Übungsaufgaben mit Lösungen

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1 Dr. O. Wittich Aache,. September 7 S. Bleß, M. Sc. Aalysis Übugsaufgabe mit Lösuge im Vorkurs Mathematik 7, RWTH Aache Uiversity Itervalle, Beschräktheit, Maxima, Miima Aufgabe Bestimme Sie jeweils, ob es sich bei de agegebee Mege um Itervalle hadelt. Gebe Sie i diesem Fall bitte die Itervallschreibweise a. a [, ] (, ], b [, ] [, ] c [, ] (, 4, d (, 5] \ (4, 5], e (, 5] (, 6, f {x : x R}, g { : N}, h {, 7}, i {x R : x < }, j (, Q, k {x R : x < }, l {x R : x > 7}. a [, ], b kei Itervall, c (, ], d (, 4], e (, 5], f [,, g kei Itervall, h kei Itervall, i (,, j kei Itervall, k (,, l kei Itervall. Aufgabe Bestimme Sie jeweils, ob die agegebee Mege beschräkt sid. Gebe Sie falls diese existiere auch die Maxima ud Miima der Mege a. a [, ], b (,, c {, 7}, d {π, e} } e { + : N, f {}, g [, ] [, ], h {r Q : r < } i {r Q : r < 4}, j {r Q : r < }, k {, π, π, } l {p : p Primzahl}, m {( : N}, {x + : x R}, o {x R : x = x}, p { : N}. a beschräkt, (mi, (max, b beschräkt, c beschräkt, (mi, 7 (max, d beschräkt, e (mi, π (max, e beschräkt, (max, f beschräkt, (mi, (max, g beschräkt, (mi, (max, h ubeschräkt, i beschräkt, j beschräkt, k beschräkt, (mi, (max, l ubeschräkt, (mi, m ubeschräkt, ubeschräkt, (mi, o beschräkt, (mi, (max, p beschräkt, (max. Folge, Häufugspukte, Kovergez Aufgabe Utersuche Sie die Folge (a N auf Mootoie ud Beschräktheit. a a =, b a = + 5, c a = +, d a = ( +, e a =, f a = +, 5 g a =, h a = + +, i a = +. a Es gilt a + a = ( + = ( + ( + = + < N. ( + Also ist (a streg mooto falled. (Alterativ: Die Fuktio x x ist streg mooto falled auf (,. Weiter ist < a a = für alle N ud damit (a ach obe ud ute beschräkt. b Es gilt a = + 5 = 5 ( +. Mit ( ist auch (a streg mooto falled. Isbesodere ist damit a > a > für alle, das heißt die Folge ist ach obe ud ute beschräkt.

2 c Wir betrachte wieder a + a. Es gilt a + a = + ( = ( + ( + (( + + ( + (( + < ( + + < ( + <. Wege + + = > ist dies für alle eie wahre Aussage. Also ist (a streg mooto falled. Wege a > a > für alle ist damit (a ach obe ud ute beschräkt. d Es gilt a = + < für alle. Damit ist (a ach obe ud ach ute beschräkt. Wege a + a = ( ( + = ( + ( + ( ( + 4 ( + ( + 4 = ( ( + ( + 4 }{{} > ist damit a + a > für ugerade ud a + a < für gerade. Also ist die Folge (a icht mooto. e Es gilt a + a = ( + + = ( + = (( + ( + ( ( + = + + ( + > für alle N. Damit ist (a streg mooto wachsed. (Alterativ: Ma schreibt a = als Summe zweier streg mooto wachseder Fuktioe. Weiter hat ma a für alle N, das heißt (a ist ach ute beschräkt. Wege ist (a ach obe ubeschräkt. f Es gilt a + a = = + }{{ } > ( + ( + ( + + ( > + N = (( + ( + ( + ( (( + + (( + + ( <. < Wege = 9 > ist die letzte Ugleichug für alle N erfüllt. Damit ist (a streg mooto falled. Also ist (a ach obe beschräkt durch a. Schließlich folgt aus + = }{{ + } + > > N }{{ + } > < die Beschräktheit ach ute. g Es gilt zuächst a = 5 = = 5 +. ( Die Folge b := 5 +, N ist streg mooto wachsed. Da x x auch streg mooto wächst, ist damit auch (a = ( b streg mooto wachsed. Desweitere gilt a 5 für alle, woraus die Beschräktheit folgt. h Es gilt a = + = + = +. Die Folge (b = ( ud (c = ( sid streg mooto falled. Damit ist auch (a streg mooto falled mit a a für alle. i Mit der. biomische Formel gilt zuächst also a ( + + = ( + ( + + = + =, a = + + N. Die Fuktioe bzw. + sid streg mooto wachsed. Es folgt, dass (a streg mooto fällt. Desweitere gilt a a für alle, woraus die Beschräktheit folgt. Aufgabe 4 Bestimme Sie de Grezwert a der Folge (a, N. Beweise Sie Ihre Vermutug, idem Sie zu jedem ε > ei = (ε R bestimme mit a a < ε für alle N mit > (ε. a a = +, b a =, c a = 5 +, d a = +, e a = e, f a = si(. 4

3 a Es gilt a = + = +. Wir behaupte lim a =. Sei dazu ε >. Da gilt a = + = + = + < ε + > ε > ε. Für (ε = ε gilt damit a < ε für alle >. b Wir behaupte lim a =. Sei dazu ε >. Da gilt = < ε > ε ε gilt damit a < ε für alle >. Für (ε = > > ε. c Wir behaupte lim = 5. Sei dazu ε >. Da gilt a 5 = = < ε > ε > ε. Für (ε = ε gilt damit a 5 < ε für alle >. d Wir behaupte lim a = ud betrachte de Ausdruck a = der. biomische Formel gilt ( + ( + + also a = = + + }{{} < + <. Also ist a < ε, sobald ur < ε, das heißt > ε =: (ε ist. e Wir behaupte lim e =. Sei dazu ε >. Da gilt =, e = e < ε l e = < l ε > l ε. Für (ε = l ε gilt da a < ε für alle >. +. Nach f Zuächst gilt si( für alle N. Wir behaupte lim a =. Sei dazu ε >. Da gilt a = a = si(. Damit ist a < ε, sobald < ε, das heißt > ε =: (ε ist. Sie dürfe i der ächste Aufgabe die folgede Grezwertsätze ohe Beweis verwede: Satz: Seie (a, (b kovergete reelle Folge mit lim a = a ud lim b = b. Weiter sei c R. Da sid auch die Folge (c a, (a + b, (a b koverget ud es gilt lim c a = ca, lim a + b = a + b, ( a Gilt zusätzlich b, b = für alle, da ist auch b lim a b = a b. koverget mit lim a b = a b. Aufgabe 5 Bestimme Sie de Grezwert a (falls er existiert der agegebee Folge (a. a a = +, b a = +, c a = ( +, d a = + +, e a = 4 + 5, f a = 5 +, g a = (, h a = +, i a = ( j a =, k a = +, l a = (.! Wir beutze die Grezwertsätze. a b c Es gilt d a = + a = + = das heißt lim a =. ( = = a =, + ( + = a = + + = = + e Es gilt lim 4 = (vgl. A 4 (e. Es folgt a = = ( = ( (, + =. 5 6

