Digitalisierung II. Digitalisierung - Hörbeispiel Analog-Digital-Umsetzer Simulation LTI-Systeme (zeitdiskret) Übungen Literatur und Quellen

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1 Digitalisierung II Digitalisierung - Hörbeispiel Analog-Digital-Umsetzer Simulation LTI-Systeme (zeitdiskret) Übungen Literatur und Quellen Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 1

2 Digitalisierung analoger Signale Bandbegrenzung Abtastung Quantisierung Encodierung bandbegrenztes analoges Signal zeitdiskretes Signal digitales Signal Bitfolge analoger Tiefpass x(t) x[n] [x[n]] Q Abtaster Quantisierer Encoder b n f g Grenzfrequenz f A Abtastfrequenz Quantisierungskennlinie Codetabelle Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 2

3 Hörbeispiele MATLAB und WAVE-Dateien Audiosignal Vega Abtastfrequenz 44,1 khz, Wortlänge16 bit, Dauer 20,8 s Bandbegrenzung Telefonie Hz FM-Rundfunk Hz Quantisierung gleichförmig (midrise) logarithmische PCM (13-Segment-Kennlinie) Wortlängenverkürzung bits Aussteuerung db Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 3

4 ADU Parallelverfahren 6/2 U LSB a Hohe Abtastrate a 1000 MS/s Geringe Auflösung 8 Bit a Megasamples per second Eingangsspannung Komparatorzustände a Dualzahl U ref U e R/2 5/2 U LSB R 3/2 U LSB R 1/2 U LSB k 1 R/2 Repräsentanten Komparatoren k 3 k 2 1D C1 1D C1 1D C1 Q Q Q Speicher x 3 x 2 x 1 Prioritätsdecoder Decoder z 1 z 0 U e / U LSB k 3 ; k 2 ; k 1 z 1 ; z 2 [ U e /U ref ] Q CLK 0 0,5 0; 0; 0 0; 0 0 0,5 1 1,5 0; 0; 1 0; 1 1/4 1,5 2 2,5 0; 1; 1 1; 0 1/2 2,5 3 1; 1; 1 1; 1 3/4 a High- bzw. Low-Zustand Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 4

5 ADU Wägeverfahren Abtastrate a 1 MS/s Auflösung 8 16 Bit a Megasamples per second U e Abtast-Halte- Glied S&H U(Z n ) Komparator Digital-Analog- Umsetzer DAC SAR Register für sukzessive Approximation Z n = (z 0, z 1, z 2 ) U ref a U(Z n ) U(Z max ) z 2 = 1 z 1 = 0 z 0 = 1 Spannung des Abtast-Halte-Glieds Beginn Ende Eingangsspannung quantisierte Werte Z n Takt Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 5

6 ADU Kaskadenverfahren Kombination aus Parallelverfahren und Wägeverfahren Abtastrate MS/s Auflösung 8 16 Bit Pipeline-Verfahren mit 1-Bit-Codierung 1. Stufe 2. Stufe S&H 2 S&H 2 U e 1Bit ADC 1Bit DAC 1Bit ADC 1Bit DAC 1 MSB Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 6

7 Fehlerquellen bei der ADU Statische Fehler Kennlinien (symbolisch) Quantisierungsrauschen Offset-Fehler Verstärkungsfehler Missing-Code-Fehler y x y x y? x Dynamische Fehler Apertur-Jitter Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 7

8 Zweierkomplementformat Beim Einsatz von Festkomma-Signalprozessoren wird in der digitalen Signalverarbeitung meist das Zweierkomplementformat bei einer Wortlänge von 16, 24 oder 32 Bit verwendet. Es werden die Zahlen im Bereich von 1 bis +1 dargestellt, wobei der Wert null explizit vorkommt. 0 0 w 1 i i i { } w+ 1 i= 1 x= a 2 + a 2 mit a 0,1 und 1 x< 1 2 a Die negativen Zahlen berechnen sich durch Komplementbildung und Addition des Bit mit geringster Wertigkeit, dem LSB (least significant bit). Bei der Addition wird gegebenenfalls ein Übertrag ausgeführt. 0 0 w 1 i w+ 1 i i { } w+ 1 i= 1 x= a 2 + a mit a 0,1 und 1 x< 1 2 b Beispiel: Zahlendarstellung im Zweierkomplementformat mit der Wortlänge von 8 Bit +0, d = c = , d = c Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 8

