Die Jordansche Normalform
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- Carsten Sachs
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1 De Jordansche Normalform Danel Hug 29. Aprl 211 KIT Unverstät des Landes Baden-Württemberg und natonales Forschungszentrum n der Helmholtz-Gemenschaft
2 1 Zerlegung n Haupträume 2 Fazt und nächstes Zel 3 Herletung der JNF 4 Bespele 2 / 3
3 Wr betrachten folgende Stuaton, de mt (V) beschreben wrd: Se V en K -Vektorraum, dmv = n, Φ End(V), seen c 1,..., c k K paarwese verscheden, p = ( 1) n (X c 1 ) r1 (X c k ) r k, r 1 m = (X c 1 ) s1 (X c k ) s k, 1 s r. Man nennt H c := Kern (Φ c d V ) r den Hauptraum von Φ zum EW c und s den Index von H c. 3 / 3
4 Wr betrachten folgende Stuaton, de mt (V) beschreben wrd: Se V en K -Vektorraum, dmv = n, Φ End(V), seen c 1,..., c k K paarwese verscheden, p = ( 1) n (X c 1 ) r1 (X c k ) r k, r 1 m = (X c 1 ) s1 (X c k ) s k, 1 s r. Man nennt H c := Kern (Φ c d V ) r den Hauptraum von Φ zum EW c und s den Index von H c. 3 / 3
5 De Haupträume H c snd Φ-nvarante Unterräume, d.h. Φ(H c ) H c, = 1,..., k. Satz - Zerlegung n Haupträume Se (V) gegeben. Dann glt: 1 V = H c1 H ck. 2 H c = Kern(Φ c d V ) s. 3 s st zuglech de klenste natürlch Zahl s mt Kern(Φ c d V ) s = Kern(Φ c d V ) s+1. 4 / 3
6 Bewes. Se k = 2 (der allgemene Fall folgt mt Aufg. 1 (a), Blatt 2), d.h. p = ( 1) n (X c 1 ) r 1 (X c 2 ) r 2. Da (X c 1 ) r 1 und (X c 2 ) r 2 telerfremd snd, gbt es q 1, q 2 K [X] mt Ensetzen von Φ ergbt q 1 (X c 1 ) r 1 + q 2 (X c 2 ) r 2 = 1. q 1 (Φ) (Φ c 1 d V ) r 1 (x) + q }{{} 2 (Φ) (Φ c 2 d V ) r2 (x) = x, x V. }{{} =:y 1 H c2 =:y 2 H c1 Des zegt dann V = H c1 + H c2. 5 / 3
7 Bewes. Se k = 2 (der allgemene Fall folgt mt Aufg. 1 (a), Blatt 2), d.h. p = ( 1) n (X c 1 ) r 1 (X c 2 ) r 2. Da (X c 1 ) r 1 und (X c 2 ) r 2 telerfremd snd, gbt es q 1, q 2 K [X] mt Ensetzen von Φ ergbt q 1 (X c 1 ) r 1 + q 2 (X c 2 ) r 2 = 1. q 1 (Φ) (Φ c 1 d V ) r 1 (x) + q }{{} 2 (Φ) (Φ c 2 d V ) r2 (x) = x, x V. }{{} =:y 1 H c2 =:y 2 H c1 Des zegt dann V = H c1 + H c2. 5 / 3
8 Nachwes zu y 1 H c2 : (Φ c 2 d V ) r 2 (y 1 ) = (Φ c 2 d V ) r 2 q 1 (Φ) (Φ c 1 d V ) r 1 (x) = q 1 (Φ) (Φ c 1 d V ) r 1 (Φ c 2 d V ) r 2 (x) = q 1 (Φ)(± p(φ)(x)) = q(φ)() =. Wr zegen noch de Drekthet der Summe V = H c1 H c2, d.h. H c1 H c2 = {}: Se also x H c1 H c2. Wegen q 1 (Φ) (Φ c 1 d V ) r 1 (x) + q }{{} 2 (Φ) (Φ c 2 d V ) r2 (x) = x, x V. }{{} =:y 1 H c2 =:y 2 H c1 erhält man x = y 1 + y 2 = + =. 6 / 3
