Stochastische Differentialgleichungen

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1 INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2007/08 UNIVRSITÄT KARLSRUH Bla 9 Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Übungen zur Vorleung Sochaiche Differenialgleichungen Muerlöungen Aufgabe 21: Definieren Sie analog zur d-dimenionalen Markov-Familie in Definiion 7.9 in geeigneer, innvoller Weie für einen N 0 -werigen ochaichen Proze X X 0 den Begriff einer Markov-Familie X, P x x N0. Kann der homogene Poion-Proze N 0 mi Parameer µ > 0 zu einer Markov-Familie erweier werden? Löung: Wir gehen au von Definiion 7.9, erezen R d durch N 0 und erhalen: ine N 0 -werige Markov-Familie Ω, A, F, X, P x x N0, kurz X, P x x N0, i ein F-adapierer, N 0 -weriger ochaicher Proze X X 0 auf einem Meraum Ω, A zuammen mi einer Familie P x x N0 von Wahrcheinlichkeimaßen auf Ω, A, o da für alle A A die Abbildung x P x A univerell mebar i, für alle x N 0 P x X 0 x 1, für alle x N 0,, 0 und B PN 0 P x [X + B F ] P x [X + B σx ] P x -f.., für alle x N 0,, 0 und B PN 0 P x [X + B X y] P y X B für P x X -f.a. y N 0. Hierbei kann die ere Bedingung weggelaen werden, da alle Funkionen f : N 0 R auomaich mebar ind wenn man N 0, wie üblich mi der σ-algebra A PN 0 verieh und wa wir oben chon implizi verwende haben. Ferner kann man ich beim Nachwei der beiden lezen Bedingungen auf den Fall von lemenarereignien B {n}, n N 0 bechränken, da der allgemeine Fall ich durch Aufummieren ergib. Wir erhalen: ine N 0 -werige Markov-Familie Ω, A, F, X, P x x N0, kurz X, P x x N0, i ein F-adapierer, N 0 -weriger ochaicher Proze X X 0 auf einem Meraum Ω, A zuammen mi einer Familie P x x N0 von Wahrcheinlichkeimaßen auf Ω, A, oda a für alle x N 0 P x X 0 x 1, b für alle x N 0,, 0 und n N 0 P x [X + n F ] P x [X + n σx ] P x -f..,

2 c für alle x N 0,, 0 und n N 0 P x [X + n X y] P y X n für P x X -f.a. y N 0. In [SP], Kap. 5.1 wurde die xienz eine homogenen Poion-Prozee N : N 0 mi Ineniä µ > 0 gezeig, den wir kurz mi PPµ bezeichnen, wobei nach den dor geroffenen Überlegungen noch voraugeez werden kann, da N Were in N 0 annimm und da N 0 0 gil. Wir nehmen an, da die Zufallvariablen N auf dem Wahrcheinlichkeiraum Ω, A, P definier ind und ezen noch F 0 : σn,. F 0 : F 0 0 i alo die naürliche Filraion von N. Wegen [SP], Saz 5.4 beiz N unabhängige Zuwäche und e gil N N Poµ für 0 <. Dami ind inbeondere F 0 und N N ochaich unabhängig für 0 <. Dami i nach Beipiel 7.3 N ein Markov-Proze bzgl. F 0 N i auch ein R-weriger Proze. Sei Ω, A : N 0 Ω, PN 0 A, F : PN 0 F 0 und X : N 0 Ω N 0 definier durch X ω : n + N ω für ω n, ω Ω und 0. Ferner ei P x : δ x P für x N 0. Dami i Ω, A, F, X, P x x N0 fegeleg. gil dann P x X k Px + N k PN k x, x, k N 0, 0. Wir benöigen die folgende Darellung von F : { } F {k} A k : A k F 0 Zu zeigen bleiben die Bedingungen a, b und c. a gil wegen P x X 0 x Px + N 0 x PN k0 c gil, obald PN y x > 0, alo y x 0, P x [X + n X y] P[x + N + n x + N y] P[x + N + N + N n x + N y] P[x + y x + N + N n x + N y] P[N + N n y N y x] PN + N n y PN n y P y X n. b Sei n N 0 fe und gy : P x [X + n X y] P y X n PN n y, y N 0. Dann i gx σx -mebar und e genüg zu zeigen [SII], 21.3, da für A σx P x {X + n} A gx dp x gil. Dabei genüg e, den Fall A {X y} zu berachen, da jede A σx eine abzählbare Vereinigung derariger reignie i. Dann gil aber wie geforder P x {X + n} A P x {X + n} {X y} P x [X + n X y] PX y A {X y} gx dp x,

