Skriptum zur Vorlesung Numerik Partieller Differentialgleichungen

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1 Skriptum zur Vorlesung Numerik Partieller Differentialgleicungen Walter Zulener Institut für Numerisce Matematik Joannes Kepler Universität Linz Wintersemester 24/5

2 Inaltsverzeicnis 1 Elliptisce Differentialgleicungen Randwertprobleme für gewönlice Differentialgleicungen 2. Ordnung Der Satz von Lax-Milgram Randwertprobleme für partielle Differentialgleicungen 2. Ordnung Konforme Finite-Elemente-Metoden Finite-Elemente-Metode für Randwertprobleme gewönlicer Differentialgleicungen Eigenscaften von K Der Diskretisierungsfeler Finite-Elemente-Metode für Randwertprobleme partieller Differentialgleicungen Iterationsverfaren für lineare Gleicungssysteme Das präkonditionierte Ricardson-Verfaren Präkonditionierung Krylov-Raum-Metoden Randwertprobleme für nictlineare elliptisce Differentialgleicungen Das Newton-Verfaren Finite-Differenzen-Metoden Finite-Volumen-Metoden Parabolisce Differentialgleicungen Anfangsrandwertprobleme für parabolisce Differentialgleicungen Semidiskretisierung: die vertikale Linienmetode Der Diskretisierungsfeler Runge Kutta Verfaren für Anfangswertprobleme gewönlicer Differentialgleicungen Die Eulersce Polygonzugmetode Die klassisce Konvergenzanalyse Die expliziten Runge-Kutta-Formeln Steife Differentialgleicungen und A-Stabilität Die impliziten Runge-Kutta-Formeln i

3 3 Hyperbolisce Differentialgleicungen Anfangsrandwertprobleme für yperbolisce Differentialgleicungen Runge-Kutta-Metoden für Anfangswertprobleme gewönlicer Differentialgleicungen 2. Ordnung Partitionierte Runge-Kutta-Metoden Literaturverzeicnis 15 ii

4 Kapitel 1 Elliptisce Differentialgleicungen 1.1 Randwertprobleme für gewönlice Differentialgleicungen 2. Ordnung Klassisce Formulierung (Beispiel): Gesuct ist eine Funktion u : [, 1] R, sodass die Differentialgleicung (a(x)u (x)) + b(x)u (x) + c(x)u(x) = f(x) x (, 1) oder kurz Lu(x) = f(x) x (, 1) mit dem linearen Differentialoperator L, gegeben durc und die Randbedingungen Lu(x) = (a(x)u (x)) + b(x)u (x) + c(x)u(x), u() = g, (1.1) a(1)u (1) = g 1 (1.2) für gegebene Daten a, b, c, f, g und g 1 erfüllt sind. Die Randbedingung (1.1) eißt Diriclet-Randbedingung (Randbedingung 1. Art), die Randbedingung (1.2) eißt Neumann-Randbedingung (Randbedingung 2. Art). Alle Ausdrücke sind z.b. für Lösungen u C 2 (, 1) C 1 (, 1] C[, 1) und Daten a C 1 (, 1) C(, 1], b, c, f C(, 1), g, g 1 R woldefiniert. Man sprict von klassiscen Lösungen. 1

5 Spezialfall (Modellproblem): Für a(x) 1, b(x), c(x) erält man: u (x) = f(x) x (, 1), u() = g, u (1) = g 1. Variationsformulierung: Sei v C 1 [, 1] eine so genannte Testfunktion mit v() =. Unter entsprecenden Integrabilitätsvoraussetzungen lassen sic folgende Scritte durcfüren: Multiplikation mit der Testfunktion v und anscließende Integration: 1 [ (a(x)u (x)) + b(x)u (x) + c(x)u(x)] v(x) dx = 1 f(x)v(x) dx Partielle Integration für den Hauptteil: a(x)u (x)v(x) a(x)u (x)v (x) dx [b(x)u (x)v(x) + c(x)u(x)v(x)] dx = Berücksictigung der Randbedingungen: g 1 v(1) a(x)u (x)v (x) dx [b(x)u (x)v(x) + c(x)u(x)v(x)] dx = Also: Gesuct ist eine Funktion u : [, 1] R mit u() = g, sodass 1 [a(x)u (x)v (x) + b(x)u (x)v(x) + c(x)u(x)v(x)] dx = f(x)v(x) dx f(x)v(x) dx f(x)v(x) dx + g 1 v(1) für alle Testfunktionen v : [, 1] R mit v() =. Wesentlice Randbedingung: u() = g wird explizit gefordert. Bedingt die entsprecende omogene Randbedingung für die Testfunktionen: v() =. Natürlice Randbedingung: a(1)u (1) = g 1 wird in der Variationsgleicung verarbeitet. 2

6 Funktionenräume Anforderungen an einen geeigneten Funktionenraum für die Lösung und die Testfunktionen: Ableitungen treten nur inter dem Integral auf: Scwace Ableitung 1 1 u (x)ϕ(x) dx = u(x)ϕ (x) dx für alle ϕ C (, 1). Die Existenz der Integrale (zumindest für bescränkte messbare Koeffizienten a, b, c und quadratisc integrierbare recte Seiten f L 2 (, 1)) ist gesicert für u, u, v, v L 2 (, 1). Also bietet sic als Arbeitsraum der Sobolev-Raum H 1 (, 1) an: H 1 (, 1) = {v L 2 (, 1) : v L 2 (, 1)}. Formulierung der wesentlicen Randbedingungen: Spuroperator: Lemma 1.1. Es gibt eine Konstante C > mit v() C v 1 für alle v C 1 [, 1]. Beweis. Aus erält man durc Integration v() = v(x) x v (y) dy v() = 1 v(x) dx 1 x Aus der Ungleicung von Caucy folgt v (y) dydx = 1 v(x) dx 1 (1 y)v (y) dy. v() ( 1 1/2 ( 1 ) 1/2 ( 1 ) 1/2 v(x) dx) 2 + (1 y) 2 dy v (y) 2 dy = v v v 1. Also ist der so genannte Spuroperator γ : C 1 [, 1] R mit γ v = v() stetig in der H 1 -Norm. Da C 1 [, 1] dict in H 1 (, 1) ist, gibt es eine eindeutige stetige Erweiterung von γ auf H 1 (, 1). In diesem Sinne ist der Ausdruck v() für alle v H 1 (, 1) woldefiniert. 3

7 Mit V = H 1 (, 1), V = {v V v() = }, V g = {v V v() = g } erält man die endgültige Formulierung des Variationsproblems: Gesuct ist u V g, sodass mit a(w, v) = F, v = 1 1 Alle Ausdrücke sind für Daten a(u, v) = F, v für alle v V [a(x)u (x)v (x) + b(x)u (x)v(x) + c(x)u(x)v(x)] dx, f(x)v(x) dx + g 1 v(1). a, b, c L (, 1), f L 2 (, 1), g, g 1 R woldefiniert. Lösungen eißen scwace (verallgemeinerte) Lösungen. Warnung: i. A. klassisce Lösung scwace Lösung Eine klassisce Lösung ist nur dann eine scwace Lösung, wenn die rictigen Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind. Umkerung: Sei u V g eine Lösung des Variationsproblems 1 [a(x)u (x)v (x) + b(x)u (x)v(x) + c(x)u(x)v(x)] dx = 1 f(x)v(x) dx + g 1 v(1) für alle v V. Nimmt man an, dass a stetig differenzierbar und u zweimal stetig differenzierbar ist, so erält man durc partielle Integration: Also a(x)u (x)v(x) (a(x)u (x)) v(x) dx [b(x)u (x)v(x) + c(x)u(x)v(x)] dx = a(1)u (1)v(1) + = 1 1 f(x)v(x) dx + g 1 v(1). 1 f(x)v(x) dx + g 1 v(1). [ (a(x)u (x)) + b(x)u (x) + c(x)u(x)]v(x) dx (1.3) 4

8 Wält man zunäcst Testfunktionen v C (, 1) (also mit v() = v(1) = ), so folgt 1 [ (a(x)u (x)) + b(x)u (x) + c(x)u(x)]v(x) dx = Da C (, 1) dict in C[, 1] ist, folgt 1 f(x)v(x) dx. (a(x)u (x)) + b(x)u (x) + c(x)u(x)]v(x) = f(x) für alle x (, 1). Aus (1.3) erält man dann a(1)u (1)v(1) = g 1 v(1). Da v(1) beliebig gewält werden kann, folgt die (natürlice) Randbedingung: Warnung: scwace Lösung a(1)u (1) = g 1. i. A. klassisce Lösung Eine scwace Lösung ist nur dann eine klassisce Lösung, wenn die rictigen Regularitätsbedingungen erfüllt sind. Beispiel: Sei x (, 1). Angenommen, a ist stetig differenzierbar auf [, x] und auf [ x, 1] und u ist zweimal stetig differenzierbar auf [, x] und auf [ x, 1]. Dann erält man durc partielle Integration auf jedem der beiden Teilintervalle: 1 a(x)u (x)v (x) dx = x a(x)u (x)v (x) dx + = a(x)u (x)v(x) x x 1 + a(x)u (x)v(x) 1 x 1 x a(x)u (x)v (x) dx (a(x)u (x)) v(x) dx x (a(x)u (x)) v(x) dx = a(1)u (1)v(1) + [a( x+)u ( x+) a( x )u ( x )]v( x) x (a(x)u (x)) v(x) dx 1 x (a(x)u (x)) v(x) dx Damit folgt aus der Variationsgleicung, dass u die Differentialgleicung auf den Teilintervallen (, x) und ( x, 1) erfüllt und man erält die zusätzlice Übergangsbedingung (interface condition) a( x+)u ( x+) = a( x )u ( x ). Damit u H 1 (, 1) muss außerdem gelten: u( x+) = u( x ). Man erält also aus der Variationsformulierung eine weitere Bedingung, aus der z.b. folgt, dass die Lösung im Punkt x im Allgemeinen nict stetig differenzierbar sein muss. 5