9 Nachwes zu y 1 H c2 : (Φ c 2 d V ) r 2 (y 1 ) = (Φ c 2 d V ) r 2 q 1 (Φ) (Φ c 1 d V ) r 1 (x) = q 1 (Φ) (Φ c 1 d V ) r 1 (Φ c 2 d V ) r 2 (x) = q 1 (Φ)(± p(φ)(x)) = q(φ)() =. Wr zegen noch de Drekthet der Summe V = H c1 H c2, d.h. H c1 H c2 = {}: Se also x H c1 H c2. Wegen q 1 (Φ) (Φ c 1 d V ) r 1 (x) + q }{{} 2 (Φ) (Φ c 2 d V ) r2 (x) = x, x V. }{{} =:y 1 H c2 =:y 2 H c1 erhält man x = y 1 + y 2 = + =. 6 / 3
10 Das vorangehende Argument verwendet ledglch (X c 1 ) r 1 und (X c 2 ) r 2 snd telerfremd, p = ( 1) n (X c 1 ) r 1 (X c 2 ) r 2 annulert Φ. Nun glt aber auch (X c 1 ) s 1 und (X c 2 ) s 2 snd telerfremd, m = (X c 1 ) s 1 (X c 2 ) s 2 annulert Φ. Somt erhält man V = Kern(Φ c 1 d V ) s 1 Kern(Φ c 2 d V ) s 2. 7 / 3
11 Das vorangehende Argument verwendet ledglch (X c 1 ) r 1 und (X c 2 ) r 2 snd telerfremd, p = ( 1) n (X c 1 ) r 1 (X c 2 ) r 2 annulert Φ. Nun glt aber auch (X c 1 ) s 1 und (X c 2 ) s 2 snd telerfremd, m = (X c 1 ) s 1 (X c 2 ) s 2 annulert Φ. Somt erhält man V = Kern(Φ c 1 d V ) s 1 Kern(Φ c 2 d V ) s 2. 7 / 3
12 Das vorangehende Argument verwendet ledglch (X c 1 ) r 1 und (X c 2 ) r 2 snd telerfremd, p = ( 1) n (X c 1 ) r 1 (X c 2 ) r 2 annulert Φ. Nun glt aber auch (X c 1 ) s 1 und (X c 2 ) s 2 snd telerfremd, m = (X c 1 ) s 1 (X c 2 ) s 2 annulert Φ. Somt erhält man V = Kern(Φ c 1 d V ) s 1 Kern(Φ c 2 d V ) s 2. 7 / 3
13 Wegen Kern(Φ c 1 d V ) s 1 Kern(Φ c 1 d V ) t, t s folgt aus der Drekthet der obgen Zerlegung Kern(Φ c 1 d V ) t = H c, t s. De Kerne hören also be t = s auf zu wachsen. Wr überlegen uns nun, dass de Kerne für klenere Exponenten strkt wachsen. Behauptung: Wenn dann Kern(Φ c 1 d V ) t = Kern(Φ c 1 d V ) t+1 Kern(Φ c 1 d V ) t+1 = Kern(Φ c 1 d V ) t+2. 8 / 3
14 Wegen Kern(Φ c 1 d V ) s 1 Kern(Φ c 1 d V ) t, t s folgt aus der Drekthet der obgen Zerlegung Kern(Φ c 1 d V ) t = H c, t s. De Kerne hören also be t = s auf zu wachsen. Wr überlegen uns nun, dass de Kerne für klenere Exponenten strkt wachsen. Behauptung: Wenn dann Kern(Φ c 1 d V ) t = Kern(Φ c 1 d V ) t+1 Kern(Φ c 1 d V ) t+1 = Kern(Φ c 1 d V ) t+2. 8 / 3
15 Nachwes: De Voraussetzung se erfüllt. In der Folgerung glt stets. Wr wollen auch ensehen. Se also x Kern(Φ c 1 d V ) t+2, d.h. (Φ c 1 d V ) t+2 (x) =. Dann st aber und daher Des zegt (Φ c 1 d V ) t+1 ((Φ c 1 d V )(x)) = (Φ c 1 d V )(x) Kern(Φ c 1 d V ) t+1 = Kern(Φ c 1 d V ) t. (Φ c 1 d V ) t+1 (x) = (Φ c 1 d V ) t ((Φ c 1 d V )(x)) =, also x Kern(Φ c 1 d V ) t+1. 9 / 3
