30: Fourier-Transformation

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1 Motivation 30: Fourier-Transformation 30.1 Motivation Im letzten Kapitel wurde die Laplace-Transformation f ÔtÕ FÔsÕ für Funktionen f : Ö0, Õ C definiert. 0 f ÔtÕe st dt, s È C, Wir behandeln nun Funktionen f : R C, die auf ganz R definiert sind. Das verwandte Parameterintegral Ôf ÔωÕ f ÔtÕe iωt dt, ω È R, definiert die Fouriertransformierte von f. Hier wird also ein beidseitiges uneigentliches Integral gebildet und der Parameter s iω mit Res 0 verwendet. Eine enge Verwandtschaft besteht auch zu den Koeffizienten 32.6 der komplexen Fourierreihe einer periodischen Funktion c k Ôf Õ 1 T T 0 f ÔtÕe 2πikt T dt, k È Z. Höhere Mathematik Ver

2 Definition: absolut-integrierbare und quadrat-integrierbare Funktionen 30.2 Definition: absolut-integrierbare und quadrat-integrierbare Funktionen (i) Eine Funktion f : R C heißt absolut-integrierbar, wenn gilt. Die L 1 -Norm von f ist dann Ðf Ð 1 : f ÔtÕ dt f ÔtÕ dt. (ii) Eine Funktion f : R C heißt quadrat-integrierbar, wenn f ÔtÕ 2 dt 1ß2 gilt. Die L 2 -Norm von f ist dann Ðf Ð 2 : f ÔtÕ dtå 2. Bemerkung: Wir werden den Norm-Begriff im folgenden Kapitel über normierte Vektorräume genauer kennenlernen. Höhere Mathematik Ver

3 Definition und Satz: Fourier-Transformierte 30.3 Definition und Satz: Fourier-Transformierte Die Funktion f : R C sei absolut-integrierbar. Dann ist die Fourier-Transformierte Ôf : R C, f Ô 1 ÔωÕ FÖf ÔωÕ f ÔtÕe iωt dt 2π für alle ω È R definiert. Bemerkung: Alternativ wird in Büchern u.a. auch die Definition Ôf ÔωÕ f ÔtÕe 2πiωt dt oder f Ô ÔωÕ f ÔtÕe iωt dt verwendet. Man muss beim Vergleich verschiedener Quellen genau auf die Definition achten. Ebenso ist die Normierung durch Vorfaktoren unterschiedlich. Höhere Mathematik Ver

4 Eigenschaften der Fouriertransformation 30.4 Eigenschaften der Fouriertransformation Spezielle Eigenschaften für reelles f : R R folgen aus der einfachen Beziehung e iωt e iωt, ω,t È R. (i) Falls f reellwertig ist, so gilt f ÔtÕe iωt f ÔtÕe iωt. Also erfüllt die Fouriertransformierte die Beziehung Ôf Ô ωõ 1 f ÔtÕe iωt dt f Ô ÔωÕ. 2π (ii) Falls f reellwertig und gerade ist, so gilt Ôf Ô ωõ f Ô 2 ÔωÕ f ÔtÕcosÔωtÕdt. 2π Insbesondere ist dann Ô f reellwertig. (iii) Falls f reellwertig und ungerade ist, so gilt 2i Ôf Ô ωõ Ô f ÔωÕ f ÔtÕsinÔωtÕdt. 2π Insbesondere ist dann Ô f rein imaginär. Höhere Mathematik Ver

5 Satz von Riemann-Lebesgue Wegen e iωt 1 für ω È R gilt 1 Ô f ÔωÕ f ÔtÕ dt 1 Ðf Ð 1, 2π 2π die Fourier-Transformierte Ô f einer absolut-integrierbaren Funktion ist also beschränkt. Insbesondere ist f Ô 1 Ô0Õ f ÔtÕdt. 2π Es gilt sogar der wichtige Satz: 30.5 Satz von Riemann-Lebesgue Die Fourier-Transformierte Ô f einer absolut-integrierbaren Funktion f : R C ist gleichmäßig stetig auf ganz R und es gilt lim Ôf ÔωÕ 0. ω Bemerkung: Mit den Rechenregeln für differenzierbares f erhält man sogar eine Abnahme-Geschwindigkeit von Ô f ÔωÕ, wie bei den Fourier-Koeffizienten in Höhere Mathematik Ver