9 1.2 Der Satz von Lax-Milgram Eigenscaften des Variationsproblems: Linearität: F,. ist linear, a(.,.) ist bilinear. V -Bescränkteit (Stetigkeit) von F : 1 F, v = f(x)v(x) dx + g 1 v(1) f v + g 1 C v 1 ( f + g 1 C) v 1. Beacte, dass Lemma 1.1 auc in H 1 (, 1) gilt (Beweis: Stetigkeitsargument, Abscließungsprinzip). V -Bescränkteit (Stetigkeit) von a: a(w, v) = V -Elliptizität von a: Voraussetzungen: 1 [a(x)w (x)v (x) + b(x)w (x)v(x) + c(x)w(x)v(x)] dx a L w v + b L w v + c L w v ( a L + b L + c L ) w 1 v 1 = µ 2 w 1 v a(x) a > für fast alle x (, 1), 2. b(x), 3. c(x) für fast alle x (, 1). Es gilt: Lemma 1.2 (Friedrics-Ungleicung). Es gibt eine Konstante C > mit 1 v(x) 2 dx c 2 F 1 v (x) 2 dx für alle v V = {v H 1 (, 1) : v() = } Beweis. Sei zunäcst v C 1 [, 1] mit v() =. Aus v(x) = x v (y) dy erält man mit Hilfe der Ungleicung von Caucy v(x) 2 x x v (y) 2 dy. 6

10 Durc Integration folgt 1 v(x) 2 1 x x v (y) 2 dydx = 1 v (y) 2 (1 1 2 y2 ) dy 1 v (y) 2 dy. C 1 [, 1] V liegt dict in V, die beteiligten (Halb-)Normen sind stetig auf V. Also gilt die Ungleicung auc auf dem Abscluss von C 1 [, 1] V, also in V. Bemerkung: Die obige Ungleicung ist in V = H 1 (, 1) nict erfüllt. Also und daer v c F v 1, v 1 v 2 1 = v 2 + v 2 1 (1 + c 2 F ) v 2 1. Also sind v 1 und v 1 auf V äquivalente Normen. Es folgt: Homogenisierung: a(v, v) a v 2 1 a v c 2 1 = µ 1 v 2 1. F Gesuct g V = H 1 (, 1) mit γg = g. Zum Beispiel: g(x) g. Dann gilt V g = g + V mit g V. Es bietet sic der Ansatz u = g + w an. Dann erält man folgendes omogene Variationsproblem: Gesuct w V, sodass a(w, v) = F, v a(g, v) ˆF, v für alle v V. (1.4) Auc ˆF ist linear und bescränkt: ˆF, v F, v + a(g, v) ( F + µ 2 g ) v Wir nemen an, dass V stets ein abgesclossener Teilraum des Hilbert-Raumes V ist. Das stellt sicer, dass auc V ein Hilbert-Raum ist. Nac diesen Überlegungen genügt es, das omogenisierte Variationsproblem zu betracten. Daer wird im Weiteren o.b.d.a. nur der Fall betractet. g =, V = V g = V 7

11 Formulierung als Operatorgleicung Wegen der Stetigkeit der Bilinearform a ist der lineare Operator A : V V, gegeben durc Aw, v = a(w, v) für alle w, v V, woldefiniert. Das Variationsproblem (1.4) lässt sic als lineare Operatorgleicung screiben. Rieszscer Darstellungssatz Au = F Sei F ein lineares stetiges Funktional auf dem Hilbert-Raum V. Man betracte folgendes Variationsproblem: Gesuct ist u V mit (u, v) = F, v für alle v V. Nac dem Rieszscen Darstellungssatz gibt es genau eine Lösung und es gilt u = F. Die Abbildung J : V V, gegeben durc JF = u, ist also ein isometriscer Isomorpismus (Rieszscer Isomorpismus). Mit Hilfe des Rieszscen Darstellungssatzes lässt sic das Variationsproblem auc als Operatorgleicung im Hilbert-Raum V formulieren: Seien à : V V durc (Ãw, v) = a(w, v) für alle w, v V und ( f, v) = F, v für alle v V gegeben. Das Variationsproblem (1.4) lässt sic als lineare Operatorgleicung Ãu = f screiben. Es ist leict zu seen, dass à = JA und f = JF. Satz 1.1 (Lax-Milgram). Seien V ein Hilbert-Raum, F : V R ein (V -)bescränktes lineares Funktional (F V ) und a : V V R eine Bilinearform mit folgende Eigenscaften: 1. a ist V -elliptisc, d..: es gibt eine Konstante µ 1 > mit µ 1 v 2 a(v, v) für alle v V, 8

12 2. a ist V -bescränkt, d..: es gibt eine Konstante µ 2 > mit a(w, v) µ 2 w v für alle w, v V. Dann besitzt das Variationsproblem genau eine Lösung u V und es gilt 1 µ 2 F u 1 µ 1 F. Beweis. Das lineare Problem Ãu = f lässt sic als Fixpunktgleicung u = u τ (Ãu f) K τ u + g τ formulieren. Im Folgenden wird gezeigt, dass K τ für eine geeignete Wal von τ kontraktiv ist: K τ v 2 = (K τ v, K τ v) = ([I τ Ã]v, [I τ Ã]v) 2 = (v, v) 2τ (Ãv, v) + τ (Ãv, Ãv) = (v, v) 2τ a(v, v) + τ 2 Av 2 (1 2µ 1 τ + µ 2 2 τ 2 ) v 2 Also Es gilt K τ v q(τ) v mit q(τ) = q(τ) < 1 < τ < 2µ 1. µ µ 1 τ + µ 2 2τ 2. q(τ) besitzt ein Minimum für τ opt = µ 1 /µ 2 2 und es gilt: q opt = q(τ opt ) = 1 ( ) 2 µ1 Die Existenz und Eindeutigkeit folgt aus dem Banacscen Fixpunktsatz. Die Abscätzungen folgen aus: µ 2 µ 1 u 2 a(u, u) = F, u F u und F, v F = sup v v = sup a(u, v) µ 2 u v sup = µ 2 u. v v v v 9

13 Folgerungen: Der Banacsce Fixpunktsatz liefert nict nur die Existenz der Lösung sondern auc die Konstruktion einer Folge von Näerungen (u n ), gegeben durc die gegen die Lösung u konvergiert. Wegen u n+1 = u n τ(ãu n f), (u n+1, v) = (u n, v) τ[(ãu n, v) ( f, v)] = (u n, v) τ[a(u n, v) F, v ] für alle v V, erält man eine Folge von Variationsproblemen (u n+1, v) = (u n, v) τ[a(u n, v) F, v ] für alle v V zur Bestimmung der Näerungen u n+1 V. Nac dem Banacscen Fixpunktsatz gelten folgende Felerabscätzung: q-lineare Konvergenz: r-lineare Konvergenz: u n+1 u q u n u. u n u q n u u konstruktive a priori-abscätzung: u n u konstruktive a posteriori-abscätzung: mit q = q(τ). u n u qn 1 q u 1 u q 1 q u n u n 1 Der Satz von Lax-Milgram kommt one die Symmetrie der Bilinearform a aus. Ist a symmetrisc, gilt der folgende Satz: Satz 1.2. Es gelten folgende Voraussetzungen: 1. a ist symmetrisc, d.. a(w, v) = a(v, w) für alle w, v V, 1

14 2. a ist nict-negativ, d.. a(v, v) für alle v V. Dann gilt: u V g ist genau dann Lösung des Variationsproblems, wenn u V g Minimalpunkt des so genannten Ritzscen Energiefunktionals J, gegeben durc bezüglic der Menge V g ist: J(v) = 1 a(v, v) F, v, 2 J(u) = min w V g J(w). Beweis. J nimmt auf V g sein Minimum genau dann an der Stelle u an, wenn Wegen J(u + tv) J(u) für alle t >, v V. J(u + tv) = 1 a(u + tv, u + tv) F, u + tv 2 = 1 2 a(u, u) + t a(u, v) + t2 a(v, v) F, u t F, v 2 = J(u) + t [a(u, v) F, v ] + t2 a(v, v) 2 ist die Optimalitätsbedingung äquivalent zu: a(u, v) F, v + t 2 a(v, v) für alle t >, v V, also a(u, v) F, v = für alle v V Bemerkung: Der letzte Satz verdeutlict die Rolle von Testfunktionen v im linearen Fall als zulässige Rictungen: Für u V g muss u + tv für alle t > in der linearen Mannigfaltigkeit V g = g + V bleiben. Also v V. 1.3 Randwertprobleme für partielle Differentialgleicungen 2. Ordnung Klassisce Formulierung: Seien Ω R d und Γ = Ω = Γ D Γ N. Gesuct ist u : Ω R, sodass die Differentialgleicung d ( a ij (x) u ) d (x) + b i (x) u (x) + c(x)u(x) = f(x) x Ω x j x i x i i,j=1 i=1 11