16 Wäre nun Kern(Φ c 1 d V ) t = Kern(Φ c 1 d V ) s für en 1 t < s, so wäre auch V = Kern(Φ c 1 d V ) t H c2. Heraus aber würde (we früher) folgen, dass das Polynom m := (X c 1 ) t (X c 2 ) s 2 den Endomorphsmus Φ annulert. Des wdersprcht der Mnmaltät des Grades des Mnmalpolynoms. 1 / 3
17 Satz - Dagonalserbarket Se V en n-dmensonaler K -VR und Φ End(V). Genau dann st Φ dagonalserbar, wenn m = (X c 1 ) (X c k ) glt mt p.v. c 1,..., c k K. Bewes: : wurde schon gezegt. : Se also m = (X c 1 ) (X c k ). Dann st s = 1 und nach dem vorangehenden Satz H c = E c sowe V = H c1 H ck = E c1 E ck. Da V somt drekte Summe der Egenräume von Φ st, folgt de Dagonalserbarket aus enem früheren Satz. 11 / 3
18 Satz - Dagonalserbarket Se V en n-dmensonaler K -VR und Φ End(V). Genau dann st Φ dagonalserbar, wenn m = (X c 1 ) (X c k ) glt mt p.v. c 1,..., c k K. Bewes: : wurde schon gezegt. : Se also m = (X c 1 ) (X c k ). Dann st s = 1 und nach dem vorangehenden Satz H c = E c sowe V = H c1 H ck = E c1 E ck. Da V somt drekte Summe der Egenräume von Φ st, folgt de Dagonalserbarket aus enem früheren Satz. 11 / 3
19 Berechnung des Index s enes Hauptraumes H c : s st der Exponent des Lnearfaktors (X c ) m Mnmalpolynom m. s st das klenste s N mt Kern(Φ c d V ) s = Kern(Φ c d V ) s+1. s st das klenste s N mt Bld(Φ c d V ) s = Bld(Φ c d V ) s+1. s st das klenste s N mt Rg(Φ c d V ) s = Rg(Φ c d V ) s / 3
20 Berechnung des Index s enes Hauptraumes H c : s st der Exponent des Lnearfaktors (X c ) m Mnmalpolynom m. s st das klenste s N mt Kern(Φ c d V ) s = Kern(Φ c d V ) s+1. s st das klenste s N mt Bld(Φ c d V ) s = Bld(Φ c d V ) s+1. s st das klenste s N mt Rg(Φ c d V ) s = Rg(Φ c d V ) s / 3
21 Bespel 1: Betrachte A = Man erhält p = det(a X E 4 ) = (X 1)(X + 3) 3, m = (X 1)(X + 3) s, s {1, 2, 3}. Her st also c 1 = 1, s 1 = 1, c 2 = 3 und s 2 {1, 2, 3} st noch zu bestmmen. Des gelngt so: Rg(A + 3E 4 ) = Rg = 2 13 / 3
22 Und weter: Rg(A + 3E 4 ) 2 = Rg 16 = 1 Rg(A + 3E 4 ) 3 = Rg 64 = 1. Des zegt s 2 = 2, m = (X 1)(X + 3) / 3
23 Ferner st H 1 = E 1 = Kern(A E 4 ) = [ 1 ] und H 3 = Kern(A + 3E 4 ) 2 = [ 1, 1, 1 ] E 3 = [ 1 1, 1 1 ]. 15 / 3
24 Bespel 2: Betrachte A = Man erhält p = (X 2) 4, und daher st m = (X 2) s, s {1, 2, 3, 4}. Indexbestmmung: Rg(A 2E 4 ) = Rg = 1, Rg(A 2E 4 ) 2 = Rg(O) =. 16 / 3
25 Also st s = 2 und m = (X 2) 2. Es glt ferner H 2 = R 4 E 2 = [ 1 1, 1, 1 1 ]. 17 / 3