6 Satz: Linearität und Rechenregeln Wichtige Eigenschaften sind: 30.6 Satz: Linearität und Rechenregeln Wenn f und g absolut-integrierbare Funktionen sind, so ist auch h αf βg mit α,β È C absolut-integrierbar, und für alle ω È R gilt Weitere Rechenregeln sind: (i) Skalierung: für reelles c 0 sei FÖαf βg ÔωÕ αô f ÔωÕ βôgôωõ. (Linearität) h : R C, hôtõ f ÔctÕ. Dann gilt ÔhÔωÕ 1 c Ô f ω c, ω È R. Höhere Mathematik Ver

7 Satz: Linearität und Rechenregeln 30.6 Satz: Linearität und Rechenregeln(Forts.): (ii) Verschiebung: für τ È R sei h : R C, hôtõ f Ôt τõ. Dann gilt ÔhÔωÕ e iτω Ô f ÔωÕ, ω È R. (iii) Modulation: für η È R sei h : R C, hôtõ e iηt f ÔtÕ. Dann gilt ÔhÔωÕ Ô f Ôω ηõ, ω È R. Höhere Mathematik Ver

8 Satz: Transformierte der Ableitung Weitere Rechenregeln betreffen die Ableitungen und die Stammfunktion von f Satz: Transformierte der Ableitung Die Funktion f : R C sei r-mal differenzierbar und f,f ½,...,f ÔrÕ seien absolut-integrierbar. Dann gilt FÖf ÔrÕ ÔωÕ ÔiωÕ r Ô f ÔωÕ, ω È R. Höhere Mathematik Ver

9 Satz: Transformierte der Stammfunktion 30.8 Satz: Transformierte der Stammfunktion Die Funktion f : R C sei absolut-integrierbar und erfülle die Momentenbedingungen f ÔtÕdt 0, tf ÔtÕ dt. Dann ist die Stammfunktion F ÔtÕ absolut-integrierbar und es gilt t f ÔuÕdu, t È R, ÔF ÔωÕ Ô f ÔωÕ iω für ω È RÞØ0Ù. Höhere Mathematik Ver

10 Satz: Ableitung von Ô f Die Differenzierbarkeit von Ô f folgt ebenfalls aus einer Momentenbedingung: 30.9 Satz: Ableitung von Ô f Die Funktion f : R C sei absolut-integrierbar und erfülle die Momentenbedingung tf ÔtÕ dt. Dann ist die Fourier-Transformierte Ô f : R C stetig differenzierbar und es gilt d f Ô ÔωÕ 1 ÔtÕ e dω 2π Ô itõf iωt dt. Die Ableitung d dω Ô f ist also selbst die Fourier-Transformierte der Funktion hôtõ itfôtõ. Beweis: Die stetige Differenzierbarkeit und die Form der Ableitung folgt wieder aus allgemeinen Sätzen über Parameterintegrale. Höhere Mathematik Ver

11 Satz: Fourier- und Laplacetransformation Für Funktionen f : R R, für die f ÔtÕ 0 für alle t 0 gilt, ist der Zusammenhang der Fourier-Transformation und der Laplace-Transformation offensichtlich Satz: Fourier- und Laplacetransformation Die Funktion f : R R sei absolut-integrierbar und es gelte f ÔtÕ 0 für alle t 0. Die Einschränkung Ö f f Ö0, Õ sei zulässig mit einem Parameter a 0 (siehe Definition 29.1). Dann gilt Ôf ÔωÕ 1 2π LÖÖ f ÔiωÕ. Höhere Mathematik Ver