15 und die Randbedingungen erfüllt sind. Kurz: d i=1 u(x) = g D (x) x Γ D a ij (x)n j (x) u x i (x) = g N (x) x Γ N div(a(x) grad u(x)) + b(x) grad u(x) + c(x)u(x) = f(x) x Ω, u(x) = g D (x) x Γ D, A(x) grad u(x) n(x) = g N (x) x Γ N. mit A(x) = (a ij (x)) i,j=1,...,d, b(x) = (b i (x)) i=1,...,d. Spezialfall Poisson Gleicung: A(x) = I, b(x), c(x) (Laplace-Gleicung: zusätzlic f(x) ): Variationsformulierung: Der Gaußsce Integralsatz: u(x) = f(x) x Ω, u(x) = g D (x) x Γ D, u n (x) = g N(x) x Γ N. Ω div w dx = Γ w n ds in der Form w dx = wn i ds Ω x i Γ liefert die Formel der partiellen Integration: Ω u x i v dx = Γ uvn i ds Ω u v x i dx Analog wie im eindimensionalen Modellproblem erält man folgendes Variationsproblem: Gesuct u V g, sodass mit a(u, v) = F, v v V V = H 1 (Ω), V = H 1,D (Ω) = {v V : v = auf Γ D}, V g = {v V : v = g D auf Γ D } 12

16 und a(w, v) = = F, v = Ω Ω Ω [ d i,j=1 a ij w x i v x j dx + d i=1 ] w b i v + cwv x j [A grad w grad v + b grad w v + c wv] dx, fv dx + g N v ds. Γ N dx Spuroperator: γ : C 1 (Ω) C( Ω), v L 2 ( Ω) c v 1 γ : H 1 (Ω) L 2 ( Ω) Aber: γ(h 1 (Ω)) = H 1/2 ( Ω) L 2 ( Ω) Nicttrivial: Existenz von g V = H 1 (Ω) mit V g = g + V V -Elliptizität: Für den Fall d a ij (x)ξ i ξ j a d i,j=1 i=1 ξ 2 i für alle ξ R, fast überall in Ω mit a > und b(x), c(x) fast überall in Ω folgt a(v, v) a v 2 1. Für Γ D > folgt die Elliptizität aus der Friedrics-Ungleicung: v 2 c2 F v 2 1 für alle v V. Beispiel: Reines Diriclet-Randwertproblem: Γ D = Γ, Γ N =, V = H(Ω). 1 Für das reine Neumann-Randwertproblem (Γ D =, Γ N = Γ) mit c(x) folgt die Elliptizität aus der Poincaré-Ungleicung: [ ( ) ] 2 v 2 c2 P v dx + v 2 1 für alle v H 1 (Ω) im Hilbert-Raum: V = {v H 1 (Ω) : v dx = }. Ω 13 Ω

17 1.4 Konforme Finite-Elemente-Metoden Galerkin-Metode: Seien V V, V V mit V V und V g = g + V V g endlicdimensional. Konforme Galerkin-Metode: Konstruktion einer Näerung durc folgendes Variationsproblem: Gesuct u V g, sodass Sei a symmetrisc und nict-negativ: a(u, v ) = F, v für alle v V. Ritz-Metode: u V g ist Minimalpunkt des Energiefunktionals auf V g : J(u ) = min w V g J(w ). Finite-Elemente-Metoden: Spezielle Konstruktion von V Finite-Elemente-Metode für Randwertprobleme gewönlicer Differentialgleicungen Modellproblem: Gesuct u V g = {v V = H 1 (Ω) : v() = g } mit 1 u v dx = 1 Courant-Element: fv dx + g 1 v(1) für alle v V = {v V = H 1 (Ω) : v() = g } Durc Einfürung von Knoten x i, i =, 1,..., N, mit = x < x 1 <... < x N = 1 erält man eine Zerlegung T des Intervalls Ω = (, 1) als Menge von Teilintervallen (Elementen) T k = (x k 1, x k ) für k = 1, 2,..., N. Die Feineit der Zerlegung ist durc = max k mit k = x k x k 1 k=1,...,n gegeben. Sei P k die Menge aller eindimensionalen Polynome vom Grad k. V ist die Menge aller stetigen stückweise lineare Funktionen auf Ω: V = {v C(Ω) : v T P 1 für alle T T }. 14

18 Es gilt (konformer FE-Raum): V V = H 1 (Ω). Basis (Knotenbasis) für V : Sei x i, i =, 1,..., N ein Knoten. ϕ i Bedingung ϕ i (x j ) = δ ij i, j =, 1,..., N V sei durc die gegeben. Man siet sofort, dass {ϕ i : i =, 1,..., N } eine Basis von V ist: Die Funktionen sind linear unabängig und jede Funktion v V lässt sic in der Form N v (x) = v i ϕ i (x) i= mit v i = v (x i ) darstellen. Wictig: Basisfunktionen besitzen lokalen Träger. Testfunktionen: v () = : N V = {v V : v () = } = {v V : v = v i ϕ i }. Lösungsmannigfaltigkeit: v () = g : i=1 V g = {v V : v () = g } = {v V : v = g ϕ + N v i ϕ i }. i=1 Offensictlic: V V, V g = g + V V g mit g = g ϕ. Bestimmung der Näerungslösung: Ansatz mit N u = g + u j ϕ j j=1 N N N a(g + u j ϕ j, v i ϕ i ) = F, v i ϕ i j=1 i=1 für alle v i R, i = 1, 2,..., N. Wegen der Linearität bezüglic v genügt es, nur mit den Basisfunktionen ϕ i, i = 1, 2,..., N zu testen: a(g + i=1 N u j ϕ j, ϕ i ) = F, ϕ i für alle i = 1, 2,..., N. j=1 15

19 Wegen der Linearität bezüglic u erält man Also mit N a(ϕ j, ϕ i )u j = F, ϕ i a(g, ϕ i ) für alle i = 1, 2,..., N. j=1 K u = f K = (K ij ) i,j=1,2...,n, K ij = a(ϕ j, ϕ i ) u = (u i ) i=1,2...,n, f = (f i ) i=1,2...,n f i = F, ϕ i a(g, ϕ i ). K wird Steifigkeitsmatrix genannt. Somit erält man folgenden Zusammenang zwiscen der Bilinearform auf V, und der Steifigkeitsmatrix: a(w, v ) = (K w, v ) l2. Dabei bezeicnet (.,.) l2 das Euklidsce Skalarprodukt. Die Euklidsce Norm wird mit. l2 bezeicnet. Dünnbesetzte Steifigkeitsmatrix: Ser viele Einträge der Steifigkeitsmatrix sind wegen der lokalen Träger der Basisfunktionen gleic : a(ϕ j, ϕ i ) = dx = für i j > 1 ϕ j ϕ i Ω Hier speziell entstet eine Tridiagonalmatrix wegen der speziellen Nummerierung der Knoten. Elementsteifigkeitsmatrizen: (K w, v ) l2 = a(w, v ) = T T = K (1) w 1v 1 + N k=2 T ( K (k) w v dx = v i w j T T ( wk 1 w k ), mit den Elementsteifigkeitsmatrizen: ϕ K (1) = ϕ 1 (x)2 dx, K (k) k 1 (x)2 dx = T k T 1 ϕ k (x)ϕ k 1 (x) dx T k ϕ i T nennt man auc Formfunktionen. i,j ( vk 1 v k )) l 2 T ϕ j ϕ i dx ϕ k 1 (x)ϕ k (x) dx T k ϕ k (x)2 dx T k Man kann für das Courant-Element (aber nict unbedingt für alle Finiten Elemente) die Berecnung auc mit Hilfe eines so genannten Referenzelements durcfüren: 16

20 Referenzelement ˆT = (, 1). Knoten: ξ = und ξ 1 = 1. Sei F k : ˆT Tk eine einface bijektive Abbildung des Referenzelements ˆT auf ein beliebiges Element T k, im betracteten Beispiel bietet sic F k (ξ) = x k 1 + (x k x k 1 ) ξ an. Transformation der Basisfunktionen auf das Referenzelement: ϕ k 1 (F k (ξ)) = 1 ξ ˆϕ (ξ), ϕ k (F k (ξ)) = ξ ˆϕ 1 (ξ). Transformation der Integrale auf das Referenzelement: K (1) = ϕ 1 (x)2 dx = T 1 ˆT ϕ 1 (F k(ξ)) 2 F 1 (ξ) dξ = ˆT ˆϕ 1 (ξ)2 1 F 1 (ξ) dξ = 1 1 und analog K (k) = = T k ϕ k 1 (x)2 dx ϕ k(x)ϕ k 1(x) dx T k ˆϕ 1 (ξ)2 dξ T k F k (ξ) ˆϕ 1 (ξ) ˆϕ (ξ) 1 dξ T k F k (ξ) ϕ k 1 (x)ϕ k (x) dx T k ϕ k(x) 2 dx T k ˆϕ (ξ) ˆϕ 1 (ξ) 1 dξ T k F k (ξ) ˆϕ 1 = 1 1 (ξ)2 dξ k T k F k (ξ) ˆK mit ˆK = ˆT ˆT ˆϕ (ξ)2 ˆϕ 1 (ξ) ˆϕ (ξ) dξ ˆϕ (ξ) ˆϕ 1 (ξ) dξ ( ) ˆT 1 1 = ˆϕ (ξ)2 dξ ˆT Elementweise Assemblierung: Aus den Einträgen der Elementsteifigkeitsmatrizen, 17