26 Fazt: Se V en K -Vektorraum, dmv = n, Φ End(V), seen c 1,..., c k K paarwese verscheden, p = ( 1) n (X c 1 ) r1 (X c k ) r k, r 1 m = (X c 1 ) s1 (X c k ) s k, 1 s r. De Haupträume H c = Kern(Φ c d V ) s snd Φ-nvarante Unterräume und V = H c1 H ck. Wählt man n jedem der Haupträume ene Bass und setzt dese (snnvoll) zu ener Bass von V zusammen, so erhält man bezüglch deser Bass A Φ = A c1 A c2... A ck. 18 / 3
27 Zel: Da de Haupträume Φ nvarant snd, können wr de wetere Untersuchung auf enen solchen beschränken. Se also H c en Hauptraum von Φ und Φ : H c H c. Gesucht st ene Bass von H c, so dass de beschrebende Matrx A c von Φ Hc möglchst enfach st. Zunächst haben wr ene aufstegende Kette von Φ-nvaranten Untervektorräumen Kern(Φ cd V ) : {} = Kern(Φ c d V ) Kern(Φ c d V ) 1 }{{} E c Kern(Φ c d V ) 2 Kern(Φ c d V ) s = H c. 19 / 3
28 Zel: Da de Haupträume Φ nvarant snd, können wr de wetere Untersuchung auf enen solchen beschränken. Se also H c en Hauptraum von Φ und Φ : H c H c. Gesucht st ene Bass von H c, so dass de beschrebende Matrx A c von Φ Hc möglchst enfach st. Zunächst haben wr ene aufstegende Kette von Φ-nvaranten Untervektorräumen Kern(Φ cd V ) : {} = Kern(Φ c d V ) Kern(Φ c d V ) 1 }{{} E c Kern(Φ c d V ) 2 Kern(Φ c d V ) s = H c. 19 / 3
29 Mt der Bezechnung U j := Kern(Φ c d V ) j, j =,..., s glt also {o} = U U 1 = E c U 2... U s 1 U s = H c. Also erhalten wr ene drekte Zerlegung der Form H c = U s = U s 1 W 1 U s 1 = U s 2 W 2 U s 2 = U s 3 W 3... U 2 = U 1 W s 1 U 1 = E c wobe dmw 1 =: q 1 1, dmw 2 =: q 2 1, dmw 3 =: q 3 1,..., dmw s 1 =: q s 1 1, dme c =: q s =: q 1. 2 / 3
30 Mt der Bezechnung U j := Kern(Φ c d V ) j, j =,..., s glt also {o} = U U 1 = E c U 2... U s 1 U s = H c. Also erhalten wr ene drekte Zerlegung der Form H c = U s = U s 1 W 1 U s 1 = U s 2 W 2 U s 2 = U s 3 W 3... U 2 = U 1 W s 1 U 1 = E c wobe dmw 1 =: q 1 1, dmw 2 =: q 2 1, dmw 3 =: q 3 1,..., dmw s 1 =: q s 1 1, dme c =: q s =: q 1. 2 / 3
31 Basswahl Schrtt 1: Wähle Bass B 1 = (x (1) 1,..., x(1) q 1 ) von W 1 x (2) := (Φ c d)(x (1) ), = 1,..., q 1. Beh.: x (2), = 1,..., q 1 l.u. n U s 1, [x (2) 1,..., x(2) q 1 ] U s 2 = {}. Schrtt 2: Ergänze nun (x (2) 1,..., x(2) q 1 ) zu ener Bass B 2 = (x (2) 1,..., x(2) q 1,..., x (2) q 2 ) von W 2, nsb. q 2 q 1 1. x (3) := (Φ c d)(x (2) ), = 1,..., q 2. Beh.: x (3), = 1,..., q 2 l.u. n U s 2, [x (3) 1,..., x(3) q 2 ] U s 3 = {}. 21 / 3