12 Wichtiges Beispiel: Gaußsche Glockenkurve Wichtiges Beispiel: Gaußsche Glockenkurve Sei σ 0. Die Funktion G σ : R R, G σ ÔtÕ 1 σπ e t2 ßσ hat die Fourier-Transformierte ÔG σ ÔωÕ 1 2π e σω2 ß4 2 σ G 4ßσÔωÕ, ω È R. Speziell für σ 2 erhalten wir 1 F ÖG 2 ÔtÕ ÔωÕ F e t2 ß2 ÔωÕ 1 e ω2ß2 G 2 ÔωÕ. 2π 2π Immer gilt: G σ ÔtÕdt 1. Höhere Mathematik Ver

13 Wichtiges Beispiel: Gaußsche Glockenkurve Bemerkung: Die Fourier-Transformierte einer Gaußschen Glockenkurve ist also wieder eine Gaußsche Glockenkurve. G 2 1 e t2ß2 ist eine Eigenfunktion der Fouriertransformation zum Eigenwert 2π 1. Bilder von Glockenkurven yôtõ G σ ÔtÕ 1 πσ e t2 ßσ. Je kleiner σ ist, desto höher und schmaler wird der Graph der Funktion. Für große Werte von σ wird der Graph breit und flach. Höhere Mathematik Ver

14 Definition und Satz: Faltung (II) Für zwei Funktionen f,g mit dem Definitionsbereich R wird die Faltung neu definiert (vgl ) Definition und Satz: Faltung (II) Die Funktionen f,g : R C seien absolut-integrierbar. Dann heißt die Funktion f g : R C mit Ôf gõôtõ f ÔuÕgÔt uõdu, t È R, die Faltung von f und g. Diese Funktion ist für fast alle t È R definiert (also bis auf eine Nullmenge) und sie ist selbst wieder absolut-integrierbar. Höhere Mathematik Ver

15 Satz: Eigenschaften der Faltung Satz: Eigenschaften der Faltung: Die Faltung absolut-integrierbarer Funktionen f,g : R R erfüllt die Rechenregeln einer Multiplikation, also die Kommutativität, Assoziativität, und Distributivität: f g g f f Ôg hõ Ôf gõ h f Ôg hõ Ôf gõ Ôf hõ Faltungssatz Die Fourier-Transformierte eines Faltungsprodukts absolut-integrierbarer Funktionen f,g : R C ist das Produkt der Fourier-Transformierten: FÖf g ÔωÕ 2π Ô f ÔωÕ ÔgÔωÕ, ω È R. Höhere Mathematik Ver

16 Satz: Konvergenz der Faltungskerne Wichtig für die Umkehrung der Fouriertransformation ist dieser Satz: Satz: Konvergenz der Faltungskerne Mit σ 0 und G σ ÔtÕ 1 σπ e t2 ßσ gilt für jede stetige und absolut-integrierbare Funktion f : R C lim σ 0 Ôf G σõôtõ f ÔtÕ für alle t È R. Höhere Mathematik Ver

17 Satz: Inverse Fourier-Transformation Wie schon bei der Laplace-Transformation stellt sich auch hier die Frage: Ist die Funktion f durch ihre Fourier-Transformierte Ô f eindeutig bestimmt? Wir werden hierzu wieder eine Umkehrformel beweisen: Satz: Inverse Fourier-Transformation Die Funktion f : R C sei stetig und absolut-integrierbar. Wenn auch ˆf absolut-integrierbar ist, so gilt für jedes t È R 1 Ôf ÔωÕ e iωt dω f ÔtÕ. 2π Damit ist Schreibweise: g Ô f f Õg. f ÔtÕ Ô f Ô tõ. Höhere Mathematik Ver

