27 Verhalten gebrochen rationaler Funktionen im Unendlichen; Asymptoten

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1 7 Verhalten gebrochen rationaler Funktionen im Unendlichen; symptoten Wie wir schon gesehen haben schmiegt sich der Graph einer ganzrationalen Funktion an seiner Polstelle an eine senkrechte symptote (hier: Gerade) an. Man spricht hier auch von einer Unendlichkeitsstelle, da der Graph nach oder verläuft. Diese Kenntnis ist sehr hilfreich um den Graph in der Umgebung der Polstelle zu zeichnen. Es ist aber ebenso hilfreich zu wissen, dass sich der Graph für sehr große (bzw. sehr kleine) -Werte ebenfalls einer symptote oder sogar einer symptotenkurve anschmiegt. usschlaggebend hierfür sind der Zähler- und der Nennergrad. 7. Echt gebrochen rationale Funktionen (Zählergrad ist kleiner als der Nennergrad) Beispiel:.) Das einfachste Beispiel ist die Funktion f mit ID f IR \ 0 lim f lim 0 Das hochgestellte + bedeutet, dass sich der Graph der Funktion f von oben an die -chse (Gerade mit der Gleichung y 0 ) annähert. lim f lim 0 Das hochgestellte - bedeutet, dass sich der Graph der Funktion f von unten an die -chse (Gerade mit der Gleichung y 0 ) annähert. Die Gerade mit der Gleichung y 0 ist somit waagrechte symptote des Graphen. Das heißt, dass sich der Graph im Unendlichen an die Gerade y 0 anschmiegt. Der Graph ist uns ja schon bekannt:

2 f mit ID f IR Nullstelle: f 0 0 Verhalten im Unendlichen: lim f lim lim lim 0.) 0 lim f lim lim lim 0 Die Gerade mit der Gleichung y 0 ist waagrechte symptote des Graphen. Dieser sieht also so aus: 0 f.) mit ID IR \ f ; Nennerfunktion: Zählerfunktion: z 0 n 0 ist Nullstelle der Funktion f Somit hat man schon zwei senkrechte symptoten: Verhalten im Unendlichen: lim f lim lim lim 0 0

3 lim f lim lim lim 0 Die Gerade mit der Gleichung y 0 ist waagrechte symptote des Graphen. Dieser sieht dann so aus: 0 Bei einer echt gebrochen rationalen Funktion dominiert die Nennerfunktion infolge der höheren Potenz stets über die Zählerfunktion. Der Graph nähert sich somit für sehr große (sehr kleine) -Werte stets asymptotisch der -chse. Die Gerade mit der Gleichung y 0 ist in diesem Fall waagrechte symptote. 7. Unecht gebrochen rationale Funktionen In diesem Fall wird die (unecht) gebrochene rationale Funktion Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion f rationale Restfunktion r zerlegt: f f r f durch und eine echt gebrochen Nun gilt: lim f lim f r lim f lim r lim f Somit folgt: 0 lim f lim f lim f lim f 0 lim f f 0

4 Das heißt: Die Funktion f und f Grenzwertverhalten. Man nennt die Polynomfunktion Der Betrag zwischen der Funktion haben im Unendlichen das gleiche f daher auch symptotenfunktion. r der Restfunktion beschreibt den vertikalen bstand f und seiner symptote an der Stelle. Obige Sache entspricht gerade der Definition einer (nicht senkrechten) symptote bzw. symptotenkurve. Definition: Der Graph einer Funktion f Graphen der Funktion f, wenn gilt: lim f f 0 oder heißt symptote (bzw. symptotenkurve) des lim f f 0 Beispiele:.) f ; ID IR \ f n 0 (senkrechte symptote) Nennerfunktion: z 0 ist Nullstelle Zählerfunktion: N Polynomdivision: : Wer es nicht glaubt! f lso ist: f waagrechte symptote r das Restglied mit r 0 für alle ID f. Letzteres heißt, dass sich der Graph der Funktion f und die waagrechte symptote f nicht schneiden. Und für die letzten Zweifler noch eine kleine Grenzwertbetrachtung: lim f lim lim lim lim f lim lim lim 0 0

5 Somit lässt sich nun der Graph der Funktion f recht leicht zeichnen. G f r r Es gilt: r r,5 uf dieses Restglied werden wir später noch in Übungsaufgaben/P eingehen..) f ; ID f IR \ n 0 (senkrechte symptote) Nennerfunktion: 9 Zählerfunktion: z 0 N IR keine Nullstelle! Polynomdivision: : schiefe symptote 5

6 lso ist: f schiefe symptote r das Restglied mit r 0 für alle ID f. Letzteres heißt wieder einmal, dass sich der Graph der Funktion f und die waagrechte symptote f nicht schneiden. lim f lim lim lim lim f lim lim lim Jetzt lässt sich nun der Graph der Funktion f recht leicht zeichnen. 0 0

7 .) Noch eine Beispiel zu einer symptotenkurve (nicht mehr LP!) f, ID f IR\ n 0 ist senkrechte symptote Nennerfunktion: Zählerfunktion: Polynomdivision: z 0 0 ist Nullstelle : symptotenkurve r N lso ist: f symptotenkurve r das Restglied mit r 0 für alle ID f. Der Graph der Funktion f und die waagrechte symptote f schneiden sich nicht. lim f lim lim lim 0 lim f lim lim lim Jetzt lässt sich nun der Graph der Funktion f recht leicht zeichnen. 0 7

8 Doch wann und wo schneidet die symptotenkurve den Graphen der Funktion f? Sie schneiden sich, wenn die Restfunktion den Wert Null annehmen kann. lso hat man die Gleichung r 0 zu lösen. Die Lösungen dieser Gleichung sind dann auch schon die Schnittstellen an denen der Graph der Funktion f die symptotenkurve schneidet. Ein Beispiel hierfür wäre die Funktion f ufgaben:.) Zerlegen Sie die unecht gebrochen rationalen Funktionen f in einen ganz rationalen und einen echt gebrochen rationalen nteil a 0. a) f f b) f 7 f a f a f a f c) d) f e) f a a f a f f f) 8

9 .) Bestimmen Sie zu der gebrochen rationalen Funktion eine Gleichung der symptotenfunktion. Um welche rt von symptote handelt es sich? a) f waagrechte symptote: f 0 b) f f waagrechte symptote: c) f schiefe symptote: f d) f waagrechte symptote: f.) Bestimmen Sie eine Gleichung der symptotenfunktion. Geben sie zusätzlich an, ob die symptote waagrecht, schief oder gekrümmt ist. Untersuchen Sie, ob es Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der symptote gibt. Geben Sie die Schnittpunkte gegebenenfalls an. a) f b) f c) f d) f.) Bestimmen Sie eine Gleichung der symptotenfunktion f der gebrochen rationalen Funktion f und untersuchen Sie, ob sich der Graph von f der symptote jeweils von oben oder von unten nähert. a) f b) f c) f a d) f a IR a 9