Kapitel 5.1: Kollektiventscheidungen 1

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1 1 Diese Folien dienen der Ergänzung des Vorlesungsstoffes im Rahmen der Vorund Nachbereitung. Sie stellen kein Skript dar; es wird keine Gewähr für Richtigkeit und/oder Vollständigkeit übernommen. Kapitel 5.1: Kollektiventscheidungen 1 Dr. Jörg Franke Technische Universität Dortmund Sommersemester 2010

2 : Entscheidung: Unsichtbare Hand des Wettbewerbsmarktes wählt bestimmte Allokation aus allen erreichbaren Allokationen aus Kollektiv: Marktgleichgewicht ist Ergebnis von dezentralen, freiwillig vorgenommenen Transaktionen aller Marktteilnehmer Marktgleichgewicht hat erwünschte Eigenschaft der Pareto-Effizienz (1. Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie) Marktprozess interpretierbar als Kollektiventscheidung: Auswahl einer bestimmten wünschenswerten Alternative aus Alternativenmenge 1 / 21

3 Markt und Präferenzaggregation Konsumenten (Präferenzen): u 1, u 2,..., u n Markt als Aggregationsmechanismus Marktgleichgewicht: Allokation x Weitere gegebene Parameter: Erstausstattung (Ressourcen) Technologie 2 / 21

4 Interpretation des Marktprozesses: Black Box, die Präferenzen über Allokationen aggregiert Marktgleichgewicht ist damit vom Kollektiv gewünschte Allokation Notwendige Voraussetzung: Präferenzen der Konsumenten erlauben Vergleich zweier beliebiger alternativer Allokationen Theorie der Kollektiventscheidung (Social Choice Theory) Aggregation der individuellen Präferenzen zu einer sozialen Präferenz, bzw. kollektiven Nutzenfunktion, genannt Wohlfahrtfunktion Existieren solche sozialen Präferenzen, respektive en? Welche Eigenschaften haben diese? 3 / 21

5 Wo kann man kollektive Präferenzen beobachten und welche Form nehmen sie an? Kollektive Präferenzen beeinflusst durch: Charismatische Führer: Ahmadinedschad Diktatoren: Kim Jong Il Experten: Günter Netzer, Paul Kirchhof Öffentliche Meinung: Bildzeitung Kulturelle, religiöse, sonstige Kriterien: Wertegesellschaft Demokratische Gesellschaft trifft letztendlich (direkt oder indirekt) kollektive Entscheidung durch Wahlverfahren bzw. Abstimmungen. Wahlverfahren fungiert als Aggregationsmechanismus 4 / 21

6 Generelle Fragen der Social Choice Theory: Lassen sich durch Abstimmungsverfahren rekonstruieren? Welche wünschenswerte Eigenschaften sollten en und Aggregationsmechanismen generell aufweisen? Führen (bestimmte) Wahlverfahren zu pareto-effizienten Allokationen? Falls ja, unter welchen Bedingungen? Notwendige Voraussetzung der Analyse: Definition einer 5 / 21

7 1. en Beschränkung auf ökonomisches Allokationsproblem Aus gesellschaftlicher Perspektive: Wahlproblem über alle erreichbare Allokationen x X : N = 1,..., n Mitglieder einer Gesellschaft L = 1,..., l private Güter Allokation: x = {x 1,..., x n } = {(x 11,..., x 1l ),..., (x n1,..., x nl )} W evaluiert soziale Gewünschtheit der Alternative x: W X R Interpretation: Allokation x ist sozial besser als x falls W (x) > W (x ). 6 / 21

8 Wegen Vergleichbarkeit mit Marktmechanismus (und aufgrund demokratischer Fundierung) sollte von der Evaluation jedes Individuums bzgl. Allokation x abhängen: Individuum i zieht Nutzen u i (x i ) = u i (x i1,..., x ni ) aus Allokation x. W sollte individualistisch sein: Aus gesellschaftlicher Perspektive: Wahlproblem über alle erreichbare Allokationen x X : W = W (u 1,..., u n ) = W (u 1 (x 1 ),..., u n (x n )) = W u (x) Kollektiventscheidung interpretierbar als Maximierung einer. 7 / 21

