R(i,j,0) ist also für alle i,j = 1,...,n endlich und somit eine durch einen regulären Ausdruck beschreibbare Sprache!

Transkript

1 1 2 Reguläre Audrücke und reguläre Sprchen Grundlgen der Theoretichen Inormtik Till Mokowki Fkultät ür Inormtik Otto-von-Guericke Univerität Mgdeurg Winteremeter 2014/15 Stz: [Kleene] Die Kle der durch reguläre Audrücke echreiren Sprchen it genu die Kle der regulären Sprchen. Bewei: D e ür jede Sprche, die durch einen regulären Audruck echrieen werden knn, tet einen endlichen Automten git, der die Sprche kzeptiert, olgt u der Beochtung, d /0 und {} ür elieige Σ von endlichen Automten kzeptierte Sprchen ind und dem Stz üer die Achlueigenchten der von endlichen Automten kzeptierten Sprchen. 3 4 Wir müen lo noch zeigen, d e ür jede Sprche L, die von einem endlichen Automten kzeptiert wird, einen regulären Audruck α git mit L(α) = L. Sei M = (K,Σ,,,F) ein endlicher Automt mit K = {,..., n } und ei =. Für i,j = 1,...,n und k = 0,1,...,n deinieren wir R(i,j,k) = {w Σ M geht unter w von i nch j üer, d.h., ( i,w) M ( j,), ohne d einer der Zwichenzutände ein Zutnd in { k+1,..., n } it. Anng- und Schluzutnd der Berechnung zählen hierei nicht l Zwichenzutände.} Wir zeigen durch Induktion üer k, d lle R(i,j,k) durch einen regulären Audruck echreir ind. Induktionvernkerung: Sei k = 0. Dnn gilt i j : R(i,j,0) = { Σ {} ( i,, j ) } i = j : R(i,j,0) = { Σ {} ( i,, j ) } {} R(i,j,0) it lo ür lle i,j = 1,...,n endlich und omit eine durch einen regulären Audruck echreire Sprche! 5 6 Induktionchritt: Nehmen wir lo n, d die R(i, j, l) durch einen regulären Audruck echreir ind ür l = 0,...,k und lle i,j = 1,...,n. D R(i,j,k + 1) = R(i,j,k) R(i,k + 1,k)R(k + 1,k + 1,k) R(k + 1,j,k) it jede R(i, j, k + 1) durch einen regulären Audruck echreir. Der Stz olgt nun u L(M) = j j F R(1,j,n) c 0 1 Von endlichen Automten zu regulären Audrücken durch Elimintion von Zutänden c 0 Wir verllgemeinern Zutndgrphen und echriten die Knten mit regulären Audrücken. Dei etzen wir := /0, d.h. L() = L(/0 ) = {}. 7 8 Verllgemeinerte endliche Automten Eliminieren von Zutänden Deinition: Ein verllgemeinerter endlicher Automt it ein 5-Tupel (K,Σ,,,F), woei gilt: K it eine endliche Menge von Zutänden, Σ it ein Alphet, K R(Σ) K it die Üerührungreltion oder uch Üergngreltion, woei R(Σ) die Menge der regulären Audrücke üer dem Alphet Σ ei, K it der Strtzutnd und F K it die Menge der Endzutände. Um einen Zutnd zu eliminieren etrchte lle i, j K mit i und j od ( i,α,) und (,β, j ). Wenn einer der Üergänge ( i,δ, j ) oder (,γ,) nicht exitiert, etze δ = /0 eziehungweie γ = /0. γ α β i j δ i δ αγ β Eretze nun die Üergänge ( i,α,),(,β, j ),( i,δ, j ) und (,γ,) durch den neuen Üergng ( i,δ αγ β, j ). j

