswertung 9.1 Ergebnisse von Versuchsteil Beobachtungen beim Verändern des Blendendurchmessers: 2. Erklären Sie ihre Beobachtungen bei Variation des Blendendurchmessers! Gegenstandsweite g in cm Bildweite b in cm Gegenstandsgröße G in cm Bildgröße B in cm b/g B/G Tabelle 1: Gegenstandsgröße und Bildgrößen bei der Lochkamera. 3. Leiten Sie aus den Werten von Tabelle 1 eine Abbildungsgleichung für die Lochkamera her! 18 Version: 16. März 2015

19 9.2 Ergebnisse von Versuchsteil 6.3 i g i in cm b i in cm f i in cm f i f in cm , , , , , ,5 ( fi f ) 2 in cm 2 Tabelle 2: Tabelle für den Versuch aus Kapitel Berechnen Sie aus der Gegenstandsweite g i und der Bildweite b i gemäß der Abbildungsgleichung 1 = die jeweilige Brennweite f i und tragen Sie f i g i b i die Ergebnisse in Tabelle 2 ein. 2. Berechnen Sie den Mittelwert f aus den Brennweiten f i. 3. Berechnen Sie die Standardabweichung σ f. Benutzen Sie dafür beide rechte Spalten von Tabelle Version: 16. März 2015

20 4. Gebe Sie das Ergebnis in folgender Form an: f = f ± σ f. Welche Aussage beinhaltet diese Art der Angabe des Ergebnisses? 5. Die Brennweite soll nun grafisch ( bestimmt ) werden. Tragen Sie dazu die Ergebnisse der Messungen als Wertepaar, 1 in ein XY-Diagramm ein und zeichnen Sie 1 g b eine Ausgleichsgerade. Bestimmen Sie aus den Schnittpunkten der Ausgleichsgeraden mit den Achsen die Brennweite der gesuchten Linse. Zeigen Sie anhand der Abbildungsgleichung den formalen Zusammenhang. 6. In einem zweiten Diagramm werden die jeweiligen Gegenstandsweiten g i und Bildweiten b i auf der X- bzw. Y-Achse aufgetragen und jeweils durch eine Gerade verbunden. An welchem Punkt findet man nun die Brennweite der untersuchten Linse? Beweisen Sie ihre Behauptung mit Hilfe der Newtonschen Abbildungsgleichung! 20 Version: 16. März 2015

21 9.3 Ergebnisse von Versuchsteil 7.3 i d i in cm , , , , , Abstand LS 1 in cm Abstand LS 2 in cm 12 42,5 X X X e i in cm f i in cm f i f in cm ( fi f ) 2 in cm 2 Tabelle 3: Tabelle für den Versuch aus Kapitel Berechnen Sie für die zwölf Wertepaare d i und e i die jeweilige Brennweite f i. Tragen Sie die Werte in Tabelle 3 ein. 2. Berechnen Sie aus allen Brennweiten f i den Mittelwert f der Brennweite. 3. Berechnen Sie die Standardabweichung σ f. Benutzen Sie dafür beide rechte Spalten von Tabelle Version: 16. März 2015

22 9.4 Ergebnisse von Versuchsteil 8.3 Bildweite b Obj in cm Gegenstandsweite g Oku in cm Bildweite b Oku in cm Tabelle 4: Tabelle für den Versuch aus Kapitel Fertigen Sie eine maßstäbliche Skizze des Strahlengangs an (Millimeterpapier verwenden). 2. Ermitteln Sie aus den gemessenen Größen den Abbildungsmaßstab des Objektivs, den Abbildungsmaßstab des Okulars, sowie den Gesamtabbildungsmaßstab. 3. Wo liegt der Unterschied dieses Aufbaus zu einem Mikroskop? 22 Version: 16. März 2015

23 Bildquellen: (1) H. J. Eichler H.-D. Kronfeldt J. Sahm Das Neue Physikalische Grundpraktikum,Seite , 2. Auflage, Springer Verlag. (2) W. Demtröder Experimentalphysyik 2 Elektrizität und Optik, Kapitel 9, 5. Auflage, Springer Verlag. (3) Harten Physik, Kapitel 7, 14. Auflage, Springer Verlag. 23 Version: 16. März 2015