4 f g a = 5 + = 5 + = 5 b mit b = + Es gilt lim b = ud damit lim a = 5 = 5. (Streg geomme beutzt ma hier scho die Stetigkeit der Expoetialfuktio. a = ( ( ( =! = 6 6 = 6. h Es gilt a = + ( = + = +. Mit der. biomische Formel erhält ma da ( + ( + + = + =. Es folgt a = ++, das heißt lim a =. i Wege lim = gilt a = ( = =. j Nach der allgemeie biomische Formel gilt = k= ( k > (. Es folgt a = < ( =! ( ( =! ud damit lim a =. k Es gilt also a = + = l Es gilt! für alle N. Es folgt ud damit auch lim a =. ( + ( + + = + =, + + = = + + a =!! = =. Fuktioe Aufgabe 6 Bestimme Sie jeweils de Defiitiosbereich vo f /g. Utersuche Sie, ob sich f /g i de Defiitioslücke och sivoll erkläre lässt. Falls ja, mit welchem Fuktioswert? a f : R R, f (x = x, g : R R, g(x = x 7x + b f : R R, f (x = x, g : R R, g(x = x x + c f : R R, f (x =, g : R R, g(x = x 5 d f : R R, f (x = x, g : R R, g(x = x a Es gilt x 7x + = (x (x 4. Also ist D = R \ {, 4}. Da die Neerfuktio die Nullstelle x = ud x = 4 besitzt, die Zählerfuktio allerdigs icht, ka die Fuktio dort icht sivoll fortgesetzt werde. b Es gilt x x + = (x (x 7. Also ist f g zuächst auf D = R \ {, 7} defiiert. Allerdigs gilt ach Kürzug f g (x = x 7 für alle x D. Damit ka f im Pukt x = och sivoll erklärt werde mit f g ( := 4. c Es gilt x 5 = x { 5, 5}. Damit ist D = R \ { 5, 5}. d Es gilt x = (x (x + x +. Das Polyom x + x + ist auf R ullstellefrei. Damit ist der Defiitiosbereich D = R \ {}. Nach Kürzug erhält ma f g (x = x + x + für alle x D. Dieser Ausdruck ist auch och für x = defiiert. Eie sivolle Fortsetzug ist damit f g ( :=. Aufgabe 7 Gegebe seie die Fuktioe f : R R, f (x = x ud g : R + R, g(x = x. Bestimme Sie die Defiitiosbereiche D( f g ud D(g f ud gebe Sie f g ud g f explizit a. Es gilt D( f g = {x D(g : g(x D( f } = {x R + : x R} = R

5 Für alle x R + gilt ( f g(x = f ( x = x = x. Offesichtlich ka x x auf gaz R erklärt werde. Der Defiitiosbereich vo g f bestimmt sich zu D(g f = {x D( f : f (x D(g} = {x R : x R + } = {x R : x } = [, ]. Für x [, ] gilt (g f (x = g( x = x. Im Allgemeie müsse f g ud g f also icht übereistimme. Aufgabe 8 Utersuche Sie die folgede Fuktioe auf ihrem Defiitiosbereich auf (strege Mootoie. Bestimme Sie die maximale Mootoiebereiche ohe Zuhilfeahme vo Methode der Differetialrechug. Versuche Sie dabei möglichst die jeweils vorastehede Aufgabeteile zu beutze. a f : R R, f (x = x, b f : R \ {} R, f (x = x, c f : R R, f (x = x, d f : R + R, f (x = x, e f : R R, f (x = x, f f : R R, f (x = x + x +, g f : [, ] R, f (x = x, h f : R \ {, 4} R, f (x = (x 7x +. Hiweis: Beutze Sie i Teil a de Biomische Lehrsatz ud i Teil d die. Biomische Formel. a Diese Fuktio ist streg mooto wachsed auf gaz R: Es seie x, y R mit x < y. Wir mache zuächst eie Falluterscheidug:. Fall: x Wege y > x köe wir y als y = x + h mit h > schreibe. Da gilt y x = (x + h x = x + x h + xh + h x = x }{{} h + xh }{{} + }{{} h >. >. Fall: x < Fall a y < Nach Fall ist wege y < x wiederum ( x ( y > ud wege ( x = x gilt x ( y > y x >. Fall b y y x = y }{{} + ( x >. }{{} > b Diese Fuktio ist icht mooto auf R \ {}. Es gilt f ( = < = f (, das heißt f ist icht mooto falled. Weiter ist f ( = < = f (, das heißt f ist auch icht mooto wachsed. Damit ist f icht (streg mooto auf seiem Defiitiosbereich. Für < x < y gilt higege f (x = x > y = f (y. Damit ist f streg mooto falled auf (,. Für x < y < hat ma f (x = x = x > y = f (y. Damit ist f streg mooto falled auf (,. c Diese Fuktio ist icht mooto auf R. Es gilt f ( = > = f (, das heißt f ist icht mooto wachsed. Weiter ist f ( = < = f (, das heißt f ist auch icht mooto falled. Für x < y gilt x < y ud für x < y hat ma x > y. Damit ist f streg mooto wachsed auf [, ud streg mooto falled auf (, ]. d Diese Fuktio ist streg mooto wachsed auf gaz R + : Seie x, y R + mit x < y. Es gilt zuächst x + y >, da y >. Mit der. biomische Formel erhalte wir ( y x ( y + x = y x > ach Voraussetzug a x ud y. Also gilt y x = y x y+ x >, das heißt f (x = x < y = f (y. e Diese Fuktio ist icht mooto auf R. Es gilt f ( = = < = = f (, das heißt f ist icht mooto falled. Umgekehrt ist f ( = = > = = f (, das heißt f ist icht mooto wachsed. Für x gilt f (x = x. Also ist f streg mooto wachsed auf [,. Für x hat ma f (x = x, also ist f streg mooto falled auf (, ]. f Diese Fuktio ist icht mooto auf R. Wir schreibe f i Scheitelpuktform, also f (x = x + x + = x + x + + = (x + +. Für x < y gilt x + < y +. Weil x x auf [, streg mooto wachsed ist, folgt f (x = (x + + < (y + + = f (y. Damit ist f streg mooto wachsed auf [,. Für x < y gilt x + < y +, also auch f (x = (x + + > (y + + = f (y. Damit ist f streg mooto falled auf (, ]. g Diese Fuktio ist icht mooto auf [, ]. Es gilt f ( = = > = = f (, das heißt f ist icht mooto wachsed. Umgekehrt hat ma f ( = < = f (, das heißt f ist auch icht mooto falled. Für x, y [, ] mit x < y hat ma x, y R + sowie x > y, da die Fuktio x x auf [, ] R + streg mooto fällt. Es folgt f (x = x > y = f (y, da x x auf R + streg mooto wächst. Damit ist f auf [, ] streg mooto falled. Geauso zeigt ma, dass f auf [, ] streg mooto wächst. h Diese Fuktio ist icht mooto auf R \ {, 4}. Wir bestimme die Mootoiebereiche. Sei dazu zuächst g : R R, g(x = x 7x +. Mit quadratischer Ergäzug erhält ma ( 7 ( 7 ( g(x = x 7x + + = x 7 4. Wie i Aufgabe f sieht ma, dass g auf (, 7 ] [ streg mooto falled, sowie auf 7, streg mooto wachsed ist. Weiter gilt g(x < geau da, we x (, 4. Für 9