3 da gx gy auf {X y} konan i. Aufgabe 22: C : R + R d r eine eige Funkion von R + in den Raum der d r-marizen d.h. eine Abbildung, die komponenenweie eig i. Zeigen Sie: a Da ochaiche Inegral M : 0 Cu db u 0 mi den Komponenen M i : k1 0 Cu ik db k u, 0 exiier und lieg komponenenweie in M c 2, kurz M M c 2. b F und M M ind ochaich unabhängig für 0 <. Hinwei: Benüzen Sie die folgende Verallgemeinerung von Aufgabe 1a: Sei Ω, A, P ein Wahrcheinlichkeiraum und eien X, X n R d -werige Zufallvariablen auf Ω, n N. I C A eine Uner-σ-Algebra von A, o da C und σx n für alle n N ochaich unabhängig ind und gil X n X P-ochaich für jede Komponene, o ind auch C und σx ochaich unabhängig. c M M beiz eine d-dimenionale Normalvereilung N d 0, Cu Cu du. Löung: Sei F k die zur Brownchen Bewegung B k gehörende naürliche Filraion. gil dann F k F, ferner ind nach Vorauezung die σ-algebren F 1,...,F r ochaich unabhängig für 0. a Da die C ik eig und dami auf endlichen Inervallen bechränk ind, gil C ik L B k und dami Cu 0 ik db u k 0 M c 2. Da M c 2 ein Vekorraum i, gil auch M i M c 2. Man beache, da F die zugrunde liegende Filraion i. b Wir beweien der Volländigkei halber zuer den Hinwei. Da auch die Komponenen X n k von X n P-ochaich gegen die k-e Komponene X k von X konvergieren, k 1,..., d, folg nach d-maliger Anwendung de Teilfolgekrierium für ochaiche Konvergenz die xienz einer Teilfolge X nl l N mi lim l X nl X P-f.. Sei D eine beliebige, nich leere abgechloene Teilmenge von R d und fx dx, D der Aband von x zu D. Dann i f : M R + eig mi f 1 0 D. Nach Vorauezung gil lim l fx nl fx P-f.. Da fx nl und C unabhängig ind, ind nach Aufgabe 1a auch fx und C unabhängig und dami auch D und C unabhängig. Da die Menge der abgechloenen Teilmengen von R d einen -abilen rzeuger von B d bilden, ind nach [SII], 9.5 auch X und C unabhängig. Al näche zeigen wir: Sei X 0 ein F-adapierer R d -weriger ochaicher Proze mi unabhängigen Zuwächen, o da F und der Zuwach X +h X für alle 0 < + h ochaich unabhängig ind. Dann ind F und C : σx +h X :, h > 0 für 0 ochaich unabhängig. genüg zu zeigen, da F und σx j+1 X j : j 0,...,n 1 unabhängig ind, wobei 0 < 1 <... < n und n N. Seien 0 < 1 <... < n, A F und B j B d für

4 d 1,...,n. Dann gil PA {X 1 X 0 B 1 }... {X n X n 1 B n } PA {X 1 X 0 B 1 }... {X n 1 X n 2 B n 1 } PX n X n 1 B n n... PA PX j X j 1 B j, wobei wir aunüzen, da A {X 1 X 0 B 1 }... {X n 1 X n 2 B n 1 } F n 1. Sei 0 < vorgegeben. Wir erezen vorer die eigen Funkionen C ik durch Treppenfunkionen. i dann jede Cu ik db u k eine Summe der Form n 1 α j B k j+1 B k j j0 mi gewien 0 < 1 <... < n und α j R. Nach dem gerade gezeigen ind daher F und M M Cu db u ochaich unabhängig. Wegen der Seigkei von C gib e eine Folge C n von Treppenfunkionen, die auf [0, ] gleichmäßig gegen C konvergier, inbeondere lim n d L C, C n 0 und dami auch lim n d M I B C n, I B C 0. Die bedeue inbeondere, da I B C n für alle 0 quadraich gegen I B C konvergier, alo auch lim n I B C n I B C n I B C I B C M M, alle komponenenweie. Da au der quadraichen Konvergenz die P-ochaiche Konvergenz folg, ind nach dem Hinwei auch F und M M ochaich unabhängig. c Sei vorer wie in b C n eine Treppenfunkion. Dann i j1 M n M n : I B C n I B C n eine Summe von unabhängigen normalvereilen Zufallvekoren A j B j+1 B j, wobei die A j geeignee d r-marizen ind, und dami elb d-dimenional normalvereil. Um zu zeigen, da M M normalvereil i, genüg e zu zeigen [SP], Saz 2.7, da a M M für alle a R d evenuell augeare normalvereil i. Wegen b und dem Teilfolgekrierium gib e eine Teilfolge n k k N mi lim k a M n k M n k a M M P-f.. und e genüg zu zeigen, da der fa ichere Lime einer Folge normalvereiler Zufallvariable wieder normalvereil i. Wir verwenden dazu: Lemma: Seien X n, X reellwerige Zufallvariable mi X D n X und X n Nµ n, σn. 2 Dann i X evenuell augeare normalvereil. Bewei de Lemma: Sei F : F X die Vereilungfunkion von X, X nich augeare, d.h. P-f.. konan, und eine Seigkeielle von F. Dann gil lim F µn X n lim Φ F. n n Da X nich augeare i, exiier ein kleine a und ein größe b mi a < b und 0 < F < 1 für alle a < < b und F nich konan auf a, b. Sei Dann i R \ C abzählbar und für C gil µ n lim n σ n σ n C : { R: Seigkeielle von F }. lim µ n n σ n σ n g : Φ 1 F R,

5 wobei wir noch Φ 1 0 : und Φ 1 1 : ezen. Wäre σ n n N nich bechränk, o müe g konan auf C ein. Die i nich möglich, da F nich konan auf a, b i. Nach Übergang zu einer Teilfolge können wir daher annehmen, da σ : lim n σ n R + exiier. I σ > 0, o gil auch µ : lim n µ n σ g, worau g µ folg σ und dami X Nµ, σ 2. σ 0 kann augechloen werden, da e a < < < b gib mi 0 < F < F < 1 und, C, alo < g < g <. Die i aber unverräglich mi, fall lim n σ n 0, da dann nowendig lim n µ n und lim n µ n. Da M ein Maringal i mi M 0 0, gil M M 0 0 und dami M M 0. Schließlich gil M i M i : Cu ik db u k und dami Cov M i M i, M j 8.9 M j I Bk k1 C ik I Bk C ik uc jl u d B k, B l u Cov Cu ik db u k, C ik, I Bl C jl I Bl C jl k1 Cu jl db u l C ik uc jk u du Cu Cu ij du, wobei Cu die Tranponiere von Cu i. Dami ergib ich die Kovarianzmarix von M M zu ΣM M Cu Cu du.