21 ier K (k) = (K (k) ij ) i,j=,1, erält man die (gesamte) Steifigkeitsmatrix, ier: K = = K (1) + K(2) K (2) K (2) 1 K (2) 11 + K(3) K (3) 1 K (3) 1 K (3) 11 + K(4) K (N 1)..... (N K 1) 1 K (N 1) 11 + K (N ) K (N ) N N N 1 N 1 1 N 1 N N 1 K (N ) 1 1 K (N ) 11. Im Spezialfall äquidistanter Unterteilung erält man K = Um die Berecnung der einzelnen Elementsteifigkeitsmatrizen und der daraus zusammengesetzten Matrix K durcfüren zu können, benötigt man zwei Listen: Ausgeend von einer Nummerierung der Knoten und der Elemente, entält die erste Liste die Information, aus welcen Knoten sic die einzelnen Elemente zusammensetzen: Elementindex N N 1 N 18

22 Die zweite Liste entält die Koordinaten der Knoten: Knotenindex x 1 x 1 2 x 2 Analoges Vorgeen für die Berecnung der recten Seite (Lastvektor): F, ϕ 1 g / F, ϕ 2 f =. +.. F, ϕ N Es gilt und T Ω f(x)ϕ i (x) dx =. N fϕ i dx = T T ˆT T. x N fϕ i dx f(f k (ξ))ϕ i (F k (ξ)) F k(ξ) dξ Diese Integrale werden üblicerweise nict exakt, sondern nur näerungsweise durc eine Quadraturformel berecnet, z.b. durc die Trapezregel: Also 1 (x)dx 1 [() + (1)] 2 f(x 1 ) g / f(x 2 ) f =. +.. f(x N 1) f(x N )/2 g 1 Bemerkung: Die FEM entsprict einer FDM für die klassisce Formulierung mit einem zentralen Differenzenquotienten u (x i ) 1 2 [ u i 1 + 2u i u i+1 ] für i = 1, 2,..., N 1 und einem einseitigen Differenzenquotienten u (x i ) 2 [ u i u ] i u i 1 für i = N. 19

23 1.4.2 Eigenscaften von K Die Steifigkeitsmatrizen sind also große und dünnbesetzte Matrizen, die bei geeigneter Nummerierung eine Bandstruktur mit einer im Vergleic zur Zal der Unbekannten kleinen Bandbreite aufweisen. Wegen der Bezieung a(w, v ) = (K w, v ) l2 übertragen sic Eigenscaften der Bilinearform a auf K, z.b.: a symmetrisc = K symmetrisc. a elliptisc = K positiv definit. Eigenwertabscätzungen: Sei A symmetrisc bezüglic (.,.): (Ax, y) = (x, Ay) quadfür alle x, y R n. Für (.,.) = (.,.) l2 ist A genau dann symmetrisc, wenn A T = A. Für symmetrisce Matrizen folgt: σ(a) R mit σ(a) dem Spektrum von A, also der Menge aller Eigenwerte von A. Für symmetrisce Matrizen wird folgende Bezeicnung eingefürt: 1. A eißt positiv semi-definit, kurz A genau dann, wenn (Ax, x) für alle x R n. 2. A eißt positiv definit, kurz A > genau dann, wenn 3. A B genau dann, wenn A B. 4. A > B genau dann, wenn A B >. (Ax, x) > für alle x R n mit x. Analog werden A, A <, A B und A < B definiert. Es gilt: A λ für alle λ σ(a) λ min (A). und A > λ > für alle λ σ(a) λ min (A) <. 2

24 Daer gilt einerseits: und andererseits: A α I (Ax, x) α (x, x) für alle x R n für beliebiges α R und somit (Ax, x) (x, x) α für alle x Rn mit x (Ax, x) inf x R n (x, x) α A α I λ α für alle λ σ(a) λ min (A) = λ min (A) α (Ax, x) inf x R n (x, x) Der Ausdruck (Ax, x)/(x, x) eißt Rayleig-Quotient. Analog folgt. λ max (A) = (Ax, x) sup x R n (x, x) Seien A und C symmetrisce Matrizen bezüglic des Skalarprodukts (.,.) und C >. Dann ist C 1 A symmetrisc bezüglic des Skalarprodukts (.,.) C, gegeben durc denn: (x, y) C = (Cx, y) für alle x, y R n, (C 1 Ax, y) C = (CC 1 Ax, y) = (Ax, y) = (x, Ay) = (C 1 Cx, Ay) = (Cx, C 1 Ay). Damit folgt und λ min (C 1 A) = λ max (C 1 A) = (C 1 Ax, x) C (Ax, x) inf = inf x R n (x, x) C x R n (Cx, x). (C 1 Ax, x) C (Ax, x) sup = sup x R n (x, x) C x R n (Cx, x). Eigenwertabscätzungen für K : ( K (k) ( vk 1 v k ), ( vk 1 v k )) = 1 ( ( ) ( )) vk 1 vk 1 ˆK, l 2 k v k v k 1 λ max ( ˆK) [ ] vk vk 2 2 [ ] = v 2 k k 1 + vk 2 k 21

25 und somit (K v, v ) l2 = a(v, v ) 1 v1 2 + N 2 [ ] v 2 1 k 1 + vk 2 k 4 min k k k=2 N k=1 v 2 k = 4 min k k v 2 l 2. d..: (K v λ max (K ) = sup, v ) l2 v (v, v ) l2 4 min k k. Andererseits gilt (Friedrics-Ungleicung): Also mit M = (M ij ), gegeben durc der so genannten Massenmatrix. Es gilt a(v, v ) 1 v c 2 2. F (K v, v ) l2 = a(v, v ) 1 v c 2 2 = (M v, v ) l2 F (M w, v ) l2 = T T M ij = T Ω ϕ j ϕ i dx, w v dx = v i w j T T = M (1) w 1v 1 + k=2,n ( M (k) i,j ( wk 1 w k ϕ j ϕ i dx T ( vk 1 ), v k )) l 2 mit den Elementmassenmatrizen M (1) = ϕ 1 (x)ϕ 1 (x) dx, T 1 M (k) = T k ϕ k 1 (x) 2 dx T k ϕ k (x)ϕ k 1 (x) dx ϕ k 1 (x)ϕ k (x) dx T k ϕ k (x) 2 dx T k Transformation auf Referenzelement: M (1) = ϕ 1 (x)ϕ 1 (x) dx = T 1 ˆT ˆϕ 1 (ξ) ˆϕ 1 (ξ) F 1 (ξ) dξ =

26 und analog mit M (k) = = ϕ k 1 (x) 2 dx ϕ k 1 (x)ϕ k (x) dx T k T k ϕ k (x)ϕ k 1 (x) dx ϕ k (x) 2 dx T k T k ˆϕ (ξ) 2 F k (ξ) dξ ˆϕ (ξ) ˆϕ 1 (ξ) F k (ξ) dξ T k T k = ˆϕ 1 (ξ) ˆϕ (ξ) F k(ξ) dξ ˆϕ 1 (ξ) 2 F k(ξ) k dξ T k ˆM = ˆT ˆT ˆϕ (ξ) 2 dξ ˆϕ 1 (ξ) ˆϕ (ξ) dξ T k ˆϕ (ξ) ˆϕ 1 (ξ) dξ ˆT = 1 ˆϕ 1 (ξ) 2 6 dxξ ˆT ( ) ˆM Also folgt ( M (k) und somit Damit gilt: ( vk 1 v k ), ( vk 1 v k )) l 2 = k ( ( ) vk 1 ˆM, v k ( vk 1 v k k λ min ( ˆM) [ v 2 k 1 + v 2 k (M v, v ) l2 = v 2 N 1 3 v2 1 + min k k 6 k=1 N k=1 k 6 )) ] = k 6 [ v 2 k 1 + v 2 k] vk 2 = min k k v 6 2 l 2 (K v, v ) l2 min k k v 6c 2 2 l 2, F d..: (K v λ min (K ) = inf, v ) l2 min k k. v (v, v ) l2 6c 2 F Für die Konditionszal von K erält man daer: κ(k ) 24c 2 F Spezialfall äquidistante Unterteilung: 1 min k 2 k κ(k ) 24c 2 1 F = O( 1 2 ). 2 Die Abscätzung ist insictlic der Größenordnung scarf. 23 [ v 2 k 1 + v 2 k]

27 1.4.3 Der Diskretisierungsfeler Homogenisierung Unter den Voraussetzungen V V, V V und V g = g + V V g lassen sic das Variationsproblem in V und das entsprecende endlicdimensionale Variationsproblem mit Hilfe von g gleiczeitig omogenisieren. Es genügt also das omogene Variationsproblem zu betracten, also o.b.d.a.: g = g =, V = V g = V, V = V g = V. Die Existenz und Eindeutigkeit der Näerungslösung ist unter den Voraussetzungen des Satzes von Lax-Milgram gegeben: Satz 1.3. Seien V ein Hilbert-Raum, F V und a : V V R eine Bilinearform mit folgende Eigenscaften: 1. a ist V -elliptisc: Es gibt eine Konstante µ 1 > mit µ 1 v 2 a(v, v) für alle v V, 2. a ist V -bescränkt: Es gibt eine Konstante µ 2 > mit a(w, v) µ 2 w v für alle w, v V. Weiters sei V ein endlicdimensionaler Teilraum von V. Dann gibt es genau eine Lösung u V mit a(u, v ) = F, v für alle v V. Das folgende Lemma von Cea ist von grundlegender Bedeutung für die Abscätzung des Diskretisierungsfelers: Satz 1.4 (Cea). Seien V ein Hilbert-Raum, F V und a : V V R eine Bilinearform mit folgende Eigenscaften: 1. a ist V -elliptisc: Es gibt eine Konstante µ 1 > mit µ 1 v 2 a(v, v) für alle v V, 2. a ist V -bescränkt: Es gibt eine Konstante µ 2 > mit a(w, v) µ 2 w v für alle w, v V. Weiters sei V ein endlicdimensionaler Teilraum von V. Dann gilt: u u µ 2 µ 1 inf w V u w. 24

