Mathematik I Aufgabengruppe A Aufgabe A 1

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1 Seite vo 9 Prüfugsdauer: Abschlussprüfug Miute a de Realschule i Bayer Mathematik I Aufgabegruppe A Aufgabe A A.0 Ei Kodesator (Speicher für elektrische Eergie) wird a eier Elektrizitätsquelle für Gleichspaug aufgelade. Die Kodesatorspaug y V (Volt) wird i Abhägigkeit vo der Zeit x s (Sekude) für x > 0 durch die Fuktio f mit der Gleichug y= 7 7,7 0,5x mit GI = IR IR beschriebe. A. Tabellarisiere Sie die Fuktio f für x [0; 6] i Schritte vo x = auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet ud zeiche Sie soda de Graphe zu f i ei Koordiatesystem. Für die Zeichug: Auf der x-achse: cm für s; 0< x < 7 Auf der y-achse: cm für V; 0< 9 P A. Die maximale Spaug am Kodesator et ma Sättigugsspaug. Diese beträgt bei diesem Kodesator 7 V. Bereche Sie, auf wie viel Prozet der Sättigugsspaug die Kodesatorspaug ach,60 s agestiege ist. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) A.3 Bereche Sie die Zeit, ach der die Kodesatorspaug auf 84% der Sättigugsspaug agestiege ist. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) A.4 Eie Sekude ach dem Begi der Aufladug des i.0 beschriebee Kodesators wird ei zweiter Kodesator etlade. Der Zusammehag zwische der Zeit x s ud der Spaug y V a diesem Kodesator wird durch die 0,5(x ) Fuktio f mit der Gleichug y= 8,5,7 mit GI = IR IR für x > beschriebe. Dabei steht x s für die Zeit ab dem Begi der Aufladug des erste Kodesators. Tabellarisiere Sie die Fuktio f für x [; 6] i Schritte vo x = auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet ud zeiche Sie de Graphe zu f i das Koordiatesystem zu. ei. A.5 Bestimme Sie aus der Zeichug auf Zehtel Sekude geau, ach welche Zeite sich die Spauge a beide Kodesatore um 4,0 V voeiader uterscheide. A.6 Bereche Sie auf Hudertstel Sekude gerudet die Zeit x s, ach der a beide Kodesatore die gleiche Spaug aliegt. P P P

2 Seite vo 9 Prüfugsdauer: Abschlussprüfug Miute a de Realschule i Bayer Mathematik I Aufgabegruppe A Aufgabe A A.0 Die Pukte A( ), B(3 + 4cos ϕ 3si ϕ ) mit ϕ [0 ;3,7 [ ud C(5 ) sid Eckpukte vo Vierecke AB CD. Der Pukt S ist der Schittpukt der Diagoale der Vierecke AB CD ud zugleich der Mittelpukt der Diagoale [AC]. Gleichzeitig teilt der Pukt S die Diagoale [B D ] im Verhältis BS:SD = :3. A. Zeiche Sie die Vierecke AB CD für ϕ = 90 ud AB CD für ϕ= 60 i ei Koordiatesystem. Für die Zeichug: Lägeeiheit cm; 4< x < 7; 3< 7 P A. Die Pukte B köe auf die Pukte D abgebildet werde. Bereche Sie die Koordiate der Pukte D i Abhägigkeit vo ϕ. Zeige Sie soda recherisch, dass sich die Gleichug des Trägergraphe p der Pukte D i der Form y= ( x 3) + 6 darstelle lässt. 6 [Teilergebis: D (3 cos ϕ 3+ 9si ϕ )] Zeiche Sie soda de Trägergraphe p i das Koordiatesystem zu. ei. A.3 Uter de Vierecke AB CD gibt es ei Dracheviereck AB 3 CD 3. Zeiche Sie dieses Dracheviereck i das Koordiatesystem zu. ei. Bestimme Sie recherisch de zugehörige Wert für ϕ sowie die Koordiate des Puktes B 3. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) 5 P A.4 Zeige Sie, dass sich der Flächeihalt A( ϕ ) der Vierecke AB CD i Abhägigkeit vo ϕ wie folgt darstelle lässt: A( ϕ ) = ( 4 cos ϕ+ 6 cosϕ+ 6) FE. A.5 Uter de Vierecke AB CD besitzt das Viereck AB 0 CD 0 de größte Flächeihalt A max. Bereche Sie diese Flächeihalt ud de zugehörige Wert vo ϕ. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) P

