Teil IV. Schaltwerke

Transkript

1 Teil IV Schaltwerke 1

2 Teil IV.1 Flip Flops 2

3 Bistabile Kippstufe Ziel: Speichere Ausgabe einer Schaltung. Ansatz: Leite Ausgabe wieder als Eingabe in die Schaltung. x t & Q Q = x + P t + t t t y t & P P = y + Q t + t t t Ergebnis: Sei t die Laufzeit des Signals: Wenn das P Gatter zuerst schaltet: Q t+ t = x t + P t+ t, P t+ t = y t + Q t Wenn das Q Gatter zuerst schaltet: Q t+ t = x t + P t, P t+ t = y t + Q t+ t 3

4 Verhalten in mehreren Stufen P -Gatter schaltet zuerst: x t y t P t+ t = y t Q t Q t+ t = x t P t+ t P t+2 t = y t Q t+ t Q t+2 t = x t P t+2 t Q t Q t Q t Q t Q t Q-Gatter schaltet zuerst: x t y t Q t+ t = x t P t P t+ t = y t Q t+ t Q t+2 t = x t P t+ t P t+2 t = y t Q t+2 t P t P t P t P t P t Verhalten: Ausgabe schwingt nach 2 Takten ein. Eingabe (0, 0) führt immer zu Ausgabe P = Q = 1 Eingaben (0, 1) und (1, 0) führen zu P = Q (0, 1) setzt Q (set), (1, 0) löscht Q (reset). Für Eingabe (1, 1) gilt nur dann P t+ = Q t+, wenn P t = Q t, daher muß Eingabe (0, 0) ausgeschlossen werden. In diesem Fall gilt (1, 1) hält Q (hold). 4

5 RS Flip Flop Takt: C wird periodisch zwischen 0 und 1 geschaltet, bei 1 Aktion, bei 0 keine Aktion. Zwei Schritte (C t = 1, C t+ t = 0) entsprechen einem Takt. Set: S setzt den Ausgang Q auf 1. Reset: R setzt den Ausgang Q auf 0. Schaltung: mittels vorgeschaltetem NAND Gatter: S & & Q S Q C C & & Q R R Q 5

6 RS Flip Flop (cont.) Es gilt: x = SC y = RC Verhalten: Q t+2 t = x t + P t+ t = x t + y t Q t = SC + RCQ t = SC + ( R + C ) Q t = SC + ( ) RQ t + CQ t = C (S + RQ t ) + CQ t. Für C = 1: Q t+2 t = Q n+1 = S + (R Q n ), S R = 0 Für C = 0: Q t+2 t = Q n+1 = Q n 6

7 Wahrheitstabelle für RS Flip Flop R S Q n+1 Q n+1 Aktion 0 0 Q n Q n lesen setzen löschen nicht erlaubt 7

8 JK Flip Flop Problem: Verhindere, dass S R = S = R = 1 Lösung: Zwei neue Eingänge J, K und Rückkopplung von Ausgang Q. Schaltung: R n+1 = K Q n S n+1 = J Q n Q n+1 = S n+1 + (R n+1 Q n ) = J Q n + (K Q n Q n ) = J Q n + ((K + Q n ) Q n ) = J Q n + K Q n 8

9 Wahrheitstabelle für JK Flip Flop J K Q n Q n+1 S R Aktion lesen lesen löschen löschen setzen setzen invertieren invertieren R = S = 1 ist erfolgreich verhindert. 9

10 Spezialfall D Flip Flop Delay Flip Flop: Wie RS Flip Flop mit S = D, R = D; dadurch wird die verbotene Eingabe (1, 1) ausgeschlossen. Wahrheitstabelle: D Q n+1 Aktion 0 0 Speichere die Eingabe Speichere die Eingabe 1 10

11 Teil IV.2 Sequentielle Schaltungen 11

12 Beispiel: Register Parallele Eingänge: x 0, x 1, x 2, x 3 Serieller Eingang: x s Parallele Ausgänge: y 0, y 1, y 2, y 3 Takt T Schalter E: serielles Lesen (= 0), paralleles Lesen (= 1) Schalter A: durchschalten der Ausgänge (= 1), oder konstante Belegung mit 1 (= 0) 12

13 Sequentielle Maschine Mealy Automat M = (E, S, Z, δ, γ, s 0 ) Eingabealphabet: E B n e Ausgabealphabet: Z B n a Menge von Zuständen: S B n z Startzustand: s 0 S Übergangsfunktion: δ : E S S Ausgabefunktion γ : E S Z 13

