Für die Abhängigkeit der Freiheitsgrade von der Zahl der Komponenten und der Phasen eines Systems existiert die Gibbs sche Phasenregel: F = K P + 2

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1 hasengleichgewichte Definitionen: hase: Homogener Raumbereich, innerhalb dessen sich keine physikalische Größe (z.b. Dichte, Zusammensetzung, emperatur...) sprunghaft ändert. Das Berührungsgebiet zweier hasen wird als hasengrenzfläche bezeichnet, beim Übergang zwischen zwei hasen erfolgt in der Regel eine sprunghafte Änderung bestimmter physikalischer Größen. Möglichkeiten für verschiedene hasen: Gase: Da sich alle Gase vollständig miteinander mischen lassen, kann es in jedem System nur maximal eine Gasphase geben. Flüssigkeiten: Miteinander vollständig mischbare Flüssigkeiten geben eine hase (z.b. Essigsäure und Wasser), nicht vollständig mischbare Flüssigkeiten mehrer hasen (z.b. Wasser und Chloroform) Feststoffe: Jeder Feststoff mit einer eigenen Gitterstruktur bildet eine hase (z.b. sind CuSO 4 5 H O und CuSO 4 wasserfrei zwei unterschiedliche feste hasen. Komponente: Unabhängig veränderbarer stofflicher Bestandteil einer hase, d.h. bei hasen, in denen die Einzelstoffe nicht miteinander reagieren, sind die Einzelstoffe die Komponenten; wenn Reaktionen (Gleichgewichte) vorliegen, muss die Zahl der Einzelstoffe (eilchenarten) um die Zahl der unabhängigen im System vorliegenden Gleichgewichtsreaktionen vermindert werden. Freiheitsgrade: Zahl der für ein System unabhängig voneinander veränderbaren Variablen. Unabhängig heißt hierbei, dass die Variable verändert werden kann, ohne dass dies die Veränderung einer weiteren Variablen unter Änderung der Zahl der hasen oder der Zusammensetzung bewirkt. Für die Abhängigkeit der Freiheitsgrade von der Zahl der Komponenten und der hasen eines Systems existiert die Gibbs sche hasenregel: F = K + Herleitung: Als Variablen des Systems werden emperatur, Druck und die Molenbrüche der einzelnen Komponenten betrachtet. Damit ergeben sich: - zwei Variablen für emperatur und Druck - n Variablen für die Molenbrüche der Komponenten, da die n-te Variable durch die n Bedingung x = festgelegt ist i= i Für jede hase müssen die obigen Variablen deklariert werden. Damit ergeben sich zunächst (K + ) = (K + ) Gleichungen. Jedoch sind im hasengleichgewicht die Variablen über die folgenden Bedingungen miteinander verknüpft: Für alle Vergleiche zwischen zwei hasen und gilt µ i = = = µ i Das ergibt für hasen für jede der obigen Bedingungen Gleichungen, also mit K Komponenten, für die die Bedingung über die Gleichheit der chemischen otenziale

2 formuliert wird, insgesamt (K + )( ) Gleichungen. Diese Gleichungen beschränken die Zahl der Freiheitsgrade wieder. Es gilt also für die Gesamtzahl F der Freiheitsgrade: F = (K + ) (K + )( ) = K + Anschaulich ergibt sich die Zahl der Freiheitsgrade z.b. in einem hasendiagramm, das in seiner einfachsten, zweidimensionalen Form für einen reinen Stoff eine Darstellung der Dampf- und Schmelzdruckkurven () des Stoffes ist. Es gilt nach der Gibbs schen hasenregel mit K = zunächst F = 3. Somit können innerhalb eines Einphasengebietes (fest, flüssig oder gasförmig) sowohl Druck als auch emperatur innerhalb bestimmter Grenzen frei festgelegt werden, ohne dass es zu einer Änderung der Zahl der hasen kommt, es ist F = 3 = (divariantes System). Für ein Zweiphasengebiet, das durch die entsprechenden Druckkurven bestimmt wird, ist mit der Wahl einer der beiden Variablen und bereits auch der Wert der anderen festgelegt, F = 3 = (univariantes System), und für ein Dreiphasengebiet (den ripelpunkt) ist gar keine der Variablen mehr frei wählbar, F = 0 (invariantes System). Clausius-Clapeyron-Gleichung Der Anstieg der Dampf- und Schmelzdruckkurven (Koexistenzlinien) lässt sich wie nachfolgend hergeleitet ausdrücken: Zunächst gilt im hasengleichgewicht zwischen den hasen und µ = µ Für ein zeitlich währendes Gleichgewicht muss weiter gelten, dass sich eintretende Änderungen des chemischen otenzials in beiden hasen kompensieren: dµ = dµ Da das chemische otenzial nichts anderes als die molare freie Enthalpie (in Mischphasen die partielle molare freie Enthalpie) ist, kann sein Differential durch das totale Differential für die freie Enthalpie als Funktion von Druck und emperatur ersetzt werden: d d d + = + d Mit der gibbs'schen Fundamentalgleichung G dg = folgt : S und damit S V d + V S V = hasenübergang hasenübergang G d + d d S = V d d d = S d + V d d = Sd + Vd Diese Gleichung wird als Clausius-Clapeyron-Gleichung bezeichnet. Sie gilt für zwei koexistierende hasen gleicher emperatur und gleichen Drucks. Da die im Gleichgewicht Qrev. ablaufenden rozesse reversibel sind, gilt für die Entropieänderung S =, und mit d = 0 kann man Q rev. = setzen. Damit ergibt sich