3 Seite 3 vo 9 Prüfugsdauer: Abschlussprüfug Miute a de Realschule i Bayer Mathematik I Aufgabegruppe A Aufgabe A 3 A 3.0 Das gleichseitige Dreieck PQR mit der Seiteläge 9 cm ist die Grudfläche der Pyramide PQRS mit der Spitze S. Der Pukt F ist der Mittelpukt der Strecke [QP]. Der Fußpukt H der Pyramidehöhe [SH] liegt auf der Gerade FR. Das Maß des Wikels RFS beträgt 0 ud es gilt FS = 0 cm. A 3. Zeiche Sie ei Schrägbild der Pyramide PQRS. Dabei soll die Strecke [FR] auf der Schrägbildachse liege. Für die Zeichug: q = ; ω= 45 Bereche Sie soda die Streckeläge RS ud das Maß γ des Wikels SRF. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) [Teilergebis: RS = 5,45 cm; γ = 34,09 ] A 3. Pukte C auf der Seitekate [RS] sid Spitze vo Pyramide PQRC. Die Wikel FC R habe das Maß ϕ. Zeiche Sie i das Schrägbild zu 3. die Pyramide PQRC für ϕ = 65 ei. Gebe Sie das Itervall für ϕ a, sodass ma Pyramide PQRC erhält. Bereche Sie dazu die Itervallgreze auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet. A 3.3 Ermittel Sie recherisch das Volume V(ϕ) der Pyramide PQRC i Abhägigkeit vo ϕ. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) 7,79si( ϕ + 34,09 ) [Teilergebis: CR( ϕ ) = cm] si ϕ A 3.4 Das Maß α der Wikel PQC i de Dreiecke QPC hägt vom Maß ϕ der Wikel FC R ab. Bereche Sie die Läge der Strecke [FC ] i Abhägigkeit vo ϕ ud zeige Sie, 0,97 dass gilt: ta α=. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) si ϕ A 3.5 Uter de Pyramide PQRC gibt es zwei Pyramide PQRC ud PQRC 3, bei dee die Maße der Wikel QC P ud QC jeweils 90 betrage. Ermittel Sie recherisch das jeweils zugehörige Wikelmaß ϕ auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet. P P

4 Seite 4 vo 9 Prüfugsdauer: Abschlussprüfug Miute a de Realschule i Bayer Mathematik I Aufgabegruppe B Aufgabe B B.0 Das Bruttoiladsprodukt gibt de Wert der wirtschaftliche Leistug eies Staates für ei Jahr a. Beträgt das Bruttoiladsprodukt eies Staates am Ede eies Jahres y 0 Billioe, so lässt sich bei eier jährliche Wachstumsrate vo p% das Bruttoiladsprodukt ach x Jahre i y Billioe mit eier Gleichug der Form x p y y = 0 + bereche. 00 B. Am Ede des Jahres 999 betrug das Bruttoiladsprodukt der Budesrepublik Deutschlad,9 Billioe. Bei eier jährliche Wachstumsrate vo,5% ka das Bruttoiladsprodukt der folgede Jahre i Billioe mit der Gleichug x y =,9,05 (I G = IR + 0 IR + ) berechet werde. Diese Gleichug legt die Fuktio f fest. Tabellarisiere Sie die Fuktio f für x [0; 0] i Schritte vo x = auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet ud zeiche Sie de Graphe zu f i ei Diagramm. Für die Zeichug: Auf der x-achse: cm für Jahr; 0< x < Auf der y-achse: cm für 0, Billioe ; 0<,60 P B. Bereche Sie, i welchem Kalederjahr das Bruttoiladsprodukt der Budesrepublik Deutschlad bei eier jährliche Wachstumsrate vo,5% de Wert vo 3 Billioe übersteige würde. B.3 Am Ede des Jahres 998 hatte Österreich ei Bruttoiladsprodukt vo 0,9 Billioe bei eier jährliche Wachstumsrate vo,5%. Gleichzeitig hatte die Schweiz ei Bruttoiladsprodukt vo 0,5 Billioe bei eier jährliche Wachstumsrate vo 0,%. Im wievielte Jahr habe beide Läder das gleiche Bruttoiladsprodukt, we sich die jährliche Wachstumsrate icht äder? B.4 I Wirklichkeit ist i de drei Jahre ach 999 das Bruttoiladsprodukt der Budesrepublik Deutschlad vo,9 Billioe auf,0 Billioe gestiege. Bereche Sie auf eie Stelle ach dem Komma gerudet mit Hilfe der Gleichug aus.0 die jährliche Wachstumsrate p%. B.5 Im wievielte Jahr ist das Bruttoiladsprodukt eies Staates um 0% gestiege, we die Wachstumsrate,8% beträgt?