14 Beispiel: JK Flip Flop Wahrheitstabelle: S = Q n E = J, K δ(s, e) = Q n+1 γ(s, e) = Q n Automat: 14

15 Beispiel: 2-Bit Register (I) Schaltung: 15

16 Beispiel: 2-Bit Register (II) Automat: 16

17 Beispiel: 1 Bit Addition Ziel: Serielle Addition von zwei (beliebig langen) Bitströmen Eingabealphabet: E = {00, 01, 10, 11} Ausgabealphabet: Summe Z = {0, 1} Zustände: Übertrag S = {0, 1} Startzustand: s 0 = 0 (kein Übertrag) Übergangsfunktion: siehe Übertrag in Volladdierer Ausgabefunktion: siehe Summe in Volladdierer 17

18 Beispiel: 1 Bit Addition (cont.) Automat Wahrheitstabelle c xy δ(c, x, y) γ(c, x, y)

19 Realisierung mit JK Flip Flop Übertrag: δ : E S S δ(c, x, y) = cxy + cxy + cxy + cxy = cxy + cx + cy = cxy + c(x + y) Für JK Flip Flop gilt: Q n+1 = J Q n + K Q n Substitution: Q n+1 = δ(c, x, y), Q n = c J = xy, K = x + y Summe: γ(c, x, y) = c x y Schaltung: 19

20 Beispiel: Modulo 6 Zähler Eingabealphabet: E = {0, 1} Ausgabealphabet: Summe Z = {000, 001, 010, 011, 100, 101} Zustände: S = Z Startzustand: s 0 = 000 Übergangsfunktion: δ(s, 1) = (S + 1) mod 6 δ(s, 0) = (S 1) mod 6 Ausgabefunktion: γ(s, E) = S 20

21 Automat für Modulo 6 Zähler Automat: Übergangstabelle: e q 0 q 1 q 2 δ 0 δ 1 δ

22 Realisierung mit RS Flip Flops Wahrheitstabelle für RS Flip-Flops: Q Q R S Eingesetzt in Übergangstabelle: e q 0 q 1 q 2 q 0 q 1 q 2 R 0 S 0 R 1 S 1 R 2 S

23 Realisierung mit RS Flip Flops (cont.) Ansteuergleichungen: mittels Karnaugh-Verfahren unter Ausnutzung der don t cares (*). R 0 = eq 0 q 2 + eq 0 q 2 = q 0 (e q 2 ) S 0 = e q 0 q 1 q 2 + eq 0 q 1 q 2 R 1 = eq 1 q 2 + eq 1 q 2 = q 1 (e q 2 ) S 1 = e q 0 q 1 q 2 + eq 0 q 2 R 2 = q 2 S 2 = q 2 23

24 Realisierung mit RS Flip Flops (cont.) Schaltung: q 0 q 1 q 2 S S S FF 0 FF 1 FF 2 T T T R R R e Takt 1 & & & & & & 24

25 Teil IV.3 Lineare Schaltkreise 25

26 Bausteine a) Addierer b) Skalarmultiplizierer c) Delay 26

27 Anwendung: Codierung Gegeben: Polynome a(x) = a 0 + a 1 x a k 1 x k 1 Ein festes Codierungspolynom h(x) = h 0 + h 1 x +... h n k x n k Berechne: Codierung: a(x) h(x) = f(x) = f 0 + f 1 x f n 1 x n 1 Decodierung: f(x)/h(x) = a(x) Schaltung für Multiplikation: 27

28 Wie funktionierts? Polynomkoeffizienten werden mit dem höchsten a k 1 beginnend der Reihe nach eingegeben. Die Delays sind mit Nullen vorbelegt. Schritt 1: O = f n 1 = a k 1 h n k d 0 = a k 1 Schritt 2: O = f n 2 = a k 2 h n k + d 1 h n k 1 = a k 2 h n k + a k 1 h n k 1 d 0 = a k 2, d 1 = a k 1 Schritt k: O = f n k = a 0 h n k + a 1 h n k a k 1 h n 2k+1 d 0 = a 0,..., d n k 1 = a k 1 Schritt k + 1: a i = 0 für i k O = f n k 1 = a 0 h n k a k 2 h n 2k+1 d 0 = 0,..., d n k 1 = a k 2 Schritt n k: O = f 0 = a 0 h 0 28

29 Beispiel für E = {0, 1} Codierungspolynom: h(x) = 1 x 3 x 4 x 5 Wg. E = B: Skalarmultiplikation entfällt, Addition: modulo 2 (xor) Schaltung: 29

30 Spiegelschaltung für Division Schritt 1 bis n k 1: O = 0 Schritt n k: O = f n 1 h 1 n k = a k 1 Schritt n k + 1: O = (f n 2 f n 1 h n k 1 h 1 )h 1 n k = a k 2. 30

31 Beispiel für E = {0, 1} Codierungsplynom: h(x) = 1 x x 4 Wg. E = B gilt: h i = h i, h n k = 1 Schaltung: 31