TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN

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1 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN FRANZ LEMMERMEYER Trigonometrie ist die Lehre von der Dreiecksmessung. Bereits in der Antike waren Kenntnisse der elementaren Trigonometrie Grundlage der Vermessungskunst. Im 6. Jahrhundert v.chr. haben die Griechen einen Tunnel zur Wasserversorgung einer Stadt durch einen Berg auf der Insel Samos getrieben, und zwar von beiden Seiten gleichseitig. Im Jahre 80 n.chr. bauten die Römer eine 00 km lange Wasserleitung (Aquädukt) zur Versorgung der Stadt Köln (damals Colonia Claudia Ara Agrippinensium), die sogenannte Eifelwasserleitung. In der Neuzeit hat man begonnen, Europa mit Hilfe von Triangulierungen genau zu vermessen. Frankreich hat Ende des 8. Jahrhunderts den Meter als den 40- millionsten Teil des Erdumfangs entlang eines Meridians festgelegt und dazu die Entfernung zwischen Dünkirchen im Norden Frankreichs und Barcelona vermessen. Dies ist der Grund, warum der Erdumfang in erster Näherung heute gleich km ist.. Definition der trigonometrischen Funktionen Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten A und G, sowie der Hypotenuse H. Vom Winkel α aus betrachtet nennt man G die Gegenkathete und A die Ankathete des Dreiecks. Das Verhältnis G : A hängt jetzt nur von α und nicht von der Größe des Dreiecks ab, denn nach dem Strahlensatz ist G : A = g : a. Daher können wir definieren sin α = G H, cos α = A H, tan α = G A, cot α = A G. Die beiden noch fehlenden Verhältnisse H A und H G werden im angloamerikanischen Sprachraum mit Sekans und Kosekans bezeichnet, spielen aber bei uns keine Rolle. Etwas unglücklich dagegen ist die Abschaffung des Kotangens in der deutschen Schulmathematik, vor allem, weil der Kotangens vom funktionentheoretischen Aspekt her die natürlichste aller trigonometrischen Funktionen ist. Leider sind die meisten Didaktiker in ihrem Mathematikstudium nicht so weit gekommen... Weil in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse immer die längste Seite ist, muss A H < und G H < gelten: Satz. Für Winkel 0 < α < 90 gilt 0 < sin α < und 0 < cos α <. Da die trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck definiert worden sind, gilt auch der Satz des Pythagoras A + G = H. Division durch H ergibt wegen A H = cos α und G H = sin α den folgenden

2 FRANZ LEMMERMEYER Abbildung. Trigonometrische Funktionen am rechtwinkligen Dreieck Satz. Es gilt der trigonometrische Satz des Pythagoras cos α + sin α =. Dies bedeutet, dass man sin α berechnen kann, wenn man cos α kennt, und umgekehrt. Bei Licht besehen ist das trivial, denn es gilt ja sin α = G H = cos β = cos(90 α). Satz 3. Für alle Winkel α mit 0 < α < 90 gilt sin α = cos(90 α). Eine weitere fundamentale Beziehung erhält man, wenn man sin α durch cos α dividiert; man findet dann (Erweitere den Bruch mit H) G sin α cot α = H = G = tan α. A Satz 4. Für alle Winkel α mit 0 < α < 90 gilt tan α = sin α cos α. A H Übungen () Zeige, dass tan x + = cos x gilt.. Besondere Werte Die Berechnung von Werten der trigonometrischen Funktionen ist ein Thema für sich. Die ersten bekannten trigonometrischen Tabellen wurden von Ptolemäus, einem griechischen Astronomen aus Alexandria, im ersten Jahrhundert n.chr. veröffentlicht. Wir begnügen uns hier mit einigen wenigen Beispielen, in denen die Berechnung ohne Näherungen auskommt. Am einfachsten ist die Lage im gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck.,m also demjenigen mit α = β = 45. Dort ist A = G und folglich tan 45 = G A =. Nach dem Satz des Pythagoras ist H = G + A = G und daher H = G. Also folgt sin 45 = G H = G = = G,