5 Seite 5 vo 9 Prüfugsdauer: Abschlussprüfug Miute a de Realschule i Bayer Mathematik I Aufgabegruppe B Aufgabe B B.0 Der Pukt O(0 0) ud Pukte Q(x x+ 3) auf der Gerade g mit der Gleichug y= x+ 3 (GI = IR IR) sid Eckpukte vo Dreiecke OP Q, für die POQ = 45 ud OP : OQ = : 3 gilt. B. Zeiche Sie die Gerade g sowie die Dreiecke OP Q für x = 3 ud OP Q für x = 3 i ei Koordiatesystem. Für die Zeichug: Lägeeiheit cm; 4< x < 7; 3< 7 B. Die Pukte Q köe auf die Pukte P abgebildet werde. Zeige Sie recherisch, dass für die Koordiate der Pukte P i Abhägigkeit vo der Abszisse x der Pukte Q gilt: P x+ x+ 6. B.3 Bestimme Sie recherisch die Gleichug des Trägergraphe h der Pukte P. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) [Ergebis: h : y = 0,34x +,89 ] P B.4 Der Eckpukt P 3 des Dreiecks OP 3 Q 3 liegt im I. Quadrate auf der Parabel p mit der Gleichug y= x x ( GI = IR IR). Zeiche Sie die Parabel p sowie das Dreieck OP 3 Q 3 i die Zeichug zu. ei ud bereche Sie soda das Maß β des Wikels Q 3 O. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) B.5 Uter de Dreiecke OP Q hat das Dreieck OP 0 Q 0 de kleistmögliche Flächeihalt. Bereche Sie die x-koordiate des Puktes Q 0. 6 P

6 Seite 6 vo 9 Prüfugsdauer: Abschlussprüfug Miute a de Realschule i Bayer Mathematik I Aufgabegruppe B Aufgabe B 3 B 3.0 Das Rechteck ABCD mit AB = 8 cm ud BC = 0 cm ist die Grudfläche der Pyramide ABCDS mit der Spitze S. Der Pukt E ist der Mittelpukt der Seite [AD] ud der Pukt F ist der Mittelpukt der Seite [BC]. Der Fußpukt P der Pyramidehöhe liegt auf [EF]. Es gilt: ES = 7,5 cm ud FS = 9 cm. B 3. Zeiche Sie ei Schrägbild der Pyramide ABCDS. Dabei soll [EF] auf der Schrägbildachse liege. Für die Zeichug: q = ; ω= 45 Bereche Sie soda das Maß ε des Wikels SFE sowie die Höhe PS der Pyramide ABCDS. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) [Teilergebis: ε= 5,95 ; PS = 7,09 cm ] B 3. Die Strecke [KM] mit K [AB] ud M [DC] verläuft durch de Pukt P ud ist parallel zur Strecke [BC]. Die Strecke [R T ] sid ebefalls parallel zur Strecke [BC]. Sie scheide die Strecke [FS] i de Pukte G ud es gilt R [BS] ud [CS]. Die Pukte K, R, T ud M sid jeweils die Eckpukte vo T gleichscheklige Trapeze KR T M. Die Wikel FPG habe das Maß ϕ mit 0 <ϕ< 90. Zeiche Sie das Trapez KR T M für ϕ = 0 i das Schrägbild zu 3. ei. B 3.3 Zeige Sie durch Rechug, dass die Läge der Strecke [PG ] wie folgt i Abhägigkeit vo ϕ auf zwei Stelle ach de Komma gerudet dargestellt werde ka: 4,37 PG ( ϕ ) = cm. si( ϕ+ 5,95 ) B 3.4 Vo alle Trapeze KR T M besitzt das Trapez KR 0 T 0 M die kürzeste Höhe PG 0. Bereche Sie de Flächeihalt des Trapezes KR 0 T 0 M. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) B 3.5 Für die Trapeze KR T M ud KR 3 T 3 M sid die Strecke [PG ] bzw. [PG 3 ] jeweils 5 cm lag. Bereche Sie die zugehörige Wikelmaße ϕ auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet. P P 5 P

7 Seite 7 vo 9 Prüfugsdauer: Abschlussprüfug Miute a de Realschule i Bayer Mathematik I Nachtermi Aufgabe C C.0 Gegebe sid die Fuktioe f mit der Gleichug Gleichug x+ y 0,5 3 = ( GI = IR IR). x+ y 0,5 5 = + ud f mit der C. Tabellarisiere Sie die Fuktioe f ud f jeweils für x [ 3;5] mit x = auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet. Zeiche Sie soda die Graphe zu f ud f i ei Koordiatesystem. Für die Zeichug: Lägeeiheit cm; 4< x < 6; 4< 6 P x+ x C. Pukte A(x 0,5 + 5) auf dem Graphe zu f ud Pukte C(x 0,5 + 3) auf dem Graphe zu f sid Eckpukte vo Raute A B C D. Die Pukte A ud C habe jeweils dieselbe Abszisse x, ud die y-koordiate der Pukte A ist jeweils größer als die y-koordiate der Pukte C. Außerdem gilt: BD = 4LE. Zeiche Sie die Raute A B C D für x = ud die Raute A B C D für x = 3 i das Koordiatesystem zu.. ei. C.3 Ermittel Sie recherisch auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet, für welche x-werte der Pukte A es Raute A B C D, wie i. festgelegt, gibt. P C.4 Bestimme Sie durch Rechug die Koordiate der Diagoaleschittpukte M der Raute A B C D i Abhägigkeit vo der Abszisse x der Pukte A. C.5 Uter de Raute A B C D gibt es ei Quadrat A 0 B 0 C 0 D 0. Bereche Sie die Koordiate des Eckpuktes C 0. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) C.6 Gebe Sie das Itervall für die mögliche Flächeihalte der Raute A B C D a. P