9 Anforderungen an W : W sollte individualistisch sein. W sollte Pareto-Optimalität erfüllen. Formal: Für zwei Alternative x und x sollte gelten: u 1 (x 1 ) u 1 (x 1) u n (x n ) u n (x n)... W u (x) W u (x ) Implikation: W erfüllt Pareto-Optimalität, wenn gilt: W u i > 0. Je höher der Nutzen für ein Individuum (ceteris paribus), desto höher die Wohlfahrt der Gesellschaft. 8 / 21

10 Satz Eine Allokation x, die eine individualistische W u (x) maximiert, ist pareto-effizient. Konsumenten (Präferenzen): u 1, u 2,..., u n : max x W u (x) Allokation x 9 / 21

11 Beweisskizze (für Tauschökonomie ohne Produktion) max x W (u 1 (x 1 ),..., u n (x n )) NB: n i=1 x ij = n i=1 x ij für alle j L B.1.O.: u i x ij u i = x ik u i x i j u i x i k für alle i, i N; j, k L B.1.O. entspricht Marginalbedingung für Pareto-Optimum: GRS i jk = GRS i jk für alle i, i N; j, k L 10 / 21

12 Frage: Welches Pareto-Optimum wird ausgewählt? abhängig von der Spezifikation der W und damit von gesellschaftlichen Wertvorstellungen Beispiele für spezifische en: utilitaristische : W U u (x) = n i=1 u i(x i ) egalitaristische : W E u (x) = max x X min i N u i(x i ) u j (x j ) egalitäre Allokation Pareto-effiziente Allokationen (PA) x E Isonutzensummenlinie x U u i (x i ) 11 / 21

13 2. Abstimmungsverfahren: Das Gesellschaft definiert wie zuvor: N = {1,..., n} Individuen Präferenzen über Güterallokationen repräsentiert durch Nutzenfunktion u i (x i ) für alle i = 1,... n Abstimmung erfolgt (paarweise) über erreichbare Allokationen (Alternativen) x X Das : Alternative x gesellschaftlich bevorzugt gegenüber x, falls Mehrheit der Individuen für x anstatt x votiert. induziert gesellschaftliche Präferenz über alternative Allokationen. 12 / 21

14 Definition () Das definiert gesellschaftliche (soziale) Präferenzen derart, daß für zwei Alternative (Allokationen) x und x gilt: x M x # {i u i (x i ) > u i (x i )} # {i u i (x i ) > u i (x i )} x M x # {i u i (x i ) > u i (x i )} > # {i u i (x i ) > u i (x i )} Eigenschaften der Relation M : a) Relation M erfüllt Pareto-Optimalität: Falls u i (x i ) u i (x i ) für alle i N, so gilt: x M x, da # {i u i (x i ) > u i (x i )} [0, n] # {i u i(x i ) > u i(x i )} = / 21

15 Fortsetzung: Eigenschaften der Relation M : b) Relation M ist vollständig, d.h. für zwei beliebige Alternative gilt: entweder x M x oder x M x. c) Relation M ist intransitiv (nicht transitiv): Aus x M x und x M x folgt nicht (unbedingt) x M x. Bemerkung: Eigenschaft c) ist problematisch, da folgende Situation (intransitiver Zykel) auftreten kann: x M x M x M x Intransitiver Zykel (Condorcet-Paradoxon) sogar möglich, falls Präferenzen aller Individuen transitiv! 14 / 21

16 Beispiel: Intransitiver Zykel mit transitiven individuellen Präferenzen Demokratische Familie: Vater V, Mutter M, Kind K haben Präferenzen über Alternativen Spielplatz S, Basteln B und Mittagsschlaf MS: Vater V : Mutter M: Kind K: MS V S V B B M MS M S S K B K MS Familienentscheidung durch paarweise Abstimmungen: MS vs. S 2:1 MS S S vs. B 2:1 S B B vs. MS 2:1 B MS Resultat: Intransitiver Zykel MS S B MS 15 / 21