28 Beweis. Durc Subtraktion von a(u, v ) = F, v für alle v V a(u, v ) = F, v für alle v V folgt die so genannte Galerkin-Ortogonalität: a(u u, v ) = für alle v V Mit v = (u u ) (u w ) folgt µ 1 u u 2 a(u u, u u ) = a(u u, u w ) µ 2 u u u w. Bemerkung: Sei a zusätzlic symmetrisc. Dann ist a ein (weiteres) Skalarprodukt auf V mit der dazugeörigen Norm v 2 A = a(v, v), die zu äquivalent ist: µ 1 v 2 v 2 A µ 2 v 2. Die Galerkin-Ortogonalität wird dann zur A-Ortogonalität: u u A V und es gilt: u u 2 A = a(u u, u u ) = a(u u, u w ) u u A u w A. Also und somit Wegen u u A = u u inf w V u w A µ2 µ 1 inf w V u w J(w ) = 1 2 a(w, w ) F, w = 1 2 a(w, w ) a(u, w ) = 1 2 a(w u, w u) 1 2 a(u, u) = 1 2 w u 2 A 1 2 u 2 A folgt Folgt auc direkt aus Satz 1.2. J(u ) = inf J(w ). w V Der Satz von Cea besagt, dass sic der Diskretisierungsfeler durc den Approximationsfeler abscätzen lässt. 25

29 Abscätzung des Approximationsfelers Sei v H 1 (, 1). Wegen H 1 (, 1) C[, 1] lässt sic der Interpolationsoperator I definieren: v = I v V ist jene stetige und stückweise lineare Funktion, die in den Knoten mit v übereinstimmt: v (x i ) = v(x i ) für i =, 1,..., N. Der Approximationsfeler wird durc den Interpolationsfeler abgescätzt: Lemma 1.3. Für u H 2 (, 1) gilt: inf v V u v 1 u I u 1 v I v C ( k 4 k v 2 2,T k ) 1/2 C 2 v 2 und v I v 1 C 1 ( k 2 k v 2 2,T k ) 1/2 C 1 v 2 Beweis. Transformation auf Referenzelement: N v(x) I v(x) 2 dx = v(x) I v(x) 2 dx Ω k=1 T k N = k (v F k )(ξ) I v F k (ξ) 2 dξ = k=1 N k=1 k Auf dem Referenzelement gilt für ˆv(ξ) = (v F k )(ξ): ˆT ˆT (v F k )(ξ) Î(v F k)(ξ) 2 dξ. Also und daer ˆv(ξ) Έv(ξ) = ˆv(ξ) ˆv() (v(1) v())ξ = ξ = ξ 1 [ˆv (ξy) ˆv (y)] dy 1 ξy y ˆv (z) dzdy. ˆv(ξ) Έv(ξ) C2 ˆv ˆv(ξ) Έv(ξ) 2 dξ C 2 ˆv (ξ) 2 dξ. ˆT ˆT 26

30 Durc Rücktransformation erält man: T k v(x) I v(x) 2 dx C 2 4 k Analog folgt die zweite Abscätzung basierend auf: T k v (x) 2 dx. ˆv (ξ) (Έv) (ξ) = ˆv (ξ) (v(1) v()) = = 1 1 ξ [ˆv (ξ) ˆv (y)] dy y ˆv (z) dzdy Damit erält man: Satz 1.5. Sei u V H 2 (Ω) die exakte Lösung des Variationsproblems und sei u V die Näerungslösung der FEM mit dem Courant-Element. Dann gilt: u u 1 C 1 ( k 2 k u 2 2,T k ) 1/2 C 1 u 2. Bemerkung: Konvergenz für u H 1 (Ω): H 2 (Ω) liegt dict in H 1 (Ω). Daer lim u u 1 µ 2 lim inf u v 1. µ 1 v V Bemerkung: Abscätzung in anderen Normen: Beispiel L 2 -Norm: Aubin, Nitsce. u u C 2 u 2. a-posteriori Felerscätzer: Für den Feler gilt: Also (Lax-Milgram): a(u u, v) = F, v a(u, v) für alle v V. 1 F, v a(u, v) sup u u 1 F, v a(u, v) sup µ 2 v V v µ 1 v V v 27

31 Der Diskretisierungsfeler lässt sic also durc die Norm des Residuums nac unten und nac oben abscätzen. Weiters gilt: F, v a(u, v) = F, v v a(u, v v ) für beliebige v V. Abscätzung des Residuums nac oben für das Beispiel mit w = v v : N [ ] F, w a(u, w) = fw dx u w dx g 1 w(1) T k T k mit Also = = F, w a(u, w) N k=1 k=1 N [ ] fw dx u w x k + u w dx g 1 w(1) k=1 T k x k 1 T k N N 1 (f + u )w dx [u ](x l)w(x l ) (u (x N ) + g 1 )w(1) T k k=1 f + u,t k w,tk + l=1 [u ](x l ) = u (x l +) u (x l). N 1 l=1 [u ](x l) w(x l ) + g 1 + u (x N ) w(1) Wält man v = I v, so verscwinden (allerdings nur in 1D) die Sprungterme. Mit Hilfe der Abscätzung des Interpolationsfelers: v v 2,T k = v I v 2 dx CI 2 2 k v 2 dx = CI 2 2 k v 2 1,T k T k T k folgt: F, w a(u, w) N C I k f + u,t k v 1,Tk k=1 ( N ) 1/2 ( N ) 1/2 C I 2 k f + u 2,T k v 2 1,T k = C I η v 1 C I η v 1 k=1 Insgesamt erält man mit k=1 u u 1 C I µ 1 η N η 2 = ηk, 2 ηk 2 = 2 k f + u 2,T k. k=1 Stimmt nur in 1D mit a-priori Abscätzung überein. 28

32 1.4.4 Finite-Elemente-Metode für Randwertprobleme partieller Differentialgleicungen Zerlegung in 2D: Dreiecke, Vierecke in 3D: Tetraeder, Hexaeder,... Basisfunktionen, Formfunktionen: P k = { ν k c ν x ν }, Q k = { ν i k c ν x ν } in 2D: k = 1, P 1 für Dreiecke, Basisfunktionen: Pyramidenfunktionen in 2D: k = 1, Q 1 (bilineare Funktionen) für Vierecke, bilineare Transformationen auf Referenzviereck = Eineitsquadrat. elementweise Assemblierung: analog ier: wictig, um unstrukturierte Netze effizient zu verarbeiten. Eigenscaften von K : analoge Eigenscaften Aber: Bandbreite wäcst. Diskretisierungsfeler: analog Faustregel O( k ) für Ansätze aus P k, Q k. merdimensionale Elemente: spitze, stumpfe Winkel, reguläre, uniforme Netze. Bramble-Hilbert 1.5 Iterationsverfaren für lineare Gleicungssysteme Das präkonditionierte Ricardson-Verfaren Satz 1.3 liefert auc ein Iterationsverfaren zur Bestimmung von u V : (u (n+1), v ) = (u (n), v ) τ [a(u (n), v ) F, v ] für alle v V. Dabei bezeicnet (.,.) das Skalarprodukt von V. Wie jede Bilinearform so lässt sic dieses Skalarprodukt durc eine Matrix darstellen: (w, v ) = (B w, v ) l2. Die Matrix B ist symmetrisc und positiv definit. Also erält man in Matrix-Vektor- Screibweise folgendes Iterationsverfaren: B u (n+1) = B u (n) 29 τ (K u (n) f ),

33 also ein präkonditioniertes Ricardson-Verfaren: Algoritmus: u (n+1) 1. Berecne r = f K u (n) 2. Löse B w = r 3. Berecne u (n+1) Konvergenzanalyse: = u (n) + τ w = u (n) Die V -Elliptizität von a ist äquivalent zu: + τ B 1 (f K u (n) ). µ 1 (B v, v ) l2 (K v, v ) l2 Die V -Bescränkteit von a ist äquivalent zu: (K w, v ) l2 µ 2 (B w, w ) 1/2 l 2 (B v, v ) 1/2 l 2 für alle v, w R N Aus Satz 1.3 und seinen Konsequenzen folgt sofort, dass das Verfaren q-linear in der B -Norm konvergiert mit einem Konvergenzfaktor bei optimaler Parameterwal q = 1 ( ) 2 µ1 τ = 2µ 1. µ 2 2 Die Konvergenzrate ist also -unabängig! Aber: 2. Scritt viel zu aufwändig. Ausweg: B wird durc eine (symmetrisce und positiv definite) Matrix C ersetzt, also: Algoritmus: u (n+1) 1. Berecne r = f K u (n) 2. Löse C w = r 3. Berecne u (n+1) = u (n) + τ w = u (n) µ 2 + τ C 1 (f K u (n) ) (1.5) Diesmal soll das Gleicungssystems C w = r leict zu lösen sein. Man erält sofort folgende Konvergenzaussage: 3