9 Digitale Simulation ADU DSV DAU Steuerung Speicherung Auswertung Darstellung Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 9

10 ADU und DAU a Vorerarbeitung Nachverarbeitung b Analoges Signal Analoges Signal Analoge Vorverarbeitung Bandbegrenzung Signalaussteuerung Analoge Nachverarbeitung Bandbegrenzung Analog-Digital- Umsetzung Abtast-Halteglied Wortlänge Überabtastung Digital-Analog- Umsetzung Treppenkurve Digitale Nachverarbeitung Bandbegrenzung Kompensation Unterabtastung Digitale Vorverarbeitung Takterhöhung Signalaussteuerung Vorverzerrung Digitales Signal Digitales Signal Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 10

11 Simulationstheorem x(t) Analoges System y(t) T A T A? x[n] Digitales System y[n] a Wenn ja, unter welchen Bedingungen? a) Keine Wortlängeneffekte (Quantisierungseffekte) beim Abtasten und in der weiteren DSV Abtasttheorem eingehalten jω H b ( ) H( ω) b) Simulationstheorem e = j ; Ω π Ω ω= π Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 11

12 Zeitdiskrete LTI-Systeme Impulsantwort Faltung Sprungantwort Kausalität und Stabilität Eigenfunktion Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 13

13 Impulsantwort zeitdiskret T( ) Impulsantwort hn [ ] = δ [ n] δ[n] System h[n] Systemreaktion x[n] System y[n] yn [ ] = xn [ ] = xk n k = xk n k = xk hn k k= k= k= T( ) T [ ] δ[ ] [ ] T( δ[ ]) [ ] [ ] Ausblendeigenschaft der Impulsfunktion Linearität des Systems Zeitinvarianz des Systems Eingangs-Ausgangsgleichung von LTI-Systemen Faltung [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] yn xn hn xk hn k + k = x[n] LTI- System x[n] h[n] = y[n] Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 14

14 Faltung Eigenschaften zeitdiskret Kommutativität + + [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] xn hn xk hn k hk xn k k= k= Assoziativität Kaskadenschaltung h 1 [n] h 2 [n] ( xn [ ] h1[ n] ) h2[ n] = xn [ ] h1[ n] h2[ n] ( ) h 2 [n] h 1 [n] h 1 [n] h 2 [n] Distributivität ( 1 2 ) [ ] 1[ ] [ ] 2[ ] [ ] [ ] [ ] xn h n+ h n = xn h n+ xn h n Parallelschaltung h 1 [n] h 2 [n] Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 15

15 Faltung Beispiel: Rechteckimpulse mit sich selbst Rechteckimpuls (rechtsseitig) [ ] =Π [ ] xn n N N x[k] n = 0 2 N 0 0 N 2 N h[n k] 2 N k k n 0 x[n] h[n] 0 2 N n n = N N 0 N 2 N k n N 0 N n n = 2 N 0 2 N k n 2 N 0 2 N n n = 3 N n = 4 N 0 2 N3 N 0 2 N k k n 3 N 0 Ergebnis 2 N N 4 N n n Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 16

16 Sprungantwort zeitdiskret u[n] LTI- System s[n] + n T( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] sn= un = hk un k = hk k= k= Akkumulation der Impulsantwort [ ] [ ] [ 1] hn= sn sn Differenz der Sprungantwort Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 17