3 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 3 wobei wir im letzten Schritt den Nenner durch Erweitern mit rational gemacht haben. Wegen cos 45 = sin 45 ist auch cos 45 =. Abbildung. Dreiecke mit α = 45 und α = 30. Auch das Dreieck mit α = 30 und β = 60 lässt sich leicht berechnen, wenn man erkennt, dass ein solches Dreieck ein halbes gleichseitiges Dreieck ist. Dann folgt nämlich G = H und damit sin 30 = cos 60 =. Der Satz des Pythagoras liefert weiter H = G + A = 4 H + A, also A = 3 4 H und damit A = 3 H. Daraus ergibt sich sin 60 = cos 30 = 3. Insbesondere ist tan 30 sin 30 = cos 30 = = 3 3 und tan 60 = 3. Tragen wir diese Werte in eine Tabelle ein, so erhalten wir α sin α cos α tan α Mit der Halbierungsformel lassen sich weitere Werte trigonometrischer Funktionen berechnen, und tatsächlich wurden die ersten Tabellen von Funktionswerten dieser Funktionen damit berechnet. Um diese formel herzuleiten, betrachten wir ein gleichschenkliges Dreieck mit Schenkeln der Länge und einem Winkel α an der Spitze. Wir werden dessen Flächeninhalt A auf zwei verschiedene Arten berechnen. Einerseits ist A = ah a und sin α = a, also A = h a sin α. Wegen cos α = h a finden wir daher A = sin α cos α. Andererseits ist A = h b und sin(α) = h b, also A = sin(α).

4 4 FRANZ LEMMERMEYER Ein Vergleich der beiden Formeln liefert sofort Quadriert man diese Formel und benutzt so erhalten wir also sin(α) = sin α cos α. sin (α) = cos (α) und sin α = cos α, cos (α) = 4 cos α( cos α), cos (α) = 4 cos 4 α 4 cos α + = ( cos α ). Wurzelziehen liefert cos(α) = ±( cos α ). Nun ist cos(α) > 0 für 0 < α < 45 und cos(α) < 0 für 45 < α < 90 ; auf der anderen Seite ist cos α > 0 für 0 < α < 45 und cos α < 0 für 45 < α < 90. Also gilt Satz 5. Für alle Winkel 0 < α < 90 gilt sin(α) = sin α cos α, cos(α) = cos α. Löst man die letzte Gleichung nach cos α auf, findet man + cos(α) cos α =. Setzt man hier α =, 5, so folgt cos, = =. Mit den weiter unten besprochenen Additionsformeln erhält man auf ähnliche Art und Weise folgende Tabelle von Werten der Kosinusfunktion. α 7, 5 0 cos α , , α cos α 45 5, , 5 8, Übungen cos(α) () Zeige, dass sin α = gilt. () Zeige, dass tan α = cos(α) sin(α) gilt.

5 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 5 (3) Das Rechteck in der folgenden Abbildung besteht aus zwei gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten bzw. 3, und zwei weiteren rechtwinkligen Dreiecken. Berechne die Längen aller auftretenden Strecken und alle Winkel, und leite aus dem Ergebnis den exakten Wert von sin 5 her. 3. Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis Die Definition der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck hat den Nachteil, dass sie nur für Winkel < 90 gültig ist. Selbst für den Kosinussatz (eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf beliebige Dreiecke) braucht man aber die Werte der Kosinusfunktion für Winkel > 90, und zur Beschreibung periodischer Vorgänge in der Physik und in der Astronomie sind trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel unverzichtbar. Obwohl nicht unbedingt nötig, führen wir zusammen mit den trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis auch ein neues Winkelmaß ein, das Bogenmaß. Die klassische Einteilung des Vollwinkels in 360 stammt aus der Astronomie und geht auf die Babylonier zurück; bei dieser Einteilung hat zum einen das auf der Basis 60 aufgebaute Zahlensystem der Babylonier Pate gestanden, zum andern die Tatsache, dass das Jahr grob 360 Tage besitzt und die Sonne daher mit einer Winkelgeschwindigkeit von durch die Sternbilder des Tierkreises wandert. Das Bogenmaß misst einen Winkel durch die Länge des Kreisbogens, den der Winkel aus dem Einheitskreis ausschneidet. Damit entsprechen den 360 des Vollwinkels das Bogenmaß π (im Englischen wird die Einheit oft als radian bezeichnet, im Deutschen seltener als Radiant), und alle anderen Winkel kann man daraus mit dem Dreisatz berechnen. Merken sollte man sich, dass 80 = π und 90 = π sind. Legt man A( 0) auf dem Einheitskreis fest, dann ist der Winkel α = AOP durch einen Punkt P auf dem Kreis festgelegt, und es ist α die Länge des Kreisbogens AP.