6 x R \ (, 4 gilt g(x >. Seie jetzt also x, y R \ {, 4} mit x < y. Für x, y (, erhält ma g(x > g(y >, also f (x = g(x < g(y = f (y, das heißt f ist streg mooto wachsed auf (,. Für x, y (, 7 ] ist > g(x > g(y ud damit f (x = g(x < g(y = f (y, also ist f streg mooto wachsed auf (, 7 ]. Für x, y [ 7, 4 gilt g(x < g(y <, also f (x = g(x > = f (y. Damit ist f streg g(y mooto falled auf [ 7, 4. Schließlich folgt für x, y (4, sofort < g(x < g(y ud damit f (x = g(x > = f (y, das heißt f ist streg mooto falled auf (4,. g(y Aufgabe 9 Seie D, E R ichtleere Teilmege. Zeige Sie: a Ist f : D R eie (streg mooto wachsede Fuktio, so ist f : D R mit ( f (x := f (x (streg mooto falled. b Seie f, g : D R mooto wachsede Fuktioe mit f, g auf D, so ist auch f g : D R mit ( f g(x := f (x g(x mooto wachsed. c Seie f : D R ud g : E R mooto mit g(e D. Zeige Sie, dass da auch f g : E R mooto ist. Welche Art vo Mootoie liegt jeweils vor? d Sei f : D W streg mooto ud bijektiv. Zeige Sie, dass da auch f : W D streg mooto ist. a Sei f mooto wachsed. Seie x, y D mit x < y. Da gilt f (x f (y, also f (x f (y. Damit ist f mooto falled. Aalog zeigt ma die Behauptug für streg mooto wachsedes f. b Seie f, g : D R mooto wachsed. Seie x, y D mit x < y. Da gilt f (x g(x g mo., f c Wir zeige exemplarisch die Aussage f (x g(y f mo.,g f (y g(y. f mo. falled, g mo. wachsed f g mo. falled. Seie dazu x, y E mit x < y. Da gilt g(x g(y, da g mooto steigt. Da f mooto fällt, folgt ( f g(x = f (g(x f (g(y = ( f g(y. Aalog formuliert ud beweist ma die übrige Fälle f mo. falled, g mo. falled f g mo. wachsed, f mo. wachsed, g mo. wachsed f g mo. wachsed, f mo. wachsed, g mo. falled f g mo. falled. d Sei f zuächst streg mooto wachsed. Seie y, y W mit y < y. Seie x = f (y ud x = f (y. Ageomme x x. Da wäre auch y = f (x f (x = y im Widerspruch zur Aahme. Es folgt f (y = x < x = f (y. Ist f streg mooto falled, so wedet ma das ebe Bewiesee auf ( f = f a. Aufgabe Bestimme Sie de Wertebereich der folgede Fuktioe. a f : R \ {} R, f (x =, b f : [, ] R, f (x = x x c f : ( 4, ] R, f (x = x + x +, d f : [, ] R, f (x = x e f : R R, f (x = + x, f f : (, R, f (x = x g f : (4, 5] R, f (x = (x 7x +. a Sei R := R \ {}. Für x = gilt zuächst x = ud damit f (R R. Zu y R wähle wir x = y. Da gilt f (x = x = ( y = y. Es folgt f (R = R. Bemerkug: Schräke wir de Zielbereich vo f auf R ei, so folgt f f = id R, das heißt, f ist bijektiv mit f = f. b Für x [, ] gilt x [ 4, ]. Mit Aufgabe 8 b sieht ma damit, dass f auf D = [, ] streg mooto fällt, also = f ( f (x f ( = 4 für alle x D. Damit habe wir f ([, ] [, 4 ]. Sei umgekehrt y [, 4 ]. Es gilt f (x = y x = y +. Da y y + auf (, mooto fällt, folgt = + y + + =, 4 also x [, ]. Damit ist f (x = y ud somit f ([, ] = [, 4 ]. c Die Fuktio f ist auf ( 4, ] streg mooto falled, das heißt es gilt = f ( 4 > f (x f ( =. Es folgt f (( 4, ] [,. Sei umgekehrt y [,. Für y = hat ma f ( = = y. Sei also y (,. Wir mache de Asatz y = f (x = x + x + = (x + +. Wege y hat die obige quadratische Gleichug i x über R die beide Lösuge x = y ud x = + y. Wege < y < 9 hat ma aufgrud der