34 Satz 1.6. Sei C eine symmetrisce und positiv definite Matrix. Angenommen, es existieren Konstante ν 1 und ν 2 mit ν 1 (C v, v ) l2 (K v, v ) l2 für alle v R N und (K w, v ) l2 ν 2 (C w, w ) 1/2 l 2 (C v, v ) 1/2 l 2 Dann gilt für das Iterationsverfaren (1.5): für alle v, w R N u u (n+1) C q u u (n) C mit für die Parameterwal q = 1 τ = ν 1. ν2 2 ( ) 2 ν1 ν 2 Diskussion der Voraussetzungen: V -Elliptizität: d..: V -Bescränkteit: ν 1 (C v, v ) l2 (K v, v ) l2 = (K sym v, v ) l2 für alle v R N (1.6) ν 1 C K sym = 1 2 (K + K T ) oder ν 1 λ min (C 1 Ksym ) sup v R N (K w, v ) l2 ν (C v, v ) 1/2 2 (C w, w ) 1/2 l 2 l 2 für alle w R N oder, dazu äquivalent: Beweis. (C 1 K v, K v ) l2 ν 2 2 (C v, v ) l2 (1.7) sup v R N (K w, v ) l2 (C v, v ) 1/2 l 2 = sup v R N = C 1 (C C 1 K w, v ) l2 = sup (C v, v ) 1/2 l 2 v R N K w C = (C C 1 = (C 1 K w, K w ) 1/2 l 2 (C 1 K w, v ) C (v, v ) 1/2 C K w, C 1 K w ) 1/2 l 2 31

35 d..: K T C 1 K ν2 2 C oder λ max (C 1 KT C 1 K ) ν 2 2 Ist a zusätzlic symmetrisc, so ist K symmetrisc und die Bedingungen (1.6) und (1.7) vereinfacen sic zu ν 1 C K ν 2 C und man erält scärfere Scranken für die Konvergenzrate: Sei {e i : i = 1,..., N } ein vollständiges System von Eigenvektoren zu Eigenwerten < λ 1 λ 2... λ N des verallgemeinerten Eigenwertproblems K e = λ C e. Dann gilt für w = i α i e i die folgende Abscätzung Also (I τc 1 K )w 2 C = (C (I τc 1 K )w, (I τc 1 K )w) l2 Daraus erält man sofort Es gilt: = i ( = ( max i max i α 2 i (1 τ λ i ) 2 ) 2 1 τ λ i i α 2 i ) 2 1 τ λ i w 2 C (I τc 1 K )w C max 1 τ λ i w C. i I τc 1 K C = max 1 τ λ i. i Satz 1.7. Sei C eine symmetrisce und positiv definite Matrix. Angenommen, es existieren Konstante ν 1 und ν 2 mit ν 1 C K ν 2 C. Dann gilt für das Iterationsverfaren (1.5): u u (n+1) C q u u (n) C 32

36 mit für die Parameterwal Beweis. Wegen folgt q(τ) nimmt sein Minimum für an Bemerkung: Für ν 1 = λ min (C 1 Also: Präkonditionieren! q = ν 2/ν1 1 ν 2 /ν = 1 2 ν 2 /ν τ = 2 ν 1 + ν 2. ν 1 λ 1 und λ N ν 2 max 1 τ λ i = max( 1 τ ν 1, 1 τ ν 2 ) = q(τ). i 2 τ = ν 1 + ν 2 K ) und ν 2 = λ max (C 1 K ) erält man q = κ(c 1 K ) 1 κ(c 1 K ) + 1 Beispiel: Für das eindimensionale Modellproblem wurde gezeigt, dass also ν 2 /ν 1 = O( 2 ). c 1 I K c 2 1 I, Bemerkung: Aus den Felerabscätzungen der Sätze 1.6 und 1.7 folgt sofort: u (n) u C q n u () u C Somit lässt sic der Anfangsfeler um einen vorgegebenen Faktor ε > reduzieren, wenn q n ε, also sind ungefär n = ln ε ln q Iterationen notwendig. Falls ν 2 /ν 1 1 folgt unter den Voraussetzungen des Satzes 1.6: n = ln ε ( ) 2 ln q = ln ε ln ν2 ( 2 ln ε), 1 (ν 1 /ν 2 ) 2 ν 1 unter den Voraussetzungen des Satzes 1.7: n = ln ε ln q = ln ε ln(1 2/(ν 2 /ν 1 + 1)) 1 ( ln ε) 2 33 ( ) ν ν 1

37 1.5.2 Präkonditionierung Sei u (n) eine Näerungslösung des Varationsproblems Dann erält man die exakte Lösung a(u, v ) = F, v für alle v V. u = u (n) wenn der Zuwacs aus der Defektgleicung + w (n), a(w, v ) = F, v a(u (n), v ) für alle v V errecnet wird. Problem: Zu aufwändig Ausweg: Näerungsweise Lösung der Defektgleicung auf einem Unterraum oder mereren Unterräumen: Subspace correction: Sei W V. Man betractet folgendes Variationsproblem: Gesuct w W, so dass a(w, v ) = F, v a(u (n), v ) für alle v W. Üblicerweise wird nict nur bezüglic eines Teilraumes korrigiert, sondern bezüglic mererer Teilräume V,s V, s = 1,..., p mit V,s = V. s Beispiel: Sei {ϕ i : i = 1, 2,..., N } eine Basis für V. Wält man z.b. V,i = span(ϕ i ), so erält man als SSC-Gleicung für die Lösung w,i = w i ϕ i : a(ϕ i, ϕ i )w i = F, ϕ i a(u (n), ϕ i) also mit K ii w i = r i. r = (r i ) = f K u (n). Im Folgenden werden zwei Möglickeiten bescrieben, wie man aus diesen Korrekturen eine neue Näerung aufbauen kann: 34

38 Additive Scwarz-Metoden Man berecnet die Korrekturen w,s V,s für alle Teilräume jeweils von der alten Näerung u (n) aus und addiert die einzelnen Korrekturen: u (n+1) = u (n) + τ s w,s. Beispiel: u (n+1) = u (n) + τ i w i ϕ i oder in Matrix-Vektorscreibweise: mit u (n+1) = u (n) + τ w C w = f K u (n), wobei C = D = diag(k ). Man erält also das Jacobi-Verfaren. Ein Scritt der Metode entsprict also einem präkonditionierten Ricardson-Verfaren mit der Präkonditionierungsmatrix C = D = diag(k ). Multiplikative Scwarz-Metoden Nac jeder einzelnen Korrektur berecnet man sofort eine neue Näerung, die dann Ausgangspunkt für die näcste Korrektur ist: mit für s = 1, 2,..., p. u (n+s/p) = u (n+(s 1)/p) + w,s a(w,s, v ) = F, v a(u (n+(s 1)/p), v ) für alle v V,s Beispiel: mit Also u (n+i/n ) = u (n+(i 1)/N ) + w i ϕ i a(ϕ i, ϕ i )w i = F, ϕ i a(u (n+(i 1)/N ), ϕ i ) N u (n+1) = u (n) + w i ϕ i i=1 35

39 mit d.. i 1 a(ϕ i, ϕ i )w i = F, ϕ i a(u (n+(i 1)/N ), ϕ i ) = F, ϕ i a(u (n) + w j ϕ j, ϕ i ) = F, ϕ i a(u (n), ϕ i 1 i) a(ϕ j, ϕ i )w j, u (n+1) wobei w = (w i ) durc das Gleicungssystem j=1 = u (n) + w, j=1 i K ij w j = r i j=1 für alle i = 1, 2,..., N bestimmt wird. Also mit C w = f K u (n) K 11. K C = 21 K Man erält also das Gauß-Seidel-Verfaren. K N,1 K N,N Bemerkung: Es lässt sic leict für das Beispiel zeigen, dass c 1 2 D K c 2 D Also folgt für das Jacobi-Verfaren: ν 2 /ν 1 = O( 2 ), also keine qualitative Verbesserung gegenüber dem Fall C = I. Änlices gilt auc für das Gauß-Seidel-Verfaren. Beispiel: Multilevel-Präkonditionierung: Ausgeend von einem Ausgangsgitter mit Feineit 1 wird durc sukzessive Halbierung der Teilintervalle eine Folge von Zerlegungen T l, l = 1, 2,..., L mit Feineit l = l 1 /2 erzeugt. Die entsprecenden stetigen stückweise linearen Basisfunktionen werden mit ϕ l,i, i = 1, 2,..., N l, l = 1, 2,..., L bezeicnet. Dann entstet eine Zerlegung in eindimensionale Räume V = L N l l=1 i=1 V l,i mit V l,i = span(ϕ l,i ). 36