3 d = V d Der Anstieg der Koexistenzlinien im hasendiagramm hängt also von der hasenübergangs- Enthalpie, von der Änderung des molaren Volumens beim hasenübergang und von der dabei herrschenden emperatur ab. Dies macht zunächst einige qualitative Aussagen zum Verlauf der Koexistenzlinien in hasendiagrammen möglich: - hasenübergang fest flüssig: Es tritt eine relativ geringe Volumenänderung bei demgegenüber hoher Schmelzenthalpie auf. Die Kurve verläuft deshalb recht steil. Bei einigen Stoffen wie Wasser oder Bismut ist der Anstieg der Kurve negativ, da beim Schmelzen hier eine Volumenverringerung eintritt. - ripelpunkt Am ripelpunkt liegen alle drei hasen im Gleichgewicht vor. Es kann deshalb nicht eindeutig unterschieden werden, ob ein Sublimationsvorgang direkt oder über die Zwischenstufe der flüssigen hase abläuft. Deshalb gilt: Subl. H = Schm. H + Verd. H Die Sublimationsenthalpie ist also im ripelpunkt immer größer als die Verdampfungsenthalpie. Demgegenüber gilt für die Volumenänderung in beiden Fällen, dass das Volumen der kondensierten hasen klein gegenüber dem Volumen der Gasphase ist, sodass in guter Näherung V VGas gesetzt werden kann. Damit ist in beiden Fällen der Nenner des Ausdrucks für den Anstieg gleich, der Zähler für den Sublimationsvorgang aber größer, sodass der der Anstieg der Koexistenzlinie nahe dem ripelpunkt für die Sublimation immer größer als für die Verdampfung sein wird. - hasenübergänge fest gasförmig und flüssig gasförmig Wie oben angeführt, kann die Volumenänderung beim Übergang in die Gasphase näherungsweise dem Gasvolumen gleichgesetzt werden. Wird das Gas dazu noch als ideal betrachtet, kann das Volumen nach der allgemeinen Gasgleichung durch Druck und emperatur ersetzt werden: d = = = d V V R 0 d = d R d ln 0 = 0 = R d R 0 Gas R 0 = 0 e Dabei wurde während der Integration vorausgesetzt, dass die Enthalpieänderung temperaturunabhängig ist. Kolligative Eigenschaften Bisher wurden nur die hasengleichgewichte reiner Stoffe betrachtet. Die hasengleichgewichte zwischen einer Mischphase und einer reinen hase weisen demgegenüber einige neue Effekte auf, die von der Zusammensetzung der Mischphase