7 strege Mootoie vo x x da 4 = < x < =, also x ( 4, ]. Es gilt f (x = y. Im Übrige gilt x / ( 4, ]. Isgesamt habe wir damit f (( 4, ] = [, gezeigt. d Die Fuktio ist auf dem Bereich [, ] streg mooto wachsed ud auf [, ] streg mooto falled mit f ( = f ( = ud f ( =. Es folgt f ([, ] [, ]. Sei y [, ]. Der Asatz y = x liefert die otwedige Bedigug y = x. Dies ist eie quadratische Gleichug i x, welche wege y die beide Lösuge x, = ± y [, ] hat. Eie Probe zeigt f (x, = y = y = y = y, da y. Igesamt habe wir damit f ([, ] = [, ] gezeigt. e Es gilt zuächst < + x für alle x R, wobei Gleichheit geau für x = besteht. Es folgt damit zuächst f (R (, ]. Sei u umgekehrt y (,. Der Asatz y = f (x = +x ist äquivalet zu x = y. Aus y (, folgt y >, das heißt die Lösuge dieser quadratische Gleichug sid x, = ± y ud es gilt f (x, = y. Damit habe wir f (R = (, ] gezeigt. f Wir betrachte zuächst h : (, R, h(x = x. Es gilt h(x = geau da, we x = ±. Mit d erhält ma also h((, = (, ]. Wir betrachte jetzt g : (, ] R, g(x = x. Wie i Teil a schließt ma g((, ] = [,. Nu ist aber f = g h, also f ((, = g(h((, = g((, ] = [,. g Wir betrachte zuächst wieder g : R R, g(x = x 7x + ud bestimme g((4, 5]. Nach Aufgabe 8 h ist g streg mooto wachsed auf (4, 5], das heißt = g(4 < g(x g(5 = für alle x (4, 5] ud damit g((4, 5] (, ]. Sei u also umgekehrt y (, ]. Der Asatz y = g(x = ( x 7 4 liefert eie quadratische Gleichug i x mit de beide Lösuge x, = y + 4. Wege der strege Mootoie vo y y folgt 7 ± 4 = < x = 7 + y = 5 ud damit x (4, 5]. Wege g(x = y folgt isgesamt g((4, 5] = (, ]. Abschließed betrachte wir u h : (, ] R, h(x = x. Ma zeigt leicht, dass h((, ] = [,. Für f = h g gilt folglich f ((4, 5] = h((, ] = [,. Aufgabe Betrachte Sie die Fuktio f : [, ] R, welche gegebe ist durch x +, falls x f (x := x, falls < x < x, falls x. Utersuche Sie die Fuktio auf lokale ud globale Maxima ud Miima. Wir bestimme zuächst die Mootoiebereiche vo f. Für x [, ] gilt f (x = x +, das heißt f ist streg mooto wachsed. Für x (, ist f (x = x, also ist f streg mooto falled auf (, ] ud streg mooto wachsed auf [,. Für x [, ] gilt f (x = x, das heißt f ist streg mooto wachsed auf [, ]. Da sich i lokale Extrempukte das Mootoieverhalte ädert, köe lokale Extrema höchstes i de Radpukte der Mootoiebereiche vorliege, das heißt i x {,,,, }. Es geügt also diese Pukte zu utersuche: Für x (, ] gilt f (x = f ( ud für x [, ] gilt f (x f (, da f dort streg mooto steigt. Damit liegt i x = ei globales Miimum vor. Für x [, ] gilt f (x f ( = < = f ( ud für x (, ] gilt f (x = f (. Damit liegt i x = ei globales Maximum vor. Für x [, ] gilt f (x = f ( = f (. Also liege i x = ud x = lokale Miima vor, welche icht global sid. Für x (, gilt f (x = x > = f ( ud für x [, hat ma f (x = x + <. Damit ka i x = kei lokales Extremum vorliege. Aufgabe Betrachte Sie die Fuktio f : (, ] R, welche gegebe ist durch x +, falls x < f (x := x, falls x x, falls x >. Utersuche Sie die Fuktio auf lokale ud globale Maxima ud Miima. Ma verfährt aalog zu Aufgabe. I x {,, } besitzt f ei globales Maximum. I x = besitzt f ei lokales Miimum, welches icht global ist. Die Fuktio f hat kei globales Miimum. 4

8 Aufgabe Betrachte Sie die Fuktio f : (, R, welche gegebe ist durch x + falls x < f (x := x falls x x falls x >. Utersuche Sie die Fuktio auf lokale ud globale Maxima ud Miima. Ma verfährt wieder aalog zu Aufgabe. I x {, } besitzt f ei globales Maximum. I x = besitzt f ei lokales Miimum, welches icht global ist. Die Fuktio f hat kei globales Miimum. Elemetare Fuktioe A. Expoetialabbildug ud Logarithmus Aufgabe 4 Es seie a, u, v > ud r R. Beweise Sie : log a (u r = r log a (u. Sei x = log a (u. Nach Defiitio ist da a x = u. Mit de Potezgesetze folgt u r = (a x r = a xr, also log a (u r = rx = r log a (u. Aufgabe 5 Bestimme Sie die folgede Logarithme. a log (4, b log 4 (64, c log ( 8, d log 4 (, e log 7 (7 x, x R. a, b, c, d, e x. Aufgabe 6 a Drücke Sie log (4 als Logarithmus eier eizige Zahl aus. b Vereifache Sie ( ( ( 75 5 log log 6 + log 9. 4 c Vereifache Sie für a > de Ausdruck log a ( log a (7. a b c log (4 = log ( log (4 = log (9 log (4 = log ( 9 4 ( ( ( ( log log 6 + log 9 = log log a ( log a (7 = log a ( log a ( = 6 = log ( = Aufgabe 7 Bestimme Sie jeweils Defiitiosbereich ud Lösugsmege der folgede logarithmische Gleichuge. a log (x = log (, b log (x = log (5 log (4, c log (x =, d l(x =, e log 4 (x = log 4 (6, f log (x =, g log (x + log ( =, h log (x = log (x, i log (x + =. a Der Defiitiosbereich der Gleichug ist D = R >. Es gilt log (x = log ( x =. b Der Defiitiosbereich der Gleichug ist D = R >. Es gilt ( 5 log (x = log (5 log (4 log (x = log x = c Der Defiitiosbereich der Gleichug ist D = (,. Es gilt log (x = log (x = x = 9 x =. 5 6

9 d Der Defiitiosbereich der Gleichug ist D = (,. Es gilt l(x = l(x = x = e = e x = + e. e Der Defiitiosbereich der Gleichug ist (,. Es gilt ( log 4 (x = log 4 (6 log 4 = log x 4 (6 x = 6 = x x =. f Der Defiitiosbereich der Gleichug ist R \ [, ]. Es gilt log (x = log (x = log ( x = x = x = ±. g Der Defiitiosbereich der Gleichug ist (,. Es gilt ( x + log (x + log ( = log = x + h Der Defiitiosbereich der Gleichug ist (,. Es gilt log (x = log (x = x = 99. l(x l( = l(x ( l(x = l(xl( l( l( l(x l( =, l( }{{} = also geau da, we l(x =, das heißt x =. i Der Defiitiosbereich der Gleichug ist R. Es gilt log (x + = x + = x = 9 x = ±. Aufgabe 8 Bestimme Sie jeweils de Defiitiosbereich der folgede Terme. Drücke Sie im Aschluss die Terme durch eie Logarithmus aus. a log a (x + log a ( x + log a (x, ( ( b log a x + log x+ a x. a Der Defiitiosbereich des Ausdrucks ist (,. Es gilt log a (x + log a ( x + log a (x = log a ( (x + x ( x. b Der Defiitiosbereich des Ausdrucks ist R \ [, ]. Es gilt log a (x + ( x + log a = ( ( x + log x a (x + log a x = ( loga x + log a x + + log a x + log a x = log a x +. Aufgabe 9 Bestimme Sie jeweils die Lösugsmege der folgede Gleichugssysteme. a b c a Es ist x = y + ud damit { x y = x y = 4 log (x + log (y = ( 5 log (x log (y = log, x, y > { 4 x = 5 y 4 x = 7 y x y = 4 y+ y = 4 6 y = 4 y = log 6 (6 = log 6 (6 =. Es folgt x = y + = 4. b Es gilt = log (x + log (y = log (xy xy =, ( ( 5 x log = log (x log (y = log 5 y = x y x = 5 y. Damit ist das Gleichugssystem äquivalet zu xy = ud x = 5y. Eisetze vo x = y i die zweite Gleichug liefert = 5y, also y = ±. Es folgt x = ±5. Mit Hiblick auf de Defiitiosbereich des Gleichugssystems ist damit (x, y = (5, die eizige Lösug. } }., 7 8