40 Die entsprecende additive Scwarz-Metode eißt MDS-Metode (multilevel diagonal scaling). Diese Metode entsprict der Jacobi-Metode, allerdings nict nur am feinsten Gitter angewendet, sondern für eine Hierarcie von Zerlegung. Die Durcfürung der Metode erfordert die Lösung von N 1 + N 2 + N L = (2 2 (L 1) )N L = O(N L ) eindimensionalen Problemen: a(ϕ l,i, ϕ l,i ) w l,i = F, ϕ l,i a(u (n) L, ϕ l,i). Der Aufbau und die Lösung dieser Probleme lässt sic in O(N L ) Operationen durcfüren. Dabei benützt man, dass sic Basisfunktionen am näcst gröberen Gitter einfac durc die Basisfunktionen des aktuellen Gitters darstellen lassen: ϕ l 1,i = 1 2 ϕ l,2i 1 + ϕ l,2i ϕ l,2i+1. Man benötigt insgesamt O(N L ) Operationen für einen Iterationsscritt. Für die dazugeörige Präkonditionierungsmatrix C lässt sic zeigen, dass es Konstante ν 1 und ν 2 unabängig von L gibt, sodass für symmetrisce und positiv definite Matrizen K gilt ν 1 C K ν 2 C. Also benötigt man eine von L unabängige Anzal von Iterationen, um einen Anfangsfeler um einen vorgegebenen Faktor ε zu reduzieren. Insgesamt erält man also ein Verfaren mit optimaler Komplexität O(N L ) Krylov-Raum-Metoden Das vorgestellte präkonditionierte Ricardson-Verfaren lässt sic durc eine so genannte Krylov-Raum-Metode bescleunigen. Zunäcst wird nur der Fall C = I betractet und im Weiteren vereinfact: kein, kein Unterstreicen: Krylov-Raum: Für die Residuen des Ricardson-Verfarens gilt: Also und daer Natürlic gilt damit auc r (n) = f Ku (n) = r (n 1) τ Kr (n 1) r (n 1) span(r (), Kr (),..., K n 1 r () ) = K n (K, r () ) u (n) u () + K n (K, r () ). u (j) u () + K n (K, r () ) für alle j =, 1,..., n. 37

41 und n ω nj u (j) u () + K n (K, r () ) j= für alle Koeffizienten ω n, ω n1,..., ω nn mit n j= ω nj = 1. Grundidee einer Bescleunigungstecnik: Ausgeend von einer Folge (u (n) ) (ier durc das Ricardson-Verfaren erzeugt) versuct man eine Folge (v (n) ) mit n v (n) = ω nj u (j) j= und geeigneten Koeffizienten ω n, ω n1,..., ω nn mit n j= ω nj = 1 zu bestimmen, die scneller konvergiert. Es liegt daer nae, direkt nac einer scneller konvergenten Folge von Näerungen mit u (n) u () + K n (K, r () ) zu sucen. Ein möglices Auswalkriterium: f Ku (n) l2 = Eine weitere Möglickeit eines Auswalkriteriums: min f Kv l2 v u () +K n(k,r () ) (f Ku (n), v) l2 = für alle v K n (K, r () ). Im Falle, dass K symmetrisc und positiv definit ist, stimmt dieses Kriterium mit der Bedingung J(u (n) ) = min v u () +K n(k,r () ) J(v) überein. Die Hauptaufgabe bestet darin, eine möglicst effiziente Berecnung für die Folge (u (n) ) zu finden. Das CG-Verfaren Sei K symmetrisc und positiv definit. Also erfüllt u genau dann die Bedingung Ku = f, wenn J(u) = min J(v) mit J(v) = 1 v 2 (Kv, v) l 2 (f, v) l2. Die Rictung des steilsten Abstiegs bezüglic J ist gleic dem Residuum: grad J(v) = f Kv 38

42 Das motiviert das Gradienten-Verfaren: Anfangssetzungen r () = f Ku (). Für n =, 1, 2,...: p (n) = r (n), u (n+1) = u (n) + α (n) p (n) mit α (n) = (r(n), p (n) ) l2 (Kp (n), p (n) ) l2, r (n+1) = r (n) α (n) Kp (n). Die Wal von α (n) stellt (für jede Sucrictung p (n) nict nur für p (n) = r (n) ) sicer, dass Also gilt: J(u (n+1) ) = (r (n+1), p (n) ) l2 =. (1.8) min J(v). v u (n) +span(p (n) ) Die Sucrictungen des Gradientenverfarens stimmen mit den Residuen überein. Aufeinanderfolgende Sucrictungen (Residuen) sind ortogonal. Beim CG-Verfaren wird nur im ersten Scritt die gleice Sucrictung wie im Gradientenverfaren verwendet: Anfangssetzungen r () = f Ku (). Für n =, 1, 2,...: r () für n =, p (n) = r (n) + β (n 1) p (n 1) mit β (n 1) = (r(n), Kp (n 1) ) l2 (Kp (n 1), p (n 1) ) l2 für n 1, u (n+1) = u (n) + α (n) p (n) mit α (n) = (r(n), p (n) ) l2 (Kp (n), p (n) ) l2, r (n+1) = r (n) α (n) Kp (n). Die Wal von β (n 1) garantiert, dass aufeinanderfolgende Sucrictungen konjugiert, d.. K-ortogonal sind: (Kp (n 1), p (n) ) l2 = (Kp (n 1), r (n) + β (n 1) p (n 1) ) l2 = (Kp (n 1), r (n) ) l2 + β (n 1) (Kp (n 1), p (n 1) ) l2 =, (1.9) und dass aufeinanderfolgende Residuen ortogonal sind: (r (n+1), r (n) ) l2 = (r (n+1), p (n) β (n 1) p (n 1) ) l2 = β (n 1) (r (n+1), p (n 1) ) l2 = β (n 1) (r (n) α (n) Kp (n), p (n 1) ) l2 =. (1.1) Die Bedingungen (1.8), (1.9) und (1.1) gelten nict nur für aufeinanderfolgende Indizes, sondern es gilt allgemeiner: Lemma 1.4. Falls r (n 1) gilt: 39

43 1. p (n 1) 2. K n (K, r () ) = span(r (), r (1),..., r (n 1) ) = span(p (), p (1),..., p (n 1) ). 3. (Kp (n), p (j) ) l2 = für alle j =, 1,..., n (r (n), p (j) ) l2 = für alle j =, 1,..., n (r (n), r (j) ) l2 = für alle j =, 1,..., n J(u (n) ) = min J(v) v u () +K n(k,r () ) Beweis. Induktion nac n. n = 1 trivial. n n + 1: Sei r (n). r (n) = r (n 1) α (n 1) Kp (n 1) K n+1 (K, r () ), daer span(r (), r (1),..., r (n) ) K n+1 (K, r () ). Wegen (r (n), p (j) ) l2 = für alle j =, 1,..., n 1 gilt r (n) K n (K, r () ) und daer span(r (), r (1),..., r (n) ) = K n+1 (K, r () ). Wegen p (n) = r (n) β (n 1) p (n 1) folgt sofort span(p (), p (1),..., p (n) ) = K n+1 (K, r () ) und daer p (n). Damit folgen die Beauptungen 1 und 2. Für j = n wurde bereits bewiesen, dass (r (n+1), p (j) ) l2 =. Für j =, 1,..., n 1 gilt (r (n+1), p (j) ) l2 = (r (n) α (n) Kp (n), p (j) ) l2 = (r (n), p (j) ) l2 α (n) (Kp (n), p (j) ) l2 =. Also: r (n+1) K n+1 (K, r () ). Damit folgen die Beauptungen 4, 5 und 6. Für j = n wurde bereits bewiesen, dass (Kp (n+1), p (j) ) =. Für j =, 1,..., n 1 gilt (Kp (n+1), p (j) ) l2 = (p (n+1), Kp (j) ) l2 = (r (n+1), Kp (j) ) l2 + β (n) (p (n), Kp (j) ) l2 =. Damit folgt die Beauptung 3. 4

44 Konvergenzanalyse Wegen J(v) = 1 2 v u 2 K 1 2 u 2 K gilt u (n) u K = min v u K v u () +K n(k,r () ) Es gilt: v u = u () + c 1 r () + c 2 Kr () c n K n 1 r () u = (u () u) + c 1 K(u u () ) + c 2 K 2 (u u () ) a n K n (u u () ) = [I c 1 K 1 c 2 K 2... c n K n ](u () u) = p(k)(u () u) wobei p ist ein Polynom vom Grad n mit p() = 1 ist. Seien e i, i = 1, 2,..., n, ein vollständiges System von Eigenvektoren von K zu den Eigenwerten λ 1 λ 2 λ n. Mit u () u = i α i e i folgt p(k)(u () u) = i α i p(λ i )e i und somit p(k)(u () u) 2 K = (p(k)(u() u), p(k)(u () u)) K = αi 2 λ ip(λ i ) 2 i max p(λ i ) [ ] 2 2 λ i αi 2 = max p(λ i ) u () u 2 i K. i i Also u (n) u K min p Polynom deg p n, p()=1 max i p(λ i ) u () u K. Satz 1.8. Es gilt: mit u (n) u K 2qn 1 + q 2n u() u K 2q n u () u K q = κ(k) 1 κ(k)