8 Seite 8 vo 9 Prüfugsdauer: Abschlussprüfug Miute a de Realschule i Bayer Mathematik I Nachtermi Aufgabe C C.0 Die Pukte A(0 0), B(8cos ε 4si ε ), C(9 3) ud D sid die Eckpukte vo Drachevierecke AB CD mit AC als Symmetrieachse. Es gilt: ε [0 ; 90 ]. C. Bereche Sie die Koordiate der Eckpukte B für ε = 30 ud B für ε = 60 auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet. Zeiche Sie soda die Drachevierecke AB CD ud AB CD i ei Koordiatesystem. Für die Zeichug: Lägeeiheit cm; < x < 0; 4< 6 P C. Bereche Sie die Koordiate der Eckpukte D i Abhägigkeit vo ε. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) [Ergebis: D (6,40cos ε,40si ε 4,80cos ε+ 3,0si ε ) ] C.3 Der Eckpukt D 3 des Drachevierecks AB 3 CD 3 liegt auf der Wikelhalbierede w des I. ud III. Quadrate. Bereche Sie die Koordiate des Eckpuktes B 3. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) C.4 Bereche Sie de Flächeihalt A(ε) der Drachevierecke AB CD i Abhägigkeit vo ε. Bereche Sie soda auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet das Wikelmaß für das Dracheviereck AB 0 CD 0 desse Flächeihalt maximal ist. Gebe Sie de maximale Flächeihalt a. [Teilergebis: A( ε ) = (4cos ε+ 36si ε ) FE ] C.5 Nebe de Drachevierecke AB CD gibt es als Soderfall das Dreieck B 4 CD 4. Bereche Sie das zugehörige Wikelmaß ε auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet.

9 Seite 9 vo 9 Prüfugsdauer: Abschlussprüfug Miute a de Realschule i Bayer Mathematik I Nachtermi Aufgabe C 3 C 3.0 Eie Gärterei plat eie Glaspavillo als Ausstellugsraum für Pflaze. Er soll aus eiem Quader ABCDEFGH ud eiem pyramideförmige Dach EFGHS bestehe. Die Grudfläche ABCD ist quadratisch mit der Seiteläge AB = 0 m. Die Höhe des Quaders beträgt 6 m. Der Pukt M ist der Diagoaleschittpukt des Quadrats ABCD. Der Pukt N ist der Diagoaleschittpukt des Quadrats EFGH. Die Gesamthöhe des Pavillos beträgt MS = 0 m. C 3. Zeiche Sie ei Schrägbild des Pavillos im Maßstab :00. Dabei soll [AB] auf der Schrägbildachse liege. Für die Zeichug: q = ; ω= 45 Bereche Sie soda das Maß ε des Wikels NES auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet. [Teilergebis: ε = 9,50 ] C 3. Pukte P auf der Kate [ES] werde mit dem Pukt N zu Verstrebuge [NP ] verbude. Die Wikel P NE besitze das Maß ϕ mit 0 <ϕ< 90. Zeiche Sie eie beliebige Verstrebug [NP ] i das Schrägbild zu 3. ei. Zeige Sie soda, dass für die Läge der Verstrebuge [NP ] i Abhägigkeit vo ϕ auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet gilt: 3, 48 NP ( ϕ ) = m. si( ϕ+ 9,50 ) C 3.3 Die durch die Verstrebuge [NP ] etstehede Dreiecke ENP werde zur Dekoratio mit Stoff bespat. Bereche Sie de Flächeihalt A(ϕ) der Dreiecke ENP i Abhägigkeit vo ϕ auf zwei Stelle ach dem Komma gerudet.,30 si ϕ [Ergebis: A( ϕ ) = m ] si( ϕ+ 9,50 ) C 3.4 Ermittel Sie de Flächeihalt des Stoffdreiecks, das ma erhält, we die kürzestmögliche Verstrebug [NP 0 ] eigebaut wird. C 3.5 Das Dreieck ENP bedeckt 60% der Fläche des Dreiecks ENS. Bereche Sie das zugehörige Wikelmaß ϕ. (Auf zwei Stelle ach dem Komma rude.) P