2 9 10 NEA regulärer Audruck Sei M = (K,Σ,,,F) ein NEA. O.B.d.A. düren wir nnehmen, d M genu einen Endzutnd eitzt. Wir düren erner o.b.d.a. nnehmen, d im zugehörigen Zutndgrphen in keine Knten enden und von keine Knten ugehen. Wir eliminieren nun lle Zutände ußer und. Die lieert einen verllgemeinerten Zutndgrphen mit zwei Zutänden, ür den ein zugehöriger regulärer Audruck direkt geleen werden knn. M η 0 L(M) = {w {,} : w 1 mod 3} Wir ügen einen neuen Strtzutnd ohne eingehende Knten und einen neuen Endzutnd ohne ugehende Knten hinzu. Um zu eliminieren eretzen wir den Pd 0 durch den entprechenden Üergng (,, 0 ) Um zu eliminieren eretzen wir den Pd 0 durch den entprechenden Üergng (,, 0 ). Um zu eliminieren eretzen wir zunächt den Pd 0 0 durch den entprechenden Üergng ( 0,, 0 ) Um zu eliminieren eretzen wir zunächt den Pd 0 0 durch den entprechenden Üergng ( 0,, 0 ). 0 1 Um zu eliminieren eretzen wir dnch den Pd 0 durch den entprechenden Üergng ( 0,, ).

3 Um zu eliminieren eretzen wir dnch den Pd 0 durch den entprechenden Üergng ( 0,, ). Um 0 zu eliminieren eretzen wir den Pd 0 durch den entprechenden Üergng (,( ), ) ( ) 0 ( ) Um 0 zu eliminieren eretzen wir den Pd 0 durch den entprechenden Üergng (,( ), ). L(M) = {w {,} : w 1 mod 3} = L(( ) )

4 25 26 Reguläre und nichtreguläre Sprchen Pumping Lemm ür reguläre Sprchen dec : N 0 {0,1,...,9} Dezimldrtellung {w {0,1,...,9} dec 1 (w) it durch 3 teilr } { n n it eine durch 3 teilre Zhl } { p p it eine Primzhl } {w {,} w enthält gleichviele und } Stz (Pumping Lemm): Sei L eine reguläre Sprche. Dnn git e eine Zhl n, o d ich lle Wörter w L mit w n in w = xyz zerlegen len, o d (1) y (2) xy n (3) xy k z L ür lle k 0 {w {,,c} w enthält gleichviele und } Bewei: Sei M = (K,Σ,δ,,F) ein DEA, der L kzeptiert, und ei n = K. Sei w = w 1 w 2...w n u L, woei w i Σ ür i = 1,...,n und u Σ. Dnn git e n + 1 Konigurtionen, o d mit 0 =. ( 0,w 1 w 2...w n ) M (,w 2...w n ) M M ( n,) Nch dem Schuchprinzip mu e i,j mit 0 i < j n geen, o d i = j. Wir wählen y = w i+1...w j. Dnn gilt ( i,y) M ( i,) Wegen i < j gilt y. Sei x = w 1...w i. Nch Kontruktion it xy n. Sei z = w j+1...w n u. Wegen ( 0,x) M ( i,) und ( i,y) M ( i,) und ( i,z) M ( n,u) gilt ür lle k 0 ( 0,xy k z) M ( i,y k z) M ( i,z) M ( n,u) M (,) ür ein F, lo xy k z L Pumping Lemm: Pumping Lemm: ür lle L REG gilt, e git n 1 o d ür lle w L, w n gilt, e git x,y,z, xy n, y, w = xyz o d ür lle i 0 gilt xy i z L L REG n 1 w L, w n x,y,z, xy n, y, w = xyz i 0 xy i z L e: L 1 = { k k k 0} it nicht regulär: Angenommen, L 1 wäre regulär. Dnn gäe e ein n, o d ich lle Wörter der Länge mindeten n wie im Pumping Lemm ngegeen zerlegen ließen. Betrchte w = n n. Diee Wort müte ich lo in xyz zerlegen len, o d xy i z L 1 ür lle i 0. D xy n, etünde y nur u und xy i z enthielte unterchiedlich viele und ür lle i 1. Widerpruch! L 2 = {w {,} w enthält gleichviele und } it nicht regulär: L 1 = L( ) L 2 L 3 = { p p it eine Primzhl} it nicht regulär. Angenommen, L 3 wäre regulär. Dnn gäe e ein n, o d ich lle Wörter w = p mit p n wie im Pumping Lemm ngegeen zerlegen ließen. Sei lo w = xyz mit x = r, y =, z = t, r,t 0, > 0 Für lle i 0 müte dnn xy i z = r+i +t zu L 3 gehören, d.h., r + i + t müte ür lle i 0 eine Primzhl ein. Ineondere uch ür i = r t + 2, er Widerpruch! r + i + t = r + r t t = ( + 1)(r t)