10 c Es gilt 7 y = 4 x = x = x+ x + = log (7 y = y log (7, 5 y = 4 x = x x = log (5 y = y log (5. Dies impliziert y log (7 = y log (5. Wir erhalte daher die Lösug y = log (7 log (5, x = log (5 (log (7 log (5. Aufgabe Wieviele Dezimalstelle besitzt die Primzahl p = 46697? Da p eie Primzahl ist, ist p = N für irgedei N N ud wir köe aehme, dass p ud p + dieselbe Azahl Dezimalstelle habe. Nach de Logarithmusgesetze habe wir log (p + = log (p + = log ( log ( 5 = log ( + log (5 = l 5 l = (l 5 mit Tascherecher. Wir habe also p + = a M mit < a < ud M = Damit hat p Dezimalstelle. b Die Rechug verläuft aalog. Aufgabe Zeige Sie mit Hilfe der Addtiostheoreme: a si ( α + π = cos(α, b cos ( α + π = si(α, c ta ( α + π = cot(α, d cot ( α + π = ta(α. Ma verwede si ( π = ud cos ( π =. Für c ud d verwede ma a ud b. Bemerkug: Ma beachte, dass Aufgabe für die Aufgabeteile c ud d icht awedbar ist. Aufgabe Bestimme Sie die Defiitiosbereiche der folgede Gleichuge. Bestimme Sie im Aschluß die Lösugsmege. a ta(x = si(x, b ta(x = cos(x, c si(x = ta(x, d cos(x = 5 4 cos (x. Trigoometrische Fuktioe Aufgabe Beweise Sie die Additiostheoreme für Tages ud Cotages. Bestimme Sie auch de Defiitiosbereich der Gleichuge. a ta(α + β = ta(α + ta(β cot(α cot(β, b cot(α + β = ta(α ta(β cot(α + cot(β. a Die Gleichug ist defiiert für α, β, α + β / π si(α + Zπ. Mit ta(α = cos(α folgt si(α + β ta(α + β = cos(α + β si(α cos(β + si(β cos(α = cos(α cos(β si(β si(α ta(α cos(β + si(β = cos(β ta(α si(β ta(α + ta(β = ta(α ta(β. Hiweis: Beweise Sie für die Aufgabeteile c bzw. d zuächst die Idetitäte si(x = ta(x + ta (x, cos(x = 4 cos (x cos(x. ( π a Der Defiitiosbereich der Gleichug ist R \ + Zπ. Dort gilt stets cos(x =. Es folgt ta(x = si(x si(x = ( si(x cos(x si(x cos(x =. Letzteres ist wiederum äquivalet zu si(x = oder cos(x =, also zu x πz bzw. zu x ± π 4 + πz. ( π b Der Defiitiosbereich der Gleichug ist R \ + Zπ. Dort gilt stets cos(x =. Es gilt zuächst ta(x = cos(x si(x = cos (x = ( si (x si (x + si(x =. 9

11 Dies ist eie quadratische Gleichug i t = si(x. Wir bestimme also die Lösuge der Gleichug t + t =. Diese werde (z.b. mit p-q-formel gegebe durch t =, t = <. Wege si(x sid also alle x zu bestimme mit t = Lösugsmege durch ( π ( π + πz + πz gegebe. c Der Defiitiosbereich der Gleichug ist R \ si(x = si(x + x = si(x cos(x = Damit folgt die Äquivalez si(x = ta(x ( π + Zπ. Es gilt = si(x. Damit ist die si(x cos(x si (x + cos (x = ta(x + ta (x. ta(x + ta (x = ta(x ta(x = ta(x ta(x(ta(x =. Also ist die Gleichug äquivalet zu ta(x = oder ta(x =. Damit wird die Lösugsmege gegebe durch ( π πz 4 + πz ( π 4 + πz. d Es ist cos(x = cos (x si (x. Es gilt Damit ist cos(x = cos(x + x = cos(x cos(x si(x si(x = cos (x si (x cos(x si (x cos(x = cos (x ( cos (x cos(x = 4 cos (x cos(x. cos(x = 5 4 cos (x 4 cos (x cos(x = 5 4 cos (x. Dies ist eie kubische Gleichug i t = cos(x. Wege cos(x [, ] geügt es also die Lösuge der Gleichug 4t + 4t t 5 = im Itervall [, ] zu bestimme. Durch Ausprobiere erhält ma zuächst die Lösug t =. Polyomdivisio durch t liefert ( 4t + 4t t 5 = (4t + 8t + 5(t = 4(t + + (t Aufgabe 4 Es seie α, β, γ R mit α + β + γ = π. Zeige Sie: a si(β cos(γ + cos(β si(γ = si(α, b si(α si(β cos(β cos(α = cos(γ. a Es gilt si(β cos(γ + cos(β si(γ = si(β + γ = si(π α wege si(π = ud cos(π =. b Es gilt = si(π cos(α cos(π si(α = si(α, si(α si(β cos(β cos(α = cos(α + β = cos(π γ wege si(π = ud cos(π =. = (cos(π cos(γ + si(π si(γ = cos(γ, Aufgabe 5 I eiiger Etferug zu eier Atee wird ei Lichstrahl vom Bode (Meßebee auf die Spitze der Atee gerichtet. Der Wikel des Strahls zur Meßebee wird mit α bezeichet. Nu geht ma a Meter auf de Ateemast zu ud wiederholt die Messug. Ma erhält u eie Wikel β. Es ist isbesodere < α < β < π. Wie hoch ist der Mast? Bezeichet ma die ubekate Höhe des Mastes mit h ud die Etferug des zweite Messpuktes vom Mast mit b so gelte die Beziehuge ta(α = h a + b ta(β = h b. Dies ist eie Gleichug mit zwei Ubekate. Isbesodere folgt ( ta(α h = a ta(β. ta(β ta(α Nu ist 4(t + + > für alle t R. Damit ist t = die eizige Nullstelle i [, ]. Isgesamt ergibt sich damit als Lösugsmege πz.