32 Schrtt 3: Ergänze nun x (3) 1,..., x(3) q 2 zu ener Bass B 3 = (x (3) 1,..., x(3) q 2,..., x (3) q 3 ) von W 3, nsb. q 3 q 2 q 1 1. So fortfahrend erhält man schleßlch ene Bass B s 1 = (x (s 1) 1,..., x (s 1) q s 1 ) von W s 1, nsb. q s 1 q s x (s) := (Φ c d)(x (s 1) ), = 1,..., q s 1. Beh.: x (s), = 1,..., q s 1 l.u. n U 1 Schrtt s: Ergänze nun x (s) 1,..., x(s) q s 1 zu ener Bass B s = (x (s) 1,..., x(s) q s 1,..., x (s) q s ) von U 1, nsb. q s q s Beachte: H c = W 1... W s 1 U 1 22 / 3
33 B 1 : x (1) 1,..., x (1) q 1 B 2 : x (2) 1,..., x (2) q 1, x (2) q 1 +1,..., x(2) q 2 B 3 : x (3) 1,..., x (3) q 1, x (3) q 1 +1,..., x(3) q 2, x (3) q 2 +1,..., x(3) q 3. B s : x (s) 1,..., x(s) q 1, x (s) q 1 +1,..., x(s) q 2, x (s) q 2 +1,..., x(s) q 3,..., x (s) q s 1 +1,..., x(s) q s Durchlaufe de Bassvektoren nun ncht zelenwese, sondern spaltenwese: B = (x (1) 1,..., x(s) 1,..., x(1) q 1,..., x (s) q 1, x (2) q 1 +1,..., x(s) q 1 +1,..., x(s) q s 1 +1,..., x(s) q s ) 23 / 3
34 Wrkung von Φ auf B: Für j = 1,..., s 1, = q j 1 + 1,..., q j, q := : (Φ c d)(x (j) ) = x (j+1) Für j = s, = q j 1 + 1,..., q j glt: Φ(x (j) ) = c x (j) + x (j+1) Φ(x (s) ) = c x (s). Beschrebende Matrx A c von Φ bezüglch der gewählten Bass B auf H c : A 1 A 2 A = A q c 1 c 1 c 1 c, A = c 1 c 24 / 3
35 Wrkung von Φ auf B: Für j = 1,..., s 1, = q j 1 + 1,..., q j, q := : (Φ c d)(x (j) ) = x (j+1) Für j = s, = q j 1 + 1,..., q j glt: Φ(x (j) ) = c x (j) + x (j+1) Φ(x (s) ) = c x (s). Beschrebende Matrx A c von Φ bezüglch der gewählten Bass B auf H c : A 1 A 2 A = A q c 1 c 1 c 1 c, A = c 1 c 24 / 3
36 De Jordankästchen snd: A 1,..., A q1 K s s A q1 +1,..., A q2 K (s 1) (s 1). A qs 1 +1,..., A qs K 1 1 Anzahl der Jordankästchen der Länge l: q s l+1 q s l = dm(w s l+1 ) dm(w s l ) = [dm(u s (s l+1)+1 ) dm(u s (s l+1) )] [dm(u s (s l)+1 ) dm(u s (s l) ] = 2dm(U l ) dm(u l 1 ) dm(u l+1 ) 25 / 3
37 Satz (Jordanschen Normalform) Se V en n-dm. K -VR, Φ End(V), p = ( 1) n (X c 1 ) r1 (X c k ) r k und m = (X c 1 ) s1 (X c k ) s k, 1 s r. Dann exstert ene Bass B von V, bezüglch der Φ de Matrxdarstellung A Φ hat mt A Φ = A c1 A c2..., A c K r r : Jordanblock zu c. A ck Jeder Jordanblock A c st aus Jordankästchen zum EW c aufgebaut. Im Jordanblock A c gbt es genau ( 2dm Kern(Φ c d) l) ( dm Kern(Φ c d) l 1) dm (Kern(Φ c d) l+1) Jordankästchen der Länge l, l {1,..., s }. Im Jordanblock A c treten genau dm(e c ) Jordankästchen auf; es gbt mndestens en Jordankästchen der Maxmallänge s. 26 / 3