17 Kausalität und Stabilität zeitdiskret Kausalität [ ] 0 n 0 hn = < Impulsantwort ist eine rechtsseitige Funktion yn= hk xn k = h xn+ h xn + h xn + [ ] [ ] [ ] [ 0] [ ] [ 1] [ 1] [ 2] [ 2] k = 0 Ist das System kausal, so hängt der aktuelle Ausgangswert nicht von zukünftigen Eingangswerten ab. a + Stabilität hn [ ] n= < BIBO-stabil, wenn Impulsantwort absolut summierbar [ ] xn < M< yn hn xn k hn xn k M hn [ ] = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k= k= k= Ist das System BIBO-stabil, so ist bei einem beschränkten Eingangssignal auch das Ausgangssignal beschränkt. b Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 18

18 Eigenfunktion zeitdiskret Exponentialansatz [ ] ( ) T n n en= z = λ z e[n] LTI- System λ e[n] a Für eine beliebige n+ k n k k n k ganze Zahl k gilt en [ + k] = T( z ) = T( z z) = z T( z) = z en [ ] b Für n = 0 [ 0+ ] = [ ] = k [ 0] e k ek z e c Da k eine beliebige ganze Zahl ist, kann sie durch n ersetzt werden. Der Exponentialansatz bestätigt sich Die allgemein Exponentiellen sind Eigenfunktionen von zeitdiskreten LTI-Systemen Exponentielle in die Eingangs-Ausgangsgleichung yn [ ] = hk [ ] z = hk [ ] z z = H( z) z k= k= n k k n n z n LTI- System H(z) z n Übertragungsfunktion H(z) z-transformation Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 19

19 Zusammenfassung Digitalisierung ADU, Parallelverfahren, Wägeverfahren, Kaskadenverfahren, statische und dynamische Fehler, Zweierkomplementformat; Digitale Simulation analoger Systeme LTI-Systeme Impulsantwort und Faltung, Sprungantwort, Kausalität, BIBO-Stabilität; Eigenfunktion, Übertragungsfunktion, z-transformation, Laplace-Transformation; Eigenschaften von zeitdiskreten LTI-Systemen mit Impulsantwort; Kompetenzen Übungen Wichtige Begriffe (Formelzeichen) und Aussagen (Gleichungen) kennen Grafiken verstehen und einfache Handskizzen anfertigen können Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 20

20 Übung 6.1 2er-Komplement-Format Ergänzen Sie die fehlenden Einträge in der Tabelle. Gegebenenfalls runden Sie. Dezimalsystem (d) Zweierkomplementformat mit Wortlänge 8 Bit in Hexadezimaldarstellung (Hex) 0, , , , F Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 21

21 Übung 6.2 Digitalisierung und LTI-Systeme a) Was versteht man gemeinhin unter der Auflösung bei der ADU? b) Nennen Sie zwei Verfahren zur ADU? c) Nennen Sie vier mögliche statische Fehler bei der ADU? d) Was versteht man unter dem Missing-Code-Fehler? e) Was ist die kleinste darstellbare Zahl im Zweierkomplementformat? f) Was ist die größte darstellbare Zahl im Zweierkomplementformat? g) Erläutern Sie die Simulationsbedingung? h) Auf welche Eigenschaft gründet sich das Zusammenfassen von LTI- Systemen bei Kaskadenschaltungen? i) Warum darf die Reihenfolge von LTI-Systemen vertauscht werden? Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 22

22 Übung 6.3 Blockdiagramm Ergänzen Sie die fehlenden Beschriftungen in den beiden Blöcken IN OUT ADC Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 23

23 Übung 6.4 Impulsantwort Gegeben ist die Impulsantwort 1 π π hn n n un un [ ] = cos sin ( [ ] [ 5] ) a) Skizzieren Sie die Impulsantwort im Stabdiagramm. b) Bestimmen Sie die Sprungantwort zu (a). c) Das System wird mit der Folge x[n] = {1, 3, 2, 3} erregt. Berechnen Sie das Ausgangssignal Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 24