12 Stetigkeit Aufgabe 6 Utersuche Sie die folgede Fuktioe auf Stetigkeit i de agegebee Pukte. a f : R R, f (x = x i x =. b c d i x = i x = i x =. a Es gilt f : R R, f (x = f : R R, f (x = f : R R, f (x = { x, x =, x = { x x+ x, x =, x = { x, x x, x < lim f (x = lim x = lim x = ud lim f (x = lim x = lim x =. x + x + x + x x x Also ist f stetig i x =. b Es gilt Also ist f ustetig i x =. lim f (x = lim x + x + x =. c Es gilt f (x = x x + (x = = x x x für alle x R, x =. Wege f ( = = folgt da f (x = x für alle x R. Also ist f stetig i x =. Aufgabe 7 Utersuche Sie die folgede Fuktioe auf Stetigkeit i ihrem Defiitiosbereich. a f : R R, f (x = x + 4 b f : R \ {4} R, f (x = x 6 x 4 { x + 4, < x 4 c f : R R, f (x = x + 6, 4 < x < x 6 d f : R R, f (x = x 4, x = 4, x = 4 a Als lieares Polyom ist f stetig. b Als ratioale Fuktio auf ihrem Defiitiosbereich ist f stetig. c Als lieare Fuktio auf de Bereiche (, 4 ud (4, ist f dort stetig. Wir betrachte also x = 4. Es gilt Damit ist f ustetig i x = 4. lim f (x = lim x + 6 = = = 8 = f (4. x 4+ x 4+ d Als ratioale Fuktio ist f stetig auf R \ {4}. Wir betrachte also x = 4. Es gilt Damit ist f ustetig i x = 4. x lim f (x = 6 lim x 4 x 4 x 4 = lim x + 4 = 8 = = f (4. x 4 Differetialrechug Aufgabe 8 Zeige Sie durch vollstädige Iduktio ud mit Hilfe der Defiitio der Ableitug, dass für die Fuktioe f : R R, x x gilt: d Es gilt lim f (x = lim x = ud lim f (x = lim x = =. x + x + x x Also ist f ustetig i x =. Hiweis: Produktformel. f (X = x. 4

13 ( Iduktiosafag: Für = gilt für jede Folge (x mit lim x = x, dass f f (x = lim (x f (x x x = lim x x x x = lim =, also ist f (x = für alle x R. ( Iduktiosschluss: Sei die Aussage für bewiese. Da ist ach der Produktregel f (x = ( f f = f f + f f = x + x ( x = x. Damit ist die Behauptug bewiese. Aufgabe 9 Bestimme Sie jeweils die Ableitug f der Fuktioe f, welche auf geeigete Defiitiosbereiche durch folgede Abbildugsvorschrifte gegebe sid: a f (x = 5x + 7x 4x + 9, b f (x = x6 + x + x, c f (x = 4x 4 4x, d f (x = 8x x x 4, e f (x = x + x x 4, f f (x = x + x + x 5, g f (x = e x x + x 5, h f (x = 4x 4 4 x, i f (x = x l(x + l(x, j f (x = x 4 si(x, k f (x = (e x + 4 x, l f (x = l(x e x, m f (x = x + 4, f (x = x + x, o f (x = 7x + x + x, p f (x = (5x 5 ( + x q f (x = x 4 4 x + 7, r f (x = (x + x 5. a f (x = 5x + 4x 4, b f (x = x x, c f (x = 6x, d f (x = 6x + 8 x, x e f (x = x 6x 4 + x 5, f f (x = x x 5 x 8, g f (x = e x x(x + + 5x 4, h f (x = 4x 4 x (4 + x l(4, i f (x = l(x + + x, j f (x = x (4 si(x + x cos(x, ( 4 x k f (x = e x + l(46 x + (l(4, ( e l f (x = e x l(x x + l(x, m f (x = x, f (x = x( + x, o f (x = 4x x (x + x, p f (x = 5(5x 4, q f (x = (48x + 8x ( x 4 x + 7, r f (x = (x + 5 (x + x. Aufgabe Utersuche Sie die Fuktio auf Differezierbarkeit. f : R R, x x Falls x >, also x R \ [, ], so gilt f (x = x. Falls x <, also x (,, so gilt f (x = x. I beide Fälle ist f ei Polyom ud damit differezierbar. Es bleibe die Radpukte x = ud x = zu utersuche. Für x > gilt Sei u < x <. Da ist f (x f ( x f (x f ( x = x x = x x = x + x +. = x x =. Also ist f i x = icht differezierbar. Geauso zeigt ma, dass f auch i x = icht differezierbar ist. 5 6

14 Aufgabe Utersuche Sie die Fuktio f : R R, x x x auf Differezierbarkeit im Nullpukt. Bestimme Sie gegebeefalls f (. Wir bestimme wieder de Differezequotiete. Für x > gilt Für x < gilt f (x f ( x f (x f ( x = x x x = x ( x x Damit ist f i x = differezierbar mit f ( =. = x x +. = x x. Aufgabe Bestimme Sie zuächst die Defiitiosbereiche der Fuktioe f, welche durch die folgede Abbildugsvorschrifte gegebe sid. Bestimme Sie im Aschluss f. a f (x = x x + x, b f (x = + (x 4, c f (x = x (x 4x +. a Es ist D( f = R ud b Es ist D( f = R \ {±} ud c Es ist D( f = R \ {, } ud f (x = x + x + (x +. f (x = 5x x (x 4 4. f (x = (x 6x + (x 4x +. Aufgabe Bestimme Sie die maximale Defiitiosbereiche der Fuktioe f, welche durch die folgede Abbildugsvorschrifte gegebe sid. Bestimme Sie i jedem Pukt, i welchem f differezierbar ist, die Ableitug. (Radpukte des Defiitiosbereichs sid dabei zu verachlässige. a f (x = x + 4x 5, b x + 4 x + 5 x, c f (x = cos ( ta( + x. a Zuächst gilt x + 4x 5 = (x + x + 5(x. Die erste Faktor ist für alle x R positiv, der zweite geau für x. Also ist D( f = [,. Weiter ist f ist als Kompositio differezierbarer Fuktioe auf (, differezierbar mit f (x = ( x + 4x + 5 (x + 4. b Es gilt D( f = [, ud f ist als Kompositio differezierbarer Fuktioe auf (, differezierbar mit f (x = ( x + 4 x + 5 x ( + 4 x x 4 5. c Es gilt D(ta = R \ ( π + Zπ, sowie Damit ist Die Ableitug bestimmt sich zu + x = π + kπ x = ± π + kπ, k N. D( f = R \ k N { } π ± + kπ. f (x = si(ta( + x x cos ( + x. Aufgabe 4 Bestimme Sie die lokale ud globale Maxima ud Miima der Fuktioe aus Aufgabe. a Wir bestimme zuächst die kritische Pukte i D( f = R. Es gilt f (x = x + x + = (x = x = ±. Um zu bestimme, ob es sich dabei um lokale Extrema hadelt, bestimme wir zuächst die Positivitäts- ud Negativitätsbereiche vo f zu f > auf (, +, f < Sei zuächst x = +. Für ε > gilt also auf (, ( +,. f ( + ε > ud f ( + + ε <. 7 8