17 Condorcet-Paradox hat politische Relevanz: Reform des Abtreibungsrechts 218 (1974): Zur Abstimmung standen 3 Alternativen: A = status quo (keine Änderung des restriktiven 218) B = Indikationslösung (Abtreibung bei Vorliegen bestimmter Gründe) C = Fristenlösung (generelle Erlaubnis innerhalb zeitlicher Fristen) Verteilung der Präferenzen: 3 ungefähr gleich starke Gruppen: 1. Gruppe ( Konservative ): u 1 (A) > u 1 (B) > u 1 (C) 2. Gruppe ( Gemäßigte ): u 2 (B) > u 2 (C) > u 2 (A) 3. Gruppe ( Progressive ): u 3 (C) > u 3 (A) > u 1 (B) 16 / 21

18 Abstimmungsmodalitäten: 1. Einfache Mehrheitswahl: Keine Alternative bekommt Mehrheit, da 3 Gruppen gleich stark. 2. Paarweise Abstimmungen: 3 mögliche Reihenfolgen A vs. B: 2:1 A gewinnt; A vs. C 1:2 C gewinnt C ist Gewinner B vs. C: 2:1 B gewinnt; B vs. A 1:2 A gewinnt A ist Gewinner A vs. C: 1:2 C gewinnt; C vs. B 1:2 B gewinnt B ist Gewinner Bemerkung: Vorliegen eines Intransitiver Zykels! 17 / 21

19 Fazit: Die Alternative über die nicht in ersten Abstimmung abgestimmt wurde, gewinnt. Gewinner bestimmt durch Reihenfolge der Abstimmungen Geschäftsordnungsproblem: Derjenige, der Geschäftsordnung festsetzt, kann indirekt Gewinner bestimmen! Intransitiver Zykel liegt nur bei bestimmten Konstellationen vor. Frage: Vorliegen eines intransitiven Zykels bei ökonomischen Allokationsproblemen wahrscheinlich? 18 / 21

20 Ökonomisches Allokationsproblem (ohne Produktion): 100 EU sind durch Abstimmung auf 3 Personen aufzuteilen. Alle Alternativen (x 1, x 2, x 3 ) mit x 1 + x 2 + x 3 = 100 sind zugelassen (Pareto-Prinzip erfüllt!). 1 schlägt Koalition aus 1 und 2 vor: x 12 = (51, 49, 0) 3 schlägt Koalition aus 2 und 3 vor: x 23 = (0, 51, 49) 1 schlägt Koalition aus 1 und 3 vor: x 13 = (49, 0, 51) 2 schlägt Koalition aus 1 und 2 vor: x 12 = (51, 49, 0) Verteilungsproblem hat Struktur des Condorcetparadox: 1: x 12 1 x 13 1 x 23 2: x 23 2 x 12 2 x 13 3: x 13 3 x 23 3 x / 21

21 Hinweis: Es gibt keine Allokation, die gegen diese Art von Koalitionsbildung immun ist Folge: Es gibt keinen Condorcet-Gewinner, d.h. keine Alternative die in paarweiser Abstimmung gegen alle anderen Allokationen gewinnt. Bei gleichwahrscheinlich verteilten Präferenzordnungen ist Wahrscheinlichkeit eines Condorcet-Zykels relativ gering. Für Verteilungs- und Allokationsprobleme ist Wahrscheinlichkeit eines Condorcet-Zykels (wie gesehen) relativ hoch! 20 / 21

22 und Vorliegen von Condorcet-Zykeln impliziert Nicht-Existenz der W M die repräsentiert: Beispiel: Demokratische Familie MS vs. S 2:1 W M u (MS) > W M u (S) S vs. B 2:1 W M u (S) > W M u (B) B vs. MS 2:1 W M u (B) > W M u (MS) Resultat: Es gibt keine Funktion W M u, die diese 3 Ungleichungen erfüllen kann! Generelle Frage: Existiert überhaupt ein Verfahren (Aggregationsregel) basierend auf individuellen Präferenzen, daß eine soziale und transitive Präferenzordnung erzeugt? 21 / 21