18 Tabelle einiger Rechenregeln Tabelle einiger Rechenregeln Eigenschaft Funktion Transformierte Eigenschaft Funktion Transformierte f ÔtÕ ˆf ÔωÕ f ÔtÕ ˆf ÔωÕ Translation f Ôt τõ e iτωˆf ÔωÕ Konjugierte f ÔtÕ ˆf Ô ωõ Modulation e iηt f ÔtÕ ˆf Ôω ηõ f reell f Ref ˆf Ô ωõ ˆf ÔωÕ Skalierung f ÔctÕ 1 c ˆf ÔωßcÕ Faltung Ôf gõôtõ 2πˆf ÔωÕĝÔωÕ Ableitung f ÔkÕ ÔtÕ ÔiωÕ kˆf 1 ÔωÕ Produkt f ÔtÕgÔtÕ ˆf ĝôωõ Ô2πÕ Ableitung Ô itõ k f ÔtÕ d k dω k ˆf ÔωÕ Inverse ˆf ÔtÕ f Ô ωõ Höhere Mathematik Ver

19 Definition und Satz: Fourier-Transformation in L 2 Nicht für jede Funktion f È L 2 ÔRÕ existiert das uneigentliche Integral 1 f ÔtÕe itω dt, ω È R. 2π Zur Definition der Fourier-Transformierten verwenden wir den Trick aus Beweis der Inversionsformel Definition und Satz: Fourier-Transformation in L 2 Die Funktion f : R C sei quadrat-integrierbar. Dann ist die Fourier-Transformierte Ôf : R C, f Ô 1 ÔωÕ FÖf ÔωÕ lim f ÔtÕe iωt e ÔαtÕ2 dt α 0 2π für fast alle ω È R definiert. Falls f absolut-integrierbar ist, so stimmt der hier definierte Wert mit Ô f ÔωÕ in Definition der Fouriertransformation überein. Höhere Mathematik Ver

20 Satz: Parseval-Identität Die Linearität 30.6, der Satz von Riemann-Lebesgue 30.5 und die Umkehrformel beschreiben wesentliche Eigenschaften der Fourier-Transformation F : L 1 ÔRÕ CÔRÕ. Eine noch viel stärkere Eigenschaft für quadrat-integrierbare Funktionen besagt, dass die L 2 -Norm von f erhalten bleibt Satz: Parseval-Identität Für jede quadrat-integrierbare Funktion f ist auch die Fourier-Transformierte Ô f quadrat-integrierbar, und es gilt Ô f ÔωÕ 2 dω Mit anderen Worten: Die lineare Abbildung f ÔtÕ 2 dt. F : L 2 ÔRÕ L 2 ÔRÕ, FÖf Ô f ist eine Isometrie. Höhere Mathematik Ver

21 Satz: Parseval-Identität Die Parseval-Identität ist äquivalent zur Formel von Plancherel: Üf,gÝ ÜÔ f,ôgý. Für f g ist dies ja die Parseval-Identität. Zwei wichtige Anwendungen der Fourier-Transformation auf L 2 ÔRÕ sollen dieses Kapitel beschließen: das Abtasttheorem nach Shannon, Whittaker, die Unschärferelation von Heisenberg. Höhere Mathematik Ver

22 Definition: bandbeschränkte Funktione Abstasttheorem Definition: bandbeschränkte Funktione Eine quadrat-integrierbare Funktion f : R C heißt bandbeschränkt mit der Bandbreite B 0, wenn Ôf ÔωÕ 0 für ω 2πB gilt. Wichtiges Beispiel: Die wichtigste bandbeschränkte Funktion mit der Bandbreite B ist ³² e 2πiBt e 2πiBt sinô2πbtõ, t 0, S B ÔtÕ 2πit πt ³± 2B, t 0. Ihre Fourier-Transformierte ist die Indikatorfunktion ÔS B ÔωÕ 1 2π 1 Ô 2πB,2πBÕ ÔωÕ. Nachweis mit der Umkehrformel und der Rechnung in Beispiel mit der Indikatorfunktion. Höhere Mathematik Ver