15 Also wechselt f i x sei Vorzeiche (mooto falled ud damit hat f i x ei lokales Maximum. Sei x =. Für < ε < gilt f ( ε < ud f ( + ε >. Also wechselt f i x sei Vorzeiche (mooto wachsed ud damit hat f i x ei lokales Miimum. Direktes Ausreche liefert f (x = ( > ud f (x = ( + <. Wege lim x f (x = = lim x f (x sid die Extrema sogar global. b Es gilt 5x x < für alle x R. Damit besitzt f keie kritische Pukte ud damit auch keie lokale Extrema. c Wir bestimme zuächst die kritische Pukte i D( f = R \ {, }. Es gilt f (x = (x 6x + (x 4x + = x 6x + = x = ±. Wir verfahre wie i a ud bestimme zuächst die Positivitäts- ud Negativitätsbereiche vo f zu ( ( f < auf,, + (,, ( ( f > auf, +,. Setze u x = ud x = +. Für < ε gilt f (x ε < ud f (x + ε >. Also besitzt f i x ei lokales Miimum. Weiter ist f (x ε < ud f (x + ε >. Also besitzt f auch i x ei lokales Miimum. Desweitere ist Folglich besitzt f keie globale Maxima. Aufgabe 5 Betrachte Sie die Fuktio lim f (x = ud lim f (x =. x x f : R R, f (x = x 5 5x + 6x. a Bestimme Sie die lokale Maxima ud Miima vo f. b Bestimme Sie die größte Itervalle, auf dee f streg mooto wachsed ist. c Fertige Sie eie Skizze vo f a. a Es gilt f (x = 5x 4 75x + 6, f (x = 6x 5x, f (x = 8x 5. Wir bestimme zuächst die kritische Pukte vo f. Es gilt f (x = 5x 4 75x + 6 = 5(x 4 5x + 4 = x {±, ±}. Explizit berechet ma f ( = 9, f ( = 9, f ( = 4, f ( = 4. Damit liege i x = ud x = lokale Miima, sowie i x = ud x = lokale Maxima vor. b Es gilt f > auf (, (, (,. Die gesuchte Mootoieitervalle sid damit (, ud (,. Aufgabe 6 Utersuche Sie aalog zu vorige Aufgabe die Fuktio f : R \ { } R, f (x = x (x. (x + Hiweis: Die eizige reelle Nullstelle vo f ist x =. a Es gilt Weiter hat ma f (x = 6 x (x + x 4 (x +. f (x = x {, 5, + } 5. Die Positivitäts- ud Negativitätsbereiche vo f bestimme sich zu f < auf (, 5 (, + 5, f > auf ( 5, ( + 5,. 9

16 Wie obe sei < ε. Für x = hat ma f (x ε > ud f (x + ε <. Damit hat f i x = ei lokales Maximum. Für x = 5 gilt f (x ε < ud f (x + ε >. Damit hat f i x = 5 ei lokales Miimum. Für x = + 5 gilt f (x ε < ud f (x + ε >. Damit hat f i x = + 5 ei lokales Miimum. b Die eizige reelle Nullstelle vo f liegt i x = vor. Da f ( ε < ud f ( + ε > für ε klei geug, hadelt es sich hierbei um eie Wedepukt. c Es ist f > auf ( 5 (, ( + 5,. Damit ist ( + 5, das gesuchte Itervall. Aufgabe 7 Utersuche Sie die Fuktioe a f : [, ] R, f (x = 4 x, b f : [, 4] R, f (x = x 5 5x 4 + 5x + 7 auf lokale ud globale Maxima ud Miima. Bestimme Sie auch die etsprechede Extremalwerte. a Es gilt f (x = x = geau für x =. Es gilt f (x = <. Damit liegt i x = ei lokales Maximum vor. Es ist f ( = ud f ( = 5. Aus f ( = 4 folgt damit, dass f auf dem Itervall [, ] i x = ei globales Maximum ud i x = ei globales Miimum besitzt. b Es ist ( f (x = 5x 4 x + 5x = 5x x 4x + = 5x (x (x, f (x = x 6x + x. Also sid x =, x = ud x = die eizige Nullstelle vo f. Weiterhi gilt f ( = <, f ( = 9 >, f ( =. Im Pukt x = besitzt die Fuktio also ei lokales Maximum, im Pukt x = ei lokales Miimum. Im Pukt x = ist keie Aussage möglich, da f i diesem Pukt keie Vorzeichewechsel hat. Schließlich müsse die iere Extremwerte mit de Radwerte vergliche werde. Ma berechet Damit hat f ( = 4, f ( = 8, f ( =, f (4 = 7. f i x = ei lokales, aber kei globales Miimum, f i x = ei lokales, aber kei globales Maximum, f i x = ei lokales ud globales Miimum, f i x = 4 ei lokales ud globales Maximum. Aufgabe 8 Seie a R, m, Z mit m = ud m, =. a Zerlege Sie a so i zwei Summade, dass dere Produkt möglichst groß wird. b Zerlege Sie a so i zwei Summade, dass das Produkt der m-te Potez des eie Summade ud der -te Potez des adere Summade möglichst groß wird. a Die beide Summade sid x = y = a. b Die beide Summade sid x = ma m+ ud y = a m+. Aufgabe 9 Die Summe der Katheteläge eies rechtwiklige Dreiecks ergibt k. Wie groß müsse die eizele Katheteläge gewählt werde, damit die Hypotheuseläge möglichst klei wird? Die beide Kathete müsse die Läge k habe. Aufgabe 4 Der Querschitt eies Tuels habe die Form eies Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Sei Umfag sei U. Für welche Halbkreisradius wird der Flächeihalt des Querschitts am größte? Es bezeiche r de Halbkreisradius, a die Höhe des Rechtecks ud F die Fläche des Querschitts. Da ist U = πr + a + r, also a = U ( + πr.

