Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten

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1 Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten Übung 4: Free Statonerung (Koordnatentransformaton) und Flächenberechnung nach Gauß Mlo Hrsch Hendrk Hellmers Floran Schll Insttut für Geodäse Fachberech 13

2 1 Aufgabenbeschrebung 1.1 Free Statonerung De Bestmmung von Punktkoordnaten m (übergeordneten) Koordnatensystem der Festpunkte (bekannte Punkte) erfolgt n der Regel mt dem Polarverfahren. Herbe wrd en Tachymeter auf enem berets koordnatenmäßg bekannten Festpunkt aufgestellt und anschleßend de Horzontalrchtungen und -strecken zu den Neupunkten gemessen. Be deser Vorgehenswese st man jedoch bezüglch der Aufstellung des Tachymeters mmer an de berets vorhandenen Festpunkte gebunden. Oft st aber ene free Standpunktwahl (=Free Statonerung) für ene effzente Koordnatenbestmmung unumgänglch. Gründe herfür snd vor allem free Schten zu den Neupunkten und möglchst verkehrsschere Instrumentenstandpunkte. Im Gegensatz zur oben beschrebenen Verfahrenswese be der Neupunktbestmmung muss be der Freen Statonerung zuvor noch de Bestmmung des fre gewählten Tachymeterstandpunktes m Koordnatensystem der Festpunkte erfolgen. Dazu müssen neben den Tachymetermessungen zu den Neupunkten auch Horzontalrchtungen und -strecken zu mndestens zwe koordnatenmäßg bekannten Festpunkten gemessen werden. Mt desen Messungen kann man über de. Geodätsche Hauptaufgabe kartessche Koordnaten m (lokalen) Koordnatensystem des Tachymeters berechnen. Anschleßend legen für de Festpunkte zwe Sätze von kartesschen Koordnaten vor: Zum enen m lokalen und zum anderen m übergeordneten System. 1. Koordnatentransformaton Wll man nun Koordnaten von Neupunkten m übergeordneten System bestmmen, müssen deren lokale Koordnaten n das übergeordnete System überführt (man sagt auch: transformert) werden. Für dese Koordnatentransformaton müssen wederum de Bezehungen zwschen beden Systemen, de durch sog. Transformatonsparameter beschreben werden, bekannt sen. Se snd zuglech de Unbekannten n den Transformatonsglechungen der Koordnatentransformaton. Wr werden uns m Folgenden auf de 4-parametrge Koordnatentransformaton, de sog. Ähnlchketstransformaton, beschränken und zunächst zegen, we man aus den n beden Systemen vorlegenden Koordnaten der Festpunkte de Transformatonsparameter bestmmen kann. Snd de Unbekannten n den Transformatonsglechungen berechnet, werden de lokalen Koordnaten der Neupunkte durch enfaches Ensetzen n übergeordnete Koordnaten (der Festpunkte) transformert. Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten 1

3 Vor ener Transformaton der Koordnaten muss de Transformatonsrchtung bestmmt werden. Des erfolgt mt den Bezechnungen Quell- bzw. Zelsystem. Es wrd mmer von der Quelle zum Zel transformert. In der Regel snd für uns dre Anwendungen relevant: Koordnatensystem 1 Koordnatensystem Anwendung Quellsystem (Y Q, X Q ) Zelsystem (, X Z ) Free Statonerung (Aufnahme) Free Statonerung (Absteckung) Trasserung lokales System des Tachymeters übergeordnetes System der Festpunkte lokales System der Trasserungselemente übergeordnetes System der Festpunkte lokales System des Tachymeters enhetlches Absteckkoordnatensystem 1.3 Flächenberechnung nach Gauß Mt der Gauß schen Flächenberechnung kann aus Koordnaten de engeschlossene Fläche berechnet werden, also bespelswese de Fläche enes enfachen Polygons. De Berechnung erfolgt n desem Fall durch Zerlegung der gesuchten Fläche n Trapeze. Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten

4 Ähnlchketstransformaton De Ähnlchketstransformaton m zwedmensonalen Fall besteht aus ver Parametern ( Translatonen, 1 Rotaton, 1 Maßstab). Zur endeutgen Lösung der daraus resulterenden ver Bestmmungsglechungen werden ver n beden Systemen bekannte Koordnatenwerte benötgt. Da jeder Festpunkt durch zwe Koordnatenwerte defnert wrd, werden zwe Festpunkte zur Lösung der Bestmmungsglechungen benötgt..1 Vsualserung der Transformatonsparameter De folgenden Abbldungen sollen zunächst de enzelnen Transformatonsparameter veranschaulchen (Abbldungen ), n der 4. Abbldung st dann de komplette Transformaton bestehend aus den ver enzelnen Transformatonsparametern dargestellt. In allen Abbldungen st das Quellsystem jewels n rot dargestellt das Zelsystem dagegen n schwarz. X Q X Z P X 0 Y Q Y 0 Abb..1: Translatonen (Y 0 und X 0 ) Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten 3