23 Abtasttheorem Abtasttheorem Jede bandbeschränkte Funktion f È L 2 ÔRÕ lässt sich zu einer ganzen Funktion (also einer holomorphen Funktion Ö f : C C) in den Definitionsbereich C fortsetzen. Besitzt f die Bandbreite B 0, so gilt die Darstellung ô Å k sinπ Ô2Bt kõ f ÔtÕ f, t È R, 2B π Ô2Bt kõ k wobei die Reihe im Sinne der L 2 -Norm konvergiert. sinπ Ô2Bt kõ Bemerkung: Die Funktion S BÔt kß2bõ hat den Grenzwert 1 an der Stelle π Ô2Bt kõ 2B t kß2b und den Wert 0 an allen Stellen t lß2b mit l È ZÞØkÙ. Setzen wir also t kß2b ein, so tritt nur der eine Summand Å k SB Ô0Õ k f 2B 2B f 2B der Reihe auf. Die Reihe gibt also an, wie eine Funktion f zwischen ihren Funktionswerten f Ôkß2BÕ mit k È Z interpoliert werden muss, damit f bandbeschränkt ist. Der Wert 2B wird als Abtastrate zur Bandbreite B bezeichnet. Höhere Mathematik Ver Å

24 Definition: Streuung Von ganz anderer Art ist die Aussage zur Unschärferelation. Wir betrachten nun Funktionen f : R C mit Ðf Ð 2 1. Die Streuung (engl. dispersion) von f um einen Punkt t 0 wird gemessen als Ôf;t 0 Õ Ôt t 0 Õ 2 f ÔtÕ 2 dt. Dieser Ausdruck wird minimal, wenn t 0 das sog. 1. Moment ist: t 0 t f ÔtÕ 2 dt. Ableitung nach t 0 ergibt als Bedingung für ein Minimum 2Ôt t 0 Õ f ÔtÕ 2 dt 0, also t 0 f ÔtÕ 2 dt Ðf Ð 2 1 folgt daraus die Behauptung. Genau so definiert man für f Ô und ω0 die Streuung ÔÔ f;ω0 Õ Ôω ω 0 Õ 2 Ô f ÔωÕ 2 dω, die für ω 0 Man beachte dabei, dass ÐÔ f Ð2 1 wegen der Parseval-Identität gilt. t f ÔtÕ 2 dt, und wegen ω Ô f ÔωÕ 2 dω minimal wird. Höhere Mathematik Ver

25 Satz: Unschärferelation Satz: Unschärferelation Für jedes f È L 2 ÔRÕ mit Ðf Ð 2 1 und alle t 0, ω 0 gilt Ôf;t 0 Õ ÔÔ f;ω0 Õ 1 4. D.h. das Produkt aus der Streuung von f im Zeitbereich und im Frequenzbereich kann den Wert 1ß4 nicht unterschreiten. Beispiel: Die Gaußsche Glockenkurve f ÔtÕ 1 4 π e t2 ß2, t È R, hat die L 2 -Norm 1 und die Streuung (um t 0 0) Ôf;0Õ 1 π t 2 e t2 dt 1 1 t 2te t2 dt 1 1 π 2 π 2 Die Fouriertransformierte lautet nach Ô f ÔωÕ f ÔωÕ. Damit ergibt sich auch Ô Ô f;0õ 1 2. In diesem Beispiel wird also die untere Schranke angenommen! e t2 dt 1 2. Höhere Mathematik Ver

26 Bemerkung Bemerkung Die untere Schranke 1 4 wird mit t 0,ω 0 È R genau dann angenommen, wenn f eine modulierte, verschobene und skalierte Gaußsche Glockenfunktion ist: f ÔtÕ C 1 e iω0t e βôt t0õ2 mit β 0. Dabei ist C 1 È C eine Konstante, die zu Ðf Ð 2 1 passt. Höhere Mathematik Ver