6 6 FRANZ LEMMERMEYER Abbildung 3. Bogenmaß Sei F der Lotfußpunkt von P auf der x-achse. Dann ist nach der Definition von Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck F OP sin α = P F OP = P F, OF cos α = OP = OF, weil ja am Einheitskreis OP = ist. Mit anderen Worten: der Punkt P, der den Winkel α festlegt, hat Koordinaten P (cos α sin α). Der Punkt P ( 0) entspricht dem Winkel α = 0, folglich ist cos 0 = und sin 0 = 0. Der Punkt P (0 ) gehört zu α = π, folglich ist cos π = 0 und sin π = usw. Damit kann man die Sinus- und Kosinusfunktion für alle Werte des Winkels x bestimmen und erhält die Schaubilder aus Abb. 4. Offenbar wiederholen sich die Werte dieser Funktion, wenn man zu einem beliebigen Winkel x den Vollwinkel π addiert; also ist sin(x + π) = sin(x) und cos(x + π) = cos(x). Abbildung 4. Schaubilder der Sinus- und Kosinusfunktion Auf dieser Webseite kann (und sollte) man sich ansehen, wie diese Schaubilder aus den Winkeln am Einheitskreis entstehen. Dazu klicke man links oben die Funktion an, für die man sich interessiert, und bewege dann mit der Maus den Punkt auf dem Einheitskreis. Das Schaubild der Tangensfunktion ist komplizierter, weil deren Funktionswerte beliebig groß werden können. In der Nähe der Nullstellen der Kosinusfunktion (also von π, 3π usw.) wächst der Tangens über alle Grenzen, und in den Nullstellen der Kosinusfunktion hat die Tangensfunktion senkrechte Asymptoten. Zu beachten

7 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 7 ist auch, dass f(x) = tan x Periode π hat; Verschieben von Sinus und Kosinus verwandelt diese in ihre Negativen, der Quotient bleibt dabei gleich: tan(x π) = sin(x π) cos(x π) = sin(x) cos(x) = sin(x) cos(x) = tan(x). Abbildung 5. Schaubild der Tangensfunktion Direkt aus der Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis erhält man Satz 6. Es gilt sin( α) = sin α und cos( α) = cos(α). In der Tat: den zu α gehörigen Punkt P erhält man durch Spiegeln an der x-achse; ist P (cos α sin α), so ist P (cos α sin α). Nur wenig schwieriger zu beweisen ist Satz 7. Es gilt sin(α π ) = cos α und cos(α π ) = sin(α). Abbildung 6. Veranschaulichung von Satz 7 Dies folgt daraus, dass die Subtraktion eines Winkels von π = 90 dazu führt, dass aus den Koordinaten von P (cos α sin α) die Koordinaten P (sin α cos α) werden.

8 8 FRANZ LEMMERMEYER Übungen. () Vereinfache folgende Ausdrücke. a) tan α cos α b) ( + sin β)( sin β) c) cos α d) sin α cos α e) sin 4 α cos 4 tan α α f) sin α cos α 4. Trigonometrische Gleichungen Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen, und gleichzeitig auch die einzigen, die man ohne Taschenrechner lösen können muss, sind die Gleichungen sin x =, 0, + und cos x =, 0, + im Intervall [0, π]. Die Gleichung sin(x) = 0 fragt nach allen Nullstellen der Sinusfunktion im Intervall [0, π]; ein Blick auf das Schaubild verrät, dass die einzigen Lösungen x = 0, x = π und x 3 = π sind. Genauso einfach liest man die Lösungen mit 0 x π der anderen Gleichungen ab: sin x = x = 3π sin x = 0 x = 0, x = π, x 3 = π sin x = + x = π cos x = x = π cos x = 0 x = x = π, x = 3π cos x = + x = 0, x = π Etwas komplizierter ist die Lösung einer Gleichung wie sin(x π ) = 0 für 0 x π. In einem solchen Fall substituiert man den Ausdruck in der Klammer, setzt also z = x π. Dies liefert sin z = 0 und damit z = 0, z = π und z 3 = π. Resubstitution ergibt x π = 0, x = π 4 ; x π = π, x = 3π 4 ; x π = π, x 3 = 5π 4. Weil der letzte Wert nicht im Intervall [0, π] liegt, sind nur x und x Lösungen. Die Standardgleichungen im Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen sind solche des folgenden Typs: (sin x) sin(x) = 0, (sin x) 3 sin(x) + = 0. Die erste Gleichung löst man durch Ausklammern: sin(x) (sin(x) ) = 0 führt auf sin(x) = 0 mit den bekannten Lösungen, während die Gleichung sin(x) = keine Lösung besitzt, weil die Sinusfunktion nur Werte zwischen und + annimmt.