5 X Z X Q P Q P Z (X Z, ) (X Q,Y Q ) ε Y Q Abb..: Rotaton ɛ X Q X Z P Q (X Q,Y Q ) P Z (X Z, ) m X Z m Y Q Abb..3: Maßstab m Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten 4

6 Gegeben: Festpunkte: Gesucht: Punkt P (, X Z ) Punkt P1 ( 1, X Z 1 ) (Y Q 1, X Q 1 ) Punkt P (, X Z ) (Y Q, X Q ) Neupunkte: Punkt P (Y Q, X Q ) X Z ǁX Z X Q X Q P X Q P Y Q P ǁX Q Y Q P X Q P1 Y 0 Y Q P1 ε t Z 1, t Q 1, P P1 P X 0 Y Q Abb..4: Darstellung der kompletten Transformaton Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten 5

7 . Transformatonsglechungen = Y 0 + sn ɛ m X Q + cos ɛ m Y Q X Z = X 0 + cos ɛ m X Q sn ɛ m Y Q Unbekannte Transformatonsparameter Y 0, X 0, ɛ und m bestmmen 4 Bestmmungsglechungen notwendg, (=1,;... Festpunkt) 1 = Y 0 + m sn ɛ X Q 1 + m cos ɛ Y Q 1 X Z 1 = X 0 + m cos ɛ X Q 1 m sn ɛ Y Q 1 = Y 0 + m sn ɛ X Q + m cos ɛ Y Q X Z = X 0 + m cos ɛ X Q m sn ɛ Y Q.3 Berechnung der Transformatonsparameter 1. Falls erforderlch berechnen Se de kartesschen Koordnaten (Y Q, X Q aller Punkte aus den Polarkoordnaten r Q, sq : ) m Quellsystem Kontrollen: Y Q = s Q sn r Q X Q = s Q cos r Q r Q = arctan Y Q X Q s Q = Y Q + X Q. Berechnen Se jewels de Strecke zwschen den n beden Koordnatensystemen gegebenen Punkten (P 1 und P ): Quellsystem: s Q 1, Y = Q Q 1, + X Zelsystem: s Z 1, Y = Z 1, + X Z 1, Maßstab: m = Zelsystem Quellsystem = sz 1, (Angabe mt 7 Nachkommastellen!) Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten 6 1, s Q 1,

8 3. Berechnen Se jewels de Rchtungswnkel zwschen den n beden Koordnatensystemen gegebenen Punkten (P 1 und P ): Y Q Quellsystem: t Q 1, = arctan 1, X Q 1, Y Z Zelsystem: t Z 1, = arctan 1, X Z 1, Rotaton: ɛ = Zelsystem Quellsystem = t Z 1, tq 1, 4. Setzen Se de Rotaton ɛ und den Maßstab m n de Transformatonsglechungen en und lösen Se dese nach den Translatonen Y 0, X 0 auf: Kontrollen: Y 0 = 1 m sn ɛ X Q 1 m cos ɛ Y Q 1 X 0 = X Z 1 m cos ɛ X Q 1 + m sn ɛ Y Q 1 Y 0 = m sn ɛ X Q m cos ɛ Y Q X 0 = X Z m cos ɛ X Q + m sn ɛ Y Q Damt snd alle Parameter (Y 0, X 0, ɛ, m) n den Transformatonsglechungen bestmmt. De Translatonsparameter Y 0 und X 0 stellen dabe de Koordnaten des Standpunktes S m Zelsystem dar. Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten 7

9 .4 Koordnatentransformaton für de Punkte P Setzen Se de m Quellsystem (Y Q, X Q ) gegebenen Koordnaten der Punkte P n de Transformatonsglechungen en und berechnen Se de Koordnaten der Punkte P m Zelsystem (, X Z ). = Y 0 + m sn ɛ X Q + m cos ɛ Y Q X Z = X 0 + m cos ɛ X Q m sn ɛ Y Q Hnwes für ene effzentere Berechnung: De Produkte vor den Koordnaten (Y Q, X Q ) m Quellsystem n den obgen Transformatonsglechungen können n den beden Koeffzenten (Angabe mt 7 Nachkommastellen!) a = m cos ɛ und o = m sn ɛ zusammengefasst werden, des führt zu den verenfachten Formeln: = Y 0 + o X Q + a Y Q X Z = X 0 + a X Q o Y Q Kontrollen: m = a + o o und ɛ = arctan a Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten 8