5 33 34 Homomorphimen L 4 = {ww w {,} } it nicht regulär. Angenommen, L 4 wäre regulär. Dnn gäe e ein n, o d ich lle Wörter der Länge mindeten n wie im Pumping Lemm ngegeen zerlegen ließen. Betrchte n n n n. Diee Wort müte ich lo in xyz zerlegen len, o d xy i z L 4 ür lle i 0. D xy n, wäre xy L( ). Für i = 2 würde die zweite Worthälte nun er mit eginnen, die erte er weiterhin mit. Widerpruch! Seien Σ und Γ Alphete. Eine Funktion h : Σ Γ mit h(uv) = h(u)h(v) ür lle u,v Σ heißt Homomorphimu. E gilt tet h() =. Ferner it ein Homomorphimu ereit durch eine Werte u Σ eindeutig etimmt : Σ = Γ = {,}, h() =, h() = h() = h()h() = h()h()h() = Stz: Sei h : Σ Γ ein Homomorphimu. Fll L Σ eine reguläre Sprche it, dnn it uch h(l) = {h(w) w L} eine reguläre Sprche. : Σ = {,,c}, Γ = {,}, h() =, h() =, h(c) = L = { n k c k n 0,k 0} h(l) = L( ) h 1 (h(l)) = L( (c ) c ( c ) ) Stz: Sei h : Σ Γ ein Homomorphimu. Fll B Γ eine reguläre Sprche it, dnn it uch h 1 (B) = {w h(w) B} eine reguläre Sprche : L 5 = {c i j c k l c m i,j,k,l,m 0, j = l} it nicht regulär: Angenommen, L 5 wäre regulär. Betrchte Homomorphimu h : {,,c} {,} mit h() =, h() =, h(c) =. Dnn müte uch h(l 5 ) regulär ein. Aer it nicht regulär. Widerpruch! h(l 5 ) = { n n n 0} : L 6 = { j k c l j,k,l 0 und k = l ll j = 1} L 6 erüllt d Pumping Lemm: Alle w L 6 mit w 3 len ich entprechend der Bedingungen de Pumping Lemm o in xyz zerlegen, d lle ugepumpten Wörter xy i z, i 0, uch zu L 6 gehören. Wir untercheiden vier Fälle: w enthält mindeten drei. Wähle x = und y =. Mn echte, d durch Aupumpen kein Wort enttehen knn, d genu ein enthält. w enthält genu zwei, d.h., w gehört zu L( c ). Wähle x = und y =. Mn echte, d durch Aupumpen kein Wort enttehen knn, d genu ein enthält. w enthält genu ein. Dnn it w von der Form k c k. Wähle x = und y =. w enthält kein. Dnn gehört w zur Sprche L( c ), die in L 6 enthlten it und regulär it.... L 6 it jedoch nicht regulär! Angenommen, L 6 wäre regulär. Dnn wäre uch L6 R regulär! Dnn gäe e lo ein n, o d ich lle Wörter u L6 R der Länge mindeten n wie im Pumping Lemm ngegeen zerlegen ließen. E it L R 6 = {cl k j j,k,l 0 und k = l ll j = 1} Betrchte w = c n n. D xy n, etünde y nur u c und xy i z enthielte unterchiedlich viele c und und weiterhin genu ein ür lle i 1. Widerpruch!

6 41 Reguläre Grmmtiken 42 L REG Pumping Lemm erüllt (L REG) (Pumping Lemm erüllt) Pumping Lemm erüllt L REG Deinition: () Eine Grmmtik G = (V,Σ,R,S) heißt rechtliner, ll lle Regeln in R von der Form A B oder A ind mit A,B V und Σ. () Eine Grmmtik G = (V,Σ,R,S) heißt linkliner, ll lle Regeln in R von der Form A B oder A ind mit A,B V und Σ. (c) Eine Grmmtik heißt regulär, wenn ie rechtliner oder linkliner it Stz: Die von den regulären Grmmtiken erzeugten Sprchen ind genu die regulären Sprchen. : :, p S S S P P Q P Q P Q P Q S S A A A A B B A B S A B 45