9 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 9 Die zweite Gleichung löst man durch Substitution: mit z = sin x erhalten wir z 3z + = 0, also z = und z = ; Resubstition ergibt sin x = und sin x = ; die erste Gleichung hat die Lösung x = π, die zweite hat keine Lösung. 5. Additionsformeln Jetzt betrachten wir zwei Winkel β = AOP und α = AOQ am Einheitskreis (Abb. 7). Die beiden Punkte P und Q haben die Koordinaten P (cos β sin β) und Q(cos α sin α), ihr Abstand d ist folglich gegeben durch () d = P Q = (cos α cos β) + (sin α sin β). Abbildung 7. Additionsformel für die Kosinusfunktion Wenn wir jetzt das Dreieck P OQ betrachten, dann ist P OQ = α β, die Höhe des Dreiecks ist h = QF = sin(α β), und der Abstand d ergibt sich nach Pythagoras zu () d = QF + F P = sin (α β) + ( cos(α β)). Jetzt multiplizieren wir beide Gleichungen aus. Wir erhalten aus () d = (cos α cos β) + (sin α sin β) = cos α cos α cos β + cos β + sin α sin α sin β + sin β = sin α sin β cos α cos β. Entsprechend folgt aus () d = sin (α β) + cos(α β) + cos (α β) = cos(α β).

10 0 FRANZ LEMMERMEYER Setzen wir beide Ausdrücke gleich, so folgt sin α sin β cos α cos β = cos(α β), also sin α sin β + cos α cos β = cos(α β). Ersetzt man hier β durch β und beachtet, dass cos( β) = cos(β) und sin( β) = sin(β) gilt, so folgt entsprechend cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β. Diese Gleichung gilt für alle Werte von α und β. Insbesondere können wir etwa β = α setzen und erhalten cos(0) = cos(α) cos( α) sin(α) sin( α) = cos α + sin α =, was wir bereits wussten. Ersetzen wir dagegen β durch β + π, so folgt sin(α + β) = cos(α + β + π ) = cos α cos(β + π ) sin α sin(β + π ) Damit haben wir bewiesen: = cos α sin β + sin α cos β. Satz 8. Für die trigonometrischen Funktionen gelten folgende Additionsformeln. cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β, cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β, sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sin(α β) = sin α cos β cos α sin β. Als nächstes beweisen wir die Formel ( x u ) (3) sin(x) sin(u) = sin cos ( x + u Dazu setzen wir in die Additions- und Subtraktionsformeln für den Sinus α = x+u und β = x u und finden wegen α + β = x und α β = u sin(x) = sin x + u sin(u) = sin x + u cos x u cos x u + cos x + u cos x + u ), sin x u, sin x u, woraus sich die behauptete Identität (3) durch Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt. Übungen () In der folgenden Zeichnung hat die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks im Innern des Rechtecks die Länge. Man berechne alle Winkel und Strecken in dieser Figur in Abhängigkeit von α und β und leite aus diesem Ergebnis die Additionsformel für den Sinus und den Kosinus her.

11 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN () In der folgenden Figur ist OA = und OEA = OCA = ODE = 90. Verifiziere die einzelnen Schritte in folgendem Beweis der Additionsformel für die Sinusfunktion. sin(α + β) = AC = AB + BC = AB + ED = AE cos β + OE sin β = sin α cos β + cos α sin β. Nach Definition ist 6. Die Ableitung trigonometrischer Funktionen f sin(x) sin(u) (x) = lim. u x x u Hier können wir nicht mehr hoffen, aus dem Zähler durch einfache Umformungen ein x u auszuklammern. Zum Umformen des Zählers benutzen wir die Identität (3); damit finden wir f sin(x) sin(u) sin( x u x+u ) cos( (x) = lim = lim ) u x x u u x x u sin( x u = lim ) ( x + u ) lim cos = cos(x) lim u x x u u x sin( x u ) u x x u Die Ableitung der Sinusfunktion ist also das Produkt aus der Kosinusfunktion und einem Grenzwert; schreiben wir h = x u, so ist u x gleichbedeutend mit h 0,.