10 3 Flächenberechnung aus Koordnaten nach Gauß De Gauß sche Flächenformel ermöglcht de Berechnung ener Polygonfläche aus den Koordnaten hrer Eckpunkte. Dabe werden Trapeze gebldet, de addert bzw. subtrahert werden. 3.1 Flächenberechnung m Trapez x 1 a 1 h x b F Trapez = 1 h (a + b) F Trapez = 1 (x 1 x ) (y 1 + y ) F Trapez = (x 1 x ) (y 1 + y ) Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten 9

11 3. Gauß sche Flächenformel x x x 1 1 x x 4 x x 3 3 y x 3 3 y Trapez 1: x 1, 1,, x Trapez : x,, 3, x 3 Trapez 3: x 4, 4, 3, x 3 Trapez 4: x 1, 1, 4, x 4 Zusammengefasst für alle 4 Trapeze, führt des zu: F = Trapez 1 + Trapez Trapez 3 Trapez 4 F = (x 1 x ) (y 1 + y ) + (x x 3 ) (y + y 3 ) (x 4 x 3 ) (y 4 + y 3 ) (x 1 x 4 ) (y 1 + y 4 ) Ausmultplzeren, Ordnen und Ausklammern führt zu: F = x (y +1 y 1 ) bzw. F = y (x +1 x 1 ) Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten 10

12 4 Übungsaufgaben /4 S 3 19 Abb. 4.1: Stuaton zu den Aufgaben G4.1 bs G4.3 Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten 11

13 Aufgabe G4.1 Berechnen Se mt den vorlegenden Messwerten (Polarkoordnaten: Horzontalstrecken s Q und Horzontalrchtungen r Q Q ) de kartesschen Koordnaten (Y, X Q ) der Grenzpunkte 1,, 3, 4 sowe der Festpunkte 17 und 19 m Quellsystem. Wenden Se dabe de Zwete Geodätsche Hauptaufgabe (polares Anhängen) an. Kontrolleren Se hre Ergebnsse, ndem Se aus den kartesschen Koordnaten (Y Q, X Q ) m Quellsystem weder Polarkoordnaten (sq, rq ) berechnen. Punkt Hz-Rchtungen Hz-Strecken r Q [gon] s Q [m] 17 56, , , , ,9546 5,896 63, , ,1453 7, , ,56 Formeln: Y Q X Q Kontrolle: r Q = s Q sn r Q = s Q cos r Q = arctan Y Q X Q (Quadrantenabfrage!) s Q = Y Q + X Q Aufgabe G4. Berechnen Se mt Hlfe der gegebenen Gauß-Krüger-Koordnaten der Festpunkte 17 und 19 de Koordnaten des Standpunktes S sowe der Grenzpunkte 1 bs 4 m Zelsystem (her: Gauß- Krüger-System). Punkt Rechtswert Y [m] Hochwert X [m] , , , , 376 Aufgabe G4.3 Berechnen Se mt Hlfe der Gauß-Krüger-Koordnaten der Grenzpunkte de Grenzlängen (s 1,, s,3, s 3,4, s 4,1 ) und de Fläche des Grundstücks 4/4. Verwenden Se für de Flächenberechnung das Verfahren nach Gauß. Führen Se dese Berechnungen ebenfalls mt den Koordnaten m Quellsystem durch. Verglechen Se de Ergebnsse m Zelsystem mt den Ergebnssen m Quellsystem und dskuteren Se dese. Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten 1

14 Aufgabe G S S Abb. 4.: Stuaton zur Aufgabe G4.4 De Fläche enes Grundstücks soll mt Hlfe der Koordnaten der Grenzpunkte 11,, 33 und 44 bestmmt werden. Zuvor müssen de noch unbekannten Koordnaten der Grenzpunkte aus Messungen von den Standpunkten S1 bzw. S berechnet werden. Aufgrund enes Schthndernsses können von kenem der beden Standpunkte alle ver Grenzpunkte angemessen werden (sehe Abb. 4.). Zusätzlch wurden von beden Standpunkten de Punkte 56 und 57 angemessen. 1. Transformeren Se de Punkte und 33 ns lokale Koordnatensystem des Standpunktes S1.. Berechnen Se de Fläche des Grundstückes mt den lokalen Koordnaten der Grenzpunkte 11,, 33 und 44 m Koordnatensystem des Standpunktes S1. 56 Standpunkt S1: Punkt Hz-Rchtungen Hz-Strecken r [gon] s [m] 56 8, , , , , , ,6699 3,567 Standpunkt S: Punkt Hz-Rchtungen Hz-Strecken r [gon] s [m] 56 05,414 41, ,58 64, , , ,5519 7,56 Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten 13