4 abhängen. Hängen diese Effekte nur von der Anzahl der in der Mischphase befindlichen eilchen ab, und nicht von ihrer Art, so spricht man von kolligativen Eigenschaften. Im folgenden werden die drei wichtigsten kolligative Eigenschaften diskutiert: Osmotischer Druck Ermöglicht man zwischen zwei verschiedenen, miteinander vollständig mischbaren Mischphasen mit unterschiedlicher Zusammensetzung (z.b. NaCl-Lösung und Zuckerlösung) den Stoffaustausch, so wird sich das aus beiden Mischphasen bestehende Gesamtsystem mit der Zeit homogenisieren, d.h. die Zusammensetzung wird letzten Endes in beiden vorher getrennten Bereichen dieselbe sein. Dies entspricht der Gleichgewichtsbedingung für Mischphasen, dass die chemischen otenziale der Komponenten überall gleich sein müssen. Nimmt man nun ein System, das z.b. aus einer hase reinen Wassers und einer Kochsalzlösung besteht, die durch eine nur für Wassermoleküle, nicht aber für Ionen durchlässige (semipermeable) Membran voneinander getrennt sind, so kann ein Konzentrationsausgleich nur durch den Übergang von Wasser in die Kochsalzlösung einsetzen. Da aber keine Ionen in der anderen Richtung durch die Membran dringen, ist ein vollständiger Konzentrationsausgleich unmöglich, sodass theoretisch das reine Wasser bis zur unendlichen Verdünnung in die Salzlösung eindiffundieren müsste. Dies geschieht nicht, stattdessen erfolgt der Übergang des Wassers nur bis zu einem bestimmten Überdruck, den die Salzlösung gegenüber dem reinen Wasser aufbaut. Dieser Überdruck wird als osmotischer Druck bezeichnet, der Durchgang von eilchen durch eine semipermeable Membran heißt Osmose. Eine gute Möglichkeit zur Veranschaulichung des osmotischen Drucks ist die sog. feffersche Zelle. Um quantitative Aussagen zum osmotischen Druck in Abhängigkeit von der Zusammensetzung der Mischphase zu erhalten geht man von der thermodynamischen Gleichgewichtsbedingung aus. Sie lautet: m µ (,) = µ ( + Π,a) Dabei bezeichnet der Index das Lösungsmittel, der Index im folgenden den gelösten Stoff. Der steht für die reine hase, das m für die Mischphase. Die chemischen otenziale sind von Druck und Aktivität der Stoffe abhängig, in der reinen hase herrscht der Druck, die Aktivität ist definitionsgemäß, in der Mischphase ist der Druck um den osmotischen Druck Π erhöht, die Aktivität a ist verschieden von. Da sich das chemische otenzial eines Stoffes in einer Mischphase aus dem chemischen otenzial des Reinstoffes und dem Molenbruch in der Mischung berechnen lässt, gilt: µ ( ) = µ ( + Π ) + R ln a ( + Π ) Man beachte, dass die Druckangaben in Klammern keine Faktoren sind, sondern eine funktionale Abhängigkeit darstellen! Mathematisch kann man diese Abhängigkeit darstellen, indem man die rechte Seite nach differenziert und danach in den Grenzen von 0 bis und von bis + Π wieder nach integriert. Die Integration von 0 bis ergibt die entsprechenden Werte für den Druck, die Integration von bis + Π die Änderung für die Druckerhöhung auf + Π. +Π +Π µ = µ + ln a + + () () d Rln a () R d +Π +Π = lna R lna () d R d Um das rechte Integral umzuformen, geht man nun von der Definition des chemischen otenzials bei der Aktivität a aus:

5 R lna () = µ µ () = µ () + Rln a () () µ () und differenziert nach : ln a R = Der Ausdruck im Integral kann somit durch die obenstehende Beziehung ersetzt werden: +Π +Π R ln a () = d ( )d +Π R ln a () = d Die Ableitung des chemischen otenzials (also der partiellen molaren freien Enthalpie) nach dem Druck bei konstanter emperatur ist entsprechend der gibbs schen Fundamentalgleichung für G gleich dem partiellen molaren Volumen des Lösungsmittels in der Lösung: +Π Rlna() = V d Das partielle molare Volumen kondensierter hasen kann näherungsweise als druckunabhängig angesehen werden, sodass sich nach Durchführung der Integration die folgende Formel für den osmotischen Druck ergibt: R ln a () = V ( + Π ) R ln a() Π = V Für ideal verdünnte Lösungen, d.h. für einen kleinen Molenbruch x des gelösten Stoffes, können noch einige Vereinfachungen vorgenommen werden: - die Aktivität a kann durch die Molenbrüche x bzw. x ersetzt werden - ln ( x ) kann in eine otenzreihe entwickelt werden, bei Abbruch der Reihe nach dem ersten Glied ergibt sich als Näherung x - das molare Volumen des Lösungsmittels ist annähernd gleich dem molaren Volumen des reinen Lösungsmittels, also V = V - der Molenbruch x = n / (n + n ) ist näherungsweise gleich n / n - v = n V ist annähernd das Gesamtvolumen der Lösung (d.h. der Beitrag des gelösten Stoffes zum Gesamtvolumen ist vernachlässigbar klein) Für die ideal verdünnte Lösung gilt also: R R n R n x Π id = = = = cr V V n v Diese Beziehung wurde bereits im 9. Jahrhundert von van t Hoff gefunden. Sie zeigt nochmals, dass der osmotische Druck eine kolligative Eigenschaft ist, denn er hängt nur von der Konzentration des gelösten Stoffes, nicht von seiner chemischen Natur, ab.

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