12 FRANZ LEMMERMEYER d.h. es ist lim u x sin( x u ) sin h x u = lim h 0 h. Wir wollen zeigen, dass dieser Grenzwert = ist, allerdings nur, wenn der Winkel x in Bogenmaß gemessen wird! In der Tat ist die einfache Formel (sin x) = cos x vielleicht nicht der einzige, aber sicher der wesentliche Grund, weshlab man das Bogenmaß eingeführt hat. Dazu betrachten wir die Definition von sin x am Einheitskreis. Dort wird der Winkel x in Bogenmaß gemessen, d.h. x ist die Länge des vom Winkel festgelegten Kreisbogens. Die Fläche des kleinen Dreiecks ist offenbar sin(x) cos(x), die des großen Dreiecks sin x x tan x = cos x, und die des Kreisausschnitts gleich π π = x. Also gilt die offensichtliche Ungleichung sin(x) cos(x) < x < sin(x) cos(x). Division durch sin x liefert cos(x) < x sin x < cos x. Bildet man die Kehrwerte, wird daraus cos x > sin x sin x > cos(x), also cos(x) < x x < cos(x). Lässt man hier x 0 gehen, so geht cos(x), und der Term sin x x in der Mitte ist zwischen zwei Größen eingeschlossen, die beide gehen gehen. Also muss der Grenzwert von sin x x gleich sein. Satz 9. Es gilt Damit haben wir bewiesen: sin x lim x 0 x =. Satz 0. Die Ableitung der Sinusfunktion f(x) = sin x ist f (x) = cos x. Die Ableitung der Kosinusfunktion erhalten wir daraus fast ohne weitere Rechnung. Verschieben wir die Sinusfunktion um π nach rechts, erhalten wir sin(x π ) = cos(x).

13 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 3 Die Ableitung von cos(x) ist also die um π nach rechts verschobene Ableitung der Sinusfunktion: (cos x) = cos(x π ) = sin(x). Satz. Die Ableitung der Kosinusfunktion f(x) = cos x ist f (x) = sin x. 7. Die Taylorreihe Die Tangente in x = 0 an das Schaubild der Kosinusfunktion ist y = wegen f(0) = cos(0) = und m = f (0) = sin(0) = 0. Weil die Kosinusfunktion in der Nähe von x = 0 eher wie eine Parabel aussieht, könnten wir versuchen, statt der Tangente eine Näherungsparabel zu finden. Weil wir die Tangente mit f(0) = cos(0) = und f (0) = sin(0) = 0 gefunden haben (hier stimmen also die nullte und die erste Ableitung von Gerade und Kosinusfunktion überein), liegt es nahe, eine Parabel f(x) = ax + bx + c zu suchen, die außerdem f (0) = cos(0) = erfüllt. Mit f(x) = ax + bx + c f(0) = c, f (x) = ax + b f (0) = b, f (x) = a f (0) = a folgt also c =, b = 0 und a =, d.h. die Näherungsparabel ist durch f (x) = x gegeben. Abbildung 8. Näherungsparabel an die Kosinusfunktion Weil die Kosinusfunktion symmetrisch bezüglich der y-achse ist, wird sie von nicht achsensymmetrischen Funktionen nur schlecht approximiert. Versucht man trotzdem den Ansatz f(x) = ax 3 + bx + cx + d und verlangt, dass f, f, f und f in x = 0 dieselben Werte annimmt wie die ersten Ableitungen der Kosinusfunktion, dann ergibt sich a = 0 und die Näherungsparabel von oben. Die Näherungsfunktion vom Grad 4 dagegen ergibt sich zu f 4 (x) = x + x4 4. Betrachten wir nun allgemein eine Näherungsfunktion f(x) = a 0 + a x + a x a n x n.