24 Übung 6.5 Sprungantwort Gegeben ist die Sprungantwort ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] sn= n+ 1 un un un 4 a) Bestimmen Sie die Impulsantwort. b) Skizzieren Sie die Impulsantwort aus (a) im Stabdiagramm. c) Das System wird mit der Folge x[n] = {2, 1, 2, 3} erregt. Berechnen Sie das Ausgangssignal Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 25

25 Übung 6.6 Ja-Nein-Fragen: Kreuzen Sie alle richtigen Aussagen an. Bei Parallelschaltung von LTI-Systemen gilt für das Gesamtsystem h g [n] = h 1 [n] h 2 [n] Das Akronym LTI steht für linear time-invariant. 1 Ist die Impulsantwort summierbar, so ist das System BIBO-stabil. 2 Zeitdiskrete LTI-Systemen haben z n als Eigenfunktion mit zz C. 3 4 Die Sprungantwort zeitdiskreter LTI-Systeme erhält man aus der Impulsantwort durch Akkumulation. Bei der ADU mit dem Wägeverfahren wird das Prinzip der Analyse durch Synthese angewandt. 5 Für die Zweierkomplementdarstellung mit 8 Bit gilt: 0,75 d = 60 Hex 6 Für die Zweierkomplementdarstellung mit 8 Bit gilt: 0,25 d = D0 Hex Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 26

26 Übung 6.7 Lückentext: Ergänzen Sie die Aussagen sinngemäß. 1 Die Faltung eines Rechteckimpulses mit sich selbst ergibt. 2 Systeme die bei Erregung mit einem reellen Signal stets wieder nur mit einem reellen Signal antworten nennt man. 3 ADU mit Parallelverfahren eignen sich für hohe haben aber nur eine geringe. 4 Die Akkumulation der Impulsantwortfolge ergibt die. 5 Die Zweierkomplementdarstellung mit 8 Bit für 0,375 ist. 6 Wenn die Kennlinie des ADU nicht durch null geht, liegt ein vor Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 27

27 Übung 6.8 Ja-Nein-Fragen: Kreuzen Sie alle richtigen Aussagen an. Analoge LTI-Filter können durch ADU mit idealer Quantisierung ersetzt werden. Die Faltung ist die Basisoperation der Eingangs-Ausgangsgleichungen von LTI-Systeme im Zeitbereich. 1 Ist die Impulsantwort h(0) bzw. h[0] gleich null, ist das System kausal. 2 Ein System ist BIBO-stabil, wenn ein beschränktes Eingangssignal existiert, für das das Ausgangssignal ebenfalls beschränkt ist. 3 Die Funktion sin(ωn) ist Eigenfunktion von zeitdiskreten LTI-Systemen. 4 Das Simulationstheorem fordert eine Wortlänge von mindestens 16 bit. 5 Gilt für die Frequenzgänge jω π H( jω) = H( e ) für ω Ω= ω TA TA ist das Simulationstheorem erfüllt. 6 Kausale Systeme sind stets auch stabil Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 28

28 Literatur und Quellen GIROD B., RABENSTEIN R. & STENGER A. (2007) Einführung in die Systemtheorie. Signale und Systeme in der Elektrotechnik und Informationstechnik (4. Aufl. ). Wiesbaden: Teubner OPPENHEIM A. V., WILLSKY A. S. & NAWAB S. H. (1997) Signals & Systems (2 nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall TIETZE U. & SCHENK CH. (2010) Halbleiterschaltungstechnik (13. Aufl.). Heidelberg: Springer UNBEHAUEN R. (2002) Systemtheorie 1. Allgemeine Grundlagen, Signale und lineare Systeme im Zeit- und Frequenzbereich (8. Aufl.). München: Oldenbourg WERNER M. (2008) Signale und Systeme. Lehr- und Arbeitsbuch mit MATLAB-Übungen und Lösungen (3. Aufl.). Wiesbaden: Vieweg+Teubner WERNER M. (2009) Nachrichtentechnik. Eine Einführung für alle Studiengänge (7. Aufl.). Wiesbaden: Vieweg+Teubner Professor Dr.-Ing. Martin Werner Folie 29