45 Beweis. min p Polynom deg p n, p()=1 max p(λ i ) i Sei T n das n-te Tscebysceff-Polynom: Für folgt mit κ = λ n /λ 1. max (p(λ) = λ [a,b] min p Polynom deg p n, p()=1 max p(λ) λ [λ 1,λ n] T n (x) = 1 2 [(x + x 2 1) n + (x x 2 1) n ] p(λ) = T n((λ n + λ 1 2λ)/(λ n λ 1 )) T n ((λ n + λ 1 )/(λ n λ 1 )) 1 T n ((λ n + λ 1 )/(λ n λ 1 )) = 1 T n ((κ + 1)/(κ 1)) und Also mit κ + 1 κ 1 + κ + 1 κ 1 (κ ) = κ κ κ 1 κ 1 (κ ) = κ κ κ 1 κ 1 1 T n ((κ + 1)/(κ 1)) = 2 q n + q n = q = κ 1 κ + 1. = = κ + 1 κ 1 κ 1 κ qn 2qn 1 + q2n Bemerkung: 1. Wegen gilt auc die Darstellung 2. Wegen (r (n), p (n) ) l2 = (r (n), r (n) β (n 1 p (n 1) ) l2 = (r (n), r (n) ) l2 α (n) = (r(n), r (n) ) l2 (Kp (n), p (n) ) l2. (r (n), Kp (n 1) ) l2 = 1 α (n 1) (r(n), r (n) r (n 1) ) l2 = 1 α (n 1) (r(n), r (n) ) l2 gilt auc die Darstellung β (n 1) = (r(n), r (n) ) l2 (r (n 1), r (n 1) ) l2. 42

46 PCG-Metode Durc die Ersetzung (w, v) l2 (w, v) C, K C 1 K und f C 1 f erält man: Anfangssetzungen s () = C 1 (f Ku () ). Für n =, 1, 2,...: Also: p (n) = s () für n =, s (n) + β (n 1) p (n 1) mit β (n 1) = (s(n), s (n) ) C (s (n 1), s (n 1) ) C für n 1, u (n+1) = u (n) + α (n) p (n) mit α (n) = s (n+1) = s (n) α (n) C 1 Kp (n). (s (n), s (n) ) C (C 1 Kp (n), p (n) ) C, Anfangssetzungen r () = f Ku (). Für n =, 1, 2,...: s (n) = C 1 r (n) s () für n =, p (n) = s (n) + β (n 1) p (n 1) mit β (n 1) = (r(n), s (n) ) l2 für n 1, (r (n 1), s (n 1) ) l2 q (n) = Kp (n) u (n+1) = u (n) + α (n) p (n) mit α (n) = (r(n), s (n) ) l2 (q (n), p (n) ) l2, r (n+1) = r (n) α (n) q (n). Symmetrie: (C 1 Kv, w) C = (Kv, w) l2 = (v, Kw) l2 = (Cv, C 1 Kw) l2 = (v, C 1 Kw) C. Energiefunktional: 1 2 (C 1 Kv, v) C (C 1 f, v) C = 1 2 (CC 1 Kv, v) l2 (CC 1 f, v) l2 = 1 2 (Kv, v) l 2 (f, v) l2. Somit erält man die analogen Konvergenzeigenscaften mit der Ersetzung κ(k) κ(c 1 K). GMRES Falls K symmetrisc und positiv definit ist, lässt sic durc das CG-Verfaren leict eine ortogonale Basis des Krylov-Raums K n (K, r () ) berecnen: Die Residuen r (), r (1),..., r (n 1). 43

47 Eine allgemeine Möglickeit zur Konstruktion einer ortogonalen Basis des Krylov- Raums K n (K, r () ) ist die so genannte Arnoldi-Metode: v (1) = r () / r () l2, w (i) = Kv (i), w (i) = w (i) Gesuct wird eine Näerung mit minimaler Norm des Residuums: i ji v (j) mit ji = (w (i), v (j) ), j=1 v (i+1) = w (i) / i+1,i mit i+1,i = w (i) l 2. u (n) = u () + n y i v (i) i=1 f Ku (n) l2. Es gilt: also Somit f Ku (n) = r () [ i i+1,i v (i+1) = Kv (i) ji v (j), n i=1 = r () l2 j=1 i+1 Kv (i) = ji v (j). y i i+1 j=1 ji v (j) = r () l2 v (1) j=1 i=1 j=2 i=j 1 n y i i+1 i=1 j=1 ] [ n n+1 n ] 1i y i v (1) ji y i v (j). ji v (j) Also mit f Ku (n) = r () e 1 H n y (n) n H n = n 1,n n,n 1 nn n+1,n e 1 =. y 1 y 2 y (n) =... y n

48 Durc eine Folge von einfacen ortogonalen Matrizen (Givens-Rotationen) lässt sic H (n) in eine Dreiecksmatrix umwandeln: ( ) Rn J n J 2 J 1 H n =. Damit folgt r () l2 e 1 H n y (n) l2 = ( ) Rn y r() l2 J n J 2 J 1 e 1 (n) l 2. Mit der Bezeicnung erält man scließlic: ( ) s s (n) = r () (n) l2 J n J 2 J 1 e 1 = s n+1 min f Kv 2 v K n(k,r () l 2 = min r () l2 e 1 H n y (n) 2 ) y R n l 2 = min y R n ( ) Rn y r() l2 J n J 2 J 1 e 1 (n) 2 = min y s (n) R n y (n) 2 l 2 + s n+1 2 = s n+1 2 Der Minimalwert von f Kv 2 l 2 lässt sic also mit Hilfe von H n, den Givens-Rotationen J 1, J 2,..., J n und s (n) berecnen. Diese Größen lassen sic effizient aus dem vorangegangen Iterationsscritt berecnen: Man berecnet zunäcst die n-te Spalte von H n : ( 1n, 2n,..., nn, n+1,n ) T Die bereits konstruierten Givens-Rotationen J 1, J 2,..., J n 1 werden auf diese Spalte angewendet: J n 1 J 2 J 1 ( 1n, 2n,..., nn, n+1,n ) T Anscließend wird die Givens-Rotation J n so konstruiert, dass die (n + 1)-te Komponente wird. Damit erält man die n-te Spalte von R n : und (r 1n, r 2n,..., r nn, ) T = J n J n 1 J 2 J 1 ( 1n, 2n,..., nn, n+1,n ) T s (n) = J n s (n 1). Unterscreitet der Minimalwert eine vorgegebene Scranke, wird scließlic die Lösung von R n y (n) = s (n) 45 l 2

49 berecnet und dann anscließend die Näerungslösung: n u (n) = u () + y (n) i v (i). Bemerkung: Aufgrund des großen Speicerbedarfs wird das Verfaren nac einer festen Anzal m von Scritten neugestartet: GMRES(m) 1.6 Randwertprobleme für nictlineare elliptisce Differentialgleicungen Klassisce Formulierung: Eindimensionale Probleme: ( a 1 (x, u(x), u (x))) + a (x, u(x), u (x)) = f(x) x (, 1). Spezialfall lineare Probleme: i=1 a 1 (x, ξ, ξ 1 ) = a(x)ξ 1, a (x, ξ, ξ 1 ) = b(x)ξ 1 + c(x)ξ. Merdimensionale Probleme: d ( ) a i (x, u(x), grad u(x)) + a (x, u(x), grad u(x)) = f(x) x Ω. x i i=1 Spezialfall lineare Probleme: d a i (x, ξ, ξ) = a ij (x)ξ j, i = 1,..., n, a (x, ξ, ξ) = j=1 d b j (x)ξ j + c(x)ξ mit ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ d ) T. Mit a(x, ξ, ξ) = (a i (x, ξ, ξ)) i=1,...,d erält man die kompakte Darstellung der obigen Differentialgleicungen ( ) div a(x, u(x), grad u(x)) + a (x, u(x), grad u(x)) = f(x). Für den linearen Fall erält man Randbedingungen: a(x, ξ, ξ) = A(x)ξ, 1. Diriclet-Randbedingungen (1. Art): 2. Neumann-Randbedingungen (2. Art): j=1 a (x, ξ, ξ) = b(x) ξ + c(x)u(x). u(x) = g D (x) x Γ D. a(x, u(x), grad u(x)) n(x) = g N (x) x Γ N. 46

50 Variationsformulierung Sei v eine Testfunktion mit v(x) = für x Γ D. Dann erält man aus der klassiscen Formulierung: Gesuct: u mit u(x) = g D (x) für x Γ D, sodass [ ] a(x, u(x), grad u(x)) grad v(x) + a (x, u(x), grad u(x))v(x) dx Ω = f(x)v(x) dx + g N (x)v(x) ds Ω Γ N für alle v mit v(x) = für x Γ D. Oder kurz a(u, v) = F, v. Wictig: a(w, v) ist linear bezüglic v aber nict notwendig linear in w. Durc A(w), v = a(w, v) wird ein im Allgemeinen nictlinearer Operator definiert. Das Problem lautet in Operatorscreibweise: A(u) = F. Funktionenräume Problem: Woldefinierteit der Operatoren: nict trivial. Hilbert-Räume reicen im Allgemeinen nict aus, man benötigt geeignete Banac-Räume wie z.b. die Sobolev-Räume V = W k,p (Ω) = {v L p (Ω) : D α v L p (Ω) α k}. Unter geeigneten Voraussetzungen an a(x, ξ, ξ) und a (x, ξ, ξ) lässt sic die Woldefinierteit von a : V V R bzw. des nictlinearen Operators A : V V zeigen (Nemyzki-Operatoren). Eigenscaften von a bzw. A: Als eine möglice Verallgemeinerung der Elliptizität von Bilinearformen bzw. der entsprecenden linearen Operatoren wird folgender Begriff eingefürt: Definition 1.1. Sei V ein normierter Raum, V bezeicne den Dualraum. Ein Operator A : V V eißt stark monoton, genau dann wenn es eine Konstante µ 1 > gibt mit Aw Av, w v µ 1 w v 2 für alle w, v V. Als eine möglice Verallgemeinerung der Bescränkteit von Bilinearformen bzw. der entsprecenden linearen Operatoren wird folgender Begriff eingefürt: 47