14 4 FRANZ LEMMERMEYER Abbildung 9. Näherungspolynome f 0, f und f 4 Die ersten Ableitungen sind f (x) = a + a x + 3a 3 x na n x n, f (x) = a + 3a 3 x n(n )a n x n, f (x) = 3a n(n )(n )a n 3 n, f (n) (x) = 3 (n ) na n. Die ungeraden Ableitungen der Kosinusfunktion sin ± sin(x) und haben folglich den Wert 0 in x = 0, d.h. es muss a = a 3 =... = a n = 0 gelten. Die geraden Ableitungen haben abwechselnd den Wert + und, denn mit g(x) = cos(x) ist g(0) =, g (0) = cos(0) =, g (4) (0) = cos(0) = + usw. Wir erhalten so die Gleichungen a 0 = +, a =, 3 4 a 4 = +, a 6 =,... =..., (n)!a n = ( ) n. wobei wir zur Abkürzung n! = 3 n gesetzt haben (n! wird n Fakultät ausgesprochen). Also gilt a 0 =, a =!, a 4 = 4!, a 6 = 6! usw. Bereits die Funktion f 6 (x) = x! + x4 4! x6 6! ist mit dem bloßen Auge von der Kosinusfunktion auf dem Intervall [ π, π ] nicht mehr zu unterscheiden.

15 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 5 Abbildung 0. Näherungspolynom f 6 Die hier gegebenen Approximationen beruhen auf der Differentialrechnung. Geht man von den Näherungspolynomen zur Reihe f (x) = x! + x4 4! x6 6! + über, so kann man zeigen (wenn auch nicht mit den Mitteln der heutigen Schulmathematik), dass f (x) = cos(x) ist. Insbesondere ist sin x = f (x), also sin x = x x3 3! + x5 5! Aus dieser Formel erhält man übrigens auch leicht den Grenzwert sin x ) lim ( x 0 x = lim x x 0 3! + x4 5! = zurück. 8. Bhaskaras Formel Die folgende Näherung für die Sinusfunktion geht auf den indischen Mathematiker Bhaskara I (ca. 600 n.chr.) zurück: sin a 4a(80 a) a(80 a), wo a in Grad angegeben ist. Wir wollen diese Formel herleiten, indem wir den Ansatz a + bα + cα sin α s(α) mit s(α) = d + eα + fα machen und die sechs Unbekannte durch Einsetzen geeignet gewählter Punkte bestimmen. Zum einen dürfen wir, nach Kürzen mit d, einfach d = annehmen; zweitens wollen wir Achsensymmetrie haben, also, wenn wir ab jetzt den Winkel in Bogenmaß messen und ihn mit x statt α bezeichnen, s(α) = s(π α); man kann zeigen, dass das für Quotienten von quadratischen Polynomen dann und nur dann

16 6 FRANZ LEMMERMEYER der Fall ist, wenn sowohl Zähler wie Nenner diese Symmetrie haben; damit folgen die Gleichungen also a + bx + cx = a + b(π x) + c(π x), d + ex + fx = d + e(π x) + f(π x), a + bx + cx = a + bπ + cπ (b + πc)x + cx, d + ex + fx = d + eπ + fπ (e + πf)x + fx, und damit durch Koeffizientenvergleich 0 = b + πc und 0 = e + πf. Einsetzen des Punktes (0 0) ergibt a = 0, was zusammen mit d = auf die Funktion s(x) = cx(x π) πfx + fx führt. Die restlichen beiden Unbekannten erhalten wir durch Einsetzen der Punkte ( π 6, ( π ) und ),. Dies liefert nacheinander die Gleichungen π = 6 c( π 6 π) π 6 f + π 36 f = c 36 5π f Wegschaffen der Nenner ergibt und = c = f 36 5π und c = f 4 π, was nach Elimination von f auf π c( π π) π f + π 4 f = c 4 π f. c = 6 5π und damit f = 4 5π führt. Damit erhalten wir 6x(π x) s(x) = 4x 4πx + 5π Diese Näherung ist so gut, dass man zeichnerisch im Intervall [0; π] keinen Unterschied sehen kann! Abbildung. Die Funktionen sin(x) und s(x)

17 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 7 Lediglich die dickeren Linien am linken und rechten Rand deuten darauf hin, dass die Funktionen dort auseinanderzulaufen beginnen. Natürlich kann s(x) global, also für alle x, keine gute Näherung der Sinusfunktion sein, weil s(x) genau zwei Nullstellen (die Sinusfunktion unendlich viele) hat und außerdem im Gegensatz zur Sinusfunktion eine waagrechte Asymptote (nämlich y = 4) besitzt. Die Differenz von Sinusfunktion und Näherung hat, wie die nächste Skizze zeigt, Funktionswerte unterhalb von 0,00, d.h. der Fehler ist kleiner als Promille: Abbildung. Die Differenz sin(x) s(x)