17 Für die Fläche erhalte wir F = ar + πr. Setze wir a als Fuktio vo r ei, so ergibt dies F(r = r (U ( + πr + π ( r = + π r + Ur, ( F (r = + π r + U, ( F (r = + π. Die eizige Nullstelle vo F wird durch r = π+4 U gegebe. Wege F (r < hadelt es sich hierbei um ei lokales Maximum. Wege lim r F(r = ist das lokale Maximum sogar global. Itegralrechug Aufgabe 4 Bestimme Sie ohe Rechug ud ur mit der Defiitio des bestimmte Itegrals (6x + dx, 4 4 x dx. 4 x dx, Das Itegral ist die Fläche zwische dem Graph der Fuktio ud der x-achse, wobei Fläche uter der x-achse egativ gezählt wird. a Das erste Itegral ist die Differez der Fläche der beide Dreiecke 9 9/ 5 5/ = 8. b Das zweite Itegral ist die Fläche eies Halbkreises vom Radius, also π / = π. c Die Fläche besteht aus vier Dreiecke, die zusamme ei Quadrat der Kateläge ergebe. Damit ist das Itegral gleich ( = 8. Aufgabe 4 Bestimme Sie jeweils eie Stammfuktio F der Fuktioe f, welche durch folgede Abbildugsvorschrifte gegebe sid. a f (x = 4x + x +, b f (x = 5 x, c f (x = e x, d f (x = 4 4 x, e f (x = 5x x +, f f (x =, x x g f (x = (x, h f (x = 4 x. a F(x = x 4 + x + x, b F(x = 5 8 x 5 x, c F(x = e x, d F(x = 4 x, e F(x = x 5 + 4x + 6 l x, f F(x = 4 x x + 6 x, g F(x = x x + 4x, h F(x = 4x l(4. Aufgabe 4 Bestimme Sie: a d f i 4 (x + dx, b x 4 dx ( x 4 + x 5 5 x 4 dx + x 4 dx, e dx, g 5 x dx, j 4 4 ( x + x dx, c 7 x(x + x dx x dx, h 4 x dx. 4 (x + x dx ( x dx + 7 (x dx, (x + x dx, ( e x + x dx, a 8, b 7 6, c, d 65, e, ( f 9, g 6 4, h e +, i e 4 l(5, j 4 l(. Aufgabe 44 Bestimme Sie mit Hilfe der Substitutiosmethode jeweils eie Stammfuktio F der Fuktioe f, welche durch folgede Abbildugsvorschrifte gegebe sid. a f (x = (x +, b f (x = ex + e x, c f (x = x x +, d f (x = 9x + x(x +, e f (x = x l(x + x, f f (x = (x + l(x +. a ϕ(t = t + ud F(x = 8 (x + 4, D f = R, b ϕ(t = + e t ud F(x = l( + e x, D f = R, c ϕ(t = t + ud F(x = x +, D f = R, 4

18 d ϕ(t = t(t + ud F(x = l( x + x, D f = R \ {}, e ϕ(t = l(t + ud F(x = l( l(x +, D f = (,, f ϕ(t = l(t + ud F(x = l( l(x +, D f = (,. Aufgabe 45 Bestimme Sie de Wert I der folgede Itegrale mit Hilfe der Substitutiosmethode. a (x + 4 dx, b 5 ( + x x dx, c x + 4 x + 4x dx, x d dx, e (6x + 5 e x +5x dx, f 4x 4 x + 4 dx. x + 5 a ϕ(t = t +, I = 88, b ϕ(t = + t, I = 7, c ϕ(t = t + 4t, I = l 5 7, d ϕ(t = t + 5, I = 4, e ϕ(t = t + 5t, I = e 8, f ϕ(t = t + 4, I = Aufgabe 46 Bestimme Sie mit Hilfe der partielle Itegratio jeweils eie Stammfuktio F der Fuktioe f, welche durch folgede Abbildugsvorschrifte gegebe sid. a f (x = x e x, b f (x = e x (x + x, c f (x = l(x, d f (x = x l(x, e f (x = log (x, f f (x = l(x. a f (x = x, g (x = e x, F(x = (x e x, b f (x = x + x, g (x = e x, F(x = e x ( x + x, c f (x = l(x, g (x =, F(x = x(l(x, d f (x = l(x, g (x = x, F(x = x ( l(x, 9 e f (x = log (x, g(x =, F(x = x (l(x, l( f f (x = l(x, g (x = l(x, F(x = x l(x x l(x + x. 4 Aufgabe 47 Bestimme Sie die folgede Itegrale uter Beutzug des Hauptsatzes der Differetial- ud Itegralrechug. a d g / dx, b + 7x x dx, e x 5 π/ a b si(x dx, h + cos(x / 7 + 7x dx = / / x dx = 4 / dx, c 4 + 9x 6 x x 5 dx, 8x 5 4x dx, f 5x + 4x 5x + dx, π/6 cos(x + 4 si(x dx. + 7 x dx = / x dx = 4 [ ( 7 ] 7 7 arcta x = π 6. [ ( ] / arcta x = π 8. c Es gilt x x 5 = (x + (x 5. Damit erhalte wir die Partialbruchzerlegug d Es folgt 6 x x 5 dx = (x + (x 5 = 8(x + + 8(x 5. 6 x + dx x 5 dx = 8 (l(6 l(4 + l(9 = ( l( l(7. 8 x x 5 dx = (l( l(5 l(. 8 e Es gilt 4x 5x + = (x (4x. Damit erhalte wir die Partialbruchzerlegug 4x 5x + = (x 4 (4x. 5 6

19 Es folgt 4x 5x + dx = (l( l( + l(7. f Aus d ( dx 4x 5x + = 8x 5 folgt mit der Substitutiosmethode 8x 5 [ ] 4x 5x + dx = l(4x 5x + = l( l(7. g Aus d dx ( + cos(x = si(x folgt mit der Substitutiosmethode π/ si(x + cos(x dx = [ ] π/ l( + cos(x = (l( + l(5. h Aus d dx ( + 4 si(x = 4 cos(x folgt mit der Substitutiosmethode π/6 cos(x + 4 si(x dx = 4 [ ] π/6 l( + 4 si(x = (l(5 l(. 4 b Aus d dx cos(x = si(x folgt mit partieller Itegratio c = π [ ] π π x si(x dx = x cos(x + x cos(x dx [ ] π π = π + x si(x si(x dx = π 4. [ ( ] (x + l(x + (x + = ( l( = ( l( x 5 l(x + dx = x 5 l(x + dx x x l(x + dx x (x + l(x + x (x + dx x l(x + dx + x 5 + x dx x 5 l(x + dx ( l( +. Aufgabe 48 Bestimme Sie mit Hilfe partieller Itegratio die folgede Itegrale. a π/4 π/6 c cos(x l(si(x dx, b π x 5 l(x + dx, d a Aus d dx si(x = cos(x folgt mit partieller Itegratio π/4 π/6 cos(x l(si(x dx = x si(x dx, x e x dx. [ ] π/4 π/4 si(x l(si(x si(x cos(x π/6 si(x dx π/6 [ ] π/4 = l( si(x π/6 = l( +. d Es folgt [ x e x dx = x e x] = e = e x 5 l(x + dx =. = 4 e + x ex dx x e x dx [ x e x] [ xex] + x ex dx ex dx = 8 (e

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