38 Anmerkungen: A Φ heßt Jordansche Normalform (JNF) von Φ zur Jordanbass B. De JNF st bs auf de Rehenfolge der Kästchen endeutg bestmmt. Zu A K n n betrachte Φ End(K n n ) mt Φ(x) = Ax. De JNF von A st erklärt als de JNF von Φ, falls dese exstert. Snd A, B ähnlche Matrzen, und exstert de JNF zu ener von desen, so haben bede deselbe JNF. Für K = C zerfällt das charakterstsche Polynom, de JNF exstert. 27 / 3
39 Anmerkungen: A Φ heßt Jordansche Normalform (JNF) von Φ zur Jordanbass B. De JNF st bs auf de Rehenfolge der Kästchen endeutg bestmmt. Zu A K n n betrachte Φ End(K n n ) mt Φ(x) = Ax. De JNF von A st erklärt als de JNF von Φ, falls dese exstert. Snd A, B ähnlche Matrzen, und exstert de JNF zu ener von desen, so haben bede deselbe JNF. Für K = C zerfällt das charakterstsche Polynom, de JNF exstert. 27 / 3
40 Anmerkungen: A Φ heßt Jordansche Normalform (JNF) von Φ zur Jordanbass B. De JNF st bs auf de Rehenfolge der Kästchen endeutg bestmmt. Zu A K n n betrachte Φ End(K n n ) mt Φ(x) = Ax. De JNF von A st erklärt als de JNF von Φ, falls dese exstert. Snd A, B ähnlche Matrzen, und exstert de JNF zu ener von desen, so haben bede deselbe JNF. Für K = C zerfällt das charakterstsche Polynom, de JNF exstert. 27 / 3
41 Anmerkungen: A Φ heßt Jordansche Normalform (JNF) von Φ zur Jordanbass B. De JNF st bs auf de Rehenfolge der Kästchen endeutg bestmmt. Zu A K n n betrachte Φ End(K n n ) mt Φ(x) = Ax. De JNF von A st erklärt als de JNF von Φ, falls dese exstert. Snd A, B ähnlche Matrzen, und exstert de JNF zu ener von desen, so haben bede deselbe JNF. Für K = C zerfällt das charakterstsche Polynom, de JNF exstert. 27 / 3
42 Bespele: ( ) ( ) (1) A C 2 2 c1 c : Möglche JNF snd oder. c 2 1 c (2) Se A = 1 1. Man berechnet lecht, dass p = (X 2) glt. Es folgt m = (X 2) s, s {1, 2, 3}. Wegen Rg(A 2E 3 ) = Rg = folgt dm(e 2 ) = 1. Im enzgen Jordanblock zum EW 2 gbt es somt genau en Jordankästchen, das zudem Maxmallänge 3 haben muss. Ferner st s = 3 und de JNF Ã von A st 2 Ã = / 3
43 Bespele: ( ) ( ) (1) A C 2 2 c1 c : Möglche JNF snd oder. c 2 1 c (2) Se A = 1 1. Man berechnet lecht, dass p = (X 2) glt. Es folgt m = (X 2) s, s {1, 2, 3}. Wegen Rg(A 2E 3 ) = Rg = folgt dm(e 2 ) = 1. Im enzgen Jordanblock zum EW 2 gbt es somt genau en Jordankästchen, das zudem Maxmallänge 3 haben muss. Ferner st s = 3 und de JNF Ã von A st 2 Ã = / 3
44 Wr bestmmen ene Jordanbass: V = H 2 = C 3. 1 U 2 = Kern(Φ 2E 3 ) 2 = [, 1 ], 1 1 U 1 = Kern(Φ 2E 3 ) 1 = [ 1 ]. 1 Wähle x 1 := 1 U 2 [x 1 ] = C 3 und dann 4 2 x 2 := (Φ 2E 3 )x 1 = 2, x 3 := (Φ 2E 3 )x 2 = / 3
45 Dannn st 4 2 S = und es folgt à = S 1 AS. 3 / 3
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